Cât face x₁²+x₂² pentru ecuația x²-5x+3=0?

Discriminantul este 25-12=13>0. Cu S=5 și P=3, x₁²+x₂²=S²-2P=25-6=19. Nu e nevoie să calculezi rădăcinile, care conțin √13. Identitatea vine din (x₁+x₂)²=x₁²+2x₁x₂+x₂², din care scazi dublul produsului. În modelul de bacalaureat M2 pentru 2026, relații de acest tip se folosesc la Subiectul al II-lea, pentru un polinom de gradul al treilea.

Cum verific rădăcinile cu suma și produsul?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Suma și produsul rădăcinilor

Calculezi din coeficienți $S = - \frac{b}{a}$ și $P = \frac{c}{a}$ și compari cu rădăcinile găsite. Exemplu: la ecuația $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ rezolvarea a dat $2$ și $\frac{1}{3}$ . Coeficienții cer suma $\frac{7}{3}$ și produsul $\frac{2}{3}$ , iar numerele găsite le au pe amândouă, deci rezultatul e corect. Dacă ai fi obținut $- 2$ și $- \frac{1}{3}$ , suma ar fi ieșit negativă, iar greșeala s-ar vedea imediat. Proba nu cere înlocuirea în ecuație.

Pentru o ecuație $a x^{2} + b x + c = 0$ cu $a \neq = 0$ care are rădăcini reale, adică $Δ \geq 0$ , suma rădăcinilor este $- \frac{b}{a}$ , iar produsul lor este $\frac{c}{a}$ . Cele două numere se citesc din coeficienți, fără radicali, chiar și atunci când rădăcinile sunt iraționale.

Ordinea de lucru contează: întâi discriminantul, apoi relațiile. Dacă $Δ < 0$ , fracțiile se pot calcula, dar nu descriu niciun număr real. Tot de aici vine o probă rapidă pentru orice calcul: rădăcinile găsite trebuie să aibă exact suma și produsul cerute de coeficienți.

Orice expresie care nu se schimbă când schimbi rădăcinile între ele se scrie cu suma $S$ și produsul $P$ : suma pătratelor este $S^{2} - 2 P$ , suma inverselor este $\frac{S}{P}$ , iar $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ devine $P + S + 1$ . Invers, ecuația cu rădăcinile date se scrie $x^{2} - S x + P = 0$ și se înmulțește cu numitorul comun când vrei coeficienți întregi.

Pe grafic, media rădăcinilor este abscisa vârfului parabolei. Semnul produsului spune dacă rădăcinile au semne contrare, iar la problemele cu parametru o valoare găsită se păstrează numai după proba $Δ \geq 0$ .

De reținut

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
relațiile au sens pentru rădăcini reale, deci după $Δ \geq 0$
$P < 0$ : rădăcini de semne contrare

Greșeala tipică

Se scrie suma rădăcinilor $\frac{b}{a}$ , fără minus; pentru $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ ar rezulta $- \frac{7}{3}$ , deși rădăcinile $2$ și $\frac{1}{3}$ au suma pozitivă.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru ecuația $4 x^{2} - 9 x - 7 = 0$ , cât este suma rădăcinilor?
- a) $- \frac{9}{4}$
- b) $- \frac{7}{4}$
- c) $\frac{9}{4}$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{9}{4}$

Discriminantul $81 + 112 = 193$ este pozitiv, deci rădăcinile există. Suma este $- \frac{b}{a} = - \frac{- 9}{4} = \frac{9}{4}$ .
Ecuația $x^{2} - 13 x + 3 = 0$ are rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ . Cât este $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$ ?
- a) $- 39$
- b) $39$
- c) $16$
- d) $163$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $39$

Aici $S = 13$ și $P = 3$ , iar $Δ = 169 - 12 = 157 > 0$ . Factorul comun $x_{1} x_{2}$ dă $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = P S = 3 \cdot 13 = 39$ .
Care ecuație are rădăcinile $\frac{1}{3}$ și $- 4$ ?
- a) $3 x^{2} - 11 x - 4 = 0$
- b) $3 x^{2} + 11 x + 4 = 0$
- c) $x^{2} + 11 x - 4 = 0$
- d) $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$

Suma este $\frac{1}{3} - 4 = - \frac{11}{3}$ , produsul $- \frac{4}{3}$ . Ecuația $x^{2} + \frac{11}{3} x - \frac{4}{3} = 0$ , înmulțită cu $3$ , devine $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ .

Întrebări conexe

Ce arată semnul produsului rădăcinilor?

Dacă $P = \frac{c}{a} < 0$ , rădăcinile au semne contrare. Pentru $2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ , $P = - \frac{5}{2}$ , iar rădăcinile sunt $1$ și $- \frac{5}{2}$ . Când $P < 0$ , discriminantul este sigur pozitiv, fiindcă $- 4 a c > 0$ . Semnul produsului se citește direct din coeficienți, fără să rezolvi ecuația.

Ce legătură are suma rădăcinilor cu axa parabolei?

Abscisa vârfului este media rădăcinilor, adică $\frac{S}{2}$ . Pentru $x^{2} - 10 x + 16$ , $S = 10$ , deci axa de simetrie este $x = 5$ ; rădăcinile $2$ și $8$ sunt la aceeași distanță, $3$ , de ea. Pe grafic, vârful este $(5, - 9)$ .

De ce verific discriminantul înainte de relațiile lui Viète?

Relațiile descriu rădăcini reale doar dacă ele există. Pentru $x^{2} + x + 1 = 0$ , formulele ar da $S = - 1$ și $P = 1$ , dar $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ , deci nu există numere reale cu această sumă și acest produs. Rezultatul ar fi fără sens.

Cât face $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ pentru ecuația $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ ?

Discriminantul este $25 - 12 = 13 > 0$ . Cu $S = 5$ și $P = 3$ , $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 25 - 6 = 19$ . Nu e nevoie să calculezi rădăcinile, care conțin $13$ . Identitatea vine din $(x_{1} + x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ , din care scazi dublul produsului. În modelul de bacalaureat M2 pentru 2026, relații de acest tip se folosesc la Subiectul al II-lea, pentru un polinom de gradul al treilea.

Ce semne au rădăcinile când suma și produsul sunt pozitive?

Produsul pozitiv arată că au același semn, iar suma pozitivă că acel semn este plus. Pentru $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ , $S = 7$ și $P = 10$ , iar rădăcinile sunt $2$ și $5$ , ambele pozitive, dacă $Δ \geq 0$ . Cu suma negativă și produsul pozitiv, ambele ar fi negative, ca la $x^{2} + 7 x + 10 = 0$ , cu $- 2$ și $- 5$ .

Când trece o minge de două ori prin aceeași înălțime?

Cu $h (t) = 30 t - 5 t^{2}$ metri, înălțimea de $25$ m dă $t^{2} - 6 t + 5 = 0$ . Suma momentelor este $S = 6$ , iar produsul $P = 5$ , deci momentele sunt $1$ s și $5$ s. Media lor, $3$ s, este chiar momentul în care mingea ajunge cel mai sus.

Oamenii mai întreabă și: proba rădăcinilor cu Viète · verificarea rădăcinilor prin sumă și produs · cum știu dacă am rezolvat corect ecuația de gradul doi · suma și produsul rădăcinilor ca verificare