Două benzi transportoare dintr-o fabrică de conserve pornesc din același punct, una de 29 m și alta de 44 m, iar între ele unghiul este de $$55^\circ$$. Care calcul dă lungimea culoarului drept care unește capetele benzilor?

$$\sqrt{29^2 + 44^2 - 2 \cdot 29 \cdot 44 \cdot \cos 55^\circ}$$

$$\dfrac{44 \cdot \sin 55^\circ}{29}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ce teoremă alegi la triunghi

Ce teoremă folosesc pentru unghiul de atac?

Niciuna dintre cele două teoreme: unghiul de atac apare într-un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept la sol. Înălțimea scutului față de sol este cateta opusă, iar distanța dintre roată și scut cateta alăturată. Pentru 0,26 m și 0,92 m, $tg α = \frac{0 , 26}{0 , 92} \approx 0, 2826$ , deci $α \approx 15, 8^{\circ}$ . Cu teorema cosinusului, pe laturile 0,26, 0,92 și 0,956 m, ai obține același unghi.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

La rezolvarea unui triunghi, teorema se alege după felul datelor, nu după aspectul desenului. Pui trei întrebări, în ordine. Există un unghi drept, dat sau ascuns în date? Atunci ajung Pitagora și raporturile $sin α = \frac{cateta opus a ˘}{ipotenuza}$ și $cos α = \frac{cateta al a ˘ turat a ˘}{ipotenuza}$ , fără nicio teoremă.

Ai o latură cu unghiul din fața ei, plus încă un unghi sau încă o latură? Scrii teorema sinusurilor, $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ . Ai toate trei laturile sau două laturi și unghiul dintre ele? Folosești teorema cosinusului, $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ , iar pentru un unghi $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .

Unghiul cel mai mare, singurul ce poate depăși $9 0^{\circ}$ , se determină cu cosinusul. Motivul este că un unghi și suplementul lui au același sinus, iar calculatorul arată numai valoarea ascuțită. Celelalte două unghiuri, ascuțite sigur, se pot afla apoi și cu sinusul. Pitagora se scrie doar când unghiul drept există cu adevărat: la altă măsură latura iese mai scurtă decât $a^{2} + b^{2}$ sau mai lungă, după cum unghiul e mai mic sau mai mare de $9 0^{\circ}$ .

Controlul rămâne același: latura cea mai lungă se opune unghiului celui mai mare, iar o valoare aflată cu o teoremă trebuie să iasă la fel și cu cealaltă. Păstrează cosinusul cu patru zecimale până la rotunjirea finală și treci toate laturile în aceeași unitate.

De reținut

unghi drept: Pitagora și raporturile, fără teoremă
latură cu unghiul din față: teorema sinusurilor
trei laturi sau două laturi cu unghiul dintre ele: teorema cosinusului

Greșeala tipică

Se scrie Pitagora pe un triunghi în care nu s-a verificat că există un unghi drept. Corect, întâi cauți unghiul drept în date; fără el latura iese mai scurtă sau mai lungă decât $a^{2} + b^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Două benzi transportoare dintr-o fabrică de conserve pornesc din același punct, una de 29 m și alta de 44 m, iar între ele unghiul este de $5 5^{\circ}$ . Care calcul dă lungimea culoarului drept care unește capetele benzilor?
- a) $2 9^{2} + 4 4^{2}$
- b) $2 9^{2} + 4 4^{2} - 2 \cdot 29 \cdot 44 \cdot cos 5 5^{\circ}$
- c) $\frac{44 \cdot sin 5 5 ^{\circ}}{29}$
- d) $29 + 44$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2 9^{2} + 4 4^{2} - 2 \cdot 29 \cdot 44 \cdot cos 5 5^{\circ}$

Ai două laturi și unghiul dintre ele, deci teorema cosinusului: culoarul are aproximativ 36,2 m, varianta b. Varianta a (52,7 m) este Pitagora, bună numai la unghi drept. Varianta c (1,24) scoate un raport din teorema sinusurilor, dar unghiul de $5 5^{\circ}$ nu stă în fața niciuneia dintre laturile date, iar rezultatul nici nu este o lungime. Varianta d (73 m) adună benzile, ca pentru un unghi de $18 0^{\circ}$ .
O rampă de acces de 6,4 m lungime face un unghi de $1 2^{\circ}$ cu orizontala ( $sin 1 2^{\circ} \approx 0, 2079$ ; $cos 1 2^{\circ} \approx 0, 9781$ ). Cu câți metri urcă rampa?
- a) 1,3 m
- b) 6,3 m
- c) 30,8 m
- d) 0,2 m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 1,3 m

Rampa este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, iar înălțimea este cateta opusă unghiului de $1 2^{\circ}$ : $6, 4 \cdot 0, 2079 \approx 1, 33$ , adică 1,3 m. Nu ai nevoie de nicio teoremă. Varianta 6,3 m ia cosinusul, adică cateta alăturată, iar 30,8 m împarte în loc să înmulțească. Varianta 0,2 m uită să înmulțească sinusul cu lungimea rampei.
O piesă triunghiulară de lemn are unghiurile de $4 5^{\circ}$ și de $3 0^{\circ}$ , iar latura din fața unghiului de $4 5^{\circ}$ măsoară 14 cm. Ce lungime are latura din fața unghiului de $3 0^{\circ}$ ?
- a) 19,8 cm
- b) 14,0 cm
- c) 17,1 cm
- d) 9,9 cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 9,9 cm

Ai o pereche completă și un unghi din fața laturii căutate, deci teorema sinusurilor: $x = \frac{14 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{14 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{2}} = 72 \approx 9, 9$ cm. Varianta 19,8 cm inversează raportul sinusurilor. Varianta 14,0 cm înlocuiește $sin 4 5^{\circ}$ cu $\frac{1}{2}$ , iar 17,1 cm folosește cosinusurile în loc de sinusuri.

Întrebări conexe

Cum aflu restul unghiurilor după ce am aflat cel mare?

După unghiul obtuz, celelalte două sunt ascuțite sigur, deci sinusul nu mai are două soluții. Pentru laturile 20, 29 și 43 cm, unghiul mare are $121, 6^{\circ}$ , iar $sin A = \frac{20 \cdot sin 121 , 6 ^{\circ}}{43} \approx 0, 3961$ dă $A \approx 23, 3^{\circ}$ . Al treilea unghi este $18 0^{\circ} - 121, 6^{\circ} - 23, 3^{\circ} = 35, 1^{\circ}$ .

Cu cât greșesc dacă pun Pitagora la un unghi care nu e drept?

Greșeala depinde de unghi: la mai puțin de $9 0^{\circ}$ lungimea reală iese mai mică, la mai mult iese mai mare. Cu laturile de 35 m și 48 m și unghiul de $7 2^{\circ}$ , Pitagora dă $3 5^{2} + 4 8^{2} \approx 59, 4$ m, iar teorema cosinusului dă $3529 - 3360 \cdot 0, 3090 \approx 49, 9$ m, cu 9,5 m mai puțin.

Ajung trei unghiuri ca să aflu laturile unui triunghi?

Nu, trei unghiuri dau doar forma triunghiului, nu mărimea lui. Pentru $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ și $8 0^{\circ}$ laturile sunt în raportul $0, 643 : 0, 866 : 0, 985$ . Cu o latură de 12 m în fața unghiului de $6 0^{\circ}$ , teorema sinusurilor dă celelalte laturi: aproximativ 8,9 m și 13,6 m.

Ce înălțime are un triunghi cu două laturi și unghiul dintre ele?

Înălțimea dusă pe o latură este cealaltă latură înmulțită cu sinusul unghiului dintre ele. Pentru laturile de 18 m și 26 m și unghiul de $4 0^{\circ}$ , înălțimea pe latura de 26 m este $18 \cdot sin 4 0^{\circ} \approx 11, 6$ m. Nu ai nevoie de teorema cosinusului, fiindcă ai deja unghiul.

Cum a apărut rezolvarea triunghiului în probele oficiale?

Rezolvarea unui triunghi a apărut în 16 probe M_tehnologic din 2013–2026. Cerința se rezolvă cu Pitagora și cu raporturile din triunghiul dreptunghic sau cu o teoremă, după datele din enunț. Scrii întâi pe foaie ce ai: unghi drept, două laturi, un unghi, apoi relația aleasă.

Oamenii mai întreabă și: unghiul de atac al unei autoutilitare · ce formulă folosesc la unghiul de atac · unghiul scutului față de roată · teoremă sau raport într-o măsurătoare din service