Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Pe un șantier, fiecare punct are o adresă din două numere: câți metri e spre est și câți spre nord față de un reper fix. Cu ele calculezi cât cablu comanzi între două puncte și unde bați stâlpul de la jumătatea traseului. Lecția îți arată calculul pe planul unui șantier, la clasa a IX-a de la liceul tehnologic. Același calcul apare și la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic): în 80 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 există o cerință care se rezolvă cu el.

Situația de pornire

Șeful de șantier pregătește planul de lucru pentru fundația unei hale de depozitare. Ca reper alege colțul sud-vestic al terenului, punctul $O$ : axa $O x$ merge spre est, pe gardul dinspre stradă, iar axa $O y$ merge spre nord, pe gardul lateral. O unitate de pe fiecare axă înseamnă un metru. Cu stația totală, topografii au marcat pe teren trei puncte, iar coordonatele lor sunt trecute în tabel.

Punct	Ce marchează	Abscisa $x$ (m)	Ordonata $y$ (m)
G	poarta de acces	9	0
T	tabloul electric de șantier	13	7
M	baza macaralei turn	46	63

Macaraua se alimentează de la tablou printr-un cablu întins direct, fără ocolișuri. Responsabilul cu aprovizionarea comandă cablul după lungimea traseului, la care electricianul adaugă apoi rezerva pentru racorduri, iar stâlpul de sprijin se montează chiar la jumătatea traseului.

Întrebare: cât măsoară cablul de la tablou la macara și care sunt coordonatele punctului în care se montează stâlpul de la jumătatea traseului?

De la situație la model

Tabelul din situație e deja o scriere matematică, dar fiecare cuvânt de pe șantier are și un nume în matematică.

În situație	În matematică
colțul sud-vestic al terenului, de la care se măsoară tot	originea $O (0; 0)$
gardul dinspre stradă și gardul lateral	axa $O x$ (abscisele) și axa $O y$ (ordonatele)
adresa unui punct al planului, în metri	perechea de coordonate $(x; y)$ : întâi spre est, apoi spre nord
cablul întins direct de la tablou la macara	segmentul $T M$ , a cărui lungime e distanța $T M$
stâlpul de la jumătatea traseului	mijlocul segmentului $T M$

Un reper cartezian înseamnă două axe perpendiculare care se taie într-un punct $O$ , numit originea reperului, și aceeași unitate de măsură pe amândouă. Poziția unui punct $P$ se scrie ca perechea de coordonate $(x_{P}; y_{P})$ : abscisa se citește pe $O x$ , ordonata pe $O y$ .

Cum citești adresa unui punct pe plan?

Pornești din origine, mergi pe orizontală cât spune abscisa (spre est dacă e pozitivă, spre vest dacă e negativă), apoi pe verticală cât spune ordonata (spre nord dacă e pozitivă, spre sud dacă e negativă). Ordinea contează: perechea $(9; 0)$ e poarta, iar $(0; 9)$ ar fi un punct de pe gardul lateral. Poarta are ordonata 0, deci stă pe axa $O x$ ; orice punct de pe $O y$ are abscisa 0. Un punct cu o coordonată negativă cade în afara terenului nostru, la vest sau la sud de reper.

De unde vine distanța dintre două puncte?

Ia poarta $G (9; 0)$ și tabloul $T (13; 7)$ . De la $G$ la $T$ mergi 4 m spre est și 7 m spre nord. Cele două deplasări sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar linia directă dintre puncte este ipotenuza lui, deci teorema lui Pitagora dă $G T^{2} = 4^{2} + 7^{2} = 65$ și $GT = 65 \approx 8, 06$ m. În general, pentru două puncte $A (x_{A}; y_{A})$ și $B (x_{B}; y_{B})$ , deplasările sunt $x_{B} - x_{A}$ și $y_{B} - y_{A}$ , iar

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

Fiecare coordonată se scade din coordonata de același fel, nu abscisa din ordonată. Ordinea punctelor nu contează, pentru că pătratul șterge semnul. Când două puncte au aceeași abscisă sau aceeași ordonată, una dintre diferențe e zero, iar distanța este chiar cealaltă diferență, cu numărul mai mic scăzut din cel mai mare.

Cum afli mijlocul unui segment?

Mijlocul e la jumătatea drumului pe fiecare axă, deci fiecare coordonată a lui este media coordonatelor capetelor:

$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$

La segmentul $GT$ de mai sus, abscisa mijlocului este $\frac{9 + 13}{2} = 11$ , iar ordonata este $\frac{0 + 7}{2} = 3, 5$ . Mijlocul poate avea coordonate zecimale, chiar dacă punctele-capăt au coordonate întregi.

De ce contează unde pui reperul?

Coordonatele depind de reper, distanțele nu. Dacă muți originea în alt colț, adresele tuturor punctelor se schimbă, dar cablul rămâne tot cât era. De aceea reperul se alege așa încât să ușureze calculul. Pentru o fundație dreptunghiulară de $a$ metri pe $b$ metri, cu originea într-un colț și axele pe laturi, vârfurile sunt $(0; 0)$ , $(a; 0)$ , $(a; b)$ și $(0; b)$ , iar trei dintre ele au cel puțin o coordonată egală cu zero.

Ce fel de triunghi formează trei puncte?

Calculezi cele trei laturi din coordonate. Dacă două sunt egale, triunghiul e isoscel. Dacă latura cea mai lungă $c$ verifică $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , unde $a$ și $b$ sunt celelalte două laturi, unghiul opus ei e drept: așa se verifică, fără raportor, un colț de fundație. Perimetrul este suma celor trei laturi.

Metoda pas cu pas

Scrie fiecare punct ca pereche $(x; y)$ , cu abscisa întâi, și notează unitatea (aici, metri). Dacă reperul nu e dat, alege-l tu, cu originea într-un colț al figurii.
Pentru o lungime, scade coordonatele de același fel, în aceeași ordine: $x_{B} - x_{A}$ și $y_{B} - y_{A}$ . Ridică fiecare diferență la pătrat, adună rezultatele și extrage rădăcina pătrată. Dacă punctele au aceeași abscisă sau aceeași ordonată, lungimea e diferența celorlalte coordonate, cu numărul mai mic scăzut din cel mai mare.
Pentru un mijloc, fă media absciselor și, separat, media ordonatelor. Dacă știi mijlocul și un capăt, afli celălalt capăt înmulțind cu 2 coordonata mijlocului și scăzând coordonata capătului cunoscut.
Pentru o figură, calculează laturile cerute: două laturi egale înseamnă triunghi isoscel, iar $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ înseamnă unghi drept între celelalte două laturi. Păstrează rădăcinile până la sfârșit; rotunjește numai rezultatul final.
Verifică: o distanță directă nu poate fi mai mică decât cea mai mare dintre cele două diferențe de coordonate, luate fără semn, și nici mai mare decât suma lor; la un mijloc, distanțele de la el la cele două capete trebuie să fie egale; scrie unitatea, m pentru o lungime.

Pașii rămân aceiași când enunțul vine fără poveste, cu litere în loc de tablou și macara; schimbă doar cuvintele din pasul 1, adică ce înseamnă punctele și în ce unitate sunt coordonatele. Când două puncte se leagă printr-o dreaptă, urmează panta unei drepte și ecuația dreptei. Coordonatele punctelor de pe un grafic le citești ca în lecția despre citirea graficului. Restul lecțiilor clasei le găsești în traseul clasei a IX-a pentru tehnologic.

Fișa de buzunar

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

$M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$

$A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} \Rightarrow unghi drept \overset{ı}{ˆ} n B$

Se aplică numai când cele două axe au aceeași unitate de măsură, iar coordonatele de același fel se scad între ele. Verificare rapidă: distanțele de la mijloc la capete sunt egale, iar $A B$ nu e mai mică decât cea mai mare diferență de coordonate.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cablul de la tablou la macara

Domeniu: constructii.

Enunț. Reluăm șantierul din situația de pornire: tabloul $T (13; 7)$ și baza macaralei $M (46; 63)$ , cu coordonatele în metri. Cablul se comandă pe metru, după lungimea traseului (rezerva pentru racorduri se adaugă separat), iar stâlpul de sprijin trebuie bătut la jumătatea traseului. Calculați lungimea cablului întins direct de la $T$ la $M$ și determinați coordonatele punctului $S$ în care se montează stâlpul.

Rezolvare. Scădem coordonatele de același fel, în aceeași ordine pentru ambele axe: diferențele sunt $46 - 13 = 33$ și $63 - 7 = 56$ . Deplasările sunt catetele, iar cablul e ipotenuza. Atunci

$T M = 3 3^{2} + 5 6^{2} = 1089 + 3136 = 4225 = 65$

Cablul măsoară 65 m. Pentru mijloc, $x_{S} = \frac{13 + 46}{2} = 29, 5$ și $y_{S} = \frac{7 + 63}{2} = 35$ , deci stâlpul se montează în $S (29, 5; 35)$ .

Capcană. Cine adună diferențele, $33 + 56 = 89$ , comandă 89 m. Numărul ar fi lungimea unui traseu care merge întâi 33 m spre est și apoi 56 m spre nord, nu a cablului direct; cumpărătorul ar plăti 24 m de cablu în plus.

Verificare. Controlăm că stâlpul e într-adevăr la mijloc. Distanțele de la el la capete sunt egale: $T S = 16, 5^{2} + 2 8^{2} = 1056, 25 = 32, 5$ m și $S M = 16, 5^{2} + 2 8^{2} = 32, 5$ m. Împreună dau $65$ m, ca mai sus.

Exemplul 2 — Cămine de canalizare, cu limita de 55 m

Domeniu: mediu.

Enunț. Proiectul unei canalizări pluviale are, într-un reper local cu unitatea de un metru, căminele de vizitare $C_{1} (- 18; 14)$ și $C_{2} (30; 46)$ . Proiectantul trebuie să verifice fiecare tronson înainte de a preda desenele, iar caietul de sarcini cere cel mult 55 m între două cămine consecutive (valoare din exemplu). a) Calculați lungimea tronsonului $C_{1} C_{2}$ , în formă exactă și rotunjită la zecimi de metru. b) Spuneți dacă tronsonul respectă limita, fără să folosiți valoarea rotunjită. c) Determinați coordonatele punctului $D$ în care se poate monta un cămin intermediar, la mijlocul tronsonului.

Rezolvare. a) Scădem coordonatele de același fel, cu tot cu semn: diferențele sunt $30 - (- 18) = 48$ și $46 - 14 = 32$ .

$C_{1} C_{2} = 4 8^{2} + 3 2^{2} = 2304 + 1024 = 3328 = 1613 \approx 57, 7$

Scoaterea factorului de sub radical: $3328 = 256 \cdot 13$ și $256 = 16$ . b) Ca să nu ne bazăm pe o valoare rotunjită, comparăm pătratele, ambele pozitive: $3328 > 5 5^{2} = 3025$ , deci tronsonul depășește 55 m și nu respectă limita. c) $D (\frac{- 18 + 30}{2}; \frac{14 + 46}{2}) = D (6; 30)$ . Fiecare jumătate măsoară $813 \approx 28, 8$ m, sub limită.

Capcană. Cine scrie $30 - 18 = 12$ în loc de $30 - (- 18) = 48$ pierde minusul abscisei lui $C_{1}$ și obține $1 2^{2} + 3 2^{2} = 1168 \approx 34, 2$ m. Cu valoarea aceasta tronsonul ar părea în limită, deși cel real depășește 55 m.

Verificare. De la $C_{1}$ la $D$ : $2 4^{2} + 1 6^{2} = 832 = 813$ . De la $D$ la $C_{2}$ : $(30 - 6)^{2} + (46 - 30)^{2} = 832$ . Cele două jumătăți sunt egale, iar fiecare e jumătate din $1613$ .

Exemplul 3 — Țeava de apă a unei ferme, cumpărată în colaci

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Pe planul unei ferme de vaci, cu originea în colțul sud-vestic al grajdului și coordonatele în metri, fântâna e în $F (- 7, 5; 4)$ , iar adăpătoarea noului padoc în $A (28, 5; 19)$ . Țeava de polietilenă se pune în linie dreaptă, într-un șanț săpat sub adâncimea de îngheț, iar la fiecare capăt mai trebuie câte 1,2 m de țeavă, care coboară în șanț și urcă până la racord. Țeava se vinde numai în colaci de 25 m, cu 139 lei colacul, iar două bucăți se îmbină cu o mufă. Calculați lungimea șanțului, lungimea de țeavă necesară, numărul de colaci și costul lor.

Rezolvare. Scădem coordonatele de același fel, cu tot cu minusul abscisei lui $F$ : diferențele sunt $28, 5 - (- 7, 5) = 36$ și $19 - 4 = 15$ , deci

$F A = 3 6^{2} + 1 5^{2} = 1296 + 225 = 1521 = 39$

Șanțul are 39 m. Cu cele două capete, țeava are $39 + 2 \cdot 1, 2 = 41, 4$ m. Un colac are 25 m, iar $41, 4 : 25 = 1, 656$ ; o bucată de colac nu se cumpără, așa că rotunjim în sus, la 2 colaci. Costul este $2 \cdot 139 = 278$ lei, iar din al doilea colac rămân $50 - 41, 4 = 8, 6$ m de țeavă.

Capcană. Cine rotunjește 1,656 în jos, la un singur colac, cumpără 25 m de țeavă pentru o lucrare care cere 41,4 m: lipsesc 16,4 m, iar șanțul rămâne deschis până la a doua comandă.

Verificare. O lungime dreaptă stă între cea mai mare diferență și suma diferențelor: $36 < 39 < 51$ . Pentru colaci, $25 < 41, 4 \leq 50$ , deci un colac nu ajunge, iar doi ajung.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: triunghi isoscel, perimetru și mediană

Domeniu: auto.

Enunț. Cele trei cerințe păstrează forma de la Subiectul I, cu datele unei firme de logistică ce încearcă livrarea cu drona între trei depozite. Drona zboară în linie dreaptă, iar pe harta zonei, cu coordonatele în hectometri (1 hm = 100 m), depozitele sunt punctele $A (- 6; 17)$ , $B (3; 4)$ și $C (9; 12)$ din reperul cartezian $x O y$ . a) Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel. b) Calculați perimetrul triunghiului $A B C$ , adică lungimea unui zbor care trece prin cele trei depozite și revine în $A$ . c) Determinați lungimea medianei din vârful $A$ , adică zborul de la $A$ până la stația de încărcare aflată la mijlocul dintre $B$ și $C$ .

Rezolvare. Calculăm laturile pe rând, cu aceeași formulă. a) $A B = (3 + 6)^{2} + (4 - 17)^{2} = 81 + 169 = 250 = 510$ și $A C = (9 + 6)^{2} + (12 - 17)^{2} = 225 + 25 = 510$ , deci $A B = A C$ și triunghiul este isoscel, cu baza $B C$ . b) $B C = (9 - 3)^{2} + (12 - 4)^{2} = 36 + 64 = 10$ , deci perimetrul este $510 + 510 + 10 = 10 + 1010 \approx 41, 6$ hm, adică aproximativ 4,16 km. c) Mediana unește vârful cu mijlocul laturii opuse. Mijlocul bazei este $M (\frac{3 + 9}{2}; \frac{4 + 12}{2}) = M (6; 8)$ , iar mediana $A M = (6 + 6)^{2} + (8 - 17)^{2} = 225 = 15$ hm, adică 1,5 km.

Capcană. La perimetru nu aduna 10 cu $1010$ ca să scrii $2010$ : un număr întreg și un radical nu se adună. Rezultatul greșit, $2010 \approx 63, 2$ hm, e mult peste cel corect, de 41,6 hm.

Verificare. $M$ este mijlocul bazei, deci $A M$ e și înălțime. În triunghiul dreptunghic $A M B$ trebuie să avem $A M^{2} + M B^{2} = A B^{2}$ : $1 5^{2} + 5^{2} = 225 + 25 = 250$ , iar $A B^{2} = 250$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează distanța dintre punctele $A (- 7; 12)$ și $B (9; - 18)$ , cu coordonatele în metri.

2. Determină coordonatele mijlocului segmentului $P Q$ , unde $P (- 18; 7)$ și $Q (26; - 11)$ .

3. Punctele $C (- 9; 14)$ și $D (- 9; 51)$ au aceeași abscisă. Calculează $C D$ , în metri, fără să folosești radicalul, și spune de ce se poate.

4. Punctul $K$ e la 17 m spre vest și la 23 m spre nord față de reper, iar $L$ e la 31 m spre est și la 12 m spre nord. Scrie coordonatele lor și spune care dintre ele cade pe terenul din situația de pornire, adică în partea cu $x \geq 0$ și $y \geq 0$ .

Nivelul 2 — situații

5. Într-un magazin, camera de supraveghere $V (31; 27)$ vede până la 14 m (coordonate în metri pe planul sălii). Două rafturi au colțurile $R_{1} (40; 33)$ și $R_{2} (43; 37)$ . Care dintre ele e în raza camerei? Compară pătratele distanțelor cu $1 4^{2}$ .

6. Banda unui transportor leagă cuptorul $Q (8; 5)$ de zona de ambalare $Z (44; 32)$ (metri pe planul halei). Calculează lungimea benzii și coordonatele punctului în care se montează senzorul de la jumătatea ei.

7. Iluminatul de perimetru al unei curți are trei stâlpi, $S_{1} (- 12; 5)$ , $S_{2} (2; 5)$ și $S_{3} (- 7; 17)$ (metri), legați în buclă cu cablu: $S_{1} S_{2}$ , $S_{2} S_{3}$ , $S_{3} S_{1}$ . Calculează lungimea totală a cablului și costul lui, la 14,5 lei pe metru.

8. Atelierul unei firme de tâmplărie e un dreptunghi de 28 m pe 17 m. Alege un reper cu originea într-un colț și axele pe laturi, scrie coordonatele celor patru colțuri și ale stâlpului din centrul atelierului, apoi calculează distanța de la stâlp la fiecare colț. Ce observi?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Punctele $A (- 19; 24)$ și $B (9; - 21)$ sunt date în reperul cartezian $x O y$ . Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Într-un reper cartezian $x O y$ sunt date punctele $P (7; - 4)$ și $R (- 3; 9)$ . Punctul $R$ este mijlocul segmentului $P Q$ : determinați coordonatele punctului $Q$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Într-un reper cartezian $x O y$ sunt date punctele $A (- 1; 19)$ , $B (5; 2)$ și $C (17; 18)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este isoscel.

12. (Sinteză.) Colțurile unei fundații au, în metri, coordonatele $A (7; 5)$ , $B (31; 23)$ , $C (19; 39)$ și $D (- 5; 21)$ . Arată că diagonalele $A C$ și $B D$ au aceeași lungime și același mijloc, apoi calculează $A B$ și $B C$ .

Răspunsuri și verificări

1. $A B = (9 + 7)^{2} + (- 18 - 12)^{2} = 256 + 900 = 1156 = 34$ m. Verificare: $3 4^{2} = 1156$ , iar 34 e mai mare decât cea mai mare diferență, 30.

2. $M (\frac{- 18 + 26}{2}; \frac{7 - 11}{2}) = M (4; - 2)$ . Verificare: $M P = 2 2^{2} + 9^{2} = 565$ și $M Q = 2 2^{2} + 9^{2} = 565$ , deci egale.

3. Segmentul $C D$ e vertical, iar $C D = 51 - 14 = 37$ m: sub radical rămâne $0^{2} + 3 7^{2}$ , iar $3 7^{2} = 37$ . Verificare: formula completă dă $0 + 1369 = 37$ m.

4. $K (- 17; 23)$ și $L (31; 12)$ . Pe teren cade $L$ , care are ambele coordonate pozitive. Verificare: abscisa lui $K$ e negativă, deci $K$ stă la 17 m în vestul axei $O y$ , în afara terenului.

5. $V R_{1}^{2} = 9^{2} + 6^{2} = 117 < 196$ , deci $R_{1}$ e în raza camerei ( $117 \approx 10, 8$ m). $V R_{2}^{2} = 1 2^{2} + 1 0^{2} = 244 > 196$ , deci $R_{2}$ nu e ( $244 \approx 15, 6$ m). Verificare: $10, 8 < 14 < 15, 6$ .

6. $QZ = 3 6^{2} + 2 7^{2} = 2025 = 45$ m, iar senzorul e în $(\frac{8 + 44}{2}; \frac{5 + 32}{2}) = (26; 18, 5)$ . Verificare: de la senzor la cuptor, $1 8^{2} + 13, 5^{2} = 506, 25 = 22, 5$ m, jumătate din 45 m.

7. $S_{1} S_{2} = 14$ m, $S_{2} S_{3} = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ m și $S_{3} S_{1} = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ m, deci $14 + 15 + 13 = 42$ m de cablu, adică $42 \cdot 14, 5 = 609$ lei. Verificare: cea mai lungă latură, 15, e mai mică decât suma celorlalte două, $13 + 14$ , deci laturile pot forma un triunghi.

8. Colțurile sunt $(0; 0)$ , $(28; 0)$ , $(28; 17)$ , $(0; 17)$ , iar stâlpul e în $(14; 8, 5)$ . Distanța de la stâlp la fiecare colț este $1 4^{2} + 8, 5^{2} = 268, 25 \approx 16, 4$ m, aceeași la toate patru: centrul e mijlocul ambelor diagonale, iar diagonalele unui dreptunghi sunt egale. Verificare: diagonala are $2 8^{2} + 1 7^{2} = 1073 \approx 32, 8$ m, iar jumătatea ei e 16,4 m.

9. Diferențele sunt $9 - (- 19) = 28$ și $- 21 - 24 = - 45$ . $A B = 2 8^{2} + (- 45)^{2} = 784 + 2025 = 2809 = 53$ . Verificare: $5 3^{2} = 2809$ , iar 53 e mai mare decât 45, cea mai mare diferență.

10. Din $x_{R} = \frac{x _{P} + x _{Q}}{2}$ rezultă $x_{Q} = 2 x_{R} - x_{P} = 2 \cdot (- 3) - 7 = - 13$ . La fel, $y_{Q} = 2 y_{R} - y_{P} = 2 \cdot 9 - (- 4) = 22$ , deci $Q (- 13; 22)$ . Verificare: $\frac{7 + ( - 13 )}{2} = - 3$ și $\frac{- 4 + 22}{2} = 9$ , adică chiar coordonatele lui $R$ .

11. $A B^{2} = (5 + 1)^{2} + (2 - 19)^{2} = 36 + 289 = 325$ și $A C^{2} = (17 + 1)^{2} + (18 - 19)^{2} = 324 + 1 = 325$ . Deci $A B = A C = 513$ și triunghiul $A B C$ este isoscel, cu baza $B C$ . Verificare: $B C = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ , diferit de $513$ , deci baza e $B C$ și triunghiul nu e echilateral.

12. $A C = 1 2^{2} + 3 4^{2} = 1300$ și $B D = (- 36)^{2} + (- 2)^{2} = 1300$ , deci diagonalele au aceeași lungime; mijlocul lui $A C$ este $(13; 22)$ , la fel ca al lui $B D$ . $A B = 2 4^{2} + 1 8^{2} = 30$ m și $B C = (- 12)^{2} + 1 6^{2} = 20$ m. Verificare: $A B^{2} + B C^{2} = 900 + 400 = 1300 = A C^{2}$ , deci colțul din $B$ e drept.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), reperul cartezian cu distanța și mijlocul se cere la Subiectul I, cerința 5, care valorează 5 puncte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 80 de probe. Iată patru dintre ele, fiecare dintr-o altă probă și cu altă formă a cerinței:

Modelul din 2013, Subiectul I, exercițiul 5: se dau două puncte și se cer coordonatele mijlocului segmentului, deci pasul 3 din Metodă: baremul probei scrie formula mijlocului (1 punct), apoi abscisa (2 puncte) și ordonata (2 puncte).
Modelul din 2014, Subiectul I, exercițiul 5: se dau un capăt $P$ și mijlocul $R$ și se cere celălalt capăt $Q$ , deci pasul 3 din Metodă, citit invers: baremul scrie formula mijlocului (1 punct), apoi cele două coordonate ale lui $Q$ (câte 2 puncte).
August 2016, Subiectul I, exercițiul 5: se dau două puncte, câte unul pe fiecare axă, și se cere lungimea segmentului, deci pasul 2 din Metodă: baremul scrie $A B$ cu diferențele coordonatelor sub radical (3 puncte), apoi valoarea (2 puncte).
August 2023, Subiectul I, exercițiul 5: se dau trei puncte și se cere să arăți că triunghiul e isoscel, deci pasul 4 din Metodă: baremul dă o latură (2 puncte), apoi a doua latură, egală cu prima, și concluzia (3 puncte).

Programa de examen numește reperul cartezian la clasa a IX-a și distanța dintre două puncte la clasa a X-a. Mijlocul unui segment nu e numit în programa de examen, deși apare ca atare în două dintre cerințele de mai sus. Exercițiile 9–11 din lecție au aceste forme, cu alte numere.

Greșeli care costă puncte

Scazi coordonate de fel diferit, de pildă abscisa unui punct din ordonata altuia. → Cum o prinzi: scrie diferențele pe două rânduri, $x$ cu $x$ și $y$ cu $y$ , și verifică ordinea punctelor în fiecare.
Ridici la pătrat și te oprești, fără rădăcină. → Cum o prinzi: citește unitatea; 4 225 m² nu e o lungime, 65 m este.
Aduni diferențele în loc să le ridici la pătrat. → Cum o prinzi: când ambele diferențe sunt nenule, distanța directă iese mai mică decât suma lor; dacă îți iese chiar suma, ai adunat. La cablu, greșeala înseamnă metri comandați degeaba.
La mijloc scazi în loc să aduni sau împarți doar una dintre coordonate. → Cum o prinzi: distanțele de la punctul găsit la cele două capete trebuie să fie egale.
Scrii punctul invers, $(y; x)$ . → Cum o prinzi: citește „întâi spre est, apoi spre nord”; poarta $(9; 0)$ nu e $(0; 9)$ . La cerințele cu mijloc, o pereche întoarsă strică amândouă coordonatele.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, tema lecției (reper cartezian, distanță, mijloc) face parte din programa de examen doar în parte: reperul e numit la clasa a IX-a, distanța la a X-a, mijlocul nu e numit. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 80 de probe.

Întrebări frecvente

La ce distanță de gardul dinspre stradă stă baza macaralei?

Gardul dinspre stradă este chiar axa $O x$ , iar distanța de la un punct până la el, măsurată perpendicular pe gard, este ordonata punctului. Baza macaralei, $M (46; 63)$ , stă deci la 63 m de gard. Numărul $4 6^{2} + 6 3^{2} = 6085 \approx 78, 0$ m este altceva: distanța până la colțul $O$ al terenului.

Ce se întâmplă dacă tabloul e măsurat de la poartă, iar macaraua de la colțul terenului?

Coordonatele ar fi în repere diferite și nu s-ar mai putea scădea între ele. Față de poartă $G (9; 0)$ , tabloul are coordonatele $(4; 7)$ . Cu ele, diferențele ar fi $46 - 4 = 42$ și $63 - 7 = 56$ , iar cablul ar ieși $4 2^{2} + 5 6^{2} = 70$ m, în loc de 65 m. Toate punctele se măsoară de la același reper.

Ajunge brațul macaralei, de 55 m, până la poarta de acces?

Compari pătratele, fără radical. De la baza macaralei $M (46; 63)$ la poarta $G (9; 0)$ diferențele sunt 37 și 63, deci $M G^{2} = 1369 + 3969 = 5338$ , iar $5 5^{2} = 3025$ . Cum $5338 > 3025$ , brațul nu ajunge: poarta e la $5338 \approx 73, 1$ m de baza macaralei, deci camioanele trebuie descărcate mai aproape de ea.

Ce lungime de cablu comand dacă tabloul se mută cu un metru spre vest, în $T^{'} (12; 7)$ ?

Diferențele devin 34 și 56, deci $T^{'} M = 3 4^{2} + 5 6^{2} = 4292 \approx 65, 51$ m. Numărul nu e întreg, așa că rotunjești în sus, la 65,6 m: un cablu prea scurt nu ajunge. Păstrezi rădăcina până la sfârșit și rotunjești doar rezultatul final.

La Bacalaureatul M3, ce se cere din reperul cartezian?

În probele oficiale 2013–2026 o cerință cu reper, distanță sau mijloc a apărut în 80 din cele 83 de probe, de fiecare dată la Subiectul I, cerința 5, cu 5 puncte. Cerința poate fi o distanță, mijlocul unui segment, un capăt aflat din mijloc sau o proprietate a unui triunghi, adică formele din Metoda lecției.