Profitul zilnic al unui magazin care vinde produse în cutii, în sute de lei, este $$P(x) = -x^2 + 22x - 72$$, unde $$x$$ este numărul de zeci de bucăți vândute. Pentru ce valori ale lui $$x$$ magazinul are profit strict pozitiv?

$$(-\infty; 4) \cup (18; +\infty)$$

Pe un șantier, un jet de apă de la o pompă de beton urmează curba $$h(x) = -0{,}5x^2 + 6x + 1{,}5$$, unde $$x$$ este distanța orizontală, iar $$h$$ înălțimea, ambele în metri. Pe ce porțiune orizontală este jetul strict peste înălțimea de $$15$$ m?

$$(-\infty; 3) \cup (9; +\infty)$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Inecuații de gradul II: semnul

Ce fac la o inecuație de gradul II cu a negativ?

Înmulțești inecuația cu $- 1$ și schimbi sensul, ca să lucrezi cu $a > 0$ . Exemplu: $- x^{2} + 11 x - 24 > 0$ devine $x^{2} - 11 x + 24 < 0$ . Rădăcinile sunt $3$ și $8$ , iar trinomul cu $a > 0$ este negativ între ele, deci $x \in (3; 8)$ . Proba: $x = 5$ dă $- 25 + 55 - 24 = 6 > 0$ , deci în interior inecuația e adevărată, iar $x = 9$ dă $- 81 + 99 - 24 = - 6$ , deci 9 e în afara soluției.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Un trinom $a x^{2} + b x + c$ are un semn care depinde de coeficientul $a$ și de rădăcini. Graficul este o parabolă: cu $a > 0$ ramurile urcă, cu $a < 0$ coboară. Pe exteriorul rădăcinilor trinomul păstrează semnul lui $a$ , iar între ele îl schimbă; la $Δ < 0$ nu există rădăcini și semnul lui $a$ rămâne peste tot.

Rezolvarea unei inecuații: duci totul într-o parte, până rămâne comparația cu zero; la înmulțire sau împărțire cu un număr negativ schimbi sensul; calculezi $Δ$ și rădăcinile; citești zona cu semnul cerut; aplici restricțiile problemei; verifici cu câte o valoare din fiecare zonă.

Capetele se scriu rotund la inegalități stricte și pătrat la cele cu egal. La numere naturale începi de la $0$ , iar zecimalele unei ore se transformă în minute înmulțind cu $60$ . Dacă ți se cere să demonstrezi o inegalitate valabilă pe tot $R$ , trebuie ca $a$ să aibă semnul potrivit, iar $Δ$ să nu fie pozitiv.

Dacă rezultatul vine dintr-un model de meserie, interpretezi intervalul în cuvintele problemei și scrii unitatea de măsură.

De reținut

$a < 0$ : înmulțești cu $- 1$ și schimbi sensul
zonele de semn: semnul lui $a$ la exterior, semnul opus între rădăcini
capetele sunt rotunde la $<$ și $>$ , drepte la $\leq$ și $\geq$

Greșeala tipică

Se înmulțește cu $- 1$ fără să se schimbe sensul. Din $- x^{2} + 11 x - 24 > 0$ se scrie greșit $x^{2} - 11 x + 24 > 0$ , adică $x < 3$ sau $x > 8$ , deși proba cu $x = 9$ dă $- 6$ , nu o valoare pozitivă.

Exerciții din această mini-lecție

Fără să rezolvi vreo ecuație, spune care dintre trinoamele de mai jos are valori strict negative pentru orice număr real $x$ .
- a) $- x^{2} + 12 x - 27$
- b) $5 x^{2} - 6 x + 3$
- c) $- 4 x^{2} + 12 x - 9$
- d) $- 2 x^{2} + 8 x - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 2 x^{2} + 8 x - 9$

Un trinom este strict negativ pentru orice $x$ când $a < 0$ și $Δ < 0$ . La $- 2 x^{2} + 8 x - 9$ , $a = - 2$ și $Δ = 64 - 72 = - 8$ , deci ramurile sunt în jos și parabola nu atinge axa. Trinomul $- x^{2} + 12 x - 27$ are $Δ = 144 - 108 = 36 > 0$ și este pozitiv între $3$ și $9$ ; $5 x^{2} - 6 x + 3$ are $Δ = 36 - 60 = - 24$ , dar $a > 0$ , deci este pozitiv; iar $- 4 x^{2} + 12 x - 9 = - (2 x - 3)^{2}$ are $Δ = 0$ și se anulează în $x = 1, 5$ .
Profitul zilnic al unui magazin care vinde produse în cutii, în sute de lei, este $P (x) = - x^{2} + 22 x - 72$ , unde $x$ este numărul de zeci de bucăți vândute. Pentru ce valori ale lui $x$ magazinul are profit strict pozitiv?
- a) $[4; 18]$
- b) $(4; 18)$
- c) $(- \infty; 4) \cup (18; + \infty)$
- d) $(4; 11)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(4; 18)$

Trinomul $- x^{2} + 22 x - 72$ are $Δ = 484 - 288 = 196$ și rădăcinile $x = \frac{- 22 \pm 14}{- 2}$ , adică $4$ și $18$ . Coeficientul $a = - 1$ este negativ, deci trinomul e pozitiv între rădăcini, pe $(4; 18)$ . Varianta cu paranteze drepte include rădăcinile, unde profitul este chiar $0$ , nu strict pozitiv, iar reuniunea ia zonele din afară, unde profitul este negativ. Varianta $(4; 11)$ se oprește la vârful parabolei, $x = 11$ , în loc să meargă până la a doua rădăcină.
Pe un șantier, un jet de apă de la o pompă de beton urmează curba $h (x) = - 0, 5 x^{2} + 6 x + 1, 5$ , unde $x$ este distanța orizontală, iar $h$ înălțimea, ambele în metri. Pe ce porțiune orizontală este jetul strict peste înălțimea de $15$ m?
- a) $(- \infty; 3) \cup (9; + \infty)$
- b) $[3; 9]$
- c) $(3; 9)$
- d) $(3; 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(3; 9)$

Condiția $- 0, 5 x^{2} + 6 x + 1, 5 > 15$ dă $- 0, 5 x^{2} + 6 x - 13, 5 > 0$ ; înmulțim cu $- 2$ și schimbăm sensul: $x^{2} - 12 x + 27 < 0$ . Rădăcinile sunt $x = \frac{12 \pm 6}{2}$ , adică $3$ și $9$ , iar trinomul cu $a > 0$ este negativ între ele, deci $(3; 9)$ . Reuniunea nu schimbă sensul inegalității, $[3; 9]$ include capetele, unde jetul este exact la $15$ m, nu peste, iar $(3; 6)$ se oprește la vârf, $x = 6$ .

Întrebări conexe

Când nu are soluții o inecuație de gradul II?

Nu are soluții când trinomul nu poate avea semnul cerut. La $x^{2} - 2 x + 7 < 0$ avem $Δ = 4 - 28 = - 24$ și $a = 1 > 0$ , deci trinomul este pozitiv peste tot și mulțimea soluțiilor este vidă. Un exemplu de valoare: $x = 1$ dă $1 - 2 + 7 = 6 > 0$ .

Câte numere întregi sunt într-un interval cu capete zecimale?

Numeri întregii de la primul întreg mai mare decât capătul de jos până la ultimul mai mic decât capătul de sus. În intervalul $(- 2, 3; 4, 8)$ sunt întregii $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$ , adică $7$ numere. Capetele zecimale nu sunt întregi, deci nu se pune problema includerii lor.

Cum rezolv două inecuații de gradul II împreună?

Rezolvi fiecare inecuație separat și faci intersecția soluțiilor, adică păstrezi numai valorile care le verifică pe amândouă. Prima, $x^{2} - 10 x + 21 \leq 0$ , dă $[3; 7]$ . A doua, $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ , dă $(- \infty; - 1] \cup [5; + \infty)$ . Intersecția este $[5; 7]$ , iar $x = 6$ verifică ambele: $36 - 60 + 21 = - 3$ și $36 - 24 - 5 = 7$ .

Cum scap de zecimale într-o inecuație de gradul II?

Înmulțești toată inecuația cu un număr pozitiv care face coeficienții întregi, deci sensul rămâne. La $0, 2 x^{2} - 2, 6 x + 8 \leq 0$ , înmulțirea cu $5$ dă $x^{2} - 13 x + 40 \leq 0$ , cu rădăcinile $5$ și $8$ și soluția $[5; 8]$ . Proba: $x = 6, 5$ dă $0, 2 \cdot 42, 25 - 16, 9 + 8 = - 0, 45$ .

Cum apare semnul trinomului în probele oficiale?

Inecuațiile cu trinom au apărut în 22 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la Subiectul al II-lea. Se cer fie numerele naturale sau reale care verifică o inegalitate, fie să arăți că aceasta este adevărată pentru orice număr real, caz în care discriminantul trebuie să fie cel mult zero.

Oamenii mai întreabă și: inecuație de gradul 2 cu coeficientul lui x² negativ · când schimb sensul inegalității la trinom · semnul trinomului cu ramuri în jos · inecuație ax2 plus bx plus c cu a mai mic ca zero