Relațiile lui Viète (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un program de laborator îți afișează două numere și spune că sunt soluțiile ecuației pe care i-ai dat-o. Le poți crede pe cuvânt sau poți face o probă de zece secunde: aduni cele două numere, le înmulțești și compari rezultatele cu două fracții citite direct din coeficienți. Proba aceasta poartă numele matematicianului francez François Viète și este subiectul lecției de față, din clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține relațiile lui Viète, iar ecuația de gradul al doilea apare acolo în domeniul „Algebră”, la conținuturile clasei a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit relațiile lui Viète, în capitolul despre funcția de gradul al doilea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: relațiile lui Viète sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28) și nici la vreo altă clasă a ei. Pornim de la formula rădăcinilor și de la discriminant, pe care le găsești în lecția despre formula rădăcinilor la M2. Dacă vrei să revezi cum se rezolvă o ecuație prin descompunere în factori, deschide lecția de clasa a VIII-a despre ecuația de gradul al doilea și produsul nul.

Ce vei învăța

Vei ști să afli direct din coeficienți cât fac adunate și cât fac înmulțite cele două rădăcini, după ce ai verificat că ele există ca numere reale.
Vei ști să folosești cele două relații ca probă rapidă pentru rădăcini calculate de tine, de un coleg sau de un program.
Vei ști să exprimi prin sumă și produs expresiile simetrice în rădăcini, fără să afli rădăcinile.
Vei ști să legi suma rădăcinilor de axa de simetrie a parabolei și să afli o rădăcină din cealaltă, citind un grafic.
Vei ști să scrii ecuația cu coeficienți întregi care are două rădăcini date.
Vei ști ce spune semnul produsului despre semnele rădăcinilor și cum se tratează o condiție cu parametru.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spun coeficienții despre suma și produsul rădăcinilor?

Relațiile lui Viète sunt două egalități care leagă rădăcinile de coeficienți: dacă ecuația $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu coeficienți reali și $a \neq = 0$ , are discriminantul $Δ \geq 0$ și rădăcinile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ , atunci suma și produsul lor sunt $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

Drumul spre ele e scurt. Din lecția despre formula rădăcinilor știi că $x_{1}$ și $x_{2}$ au forma $\frac{- b + Δ}{2 a}$ și $\frac{- b - Δ}{2 a}$ . Când le aduni, radicalii au semne opuse și se anulează, iar în numărător rămâne de două ori $- b$ ; după simplificarea cu $2$ obții $- \frac{b}{a}$ . Când le înmulțești, numărătorul este un produs de forma „sumă ori diferență”, deci devine $b^{2} - Δ$ , adică exact $4 a c$ , iar numitorul este $4 a^{2}$ . Fracția $\frac{4 a c}{4 a ^{2}}$ se simplifică la $\frac{c}{a}$ .

Observă ce s-a întâmplat pe drum: radicalul a dispărut de două ori. Chiar dacă rădăcinile sunt numere iraționale greu de scris, suma și produsul lor sunt fracții obișnuite ori de câte ori coeficienții sunt raționali. Pentru ecuația $4 x^{2} - 4 x - 35 = 0$ , de pildă, citești imediat $S = - \frac{- 4}{4} = 1$ și $P = \frac{- 35}{4}$ . Rezolvând-o, găsești $Δ = 16 + 560 = 576$ , deci rădăcinile $\frac{4 + 24}{8} = \frac{7}{2}$ și $\frac{4 - 24}{8} = - \frac{5}{2}$ ; suma lor este $\frac{7}{2} - \frac{5}{2} = 1$ , iar produsul $\frac{7}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) = - \frac{35}{4}$ . Relațiile nu înlocuiesc rezolvarea când ai nevoie de rădăcini, dar îți dau două informații sigure fără niciun radical.

2. De ce se verifică întâi discriminantul?

Formulele $- \frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ se pot calcula pentru orice ecuație, chiar și pentru una fără soluții reale, și tocmai aici se ascunde capcana. Privește ecuația $2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$ . Fracțiile îți dau fără nicio împotrivire $- \frac{3}{2}$ și $\frac{5}{2}$ . Discriminantul este însă $Δ = 9 - 40 = - 31$ , negativ, deci ecuația nu are nicio rădăcină reală. Cele două fracții nu sunt suma și produsul unor numere reale, pentru că asemenea numere nu există.

De aceea, în redactare, primul rând este mereu calculul lui $Δ$ și constatarea că $Δ \geq 0$ . Abia după aceea scrii „ $S = \dots$ , $P = \dots$ ”. La clasa a IX-a lucrezi în mulțimea numerelor reale; mai târziu, în clasa a X-a, vei întâlni o mulțime mai largă de numere în care și asemenea ecuații au rădăcini, dar în lecția de față condiția de existență este obligatorie.

Un caz particular merită reținut. Când $Δ = 0$ , cele două rădăcini coincid, iar relațiile rămân adevărate: suma este dublul rădăcinii, produsul este pătratul ei. Nu ai nimic de schimbat în formule, doar interpretarea: „două rădăcini egale”, nu „o singură rădăcină pe care o numărăm de două ori din greșeală”.

3. Cum folosești relațiile ca probă a unui calcul?

În fizică și în chimie, rezultatele se verifică printr-o mărime pe care o poți calcula independent de drumul parcurs. Relațiile lui Viète joacă exact acest rol pentru ecuațiile de gradul al doilea. Ai calculat două rădăcini; înainte să le folosești mai departe, verifici două lucruri: suma lor trebuie să fie $- \frac{b}{a}$ , iar produsul trebuie să fie $\frac{c}{a}$ .

Să zicem că pentru $6 x^{2} - x - 26 = 0$ ai obținut $\frac{13}{6}$ și $- 2$ . Suma lor este $\frac{13}{6} - 2 = \frac{1}{6}$ , iar din coeficienți $- \frac{- 1}{6} = \frac{1}{6}$ . Produsul este $\frac{13}{6} \cdot (- 2) = - \frac{13}{3}$ , iar din coeficienți $\frac{- 26}{6} = - \frac{13}{3}$ . Ambele probe trec, deci rezultatul poate fi folosit. Proba prinde imediat cele mai frecvente scăpări: un semn schimbat la $- b$ , o împărțire uitată la $2 a$ sau un radical calculat greșit. Dacă o singură probă cade, ai o greșeală de căutat; dacă trec amândouă, rădăcinile sunt corecte, pentru că există o singură pereche de numere cu suma și produsul date.

4. Cum se scriu prin sumă și produs expresiile simetrice?

Numim simetrică o expresie în $x_{1}$ și $x_{2}$ care rămâne aceeași când rădăcinile își schimbă locurile. Orice astfel de expresie se poate scrie numai cu $S$ și $P$ , iar aceasta o face calculabilă fără să rezolvi ecuația. Iată cele de care ai nevoie cel mai des, fiecare obținută dintr-o identitate cunoscută din gimnaziu:

expresia	scrisă cu $S$ și $P$	de unde vine
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$	$S^{2} - 2 P$	pătratul sumei, din care scazi dublul produsului
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$	$\frac{S}{P}$ , dacă $P \neq = 0$	aducerea la numitorul comun $x_{1} x_{2}$
$(x_{1} - x_{2})^{2}$	$S^{2} - 4 P$	pătratul diferenței, scris cu pătratul sumei
$x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$	$P S$	factorul comun $x_{1} x_{2}$
$(x_{1} + k) (x_{2} + k)$	$P + k S + k^{2}$	desfacerea parantezelor

Metoda are doi pași: rescrii expresia cerută astfel încât să apară numai suma și produsul, apoi înlocuiești valorile. Pentru ecuația $x^{2} - 18 x + 7 = 0$ , cu $Δ = 324 - 28 = 296 > 0$ , avem $S = 18$ și $P = 7$ , deci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 324 - 14 = 310$ , fără să atingi vreodată rădăcinile $9 \pm 74$ . Observă și ultima linie a tabelului: o expresie care nu pare simetrică la prima vedere devine simetrică după ce desfaci parantezele.

Atenție la expresiile care nu sunt simetrice, cum ar fi $x_{1} - x_{2}$ sau $2 x_{1} + x_{2}$ . Schimbarea rădăcinilor între ele le schimbă valoarea, deci ele nu se pot calcula doar din $S$ și $P$ . Pentru $x_{1} - x_{2}$ poți afla numai pătratul, deci valoarea absolută; semnul depinde de ordinea în care ai numerotat rădăcinile.

5. Ce legătură are suma rădăcinilor cu axa parabolei?

Graficul funcției $f (x) = a x^{2} + b x + c$ este o parabolă cu axa de simetrie verticală, dreapta $x = - \frac{b}{2 a}$ , așa cum ai văzut în lecția despre vârful și axa de simetrie a parabolei. Pune alături relația sumei: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , adică exact dublul abscisei vârfului. Altfel spus, media rădăcinilor este abscisa axei: $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = - \frac{b}{2 a} = x_{V} .$

Interpretarea grafică e naturală. Punctele în care parabola taie axa $O x$ sunt simetrice față de axa ei, deci se află la aceeași distanță de dreapta $x = x_{V}$ , una în stânga și una în dreapta. În figura A este desenată funcția $f (x) = 4 x^{2} - 8 x - 5$ : rădăcinile sunt $- \frac{1}{2}$ și $\frac{5}{2}$ , iar mijlocul lor, $1$ , este chiar abscisa vârfului $V (1, - 9)$ .

Legătura funcționează în ambele sensuri. Dacă știi o rădăcină și axa, afli cealaltă rădăcină fără calcul: ea este simetrica primei față de axă. Dacă știi cele două rădăcini, afli axa ca medie a lor, fără formula vârfului. Iar lectura intersecțiilor cu axele, pe care ai exersat-o în intersecțiile parabolei cu axele la M2, capătă acum un control algebric.

6. Cum scrii o ecuație când îi cunoști rădăcinile?

Pornești de la relații și le citești invers. Dacă vrei o ecuație cu coeficientul dominant $1$ și rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , atunci $- b$ trebuie să fie suma lor, iar $c$ trebuie să fie produsul lor. Ecuația este $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0,$ adică forma desfăcută a produsului $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ . Semnul minus din fața sumei este partea cea mai ușor de uitat.

Pentru rădăcinile $\frac{5}{2}$ și $- \frac{2}{3}$ , suma este $\frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{11}{6}$ , iar produsul este $- \frac{5}{3}$ . Ecuația cu coeficientul dominant $1$ este $x^{2} - \frac{11}{6} x - \frac{5}{3} = 0$ . Dacă ți se cer coeficienți întregi, înmulțești toată egalitatea cu numitorul comun $6$ și obții $6 x^{2} - 11 x - 10 = 0$ . Înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă rădăcinile, deci ecuația nouă e la fel de bună. Controlul se face tot cu relațiile: $- \frac{- 11}{6} = \frac{11}{6}$ și $\frac{- 10}{6} = - \frac{5}{3}$ .

7. Ce spune semnul produsului despre rădăcini?

Uneori te interesează doar dacă rădăcinile sunt pozitive sau negative. Produsul decide primul pas. Dacă $P < 0$ , rădăcinile au semne contrare. În plus, nu mai ai nevoie de discriminant: $\frac{c}{a} < 0$ înseamnă că $a$ și $c$ au semne opuse, iar atunci discriminantul este pozitiv, cum ai văzut în lecția despre formula rădăcinilor. Pentru $3 x^{2} + 4 x - 20 = 0$ , produsul $P = - \frac{20}{3}$ este negativ, deci ecuația are o rădăcină pozitivă și una negativă; într-adevăr, ele sunt $2$ și $- \frac{10}{3}$ .

Dacă $P > 0$ , rădăcinile au același semn, iar suma arată care este acesta, cu condiția ca ele să existe. Pentru $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ avem $Δ = 49 - 44 = 5 > 0$ , $P = 11 > 0$ și $S = - 7 < 0$ , deci ambele rădăcini sunt negative, fără să le calculăm. Pentru $P = 0$ , una dintre rădăcini este $0$ , iar cealaltă este chiar $S$ .

În problemele cu parametru din această lecție, condiția pusă rădăcinilor devine o ecuație în parametru, de obicei de gradul I. Rezolvi acea ecuație, apoi faci obligatoriu proba existenței: pentru valoarea găsită, discriminantul ecuației trebuie să fie pozitiv sau nul. Dacă nu este, valoarea se respinge, oricât de curat ar fi ieșit calculul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Găsește greșeala: proba cu sumă și produs

Pentru ecuația $5 x^{2} + 3 x - 8 = 0$ , un coleg a scris în caiet: „rădăcinile sunt $x_{1} = 1$ și $x_{2} = \frac{8}{5}$ ”. Verifică rezultatul cu relațiile lui Viète și corectează-l, dacă e nevoie.

Rezolvare. Întâi existența: $Δ = 9 + 160 = 169 > 0$ . Din coeficienți, $S = - \frac{3}{5}$ și $P = - \frac{8}{5}$ . Numerele colegului dau suma $1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}$ , care nu este egală cu $- \frac{3}{5}$ , și produsul $\frac{8}{5}$ , care are alt semn decât $P$ . Produsul negativ spune că rădăcinile au semne contrare, deci una dintre ele trebuie să fie negativă.

Cum $1$ verifică ecuația ( $5 + 3 - 8 = 0$ ), a doua rădăcină se află din produs: $x_{2} = \frac{P}{x _{1}} = - \frac{8}{5}$ . Proba sumei confirmă: $1 - \frac{8}{5} = - \frac{3}{5}$ . Colegul a pierdut semnul minus. Rădăcinile corecte sunt $x_{1} = 1$ și $x_{2} = - \frac{8}{5}$ .

Exemplul 2 — Expresii simetrice când rădăcinile sunt iraționale

Ecuația $x^{2} - 8 x - 4 = 0$ are rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ . Calculează $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ , $(x_{1} - x_{2})^{2}$ și $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$ fără să rezolvi ecuația.

Rezolvare. $Δ = 64 + 16 = 80 > 0$ , deci rădăcinile reale există; $S = 8$ și $P = - 4$ . Înlocuim în tabel:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 64 + 8 = 72$ ;
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P} = \frac{8}{- 4} = - 2$ ;
$(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P = 64 + 16 = 80$ ;
$x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = P S = - 4 \cdot 8 = - 32$ .

Control pe rădăcinile efective, $4 + 25$ și $4 - 25$ : $(4 + 25)^{2} + (4 - 25)^{2} = 2 \cdot (16 + 20) = 72$ . Remarcă și că $(x_{1} - x_{2})^{2}$ a ieșit egal cu $Δ$ : pentru $a = 1$ se întâmplă întotdeauna, fiindcă $S^{2} - 4 P = b^{2} - 4 c$ .

Exemplul 3 — Citește graficul: rădăcina aflată în afara ferestrei

Figura B arată o fereastră a graficului funcției $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 8$ . Pe desen se văd punctul de intersecție cu axa $O x$ de abscisă $- 2$ , axa de simetrie $x = 3$ și punctul $(0, - 8)$ . a) Află cealaltă rădăcină, care nu intră în fereastră. b) Calculează produsul rădăcinilor și compară-l cu $f (0)$ .

Rezolvare. a) Rădăcinile sunt simetrice față de axa $x = 3$ , deci media lor este $3$ și suma lor este $6$ . Cu $x_{1} = - 2$ , rezultă $x_{2} = 6 - (- 2) = 8$ . Aceeași sumă o dă și formula: $- \frac{b}{a} = - \frac{- 3}{\frac{1}{2}} = 6$ . Rădăcina $8$ nu se vede pentru că fereastra se oprește la abscisa $7$ ; ea există totuși, pentru că ramura continuă să crească.

b) $P = \frac{c}{a} = \frac{- 8}{\frac{1}{2}} = - 16$ , iar cu rădăcinile găsite, $(- 2) \cdot 8 = - 16$ . Valoarea $f (0) = - 8$ este termenul liber $c$ , nu produsul rădăcinilor: cele două coincid numai când $a = 1$ . Aici $a = \frac{1}{2}$ , deci produsul este dublul lui $f (0)$ .

Exemplul 4 — Ecuația cu rădăcini date și coeficienți întregi

Scrie o ecuație cu coeficienți întregi ale cărei rădăcini sunt $\frac{3}{2}$ și $- 7$ .

Rezolvare. Suma este $\frac{3}{2} - 7 = - \frac{11}{2}$ , iar produsul este $\frac{3}{2} \cdot (- 7) = - \frac{21}{2}$ . Ecuația cu coeficientul dominant $1$ este $x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{21}{2} = 0$ . Înmulțim cu $2$ : $2 x^{2} + 11 x - 21 = 0$ .

Proba: pentru $2 x^{2} + 11 x - 21 = 0$ avem $Δ = 121 + 168 = 289$ , deci rădăcinile sunt $\frac{- 11 + 17}{4} = \frac{3}{2}$ și $\frac{- 11 - 17}{4} = - 7$ . Orice multiplu nenul al ecuației, de exemplu $4 x^{2} + 22 x - 42 = 0$ , are aceleași rădăcini; se cere de obicei varianta cu coeficienții cei mai mici.

Exemplul 5 — Distanța de oprire a unei mașini

Un șofer începe să frâneze la o secundă după ce observă un obstacol. Pe asfalt ud, distanța de oprire, în metri, pentru viteza inițială $v$ , în metri pe secundă, este $d (v) = v + \frac{v ^{2}}{10}$ : $v$ metri parcurși în timpul de reacție și $\frac{v ^{2}}{10}$ metri de frânare. a) Scrie ecuația care dă viteza pentru care mașina se oprește în $20$ m și arată, fără să o rezolvi, că are exact o rădăcină pozitivă. b) Verifică faptul că $10$ este rădăcină și află cealaltă rădăcină cu relațiile lui Viète.

Rezolvare. a) Din $v + \frac{v ^{2}}{10} = 20$ , înmulțind cu $10$ , obținem $v^{2} + 10 v - 200 = 0$ , cu $Δ = 100 + 800 = 900 > 0$ . Produsul rădăcinilor este $P = - 200 < 0$ , deci rădăcinile au semne contrare: una pozitivă și una negativă. Viteza din model este o mărime pozitivă, așa că ecuația are exact o soluție cu sens fizic.

b) $1 0^{2} + 10 \cdot 10 - 200 = 0$ , deci $v_{1} = 10$ verifică ecuația. Din suma $S = - 10$ rezultă $v_{2} = - 10 - 10 = - 20$ , iar proba cu produsul dă $10 \cdot (- 20) = - 200$ . Rădăcina negativă se respinge: viteza căutată este $10$ m/s, adică $36$ km/h. Modelul presupune o decelerație constantă de $5$ m/s², potrivită pentru un drum ud, și un timp de reacție de o secundă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră ecuația $x^{2} - 5 x + m = 0$ , unde $m$ este un număr real, cu soluțiile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ . Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 31$ .

Rezolvare. Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} = 5$ și $x_{1} x_{2} = m$ . Atunci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 25 - 2 m$ . Condiția devine $25 - 2 m = 31$ , deci $m = - 3$ .

Proba existenței: pentru $m = - 3$ ecuația este $x^{2} - 5 x - 3 = 0$ , cu $Δ = 25 + 12 = 37 > 0$ , deci soluțiile reale există și valoarea se păstrează. Răspuns: $m = - 3$ .

Să exersăm

Scrie de fiecare dată, pe primul rând, discriminantul și concluzia despre existența rădăcinilor reale.

1. Fără să rezolvi, scrie suma și produsul rădăcinilor pentru: a) $2 x^{2} + 15 x - 8 = 0$ ; b) $3 x^{2} - 11 x - 4 = 0$ ; c) $x^{2} + 7 x + 2 = 0$ .

2. Un program a afișat, pentru ecuația $6 x^{2} - 7 x - 24 = 0$ , rădăcinile $\frac{8}{3}$ și $- \frac{3}{2}$ . Verifică rezultatul numai cu relațiile lui Viète.

3. Stabilește care dintre ecuațiile următoare au rădăcini reale și, doar pentru acelea, scrie $S$ și $P$ : a) $3 x^{2} - 5 x + 4 = 0$ ; b) $x^{2} - 9 x + 9 = 0$ ; c) $7 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ .

4. Scrie ecuația cu coeficientul dominant $1$ ale cărei rădăcini sunt $11$ și $- 4$ .

5. Scrie o ecuație cu coeficienți întregi ale cărei rădăcini sunt $\frac{2}{5}$ și $- 3$ .

6. Scrie ecuația cu coeficientul dominant $1$ ale cărei rădăcini sunt $5 + 2$ și $5 - 2$ . Ce observi la coeficienții ei?

7. Ecuația $x^{2} - 9 x + 5 = 0$ are rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ . Calculează: a) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ; b) $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ ; c) $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)$ .

8. Pentru ecuația $x^{2} - 3 x - 9 = 0$ , calculează $(x_{1} - x_{2})^{2}$ și apoi $∣ x_{1} - x_{2} ∣$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Când rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea au produsul negativ, și suma lor este negativă.”

10. Rădăcinile reale ale ecuației $x^{2} + b x + c = 0$ sunt simetrice față de dreapta $x = 5$ , iar produsul lor este $- 11$ . Determină $b$ și $c$ , apoi rădăcinile.

11. (Problemă aplicată.) Randamentul unei reacții chimice, în procente, între $2 0^{\circ} C$ și $8 0^{\circ} C$ , este modelat de $η (T) = - 0, 02 T^{2} + 2 T + 40$ , unde $T$ este temperatura în grade Celsius. La $3 5^{\circ} C$ randamentul este $85, 5$ %. Fără să rezolvi vreo ecuație de gradul al doilea, află cealaltă temperatură din interval la care randamentul este tot $85, 5$ %, apoi temperatura la care randamentul e cel mai mare.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^{2} - 3 x - 7 = 0$ , cu soluțiile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ . Arătați că $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = 10$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $x^{2} - (m + 3) x + 2 m + 1 = 0$ , unde $m$ este un număr real, cu soluțiile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ . Arătați că $x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = - 5$ pentru orice număr real $m$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră ecuația $2 x^{2} - 5 x - 4 = 0$ , cu soluțiile reale $x_{1}$ și $x_{2}$ . Arătați că $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = - \frac{5}{4}$ .

15. Determină numerele reale $m$ pentru care rădăcinile reale ale ecuației $x^{2} - (m - 1) x + m + 5 = 0$ verifică relația $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = 7$ . Verifică fiecare valoare găsită.

16. Fără să calculezi rădăcinile, stabilește semnele lor pentru: a) $2 x^{2} - 13 x - 24 = 0$ ; b) $x^{2} + 10 x + 10 = 0$ ; c) $3 x^{2} - 14 x + 11 = 0$ .

17. Pentru ecuația $49 x^{2} - 42 x + 9 = 0$ , calculează $Δ$ , $S$ și $P$ . Ce poți spune despre rădăcini și cum verifici concluzia cu cele două relații?

18. Determină numărul real $m$ pentru care una dintre rădăcinile ecuației $x^{2} - 28 x + m = 0$ este triplul celeilalte.

Răspunsuri și explicații

1. a) $Δ = 225 + 64 = 289 > 0$ ; $S = - \frac{15}{2}$ , $P = \frac{- 8}{2} = - 4$ . b) $Δ = 121 + 48 = 169 > 0$ ; $S = \frac{11}{3}$ , $P = - \frac{4}{3}$ . c) $Δ = 49 - 8 = 41 > 0$ ; $S = - 7$ , $P = 2$ .

2. $Δ = 49 + 576 = 625 > 0$ . Din coeficienți, $S = \frac{7}{6}$ și $P = \frac{- 24}{6} = - 4$ . Suma numerelor afișate este $\frac{8}{3} - \frac{3}{2} = \frac{7}{6}$ , iar produsul este $\frac{8}{3} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 4$ . Ambele probe trec, deci rezultatul programului este corect.

3. a) $Δ = 25 - 48 = - 23 < 0$ : nu are rădăcini reale, deci nu scriem $S$ și $P$ . b) $Δ = 81 - 36 = 45 > 0$ ; $S = 9$ , $P = 9$ . c) $Δ = 9 + 28 = 37 > 0$ ; $S = \frac{3}{7}$ , $P = - \frac{1}{7}$ .

4. $S = 11 - 4 = 7$ și $P = 11 \cdot (- 4) = - 44$ , deci ecuația este $x^{2} - 7 x - 44 = 0$ . Proba: $Δ = 49 + 176 = 225$ , iar rădăcinile sunt $\frac{7 + 15}{2} = 11$ și $\frac{7 - 15}{2} = - 4$ .

5. $S = \frac{2}{5} - 3 = - \frac{13}{5}$ și $P = - \frac{6}{5}$ . Ecuația $x^{2} + \frac{13}{5} x - \frac{6}{5} = 0$ , înmulțită cu $5$ , devine $5 x^{2} + 13 x - 6 = 0$ . Proba: $Δ = 169 + 120 = 289$ , iar rădăcinile sunt $\frac{- 13 + 17}{10} = \frac{2}{5}$ și $\frac{- 13 - 17}{10} = - 3$ .

6. $S = 10$ și $P = (5 + 2) (5 - 2) = 25 - 2 = 23$ , deci $x^{2} - 10 x + 23 = 0$ . Coeficienții sunt numere întregi, deși rădăcinile sunt iraționale: radicalii se anulează la sumă și dispar la produs.

7. $Δ = 81 - 20 = 61 > 0$ ; $S = 9$ , $P = 5$ . a) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 81 - 10 = 71$ . b) $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{9}{5}$ . c) $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = P + S + 1 = 5 + 9 + 1 = 15$ .

8. $Δ = 9 + 36 = 45 > 0$ ; $S = 3$ , $P = - 9$ . $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P = 9 + 36 = 45$ , deci $∣ x_{1} - x_{2} ∣ = 45 = 35$ .

9. Fals. Contraexemplu: $3 x^{2} - 8 x - 11 = 0$ are $P = - \frac{11}{3} < 0$ , dar $S = \frac{8}{3} > 0$ ; rădăcinile sunt $\frac{11}{3}$ și $- 1$ . Produsul negativ spune doar că semnele sunt contrare; suma are semnul rădăcinii cu valoarea absolută mai mare.

10. Media rădăcinilor este $5$ , deci $S = 10$ și $b = - 10$ ; produsul dă $c = - 11$ . Ecuația $x^{2} - 10 x - 11 = 0$ are $Δ = 100 + 44 = 144$ , deci rădăcinile $\frac{10 + 12}{2} = 11$ și $\frac{10 - 12}{2} = - 1$ , simetrice față de $5$ .

11. Ecuația $- 0, 02 T^{2} + 2 T + 40 = 85, 5$ are rădăcinile $T_{1}$ și $T_{2}$ , cu suma $T_{1} + T_{2} = - \frac{2}{- 0 , 02} = 100$ . Cum $T_{1} = 35$ , rezultă $T_{2} = 65$ , deci tot $85, 5$ % se obține la $6 5^{\circ} C$ . Randamentul maxim este la mijlocul celor două temperaturi, $\frac{35 + 65}{2} = 50$ , adică la $5 0^{\circ} C$ , unde $η (50) = - 50 + 100 + 40 = 90$ %. Ambele temperaturi sunt în intervalul de valabilitate.

12. $Δ = 9 + 28 = 37 > 0$ ; $x_{1} + x_{2} = 3$ și $x_{1} x_{2} = - 7$ , deci $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = 3 + 7 = 10$ .

13. Din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} = m + 3$ și $x_{1} x_{2} = 2 m + 1$ , deci $x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = 2 m + 1 - 2 m - 6 = - 5$ , oricare ar fi $m$ . Soluțiile reale există pentru orice $m$ : $Δ = (m + 3)^{2} - 4 (2 m + 1) = m^{2} - 2 m + 5 = (m - 1)^{2} + 4 > 0$ .

14. $Δ = 25 + 32 = 57 > 0$ ; $x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}$ și $x_{1} x_{2} = - \frac{4}{2} = - 2$ , deci $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{5}{2} : (- 2) = - \frac{5}{4}$ .

15. $S = m - 1$ și $P = m + 5$ , iar $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2} = P S = (m - 1) (m + 5)$ . Condiția dă $m^{2} + 4 m - 5 = 7$ , adică $m^{2} + 4 m - 12 = 0$ , cu soluțiile $m = 2$ și $m = - 6$ . Pentru $m = 2$ ecuația este $x^{2} - x + 7 = 0$ , cu $Δ = 1 - 28 = - 27 < 0$ : nu are rădăcini reale, deci valoarea se respinge. Pentru $m = - 6$ ecuația este $x^{2} + 7 x - 1 = 0$ , cu $Δ = 49 + 4 = 53 > 0$ , iar $P S = (- 1) \cdot (- 7) = 7$ . Răspuns: $m = - 6$ .

16. a) $P = \frac{- 24}{2} = - 12 < 0$ : rădăcini reale de semne contrare. b) $Δ = 100 - 40 = 60 > 0$ , $P = 10 > 0$ , $S = - 10 < 0$ : ambele rădăcini negative. c) $Δ = 196 - 132 = 64 > 0$ , $P = \frac{11}{3} > 0$ , $S = \frac{14}{3} > 0$ : ambele rădăcini pozitive.

17. $Δ = 1764 - 1764 = 0$ , $S = \frac{42}{49} = \frac{6}{7}$ și $P = \frac{9}{49}$ . Rădăcinile sunt egale, deci fiecare este jumătate din sumă: $x_{1} = x_{2} = \frac{3}{7}$ . Verificare: $\frac{3}{7} + \frac{3}{7} = \frac{6}{7}$ și $\frac{3}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{49}$ .

18. Notăm rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2} = 3 x_{1}$ . Suma dă $x_{1} + 3 x_{1} = 28$ , deci $x_{1} = 7$ și $x_{2} = 21$ . Produsul dă $m = 7 \cdot 21 = 147$ . Proba existenței: pentru $m = 147$ , $Δ = 784 - 588 = 196 > 0$ , iar rădăcinile $\frac{28 \pm 14}{2}$ sunt chiar $21$ și $7$ .

De reținut

Pentru $a x^{2} + b x + c = 0$ cu $a \neq = 0$ și $Δ \geq 0$ : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ și $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Întâi discriminantul, apoi relațiile: fără rădăcini reale, fracțiile nu sunt suma și produsul a nimic.
O expresie simetrică în rădăcini se rescrie cu $S$ și $P$ , de exemplu $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ și $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{S}{P}$ .
Media rădăcinilor este abscisa vârfului parabolei, iar ecuația cu rădăcinile date este $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0$ .
Produsul negativ înseamnă rădăcini reale de semne contrare; o valoare a parametrului se păstrează doar după proba $Δ \geq 0$ .

Greșeli frecvente

Confunzi termenul liber cu produsul rădăcinilor. Pe grafic, $f (0) = c$ , dar produsul este $\frac{c}{a}$ . Cele două coincid numai când coeficientul dominant este $1$ ; împarte mereu la $a$ .
Generalizezi $(x_{1} - x_{2})^{2} = Δ$ la orice ecuație. Egalitatea e adevărată numai când coeficientul dominant este $1$ . În general $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P = \frac{b ^{2} - 4 a c}{a ^{2}} = \frac{Δ}{a ^{2}}$ , deci pentru $a = 3$ pătratul diferenței este a noua parte din discriminant.
Calculezi $x_{1} - x_{2}$ ca și cum ar fi simetrică. Din $S$ și $P$ obții numai $(x_{1} - x_{2})^{2}$ ; valoarea lui $x_{1} - x_{2}$ depinde de numerotarea rădăcinilor, deci răspunsul corect este cu modul sau cu ambele semne.
Iei drept inexistentă rădăcina care nu încape în fereastra graficului. Un desen arată doar o porțiune din parabolă. Dacă vezi o singură intersecție cu axa $O x$ , dar discriminantul e pozitiv, a doua rădăcină există; o afli din sumă sau din produs, nu din desen.
Iei axa parabolei egală cu suma rădăcinilor. Pentru rădăcinile $- 1$ și $7$ scrii „axa $x = 6$ ”. Axa trece prin mijlocul rădăcinilor, deci abscisa ei este media lor: $\frac{- 1 + 7}{2} = 3$ . Suma este dublul abscisei vârfului, nu abscisa însăși.

Aplică acasă

Timpul tău de reacție. Cere unui coleg să lase să cadă o riglă pe care o prinzi între degete; din distanța $d$ parcursă de riglă, timpul de reacție este aproximativ $\frac{d}{5}$ secunde, cu $d$ în metri. Pune timpul tău în locul secundei din modelul frânării din Exemplul 5, scrie ecuația pentru o distanță de oprire aleasă de tine, rezolv-o și verifică rădăcinile cu relațiile lui Viète.
Axa din două măsurători. Într-o aplicație de reprezentare grafică, trasează o parabolă cu ramurile în jos și citește două puncte de pe ea aflate la aceeași înălțime. Media absciselor lor ar trebui să fie abscisa vârfului; compar-o cu $- \frac{b}{2 a}$ calculat din formulă.
Deschiderea unei arcade. Fotografiază o arcadă sau un pod în formă de arc și așază imaginea pe o foaie cu caroiaj. Alege axele astfel încât picioarele arcului să fie pe axa $O x$ și citește-le abscisele. Scrie ecuația de gradul al doilea care are ca rădăcini aceste două abscise, apoi verifică, prin sumă, că vârful arcului stă deasupra mijlocului deschiderii.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă formula rădăcinilor dintr-un rezultat final într-un instrument de control. Elevul de la științe ale naturii întâlnește ecuații de gradul al doilea în fizică și în chimie, adesea cu coeficienți zecimali, iar proba prin sumă și produs îi arată repede dacă un calcul este de încredere. Cereți-i, la fiecare exercițiu, primul rând cu discriminantul și concluzia despre existență: este locul unde se face cea mai gravă greșeală de raționament, nu de calcul.

Întrebări de control utile: „Ce reprezintă pe grafic media rădăcinilor?”; „De ce produsul negativ garantează rădăcini reale?”; „Când este termenul liber egal cu produsul rădăcinilor?”; „Ce faci cu o valoare a parametrului care dă discriminant negativ?”. Semn că elevul a înțeles: scrie expresia cerută cu $S$ și $P$ înainte să înlocuiască numerele și spune, într-un model din științe, care rădăcină are sens.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a IX-a, în capitolul „Funcția de gradul al II-lea”, „relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma $x + y = s$ , $x y = p$ ”, în timp ce programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu conține relațiile lui Viète la nicio clasă. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, o cerință de la Subiectul al II-lea se rezolvă cu relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea, materie de clasa a XII-a; modelul nu are o cerință cu relațiile lui Viète pentru o ecuație de gradul al doilea. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține relațiile lui Viète; ecuația de gradul al doilea apare acolo în domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: relațiile lui Viète și aplicațiile lor merge mai departe, cu discuția semnelor după parametru și cu recurențe pentru puteri. Pe traseul M2, lecția următoare este sistemele cu ecuații de gradul al doilea la M2, unde relațiile se folosesc în sens invers, iar recapitularea unității se face cu testul M2 de supliment pentru gradul I, gradul al doilea și șiruri. Relațiile pentru polinoame de grad mai mare apar în relațiile lui Viète la clasa a XII-a M2.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 față de lecția de mate-info (M1) despre relațiile lui Viète? Aici relațiile sunt folosite ca probă a unui calcul, ca legătură cu axa parabolei și în modele din fizică și chimie, cu rădăcini care au sau nu sens fizic. Lecția de mate-info (M1) merge mai departe, cu discuția semnelor rădăcinilor în funcție de un parametru și cu formule de recurență pentru puterile rădăcinilor, care nu sunt cerute la profilul științe ale naturii.

La ce subiect pot apărea relațiile lui Viète la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 le cere explicit, alături de sistemele de forma $x + y = s$ , $x y = p$ . În modelul oficial publicat pentru 2026, o cerință de la Subiectul al II-lea se rezolvă cu ele, pentru un polinom de gradul al treilea; pentru ecuația de gradul al doilea modelul nu are o cerință. Exersează deci atât calculul cu sumă și produs, cât și redactarea completă, cu proba existenței.

Ce fac cu o expresie care nu este simetrică în rădăcini? Verifici întâi dacă devine simetrică după ce desfaci parantezele, ca $(x_{1} + k) (x_{2} + k)$ . Dacă nu devine, ca $x_{1} - x_{2}$ sau $2 x_{1} + x_{2}$ , suma și produsul nu ajung: valoarea depinde de care rădăcină e numită $x_{1}$ . Pentru $x_{1} - x_{2}$ afli doar pătratul, deci modulul; pentru celelalte ai nevoie de rădăcini. În redactare scrii explicit ce ai obținut: modulul, nu valoarea cu semn.

De ce produsul rădăcinilor nu este întotdeauna valoarea funcției în zero? Pentru că $f (0)$ este termenul liber $c$ , iar produsul este $c$ împărțit la coeficientul dominant. Dacă ecuația are $a = 1$ , cele două coincid. Pentru o parabolă cu $a = \frac{1}{2}$ , produsul este dublul lui $f (0)$ , iar pentru $a = 3$ este o treime din el. Citește coeficientul dominant înainte de a interpreta graficul.

Cum aflu a doua rădăcină dacă o știu pe prima? Ai două drumuri. Din sumă, scazi rădăcina cunoscută din $- \frac{b}{a}$ . Din produs, împarți $\frac{c}{a}$ la rădăcina cunoscută, dacă aceasta nu este zero. E bine să faci unul dintre calcule și să folosești celălalt ca probă. Pe grafic, a doua rădăcină este simetrica primei față de axa parabolei.

Ce devin suma și produsul când rădăcina e dublă? Relațiile rămân valabile, cu $x_{1} = x_{2}$ : suma este dublul rădăcinii, iar produsul este pătratul ei. De aceea, când $Δ = 0$ , rădăcina se citește direct ca jumătate din sumă, $- \frac{b}{2 a}$ , adică abscisa vârfului, care stă chiar pe axa $O x$ . Produsul servește atunci drept probă: trebuie să iasă pătratul acestei valori.