Schema hipergeometrică (bila nerevenită): pe scurt

Schema bilei nerevenite (hipergeometrică) apare la extrageri fără revenire: obiectul scos rămâne afară, deci probele nu mai sunt independente și probabilitatea de succes se schimbă de la o extragere la alta — formula lui Bernoulli nu se mai aplică.

Ideea salvatoare: rezultatul unei extrageri de $n$ bile dintr-o urnă cu $a$ albe și $b$ negre este pur și simplu o submulțime de $n$ bile, iar toate submulțimile sunt egal probabile. Revenim astfel la definiția clasică a probabilității: $$P(k)=\frac{C_a^k\cdot C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n},$$ valabilă pentru $k\le a$ și $n-k\le b$; în afara acestor limite, probabilitatea este $0$.

Ordinea extragerilor nu contează — „simultan” și „pe rând, fără revenire” dau exact aceleași probabilități, deci se folosește mereu varianta cu combinări, mai scurtă. Suma probabilităților pe toate valorile lui $k$ este $1$, pentru că submulțimile se împart, după numărul de bile albe, în grupe disjuncte care acoperă toate cele $C_{a+b}^n$ cazuri.

Recunoașterea în enunț: „fără revenire”, „simultan”, „se aleg $n$ persoane/piese” $\Rightarrow$ hipergeometrică; „cu revenire” $\Rightarrow$ Bernoulli.

Exerciții din această mini-lecție

1. O urnă conține $5$ bile albe și $3$ negre. Se extrag simultan $3$ bile. Care este probabilitatea de a obține exact $2$ bile albe?

   • a) $\frac{15}{28}$
   • b) $\frac{5}{8}$
   • c) $\frac{3}{8}$
   • d) $\frac{5}{28}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{15}{28}$

   Cazuri posibile: $C_8^3=56$. Cazuri favorabile: $C_5^2\cdot C_3^1=10\cdot 3=30$. Deci $P=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$.

2. O urnă conține $6$ bile albe și $5$ negre. Câte submulțimi de $4$ bile se pot extrage simultan (numărul cazurilor posibile)?

   • a) $55$
   • b) $330$
   • c) $165$
   • d) $462$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $330$

   Numărul cazurilor posibile este $C_{11}^4=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=330$, indiferent de câte dintre bile sunt albe sau negre.

3. Într-o comisie de $10$ profesori, $3$ predau informatică. Se aleg la întâmplare, simultan, $2$ dintre ei. Care este probabilitatea ca niciunul să nu predea informatică?

   • a) $\frac{8}{15}$
   • b) $\frac{1}{5}$
   • c) $\frac{7}{15}$
   • d) $\frac{21}{100}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{7}{15}$

   Profesorii care nu predau informatică sunt $7$. Cazuri posibile: $C_{10}^2=45$; favorabile: $C_7^2=21$. $P=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$.