Cosinus sau sinus? Ce alegi la tehnologic

Mecanicul are în față trei măsurători și o singură întrebare: ce teoremă pune la lucru? Răspunsul nu stă în formulă, ci în datele pe care le ai: un unghi drept, trei laturi sau o latură cu unghiul din fața ei. Pentru clasa a X-a, filiera tehnologică, lecția pune întrebările în ordine. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), 16 dintre cele 83 de probe 2013–2026 au avut o cerință de rezolvare a unui triunghi, iar în 14 enunțul spunea că triunghiul e dreptunghic.

Situația de pornire

Un service auto are în aceeași zi trei lucrări în care geometria dă o măsură pe care ruleta n-o citește: unghiul benei unei autobasculante, diametrul cercului de prezoane al unei jante și unghiul de atac al unei autoutilitare cu scut nou sub bară. Pentru fiecare, mecanicul a notat ce a putut măsura.

La A mecanicul vrea unghiul $COB$ de la balamaua benei, cu cilindrul întins la capăt. La B vrea diametrul cercului pe care stau prezoanele. La C vrea unghiul de atac, dintre drum și dreapta care unește locul unde roata din față atinge drumul cu marginea de jos a scutului, ca să știe dacă mașina urcă pe o platformă de transport înclinată la 15°.

Întrebare: pentru fiecare lucrare, ce teoremă sau ce relație alegi și ce rezultat obții?

De la situație la model

Fiecare lucrare cere un triunghi, dar cu alte date cunoscute. Tabelul traduce lucrările din situație.

Tiparul datelor este felul în care cunoști laturile și unghiurile unui triunghi: trei laturi, două laturi și unghiul dintre ele, o latură și două unghiuri sau două laturi și un unghi din fața uneia dintre ele. Tiparul hotărăște teorema, iar formulele sunt cele din lecțiile despre teorema cosinusului și teorema sinusurilor.

Ce întrebări îți pui, în ordine?

Prima întrebare: există un unghi drept, dat în enunț sau ascuns în date? Dacă da, nu ai nevoie de nicio teoremă, ci doar de sinus, cosinus, tangentă și Pitagora din triunghiul dreptunghic. A doua: ai o latură și unghiul din fața ei? Atunci poți scrie un raport al teoremei sinusurilor. A treia: cunoști toate laturile sau două laturi cu unghiul cuprins între ele? Atunci scrii teorema cosinusului.

De ce unghiul cel mare se află cu cosinusul, nu cu sinusul?

Sinusul are aceeași valoare la $x$ și la $180^{\circ }-x$, după regulile de la reducerea la primul cadran, iar calculatorul arată doar unghiul ascuțit, deci nu-ți spune dacă unghiul tău e obtuz. Cosinusul își schimbă semnul: negativ la unghiul obtuz, pozitiv la cel ascuțit. De aceea cel mai mare unghi al triunghiului, singurul care poate fi obtuz, se află cu cosinusul. Pe cele mici, mereu ascuțite, le poți afla cu sinusul.

Cum recunoști un unghi drept care nu e dat?

Din trei laturi, verifici dacă pătratul celei mai mari e suma pătratelor celorlalte două; din unghiuri, dacă două dintre ele adunate dau 90°. Triunghiul isoscel cu unghiul de la vârf de 60° este echilateral, iar jumătate din el este un triunghi dreptunghic cu unghiurile de 30° și 60°.

Metoda pas cu pas

1. Desenează triunghiul, scrie fiecare latură în fața vârfului ei și notează datele și necunoscuta.
2. Caută un unghi drept sau un triunghi cu formă cunoscută (echilateral, dreptunghic isoscel), dat sau recunoscut. Dacă există, lucrezi cu sinus, cosinus și tangentă în triunghiul dreptunghic sau cu Pitagora și treci la pasul 4.
3. Dacă nu există, potrivește datele cu un rând din tabelul de mai jos și aplică teorema indicată.
4. Calculează cu calculatorul trecut pe grade (DEG) sau cu tabelul, iar rotunjește numai rezultatul final. Unghiul cel mai mare îl afli cu cosinusul.
5. Verifică pe alt drum: refă calculul cu cealaltă teoremă pe aceleași date sau află și al treilea unghi direct din laturi, nu prin scădere, și adună-le.

Tabelul se citește de sus în jos, iar primul rând care se potrivește câștigă. La trei laturi, cosinusul dă întâi unghiul cel mare; celelalte două sunt mereu ascuțite. Dacă trei laturi formează un triunghi dreptunghic, datele se potrivesc cu două rânduri, iar cel de sus câștigă, fiindcă raporturile din triunghiul dreptunghic sunt mai scurte.

Fișa de buzunar

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

$$\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}},\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}$$

Condiții de aplicare: cele două teoreme merg în orice triunghi, iar raporturile cu cateta opusă și cateta alăturată numai în triunghiul dreptunghic. Alegerea o face tiparul datelor, nu aspectul desenului, iar unitatea de măsură e aceeași la toate laturile. Verificare rapidă: latura cea mai lungă se opune unghiului cel mai mare, iar o latură aflată cu o teoremă iese la fel și cu cealaltă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele trei lucrări ale service-ului

Domeniu: auto.

Enunț. Reia cele trei lucrări din situația de pornire: A are $OC=1,30$ m, $OB=2,20$ m și $CB=2,70$ m; B are 67,2 mm între două prezoane vecine, din cinci aflate la distanțe egale pe cerc; C are scutul la 0,22 m de sol și la 0,85 m în fața roții. a) Calculează unghiul $COB$, cu o zecimală. b) Calculează diametrul cercului prezoanelor, cu o zecimală. c) Calculează unghiul de atac, cu o zecimală, și spune dacă mașina urcă pe platforma de 15° fără să agațe scutul.

Rezolvare. A: toate cele trei laturi sunt cunoscute, deci alegi teorema cosinusului pentru unghiul cerut, care este cel din fața laturii celei mai lungi, $CB$:

$$\cos O=\frac{O{C}^2+O{B}^2-C{B}^2}{2\cdot OC\cdot OB}=\frac{1,69+4,84-7,29}{5,72}=\frac{-0,76}{5,72}\approx -0,1329$$

Cosinusul este negativ, deci unghiul este obtuz: $COB\approx 97,6^{\circ }$.

B: cele cinci prezoane împart cercul în cinci arce egale, deci între două raze vecine sunt $360^{\circ }:5=72^{\circ }$. Triunghiul format de centru și două prezoane vecine este isoscel, cu baza de 67,2 mm în fața unghiului de 72°, iar unghiurile de la bază au $(180^{\circ }-72^{\circ }):2=54^{\circ }$. Baza și unghiul de 72° formează o pereche completă, deci alegi teorema sinusurilor, iar raza stă în fața unui unghi de 54°:

$$r=\frac{67,2\cdot \sin 54^{\circ }}{\sin 72^{\circ }}\approx \frac{67,2\cdot 0,8090}{0,9511}\approx \frac{54,36}{0,9511}\approx 57,16$$

Diametrul este $2\cdot 57,16\approx 114,3$ mm, o valoare standard la jantele cu cinci prezoane.

C: înălțimea scutului e perpendiculară pe drum, deci ai un unghi drept și nicio teoremă. Cu cele două catete, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{0,22}{0,85}\approx 0,2588$, deci $\alpha \approx 14,5^{\circ }$, sub cei 15° ai platformei: scutul atinge platforma înainte să urce roata.

Capcană. La A, cine află întâi unghiul $C$, $\cos C=\frac{4,14}{7,02}\approx 0,5897$, adică $53,9^{\circ }$, și apoi pe cel mare, $O$, cu teorema sinusurilor, $\sin O=\frac{2,70\cdot \sin C}{2,20}\approx 0,9911$, citește pe ecran $82,4^{\circ }$. Acesta e exact suplementul unghiului real, $180^{\circ }-97,6^{\circ }$: sinusul nu face deosebirea între un unghi și suplementul lui.

Verificare. La A, al treilea unghi are $\cos B=\frac{4,84+7,29-1,69}{2\cdot 2,20\cdot 2,70}=\frac{10,44}{11,88}\approx 0,8788$, adică $28,5^{\circ }$, iar $97,6+53,9+28,5=180,0$. La B, teorema cosinusului în același triunghi isoscel dă $r^2=\frac{67,2^2}{2\cdot (1-\cos 72^{\circ })}\approx \frac{4515,84}{2\cdot 0,6910}\approx 3267,6$, deci $r\approx 57,16$ mm. La C, pe alt drum, cu sinusul: ipotenuza are $\sqrt{0,85^2+0,22^2}\approx 0,878$ m, iar $\sin \alpha =\frac{0,22}{0,878}\approx 0,2506$ dă tot $14,5^{\circ }$.

Exemplul 2 — Culoarul dintre două grajduri

Domeniu: zootehnie.

Enunț. O fermă de vaci are o fântână P și două grajduri, G1 și G2. De la fântână, G1 e la 93 m, G2 la 58 m, iar unghiul dintre cele două direcții este de 71°. Fermierul vrea între grajduri un culoar îngrădit, drept, pe care să mute vacile. Ca să-l traseze din G1, îi trebuie lungimea lui și unghiul pe care îl face cu direcția spre fântână. Calculează lungimea culoarului și unghiurile triunghiului $P{G}_1{G}_2$ din G1 și din G2, cu o zecimală.

Rezolvare. Ai două laturi și unghiul dintre ele, deci alegi teorema cosinusului pentru a treia latură:

$$G_1{G}_2^2=93^2+58^2-2\cdot 93\cdot 58\cdot \cos 71^{\circ }\approx 8649+3364-10788\cdot 0,3256\approx 8500$$

adică $G_1{G}_2\approx 92,2$ m. Unghiul din G1 stă în fața laturii mai scurte, $P{G}_2=58$ m, deci este unghiul mic al triunghiului și poate fi aflat cu sinusul: $\sin G_1=\frac{58\cdot \sin 71^{\circ }}{92,2}\approx \frac{58\cdot 0,9455}{92,2}\approx 0,5948$, deci $G_1\approx 36,5^{\circ }$. Al treilea unghi se află scăzând: $G_2=180^{\circ }-71^{\circ }-36,5^{\circ }=72,5^{\circ }$.

Capcană. Cine uită factorul 2 din formulă scrie $93^2+58^2-93\cdot 58\cdot \cos 71^{\circ }\approx 10257$ și obține un culoar de $101,3$ m, cu aproximativ 9 m mai lung decât cel real.

Verificare. Pe alt drum, unghiul din G2 iese direct din cele trei laturi, cu teorema cosinusului: $\cos G_2=\frac{58^2+92,2^2-93^2}{2\cdot 58\cdot 92,2}=\frac{3215,84}{10695,2}\approx 0,3007$, adică tot $72,5^{\circ }$. Ordinea laturilor urmează ordinea unghiurilor: 58 m în fața lui 36,5°, 92,2 m în fața lui 71°, 93 m în fața lui 72,5°.

Exemplul 3 — Stâlpul de la capătul rândului de vie

Domeniu: agricol.

Enunț. La capătul unui rând de vie, stâlpul de beton se bate înclinat spre exterior, ca să țină întinse sârmele spalierului, iar vârful lui se leagă cu o sârmă de o ancoră îngropată mai departe. Stâlpul are 190 cm deasupra pământului și face cu solul, spre ancoră, un unghi de 65°. Sârma de ancorare, întinsă, are 2,35 m. La ce distanță de piciorul stâlpului se îngroapă ancora? Viticultorul marchează locul cu ruleta, la 5 cm.

Rezolvare. Fie $O$ piciorul stâlpului, $T$ vârful lui și $A$ ancora. Știi $OT=1,90$ m, $TA=2,35$ m și unghiul $O=65^{\circ }$, care nu e cuprins între ele: ultimul rând al tabelului, deci teorema sinusurilor. Unghiul dat stă în fața sârmei, cea mai lungă dintre cele două laturi, așa că $A$ e ascuțit și soluția e unică:

$$\sin A=\frac{OT\cdot \sin 65^{\circ }}{TA}=\frac{1,90\cdot 0,9063}{2,35}\approx 0,7328$$

deci $A\approx 47,12^{\circ }$. La vârf rămân $180^{\circ }-65^{\circ }-47,12^{\circ }=67,88^{\circ }$, iar $OA=\frac{2,35\cdot \sin 67,88^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx \frac{2,35\cdot 0,9264}{0,9063}\approx 2,402$ m. Ancora se îngroapă la 240 cm de piciorul stâlpului.

Capcană. Cine socotește stâlpul vertical vede un unghi drept și scrie Pitagora: $\sqrt{2,35^2-1,90^2}\approx 1,38$ m. Ancora ar ajunge cu peste un metru mai aproape. Unghiul drept trebuie dat sau recunoscut în date, nu presupus după desen.

Verificare. Pe alt drum, teorema cosinusului cu cele două laturi din jurul unghiului de 65°: $1,90^2+2,402^2-2\cdot 1,90\cdot 2,402\cdot \cos 65^{\circ }\approx 3,61+5,77-3,86=5,52$, iar $\sqrt{5,52}\approx 2,35$ m, exact sârma.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: triunghi dreptunghic

Domeniu: mecanica.

Enunț. Cerințele de rezolvare a unui triunghi au avut, de 14 ori, un triunghi dreptunghic în $A$. Iată una dintre forme, cu numere proprii; aici triunghiul e profilul unei pene de reglaj din atelierul mecanic, cu cotele în milimetri: „Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=11$ și $m(\angle C)=60^{\circ }$. Arătați că $BC=\frac{22\sqrt{3}}{3}$.”

Rezolvare. Triunghiul are un unghi drept, deci folosești triunghiul dreptunghic. Cateta $AB$ stă în fața unghiului $C$, deci intră în sinus: $\sin C=\frac{AB}{BC}$. Rezultă $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{11}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{22}{\sqrt{3}}=\frac{22\sqrt{3}}{3}$.

Capcană. Cine scrie $\cos C=\frac{AB}{BC}$ obține $BC=\frac{11}{\frac{1}{2}}=22$, nu $\frac{22\sqrt{3}}{3}\approx 12,70$. Cateta $AB$ este opusă lui $C$, nu alăturată, deci nu intră în cosinus.

Verificare. Cealaltă catetă este $AC=BC\cdot \cos C=\frac{22\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{11\sqrt{3}}{3}$, iar $A{B}^2+A{C}^2=121+\frac{121}{3}=\frac{484}{3}={\left(\frac{22\sqrt{3}}{3}\right)}^2=B{C}^2$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. În triunghiul $ABC$, $AB=24$ cm, $AC=31$ cm și $m(\angle A)=65^{\circ }$. Alege teorema potrivită și calculează $BC$, cu o zecimală.

2. În triunghiul $MNP$, $m(\angle M)=52^{\circ }$, $m(\angle N)=71^{\circ }$ și $NP=36$ m. Alege teorema potrivită și calculează $MP$, cu o zecimală.

3. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $BC=33$ cm și $m(\angle C)=40^{\circ }$. Calculează $AB$, cu o zecimală.

4. Laturile unui triunghi au 11 cm, 14 cm și 19 cm. Alege teorema potrivită și calculează cel mai mare unghi al lui, cu o zecimală.

Nivelul 2 — situații

5. Pe harta unei stațiuni, o pârtie de schi dreaptă are 630 m măsurați pe pantă, iar între start și sosire diferența de nivel este de 168 m. Calculează unghiul pârtiei cu orizontala și lungimea ei pe hartă, adică proiecția orizontală, fiecare cu o zecimală.

6. Din cantonul silvic C pleacă prin pădure două drumuri forestiere drepte, spre platformele de încărcare a lemnului P1, la 3,1 km, și P2, la 2,7 km. Unghiul dintre drumuri este de 68°. Ce lungime ar avea un drum nou, drept, între cele două platforme? Rotunjește la sutimi de kilometru.

7. Pe un șantier, între reperele A și B, aflate la 42,5 m unul de altul, și colțul C al unei clădiri vecine e o groapă de fundație adâncă. Din A, colțul C se vede sub un unghi de 58° față de AB, iar din B sub 77°. Calculează distanța de la A la colțul C, cu o zecimală.

8. O consolă triunghiulară din lemn are laturile de 0,86 m, 1,12 m și 1,38 m. Calculează unghiul cel mai mare al consolei, cu o zecimală, și spune dacă este dreptunghică.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=18$ și $m(\angle B)=30^{\circ }$. Arătați că $BC=36$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $BC=9$. Arătați că $\cos C=\frac{2\sqrt{14}}{9}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=33$, $AC=56$ și $BC=65$. Calculați $\cos B$.

12. (Sinteză.) Triunghiul $ABC$ are $AB=9$, $AC=10$ și $BC=11$. a) Calculați $\cos A$ și măsura unghiului $A$, cu o zecimală. b) Arătați că triunghiul nu este dreptunghic. c) Calculați raza cercului circumscris triunghiului, cu o zecimală.

Răspunsuri și verificări

1. Ai două laturi și unghiul dintre ele, deci cosinusul: $B{C}^2\approx 24^2+31^2-1488\cdot 0,4226\approx 1537-628,8\approx 908,2$, deci $BC\approx 30,1$ cm. Verificare: $30,1$ cm stă între $7$ cm și $55$ cm.

2. Ai două unghiuri și o latură: al treilea unghi este $180^{\circ }-52^{\circ }-71^{\circ }=57^{\circ }$, apoi sinusul: $MP=\frac{NP\cdot \sin 71^{\circ }}{\sin 52^{\circ }}\approx \frac{36\cdot 0,9455}{0,7880}\approx 43,2$ m. Verificare: $MP$ stă în fața unghiului de 71°, mai mare decât 52°, deci este mai lungă decât $NP=36$ m.

3. Triunghiul are unghi drept. Cateta $AB$ stă în fața lui $C$: $AB=BC\cdot \sin C\approx 33\cdot 0,6428\approx 21,2$ cm. Verificare: cealaltă catetă, $33\cdot \cos 40^{\circ }\approx 25,3$ cm, e mai lungă decât $AB$, cum cere unghiul de 40° față de 50°.

4. Ai trei laturi, iar unghiul cel mare, din fața laturii de 19 cm, se află cu cosinusul: $\cos =\frac{11^2+14^2-19^2}{2\cdot 11\cdot 14}=\frac{-44}{308}\approx -0,1429$, deci $98,2^{\circ }$. Verificare: cosinusul este negativ, deci unghiul e obtuz, iar în fața lui stă cea mai lungă latură.

5. Diferența de nivel e verticală, deci triunghiul are unghi drept. $\sin \alpha =\frac{168}{630}\approx 0,2667$, deci $\alpha \approx 15,5^{\circ }$, iar proiecția este $\sqrt{630^2-168^2}=\sqrt{368676}\approx 607,2$ m. Verificare: $630\cdot \cos 15,47^{\circ }\approx 607,2$ m.

6. Ai două laturi și unghiul dintre ele, deci cosinusul: $P_1{P}_2^2=3,1^2+2,7^2-2\cdot 3,1\cdot 2,7\cdot \cos 68^{\circ }\approx 9,61+7,29-16,74\cdot 0,3746\approx 10,63$, deci $P_1{P}_2\approx 3,26$ km. Verificare: distanța e între $3,1-2,7=0,4$ km și $3,1+2,7=5,8$ km.

7. O latură și două unghiuri: al treilea are $45^{\circ }$, apoi sinusul; $AC$ stă în fața unghiului de 77°: $AC=\frac{42,5\cdot \sin 77^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}\approx \frac{42,5\cdot 0,9744}{0,7071}\approx 58,6$ m. Verificare: $AC$ stă în fața celui mai mare unghi, deci e mai lungă decât baza de 42,5 m.

8. Trei laturi, deci cosinusul pentru unghiul din fața laturii de 1,38 m: $\cos =\frac{0,86^2+1,12^2-1,38^2}{2\cdot 0,86\cdot 1,12}\approx \frac{0,0896}{1,9264}\approx 0,0465$, deci $87,3^{\circ }$. Consola nu este dreptunghică. Verificare: $0,86^2+1,12^2\approx 1,99$, iar $1,38^2\approx 1,90$; nu sunt egale.

9. Triunghiul are unghi drept în $A$, iar $AC$ stă în fața lui $B$. Scrii $\sin B=\frac{AC}{BC}$, cu $B=30^{\circ }$, adică $\frac{1}{2}=\frac{18}{BC}$. Rezultă $BC=36$. Verificare: $AB=\sqrt{36^2-18^2}=\sqrt{972}=18\sqrt{3}$, iar $18\sqrt{3}\approx 31,18$ este mai mică decât ipotenuza de 36.

10. Triunghiul are unghi drept în $A$, iar $AC$ este cateta alăturată lui $C$. Pitagora dă $AC=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$. Scrii $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt{14}}{9}$. Verificare: $A{B}^2+A{C}^2=25+56=81=B{C}^2$.

11. Cele trei laturi dau $33^2+56^2=1089+3136=4225=65^2$, deci unghiul din $A$ este drept. Cateta $AB$ este alăturată lui $B$, deci $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{33}{65}$. Pe alt drum, cu teorema cosinusului: $\cos B=\frac{33^2+65^2-56^2}{2\cdot 33\cdot 65}=\frac{2178}{4290}=\frac{33}{65}$. Verificare: cele două drumuri dau aceeași valoare, $\frac{33}{65}\approx 0,5077$.

12. a) $\cos A=\frac{9^2+10^2-11^2}{2\cdot 9\cdot 10}=\frac{60}{180}=\frac{1}{3}$, deci $A\approx 70,5^{\circ }$. b) Cea mai lungă latură este $BC=11$, iar $9^2+10^2=181$, dar $11^2=121$. Nu sunt egale, deci triunghiul nu este dreptunghic. c) $2R=\frac{BC}{\sin A}\approx \frac{11}{0,9428}\approx 11,67$, deci $R\approx 5,8$. Verificare: $R$ trebuie să fie cel puțin jumătate din latura cea mai lungă, $\frac{11}{2}=5,5$, iar $5,8>5,5$.

Așa vine la Bac M3

O cerință de rezolvare a unui triunghi a venit la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 16 dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, de fiecare dată la cerința 6 din Subiectul I. În 14 triunghiul a fost dreptunghic în $A$, iar celelalte două s-au rezolvat tot cu un unghi drept sau cu un triunghi echilateral. Teorema cosinusului n-a fost tema niciunei cerințe, iar teorema sinusurilor a uneia singure. Cele patru de mai jos acoperă felurile de date întâlnite:

• Modelul din 2013, Subiectul I, exercițiul 6: se dă un romb cu latura 4 și unghiul de 120°, iar cerința este diagonala $BD$; baremul probei acordă 2 puncte pentru unghiul de 60° din triunghiul $ABD$, 1 punct pentru faptul că acesta este echilateral și 2 puncte pentru $BD=4$, deci pasul 2 din Metodă, recunoașterea unui unghi drept sau a unui triunghi echilateral.
• Iunie 2022, Subiectul I, exercițiul 6: triunghi dreptunghic în $A$, cu unghiul $C$ de 30° și $AB=3$, iar cerința este să arăți că $BC=6$; baremul acordă 2 puncte pentru $\sin C=\frac{AB}{BC}$ și 3 puncte pentru calculul lui $BC$, deci pasul 4 din Metodă.
• Iunie 2023, Subiectul I, exercițiul 6: triunghi dreptunghic în $A$, cu $AC=\sqrt{2}$ și $BC=2$, iar cerința este să arăți că triunghiul este isoscel; baremul acordă 3 puncte pentru $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{2}$, adică Pitagora din pasul 2 din Metodă, și 2 puncte pentru concluzia $AB=AC$.
• Simularea din 2025, Subiectul I, exercițiul 6: triunghi dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și $AC=8$, iar cerința este să arăți că $\sin C=\frac{3}{5}$; baremul acordă 2 puncte pentru ipotenuza $BC=10$ și 3 puncte pentru $\sin C=\frac{AB}{BC}$, deci pasul 2 din Metodă, urmat de raportul din pasul 4.

Dintre cele 14 probe cu triunghi dreptunghic în $A$, în 7 s-au dat un unghi ascuțit și o latură, iar în 7 doar laturi: două laturi sau o latură și un raport între laturi. Exercițiile 9–11 preiau trei dintre aceste tipuri, cu numere proprii: unghi și latură, două laturi, trei laturi. Exercițiul 12 este o sinteză: teorema cosinusului, apoi un triunghi care nu e dreptunghic, apoi raza cercului circumscris. Aria triunghiului, alt fel de cerință despre triunghi, o găsești în lecția despre aria unui teren poligonal, iar restul temelor din bloc sunt în lista lecțiilor de clasa a X-a, tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Scrii Pitagora pe un triunghi fără unghi drept: la exercițiul 1, $\sqrt{24^2+31^2}\approx 39,2$ cm în loc de $30,1$ cm → cum o prinzi: unghiul de 65° nu este drept, iar la un unghi mai mic de 90° latura din fața lui iese mai scurtă decât $\sqrt{24^2+31^2}$, deci 39,2 cm nu poate fi răspunsul; cauți întâi un unghi drept în date.
• Afli cel mai mare unghi cu sinusul: la exercițiul 4, calculatorul dă $81,8^{\circ }$, nu $98,2^{\circ }$ → cum o prinzi: în fața laturii celei mai lungi stă unghiul cel mai mare, iar cosinusul său, negativ, arată că este obtuz.
• Încurci sinusul cu cosinusul în triunghiul dreptunghic: la exercițiul 3, $33\cdot \cos 40^{\circ }\approx 25,3$ cm în loc de $21,2$ cm → cum o prinzi: cateta opusă unghiului dat intră în sinus, iar cea alăturată în cosinus.
• Rotunjești cosinusul la două zecimale: la exercițiul 8, $0,0465$ devine $0,05$, iar unghiul iese $87,1^{\circ }$, nu $87,3^{\circ }$ → cum o prinzi: păstrezi patru zecimale la cosinus și rotunjești abia unghiul.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, rezolvarea triunghiurilor, dreptunghice sau oarecare, face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 16 probe.

Întrebări frecvente

Ce unghi face bena la lucrarea A dacă cilindrul se întinde până la 2,95 m? Cosinusul devine $\frac{1,69+4,84-8,7025}{5,72}=\frac{-2,1725}{5,72}\approx -0,3798$, adică $112,3^{\circ }$. Cilindrul poate ajunge cel mult la $1,30+2,20=3,50$ m, cu brațele în linie dreaptă, deci 2,95 m e posibil. Cu cât cilindrul se întinde mai mult, cu atât bena se ridică mai sus.

Cum deosebești un cerc de prezoane de 112 mm de unul de 114,3 mm? Măsori distanța dintre două prezoane vecine, care este $2r\cdot \sin 36^{\circ }$, adică diametrul înmulțit cu 0,5878. La 112 mm iese 65,8 mm, la 114,3 mm iese 67,2 mm, iar la 120 mm iese 70,5 mm. Diferența de 1,4 mm dintre primele două se vede cu un șubler.

Ce unghi arată bena dacă la cilindru s-a citit 2,71 m în loc de 2,70 m? Cosinusul devine $\frac{1,69+4,84-7,3441}{5,72}=\frac{-0,8141}{5,72}\approx -0,1423$, adică $98,2^{\circ }$, față de $97,6^{\circ }$. Un centimetru mută unghiul cu puțin peste o jumătate de grad, de aceea mecanicul măsoară cilindrul de două ori, cu banda bine întinsă, de la același capăt.

Cât trebuie ridicat scutul de la lucrarea C, ca autoutilitara să urce fără să agațe? Unghiul de atac trebuie să ajungă la 15°, cu aceeași distanță de 0,85 m în fața roții, deci înălțimea scutului trebuie să fie cel puțin $0,85\cdot \mathrm{tg}15^{\circ }\approx 0,85\cdot 0,2679\approx 0,228$ m. Față de cei 0,22 m de acum, scutul trebuie ridicat cu încă aproximativ 1 cm.

Ce date a primit triunghiul dreptunghic la Bacalaureatul M3 în probele din 2022–2026? În cele 10 probe din 2022–2026 cu o cerință de rezolvare a unui triunghi, de 5 ori s-au dat două laturi, de 3 ori un unghi ascuțit și o latură, iar de 2 ori o latură și un raport între laturi, abia din 2026. Toate cele 10 au avut un triunghi dreptunghic în $A$, după indexul cerințelor.

Ce se schimbă la lucrarea B dacă janta are șase prezoane, nu cinci? Unghiul din centru devine $360^{\circ }:6=60^{\circ }$, iar triunghiul format de centru și două prezoane vecine e echilateral. Raza e chiar distanța dintre prezoane vecine, deci diametrul e dublul ei, de exemplu 134,4 mm la 67,2 mm, fără nicio teoremă.