Care dintre următoarele afirmații despre diagonalele unui romb este ADEVĂRATĂ?

Sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor

Nu se intersectează niciodată la mijloc

Ce proprietăți are rombul?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Rombul și proprietățile lui

Rombul este paralelogramul cu două laturi vecine de aceeași lungime, de unde rezultă că toate patru sunt egale. Fiind paralelogram, păstrează laturile opuse paralele, unghiurile opuse egale, cele vecine suplementare și diagonalele care se taie la mijloc. În plus, diagonalele lui sunt perpendiculare și împart în două unghiurile din vârfurile prin care trec. Aria iese din $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ .

Rombul este un paralelogram cu două laturi consecutive congruente. Din această singură condiție rezultă că toate cele patru laturi sunt congruente ( $A B = B C = C D = D A$ ), pentru că laturile opuse sunt oricum egale într-un paralelogram.

Fiind paralelogram, rombul moștenește: laturi opuse paralele, unghiuri opuse congruente, unghiuri alăturate suplementare (suma $18 0^{\circ}$ ), diagonale care se înjumătățesc.

Pe lângă acestea, rombul are două proprietăți speciale, unice:

diagonalele sunt perpendiculare ( $A C ⊥ B D$ );
diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor din vârfurile din care pornesc.

Ambele se demonstrează cu triunghiul isoscel format de două laturi și o diagonală (mediana din vârf = înălțime = bisectoare).

Exemplu: dacă $A = 6 4^{\circ}$ , atunci $C = 6 4^{\circ}$ (opus), iar $B = D = 18 0^{\circ} - 6 4^{\circ} = 11 6^{\circ}$ (alăturate).

De reținut

toate laturile sunt congruente: $A B = B C = C D = D A$
diagonalele sunt perpendiculare și bisectoare
$A = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ , iar $P = 4 ℓ$

Greșeala tipică

Se cred egale diagonalele rombului, ca la dreptunghi. Ele sunt doar perpendiculare și se taie la mijloc, iar lungimile lor diferă, afară de cazul pătratului.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un romb, un unghi are $5 8^{\circ}$ . Cât măsoară unghiul alăturat lui?
- a) $5 8^{\circ}$
- b) $12 2^{\circ}$
- c) $3 2^{\circ}$
- d) $9 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12 2^{\circ}$

Unghiurile alăturate (consecutive) ale unui romb sunt suplementare: $18 0^{\circ} - 5 8^{\circ} = 12 2^{\circ}$ .
Care dintre următoarele afirmații despre diagonalele unui romb este ADEVĂRATĂ?
- a) Sunt întotdeauna congruente
- b) Sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor
- c) Sunt paralele între ele
- d) Nu se intersectează niciodată la mijloc
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Sunt perpendiculare și sunt bisectoarele unghiurilor

Proprietățile speciale ale rombului sunt: diagonalele perpendiculare ( $A C ⊥ B D$ ) și diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor din vârfurile din care pornesc. Diagonalele congruente apar doar la pătrat, nu la orice romb.
Într-un romb, un unghi are $4 6^{\circ}$ . Cât măsoară unghiul alăturat lui?
- a) $13 4^{\circ}$
- b) $4 6^{\circ}$
- c) $6 4^{\circ}$
- d) $12 4^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $13 4^{\circ}$

Unghiurile alăturate (consecutive) ale unui romb sunt suplementare: $18 0^{\circ} - 4 6^{\circ} = 13 4^{\circ}$ .

Întrebări conexe

Cât este perimetrul unui romb cu diagonalele de 6 și 8?

Jumătățile diagonalelor sunt $3$ și $4$ , iar ele formează catetele unui triunghi dreptunghic cu latura drept ipotenuză. Din Pitagora iese latura $5$ , deci perimetrul este $4 \cdot 5 = 20$ . Toate laturile fiind egale, perimetrul se calculează mereu înmulțind latura cu patru.

Ce unghiuri fac diagonalele cu laturile rombului?

Fiecare diagonală taie în două unghiurile din capetele ei. Dacă un unghi al rombului are $6 4^{\circ}$ , diagonala care pleacă din el face cu fiecare latură câte $3 2^{\circ}$ . Așa apar triunghiuri isoscele, iar din ele ies aproape toate rezultatele legate de romb.

Cum aflu aria rombului din latură și înălțime?

Înmulțești latura cu înălțimea coborâtă perpendicular pe ea, ca la orice paralelogram. Pentru o latură de $10$ cm și o înălțime de $6$ cm rezultă $60$ cm². Formula cu diagonalele dă același număr, așa că alegi varianta pentru care ai datele.

În ce triunghiuri împart diagonalele rombul?

În patru triunghiuri dreptunghice, toate congruente între ele. Catetele fiecăruia sunt jumătăți de diagonală, iar ipotenuza este o latură a rombului. De aici vine și legătura dintre latură și diagonale, prin teorema lui Pitagora aplicată într-unul dintre aceste triunghiuri.

Cum apare rombul în problemele de examen?

Apare la cerințe de calculat aria din diagonale, de aflat latura sau perimetrul și de demonstrat că un paralelogram este romb. Mai apare și în probleme cu simetrii, fiindcă are două axe de simetrie, chiar diagonalele lui.

Ce se schimbă când rombul are un unghi de 60 de grade?

Diagonala mică devine egală cu latura, fiindcă triunghiul format cu două laturi și cu ea iese echilateral. Restul urmează: cealaltă diagonală măsoară $ℓ 3$ , iar aria devine $\frac{ℓ ^{2} 3}{2}$ . Este cazul cel mai des întâlnit la probleme, tocmai fiindcă numerele ies frumoase.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile rombului · diagonalele rombului · ce este un romb · aria rombului cu diagonalele · diferența dintre romb și paralelogram