Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Coordonate: distanța și mijlocul

Cum verific că stâlpul e pe traseul cablului?

Aduni distanțele de la stâlp la cele două capete: dacă suma e chiar lungimea cablului, stâlpul stă pe traseu. Dacă suma iese mai mare, stâlpul e în afara lui. Exemplu: pentru $T (2; 1)$ , $M (14; 10)$ și $S (6; 4)$ ai $T S = 5$ m, $S M = 10$ m și $T M = 15$ m, iar $5 + 10 = 15$ . Proba: stâlpul $P (7; 4)$ dă $P T + P M \approx 5, 83 + 9, 22 = 15, 05 > 15$ , deci nu e pe traseu.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un reper cartezian are două axe perpendiculare, cu aceeași unitate pe ambele și cu originea într-un punct fix. Fiecare punct primește o adresă $(x; y)$ : întâi poziția pe orizontală, apoi pe verticală. Pe un plan de lucru reperul se așază de obicei într-un colț, ca vârfurile construcției să aibă coordonate simple.

Pentru lungimea dintre două puncte scazi coordonatele de același fel, ridici fiecare diferență la pătrat, faci suma pătratelor și iei radicalul ei: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Pentru locul de la jumătatea drumului faci media absciselor și, separat, media ordonatelor: $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ . Dacă ți se dau mijlocul și un capăt, dublezi coordonata mijlocului și scazi coordonata capătului cunoscut.

Trei greșeli se repetă: abscisa amestecată cu ordonata la scădere, minusul pierdut când o coordonată e negativă și diferențele adunate în loc să fie ridicate la pătrat, ceea ce dă un drum în formă de L, nu linia directă. Rădăcina se păstrează cât se poate, iar numai rezultatul final se rotunjește, în sus atunci când comanzi material.

Controlul rapid: rezultatul trebuie să încapă între deplasarea cea mai lungă și suma celor două deplasări. Un mijloc corect se află la distanțe egale de ambele capete. La final scrii unitatea planului, de pildă metri.

De reținut

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
un punct $P$ stă pe segmentul $A B$ exact când $A P + P B = A B$
drumul printr-un punct din afara segmentului e mai lung decât $A B$

Greșeala tipică

Se verifică doar că stâlpul e între capete pe fiecare axă: punctul $P (7; 4)$ are coordonatele între cele ale lui $T (2; 1)$ și $M (14; 10)$ , dar nu e pe traseu. Corect se compară suma $P T + P M \approx 15, 05$ m cu $T M = 15$ m.

Exerciții din această mini-lecție

Pe planul unui salon de coafură, cu unitatea de $1$ m, originea este la stâlpul din mijlocul sălii. Chiuveta este în $C (- 4; 3)$ , iar scaunul de coafat în $S (5; - 2)$ . Care sunt deplasările $(Δ x; Δ y)$ de la chiuvetă la scaun?
- a) $(1; - 5)$
- b) $(9; - 5)$
- c) $(- 9; 5)$
- d) $(1; 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(9; - 5)$

Pe fiecare axă scazi coordonata de plecare din cea de sosire: $Δ x = 5 - (- 4) = 9$ și $Δ y = - 2 - 3 = - 5$ , deci deplasările sunt $(9; - 5)$ . Perechea $(1; - 5)$ vine din abscisa citită ca $4$ , fără minus, iar $(- 9; 5)$ din scăderea în ordine inversă. Perechea $(1; 1)$ adună coordonatele în loc să le scadă.
Într-o hală frigorifică, pe planul de lucru cu unitatea de $1$ m, ușa de intrare este în $A (- 13, 5; 6)$ , iar ușa de la rampă în $B (8, 5; 20)$ . Lampa de dezinfecție se montează la mijlocul segmentului $A B$ . Care sunt coordonatele ei?
- a) $(- 5; 26)$
- b) $(11; 7)$
- c) $(- 2, 5; 26)$
- d) $(- 2, 5; 13)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(- 2, 5; 13)$

Mijlocul are pe fiecare axă media capetelor: $x = \frac{- 13 , 5 + 8 , 5}{2} = - 2, 5$ și $y = \frac{6 + 20}{2} = 13$ . Perechea $(- 5; 26)$ lasă sumele neîmpărțite, iar $(- 2, 5; 26)$ împarte la $2$ doar abscisa. Perechea $(11; 7)$ înjumătățește diferențele, adică lungimile deplasărilor, nu poziția mijlocului.
Pe planul unei stațiuni, cu unitatea de $1$ m, cabana este în $C (- 14; 9)$ , iar punctul de belvedere în $P (21; - 3)$ . Între ele se întinde în linie dreaptă un cablu de siguranță. Ce lungime are cablul?
- a) $37$ m
- b) $47$ m
- c) $1369$ m
- d) $193$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $37$ m

Deplasările sunt $21 - (- 14) = 35$ și $- 3 - 9 = - 12$ , deci cablul are $3 5^{2} + 1 2^{2} = 1369 = 37$ m. Varianta $47$ m adună deplasările, $35 + 12$ , iar $1369$ m uită rădăcina. Varianta $193$ m citește abscisa cabanei ca $14$ , fără minus, și scade $21 - 14 = 7$ .

Întrebări conexe

Cum scad coordonatele când una este negativă?

Scazi cu tot cu semn și pui numărul negativ în paranteză. Pentru abscisele $- 6$ și $9$ , deplasarea este $9 - (- 6) = 15$ , nu $9 - 6 = 3$ . Pierderea minusului scurtează deplasarea, iar cablul calculat iese prea scurt.

Cum aflu care punct e cel mai aproape de tablou?

Calculezi distanța de la tablou la fiecare punct sau doar pătratul ei, apoi o alegi pe cea mai mică. Pentru tabloul $T (5; 7)$ și punctele $A (14; 20)$ , $B (- 10; 11)$ și $C (16; - 3)$ , pătratele distanțelor sunt $250$ , $241$ și $221$ , deci cel mai aproape este $C$ .

Cât cablu în plus cere un stâlp pus lângă traseu?

Scazi lungimea liniei directe din drumul care trece prin stâlp. Pentru $T (1; 3)$ și $M (13; 12)$ linia directă are $15$ m, iar prin stâlpul $Q (3; 8)$ drumul are $29 + 116 \approx 5, 39 + 10, 77 = 16, 16$ m, adică circa $1, 16$ m de cablu în plus.

Merge formula distanței cu coordonate zecimale?

Da: scazi, ridici la pătrat și aduni la fel, cu grijă la virgulă. Pentru $A (- 2, 5; 1, 5)$ și $B (3, 5; 9, 5)$ deplasările sunt $6$ și $8$ , deci $A B = 36 + 64 = 10$ m. Coordonatele zecimale apar des pe planuri, de pildă la punctul aflat la mijlocul unui segment.

Cum apare reperul cartezian în probele oficiale?

Reperul cartezian a apărut în 80 de probe M_tehnologic din 2013–2026. Cerințele dau puncte prin coordonate și cer, de exemplu, lungimea unui segment, mijlocul lui, capătul care lipsește sau o proprietate a unui triunghi.

Oamenii mai întreabă și: punct pe segment verificat cu distanțe · stâlpul este pe linia cablului · suma distanțelor egală cu lungimea segmentului · cum verific că un punct stă între alte două