Ce înseamnă, în matematică, faptul că doi vectori au aceeași direcție?

că dreptele lor suport sunt paralele sau confundate

În paralelogramul $$ABCD$$, care egalitate de vectori este adevărată?

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$$

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$$

Ce sunt segmentele orientate echipolente?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Segment orientat și vector

Segmentele orientate echipolente sunt cele care au în comun direcția, sensul și lungimea, deci reprezintă același vector. Criteriul sigur: $A B$ și $C D$ sunt echipolente exact când segmentele $[A D]$ și $[B C]$ au același mijloc. În pătratul $M N P Q$ , $M N$ și $QP$ sunt echipolente: perechile încrucișate dau diagonalele $[M P]$ și $[N Q]$ , care se înjumătățesc în centrul pătratului.

Perechea ordonată de două puncte poartă numele de segment orientat și duce cu ea trei informații: direcția dreptei-suport, sensul parcurgerii și lungimea. Întorci ordinea literelor și se schimbă numai sensul.

Cuvântul direcție înșală. În vorbirea de zi cu zi el spune și încotro; în matematică numește doar familia dreptelor paralele, iar fiecărei direcții îi revin două sensuri. Așa se explică de ce $A B$ și $B A$ stau pe aceeași direcție, cu sensuri contrare.

Numim echipolente două segmente orientate cu aceeași direcție, același sens și aceeași lungime. Criteriul care funcționează și când desenul te păcălește: $A B$ și $C D$ sunt echipolente exact când $[A D]$ și $[B C]$ au mijlocul comun — extremitățile se încrucișează.

Vectorul adună toate segmentele orientate echipolente cu unul dat. Fiind liber, își găsește câte un reprezentant, unul singur, cu originea în orice punct al planului.

Modulul $∥ A B ∥$ este lungimea lui $[A B]$ : un număr pozitiv sau nul, niciodată negativ, iar la o mărime fizică se scrie cu unitatea lui. Module egale nu dau vectori egali — într-un dreptunghi diagonalele au același modul și direcții deosebite.

Punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare atunci când $A B$ și $A C$ sunt vectori coliniari.

De reținut

echipolente: aceeași direcție, același sens, aceeași lungime
$A B$ și $C D$ sunt echipolente dacă $[A D]$ și $[B C]$ au același mijloc
toate segmentele orientate echipolente între ele formează un singur vector

Greșeala tipică

Se verifică echipolența lui $A B$ și $C D$ prin mijloacele lui $[A C]$ și $[B D]$ ; perechile corecte se încrucișează: $[A D]$ și $[B C]$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce înseamnă, în matematică, faptul că doi vectori au aceeași direcție?
- a) că au același sens
- b) că dreptele lor suport sunt paralele sau confundate
- c) că au aceeași lungime
- d) că pornesc din același punct
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) că dreptele lor suport sunt paralele sau confundate

Direcția este familia dreptelor paralele cu o dreaptă dată; pe fiecare direcție sunt două sensuri. Din confuzia cu sensul ies răspunsuri de tipul „ $A B$ și $B A$ nu sunt coliniari”, deși stau pe aceeași dreaptă.
În paralelogramul $A B C D$ , care egalitate de vectori este adevărată?
- a) $A B = C D$
- b) $A B = D C$
- c) $A B = B C$
- d) $A B = C B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A B = D C$

Literele se citesc urmând conturul, iar cele două săgeți trebuie să meargă în aceeași parte pe figură: $A B$ și $D C$ . Varianta a) are direcția și lungimea bune, dar sensul contrar — e chiar $- A B$ .
Egalitatea $A B = C D$ are loc dacă și numai dacă au același mijloc segmentele:
- a) $[A B]$ și $[C D]$
- b) $[A C]$ și $[B D]$
- c) $[A D]$ și $[B C]$
- d) $[A B]$ și $[A C]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[A D]$ și $[B C]$

Criteriul mijlocului încrucișează extremitățile: prima literă a unui vector cu ultima a celuilalt. Scrie punctele în ordinea $A$ , $B$ , $C$ , $D$ și formează perechile sărind peste vecin.

Întrebări conexe

Care este diferența dintre direcția și sensul unui vector?

Direcția este dată de dreapta-suport și de toate paralelele ei, iar sensul spune încotro se merge pe acea direcție. Un tren pe o cale ferată dreaptă are mereu aceeași direcție, dar sensul depinde de gara spre care pleacă. Fiecare direcție admite exact două sensuri.

Ce vector descrie o deplasare în fizică?

Deplasarea este vectorul de la punctul de plecare la cel de sosire. Dacă mergi $3$ km spre est și apoi $1$ km înapoi spre vest, drumul parcurs este $4$ km, dar deplasarea are modulul $2$ km, cu sensul spre est. Vectorul reține doar începutul și sfârșitul.

Ce este vectorul opus unui vector $A B$ ?

Opusul lui $A B$ este $B A$ , notat și $- A B$ : are aceeași direcție și același modul, dar sensul contrar. Suma unui vector cu opusul său este vectorul nul. Doi vectori opuși sunt coliniari, deși nu sunt egali.

Câți vectori nenuli determină vârfurile unui triunghi?

Un vector nenul se obține din două vârfuri diferite, luate în ordine, deci sunt $3 \cdot 2 = 6$ vectori: $A B$ , $B A$ , $A C$ , $C A$ , $B C$ , $C B$ . Toți sunt diferiți, pentru că laturile au direcții diferite, iar pe aceeași latură sensurile sunt contrare.

De ce se spune că un vector este liber?

Un vector nu depinde de punctul din care îl desenezi: din orice punct al planului pornește exact un reprezentant al lui. La fel, o forță de $10$ N orientată vertical în jos rămâne aceeași mărime vectorială oriunde o desenezi pe figură, până o legi de un punct de aplicație.

Oamenii mai întreabă și: segmente orientate echipolente · ce înseamnă echipolent · când sunt două segmente orientate echipolente · echipolența segmentelor orientate