Când trinomul e pozitiv: liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

După o ploaie puternică, nivelul apei dintr-un bazin de retenție urcă și apoi coboară. Pe care interval de timp stă deasupra cotei de alarmă? Răspunsul e semnul unui trinom de gradul al doilea, adică al unei expresii $a x^{2} + b x + c$ . Lecția arată, pentru clasa a IX-a a liceului tehnologic, cum se află acest semn, iar la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) tema a apărut în 22 de probe, de fiecare dată la punctul c al unei probleme din Subiectul II.

Situația de pornire

Platforma unei fabrici are un bazin de retenție pentru apele pluviale, adânc de 3 m. Când plouă, apa de pe platformă intră în bazin prin canalizare, iar două pompe îl golesc în același timp. Un senzor citește nivelul apei, în centimetri, la anumite ore după începutul ploii. Dispeceratul a notat patru citiri, din care operatorii nu pot afla singuri momentele exacte. În fișa tehnică, cota de alarmă este de 180 cm: peste ea, dispeceratul primește alarma și trimite o echipă să verifice grătarele și pompele. Proiectantul instalației a modelat nivelul din această ploaie cu formula $h (t) = - 3 t^{2} + 51 t + 24$ , unde $t$ este numărul de ore de la începutul ploii, iar $h$ nivelul în centimetri.

Ora citirii, $t$ (h)	Nivelul, $h$ (cm)
3	150
7	234
12	204
16	72

Întrebare: în ce interval de timp, după începutul ploii, depășește nivelul cota de alarmă de 180 cm, și cât timp rămâne deasupra ei?

De la situație la model

Citirile arată că nivelul trece de 180 cm între 3 și 7 ore și coboară sub 180 cm între 12 și 16 ore. Momentele exacte se află cu ajutorul unui trinom. Tabelul traduce situația.

În situație	În matematică
nivelul apei la ora $t$	valoarea funcției $h (t) = - 3 t^{2} + 51 t + 24$
nivelul depășește cota de alarmă	inecuația $h (t) > 180$
trecerea apei prin cota de alarmă	rădăcinile ecuației $h (t) = 180$
intervalul de timp cerut	mulțimea soluțiilor inecuației

Un trinom de gradul al doilea este o expresie de forma $a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq = 0$ . Semnul lui, adică ce valori are, pozitive sau negative, depinde de două lucruri: de semnul coeficientului $a$ și de rădăcinile trinomului, dacă există.

Cum afli semnul când trinomul are două rădăcini?

Graficul unui trinom este o parabolă. Cu $a > 0$ , ramurile ei sunt în sus; cu $a < 0$ , în jos. Dacă taie axa $O x$ în două puncte, $x_{1} < x_{2}$ , valorile trinomului schimbă semnul exact în aceste puncte. În afara rădăcinilor, trinomul are semnul lui $a$ ; între ele, semnul opus. Cele trei cazuri după discriminantul $Δ = b^{2} - 4 a c$ stau în tabelul de mai jos.

Discriminantul	Semnul trinomului $a x^{2} + b x + c$
$Δ > 0$	semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn opus între ele
$Δ = 0$	semnul lui $a$ peste tot, în afară de rădăcina dublă, unde valoarea este zero
$Δ < 0$	semnul lui $a$ peste tot, niciodată zero

Cum duci o inecuație la semnul unui trinom?

Treci tot ce e în dreapta în stânga, până rămâne comparația cu zero. La bazin, $h (t) > 180$ devine $- 3 t^{2} + 51 t - 156 > 0$ . Dacă $a < 0$ , înmulțești inecuația cu $- 1$ și schimbi sensul ei: $3 t^{2} - 51 t + 156 < 0$ ; sau împarți cu $- 3$ , ca să iasă coeficienți mai mici, tot cu schimbarea sensului: $t^{2} - 17 t + 52 < 0$ . Împărțirea cu un număr pozitiv nu schimbă sensul; înmulțirea sau împărțirea cu unul negativ îl schimbă.

Cum scrii mulțimea soluțiilor?

Soluția e un interval sau o reuniune de intervale. La inegalități stricte ( $<$ , $>$ ) capetele se scriu cu paranteze rotunde, fiindcă în rădăcini trinomul e zero, deci nu e nici pozitiv, nici negativ. La inegalități cu egal ( $\leq$ , $\geq$ ) capetele se scriu cu paranteze drepte. Dacă problema cere numere naturale sau întregi, numeri valorile din interval; legătura dintre rădăcini și graficul parabolei apare și în lecția despre ecuația de gradul II și Δ.

Metoda pas cu pas

Adu inecuația la forma $f (x) ≷ 0$ , cu tot ce are în stânga și zero în dreapta. Dacă $a < 0$ , înmulțește cu $- 1$ și schimbă sensul inegalității, ca să lucrezi cu $a > 0$ ; dacă toți coeficienții se împart la același număr pozitiv, împarte-i, ca să ai numere mai mici.
Calculează $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Dacă $Δ \geq 0$ , află rădăcinile $x_{1} \leq x_{2}$ , cu formula din lecția despre ecuația de gradul II, și ordonează-le pe axă. Dacă $Δ < 0$ , nu există rădăcini și semnul trinomului nu se schimbă: e semnul lui $a$ peste tot. La $Δ = 0$ rădăcina e dublă: trinomul e zero în ea și are semnul lui $a$ în rest.
Scrie semnul trinomului pe cele trei zone: în afara rădăcinilor semnul lui $a$ , între ele semnul opus. Un desen mic al parabolei te ajută: ramuri în sus sau în jos, rădăcinile pe axă, vârful la mijloc.
Citește mulțimea soluțiilor: zona cu semnul cerut, cu paranteze rotunde sau drepte după tipul inegalității. Apoi aplică restricțiile problemei: numere naturale, domeniul din enunț, unitatea de timp sau de măsură. Când cerința e „arată că inegalitatea e adevărată pentru orice $x$ ”, ai nevoie de semnul potrivit al lui $a$ și de $Δ < 0$ ; la o inegalitate cu egal ( $\geq$ , $\leq$ ) merge și $Δ = 0$ , fiindcă în rădăcina dublă trinomul e zero.
Verifică: alege câte o valoare de probă din fiecare zonă și calculează valoarea trinomului în ea; verifică separat rădăcinile, ca să vezi dacă intră sau nu în soluție, și scrie răspunsul cu unitatea lui. Dacă o valoare de probă nu verifică inecuația inițială, ai greșit sensul sau rădăcinile.

Alte teme din traseul clasei sunt în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică; iar când trinomul apare în sistemele cu o dreaptă, vezi dreapta și parabola.

Fișa de buzunar

$Δ > 0 : a \cdot f (x) < 0 \overset{ı}{ˆ} ntre r \overset{a}{˘} d \overset{a}{˘} cini, a \cdot f (x) > 0 \overset{ı}{ˆ} n afara lor$

$Δ \leq 0 : a \cdot f (x) \geq 0 pentru orice x$

Se aplică la $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq = 0$ , iar $a \cdot f (x)$ spune dacă $f$ are semnul lui $a$ sau semnul opus. Capete: rotunde la $<$ și $>$ , drepte la $\leq$ și $\geq$ . La $Δ = 0$ valoarea zero apare o singură dată, în rădăcina dublă. Verificare rapidă: o valoare de probă din fiecare zonă și rădăcinile.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Nivelul apei peste cota de alarmă

Domeniu: mediu.

Enunț. Pentru bazinul de retenție, $h (t) = - 3 t^{2} + 51 t + 24$ , în centimetri, cu $t$ în ore. Aflați când depășește nivelul cota de alarmă de 180 cm și cât timp rămâne deasupra ei.

Rezolvare. Nivelul depășește cota când $h (t) > 180$ . Inecuația este $- 3 t^{2} + 51 t + 24 > 180$ , adică $- 3 t^{2} + 51 t - 156 > 0$ , fiindcă $24 - 180 = - 156$ . Împărțim cu $- 3$ și schimbăm sensul: $t^{2} - 17 t + 52 < 0$ . Aici $a = 1$ și $Δ = 289 - 208 = 81 > 0$ , deci rădăcinile sunt reale: $t = \frac{17 \pm 9}{2}$ , adică $t_{1} = 4$ și $t_{2} = 13$ . Trinomul $t^{2} - 17 t + 52$ are semnul lui $a$ , plus, în afara rădăcinilor, și minus între ele. Cerem valori negative, deci $t \in (4; 13)$ . Nivelul stă deasupra cotei de alarmă între 4 și 13 ore după începutul ploii, adică $13 - 4 = 9$ ore. Vârful parabolei, la mijlocul intervalului, $t = 8, 5$ , dă nivelul maxim: $h (8, 5) = - 216, 75 + 433, 5 + 24 = 240, 75$ cm, sub adâncimea de 300 cm a bazinului.

Capcană. Dacă uiți să schimbi sensul la înmulțirea cu $- 1$ sau la împărțirea cu $- 3$ , ajungi la $t^{2} - 17 t + 52 > 0$ , adică $t < 4$ sau $t > 13$ . Răspunsul ar spune că nivelul e peste alarmă la începutul ploii, deși $h (0) = 24$ cm.

Verificare. La $t = 7$ nivelul este 234 cm, peste 180. La $t = 3$ este 150 cm și la $t = 16$ este 72 cm, sub 180, ca în tabel. În rădăcini, $h (4) = - 48 + 204 + 24 = 180$ și $h (13) = - 507 + 663 + 24 = 180$ : nivelul atinge cota, dar n-o depășește, deci capetele nu intră.

Exemplul 2 — Tensiunea care nu coboară sub un prag

Domeniu: electric.

Enunț. Într-o hală, o bară de alimentare de 22 m e alimentată la ambele capete, iar mașinile sunt legate uniform de-a lungul ei. La o încărcare dată, tensiunea la $x$ metri de capătul din stânga este $U (x) = 0, 1 x^{2} - 2, 2 x + 231$ , în volți, pentru $0 \leq x \leq 22$ . (a) Arătați că tensiunea nu coboară sub 218,9 V în niciun punct al barei. (b) Aparatele sensibile cer cel puțin 219 V. Pe ce porțiune a barei tensiunea este strict sub 219 V, adică ele nu au voie să fie legate?

Rezolvare. (a) Mutăm 218,9 în stânga și înmulțim cu 10: inegalitatea $U (x) \geq 218, 9$ devine $x^{2} - 22 x + 121 \geq 0$ . Trinomul are $Δ = 484 - 484 = 0$ , deci semnul lui $a = 1$ peste tot, cu valoarea zero în rădăcina dublă $x = 11$ . El e pătratul numărului $x - 11$ , iar un pătrat nu poate fi negativ. Deci $U (x) \geq 218, 9$ pentru orice $x$ , cu egalitate la $x = 11$ , la mijlocul barei, unde tensiunea are minimul ei de 218,9 V. (b) Inegalitatea $U (x) < 219$ devine, după înmulțirea cu 10, $x^{2} - 22 x + 120 < 0$ , cu $Δ = 484 - 480 = 4$ și rădăcinile $x = \frac{22 \pm 2}{2}$ , adică 10 și 12. Trinomul e negativ între rădăcini: $x \in (10; 12)$ , adică pe cei 2 m din mijlocul barei.

Capcană. Inegalitatea de la (b) e strictă, deoarece cerem tensiunea strict sub 219 V. Cine scrie $[10; 12]$ oprește și punctul $x = 10$ , unde $U (10) = 10 - 22 + 231 = 219$ V, deci aparatele ar putea fi legate acolo.

Verificare. În mijlocul intervalului, $U (11) = 12, 1 - 24, 2 + 231 = 218, 9$ V, sub 219 V, deci zona aleasă e bună. În afara lui, $U (9) = 8, 1 - 19, 8 + 231 = 219, 3$ V și $U (13) = 16, 9 - 28, 6 + 231 = 219, 3$ V, deci peste 219 V. La capete, $U (0) = U (22) = 231$ V, tensiunea de alimentare.

Exemplul 3 — Temperatura din adăpost, în ore și minute

Domeniu: zootehnie.

Enunț. La o fermă de vaci, ventilația adăpostului pornește când temperatura depășește 20 °C. De la ora 6:00, $t$ ore mai târziu, temperatura din adăpost este $T (t) = - 0, 25 t^{2} + 4 t + 6$ , în grade Celsius, pentru $0 \leq t \leq 16$ . Între ce ore, exprimate în ore și minute, trebuie să funcționeze ventilația?

Rezolvare. Inecuația este $- 0, 25 t^{2} + 4 t + 6 > 20$ , adică $- 0, 25 t^{2} + 4 t - 14 > 0$ . Înmulțim cu $- 4$ și schimbăm sensul: $t^{2} - 16 t + 56 < 0$ . Avem $Δ = 256 - 224 = 32$ , iar $32 \approx 5, 657$ , deci $t = \frac{16 \pm 5 , 657}{2}$ , adică $t_{1} \approx 5, 17$ și $t_{2} \approx 10, 83$ . Ventilația trebuie să meargă pentru $t \in (5, 17; 10, 83)$ . Rădăcinile sunt ore zecimale, dar adăpostul se reglează în ore și minute, așa că le transformăm: $0, 17$ h $= 0, 17 \cdot 60 \approx 10$ min și $0, 83$ h $= 0, 83 \cdot 60 \approx 50$ min. Deci intervalul e de la $5 h 10 min$ la $10 h 50 min$ după ora 6:00, adică de la 11:10 la 16:50.

Capcană. Zecimalele unei ore nu sunt minute: $5, 17$ h nu înseamnă 5 h 17 min, ci 5 h 10 min. Cine citește greșit pornește ventilația la 11:17, cu 7 minute prea târziu.

Verificare. La ora 12:00, $t = 6$ și $T = - 9 + 24 + 6 = 21$ °C, peste 20 °C; la 11:00, $t = 5$ și $T = - 6, 25 + 20 + 6 = 19, 75$ °C, sub 20 °C. Rotunjirea e în favoarea animalelor: ventilația pornește puțin mai devreme și se oprește puțin mai târziu decât momentele exacte.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: numere naturale dintr-o lege de compoziție

Domeniu: economic.

Enunț. Cerința e de tipul celor din Subiectul II de la Bacalaureatul M3. Pe mulțimea numerelor reale se definește o lege de compoziție, noțiune din clasa a XII-a: $x \circ y = x + y + \frac{x y}{100}$ . Ea dă variația totală, în procente, a două variații succesive de $x$ % și de $y$ %: pentru $x = y = 30$ se obține 69 %, adică $1, 3 \cdot 1, 3 = 1, 69$ . Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n \circ n \leq 69$ .

Rezolvare. Punem $x = y = n$ în definiția legii și calculăm $n \circ n = 2 n + \frac{n ^{2}}{100}$ . Inecuația $2 n + \frac{n ^{2}}{100} \leq 69$ se înmulțește cu 100 și devine $n^{2} + 200 n - 6900 \leq 0$ . Aici $Δ = 40000 + 27600 = 67600 = 26 0^{2}$ , deci $n = \frac{- 200 \pm 260}{2}$ , adică $- 230$ și $30$ . Trinomul e negativ sau zero între rădăcini: $n \in [- 230; 30]$ . Numerele naturale din interval sunt $0, 1, 2, \dots, 30$ , adică 31 de numere.

Capcană. Cine numără de la 1 obține 30 de valori. Dar 0 e număr natural: $0 \circ 0 = 0 \leq 69$ , adică nicio variație și deci niciun efect, iar inegalitatea e adevărată.

Verificare. Pentru $n = 30$ : $30 \circ 30 = 60 + 9 = 69$ , deci intră. Pentru $n = 31$ : $62 + 9, 61 = 71, 61 > 69$ , deci nu intră.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Rezolvă în $R$ inecuațiile: a) $x^{2} - 25 x + 126 < 0$ ; b) $- x^{2} + 6 x + 55 \geq 0$ ; c) $3 x^{2} + 2 x - 40 > 0$ .

2. Rezolvă în $R$ : a) $9 x^{2} - 60 x + 100 \geq 0$ ; b) $9 x^{2} - 60 x + 100 > 0$ ; c) $9 x^{2} - 60 x + 100 \leq 0$ ; d) $x^{2} + 14 x + 59 < 0$ . Pentru fiecare, spune în cuvinte de ce are acea soluție.

3. Câte numere întregi, și câte naturale, verifică inecuația $x^{2} - 9 x - 36 \leq 0$ ?

4. Graficul funcției $f (x) = x^{2} + b x + c$ este o parabolă care taie axa $O x$ în punctele de abscise $- 6$ și $17$ . a) Scrie $f (x)$ și calculează $f (0)$ . b) Rezolvă inecuația $f (x) \geq f (0)$ și explică rezultatul pe grafic, cu axa de simetrie a parabolei.

Nivelul 2 — situații

5. La un lan de porumb, producția, în chintale pe hectar, depinde de doza de azot, $x$ kg pe hectar: $Y (x) = - 0, 004 x^{2} + 1, 2 x + 20$ , cu $0 \leq x \leq 200$ . Ce doze dau cel puțin 95 q/ha? Rotunjește capătul inferior în favoarea siguranței.

6. Consumul unei dube de marfă, în litri la 100 km, depinde de viteza $v$ , în km/h: $C (v) = 0, 001 v^{2} - 0, 14 v + 11, 5$ , pentru $20 \leq v \leq 130$ . La ce viteze nu depășește consumul 7 L la 100 km și care este cel mai mic consum?

7. Un atelier face paleți de lemn pe comandă. La un lot de $n$ paleți, cu $10 \leq n \leq 110$ , costul unui palet este $C (n) = 0, 02 n^{2} - 2, 4 n + 103$ lei: la loturi mici se plătesc reglajele mașinilor, la loturi mari orele suplimentare. Paletul se vinde cu 39 lei. Pentru ce loturi costul unui palet depășește prețul de vânzare? Ce lot dă cel mai mic cost pe palet?

8. Producția utilă a unui cuptor de patiserie, în kg pe oră, depinde de temperatura $x$ , în °C, după modelul $P (x) = - 0, 5 (x - 160) (x - 240)$ : sub 160 °C produsele nu se coc, iar peste 240 °C se ard. a) La ce temperaturi producția utilă este de cel puțin 600 kg/h? b) Tehnologul reglează cuptorul la 215 °C. Câte grade mai are până la limita de sus a acestui interval?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 2 x y - 5 (x + y) + 6$ . Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n \circ n \leq 34$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 3 x y - 4 (x + y) + 5$ . Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \circ (1 - x) \geq - 5$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y - 17 (x + y) + 301$ . Arătați că $(x + 4) \circ (x - 4) \geq - 4$ , pentru orice număr real $x$ .

12. (Sinteză.) Determinați numerele întregi $x$ care verifică, în același timp, inecuațiile $x^{2} - 19 x + 60 \leq 0$ și $x^{2} - 5 x - 104 \geq 0$ .

Răspunsuri și verificări

1. a) $Δ = 625 - 504 = 121$ , rădăcinile 7 și 18; negativ între ele: $x \in (7; 18)$ . b) Înmulțim cu $- 1$ : $x^{2} - 6 x - 55 \leq 0$ , cu $Δ = 256$ și rădăcinile $- 5$ și 11: $x \in [- 5; 11]$ . c) $Δ = 4 + 480 = 484$ , rădăcinile $- 4$ și $\frac{10}{3}$ ; pozitiv în afara lor: $x \in (- \infty; - 4) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$ . Verificare: la a) $x = 10$ dă $- 24 < 0$ ; la b) $x = 0$ dă $55 \geq 0$ ; la c) $x = 4$ dă $16 > 0$ .

2. Trinomul $9 x^{2} - 60 x + 100 = (3 x - 10)^{2}$ are $Δ = 3600 - 3600 = 0$ și se anulează numai la $x = \frac{10}{3}$ . a) $R$ , fiindcă un pătrat nu e negativ. b) $R ∖ {\frac{10}{3}}$ . c) ${\frac{10}{3}}$ . d) $Δ = 196 - 236 < 0$ și $a > 0$ , deci e pozitiv peste tot: $\emptyset$ . Verificare: la d), $x = - 7$ dă $10 > 0$ .

3. $Δ = 81 + 144 = 225$ , rădăcinile $- 3$ și 12, soluția $[- 3; 12]$ . Întregi: de la $- 3$ la 12, adică 16 numere; naturale: de la 0 la 12, adică 13 numere. Verificare: $x = 12$ dă 0, iar $x = 13$ dă 16.

4. a) Cu $a = 1$ și punctele $- 6$ și 17 de pe axa $O x$ : $f (x) = (x + 6) (x - 17) = x^{2} - 11 x - 102$ , deci $f (0) = - 102$ . b) $f (x) \geq - 102$ înseamnă $x^{2} - 11 x \geq 0$ , adică $x (x - 11) \geq 0$ , cu rădăcinile 0 și 11, deci $x \in (- \infty; 0] \cup [11; \infty)$ . Pe grafic, orizontala prin $(0; - 102)$ taie parabola și în simetricul lui 0 față de axa $x = 5, 5$ , adică la 11. Verificare: $f (11) = - 102$ , iar $f (5) = - 132 < - 102$ .

5. Inecuația $- 0, 004 x^{2} + 1, 2 x + 20 \geq 95$ devine, înmulțind cu $- 250$ , $x^{2} - 300 x + 18750 \leq 0$ . $Δ = 15000$ , $15000 \approx 122, 47$ , rădăcinile $x \approx 88, 76$ și $x \approx 211, 24$ . Cu $x \leq 200$ rămâne $[88, 76; 200]$ ; rotunjit în sus, 89 kg/ha. Verificare: $Y (89) \approx 95, 1$ , iar $Y (200) = 100$ .

6. Inecuația $0, 001 v^{2} - 0, 14 v + 11, 5 \leq 7$ devine, înmulțind cu 1000, $v^{2} - 140 v + 4500 \leq 0$ , cu $Δ = 1600$ și rădăcinile 50 și 90: $v \in [50; 90]$ km/h. Consumul minim e în vârf, la $v = 70$ km/h, unde $C (70) = 4, 9 - 9, 8 + 11, 5 = 6, 6$ L la 100 km. Verificare: $C (50) = C (90) = 7$ L la 100 km.

7. $C (n) > 39$ înseamnă $0, 02 n^{2} - 2, 4 n + 64 > 0$ , adică, înmulțind cu 50, $n^{2} - 120 n + 3200 > 0$ , cu $Δ = 1600$ și rădăcinile 40 și 80. Trinomul e pozitiv în afara lor, deci loturile de 10–39 și de 81–110 paleți au costul peste 39 lei. Costul minim e la mijloc: $C (60) = 72 - 144 + 103 = 31$ lei. Verificare: $C (40) = C (80) = 39$ lei, egal, nu peste.

8. a) $P (x) \geq 600$ înseamnă $(x - 160) (x - 240) \leq - 1200$ , adică $x^{2} - 400 x + 39600 \leq 0$ , cu $Δ = 1600$ și rădăcinile 180 și 220. Soluția e $[180; 220]$ °C. b) Până la 220 °C mai are 5 °C. Verificare: $P (180) = P (220) = 600$ kg/h, iar $P (200) = 800$ kg/h.

9. Avem $n \circ n = 2 n^{2} - 10 n + 6$ . Inecuația $2 n^{2} - 10 n + 6 \leq 34$ devine $n^{2} - 5 n - 14 \leq 0$ , cu $Δ = 81$ și rădăcinile $- 2$ și 7. Între rădăcini trinomul e negativ sau zero: $n \in [- 2; 7]$ , deci $n \in {0, 1, \dots, 7}$ . Verificare: $7 \circ 7 = 98 - 70 + 6 = 34 \leq 34$ , iar $8 \circ 8 = 54 > 34$ .

10. Avem $x \circ (1 - x) = 3 x (1 - x) - 4 \cdot 1 + 5 = - 3 x^{2} + 3 x + 1$ , fiindcă $x + (1 - x) = 1$ . Inecuația $- 3 x^{2} + 3 x + 1 \geq - 5$ devine $x^{2} - x - 2 \leq 0$ , cu rădăcinile $- 1$ și 2: $x \in [- 1; 2]$ . Verificare: la $x = 0$ , $0 \circ 1 = 1 \geq - 5$ ; la $x = 2$ , $2 \circ (- 1) = - 6 - 4 + 5 = - 5$ , deci egalitatea e atinsă.

11. Avem $(x + 4) \circ (x - 4) = (x + 4) (x - 4) - 17 \cdot 2 x + 301 = x^{2} - 34 x + 285$ . Cerința $x^{2} - 34 x + 285 \geq - 4$ devine $x^{2} - 34 x + 289 \geq 0$ , cu $Δ = 1156 - 1156 = 0$ și $a = 1 > 0$ . Inegalitatea e adevărată pentru orice $x$ , cu egalitate la $x = 17$ . Verificare: la $x = 17$ , $21 \circ 13 = 273 - 578 + 301 = - 4$ , iar la $x = 0$ , $4 \circ (- 4) = 285 \geq - 4$ .

12. Prima are rădăcinile 4 și 15: $x \in [4; 15]$ . A doua, rădăcinile $- 8$ și 13, e pozitivă în afara lor: $x \in (- \infty; - 8] \cup [13; \infty)$ . Intersecția $[13; 15]$ conține întregii 13, 14 și 15. Verificare: la $x = 14$ valorile sunt $- 10 \leq 0$ și $22 \geq 0$ ; la $x = 12$ , a doua dă $- 20 < 0$ .

Așa vine la Bac M3

Programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) trece inecuațiile de forma $a x^{2} + b x + c \leq 0$ în clasa a IX-a, în blocul despre interpretarea geometrică a proprietăților funcției de gradul al II-lea, lângă poziționarea parabolei față de axa $O x$ . Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, tema a apărut în 22, adică în mai mult de un sfert dintre ele, iar 13 din acestea sunt din 2022–2026. În toate cele 22, cerința este punctul c al unei probleme din Subiectul al II-lea, la finalul unei probleme cu o lege de compoziție, noțiune din clasa a XII-a, sau cu matrici, din clasa a XI-a. Trei cerințe reale, din probe diferite, arată formele în care vine:

Iunie 2018, rezervă, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: o lege de compoziție pe $R$ e dată printr-o formulă în enunț, iar cerința este să determini numerele naturale $n$ pentru care $n \circ n \leq 10$ ; baremul probei aduce inecuația la un produs de doi factori cu zerourile 8 și 10 (2 puncte), apoi scrie $n = 8$ , $n = 9$ sau $n = 10$ (3 puncte). Pasul 2 din Metodă dă rădăcinile 8 și 10, iar pasul 4 alege numerele naturale din interval.
Modelul din 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: cu o altă lege de compoziție se cere mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \circ (- 2 x) \geq 0$ ; baremul scrie expresia ca trinom de gradul al doilea (2 puncte), apoi rezolvă inecuația și obține intervalul cu capetele $- \frac{1}{4}$ și 1, ambele incluse (3 puncte). Pasul 1 din Metodă aduce expresia la forma cu zero în dreapta, iar pașii 2–4 dau intervalul.
Simularea din 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: cu o a treia lege de compoziție se cere să arăți că $(x - 2) \circ (x + 2) \geq - 3$ pentru orice număr real $x$ ; baremul scrie expresia ca trinom (2 puncte), apoi o aduce la un pătrat plus o constantă și concluzionează (3 puncte). Trinomul care rămâne după mutarea lui $- 3$ are $Δ = 0$ (pasul 2 din Metodă), deci semnul lui $a$ peste tot.

Legea de compoziție vine din clasa a XII-a, dar aici nu ai nevoie de teorie: o înlocuiești în enunț și, după calcul, rămâne un trinom. Pe lucrare scrie trinomul, $Δ$ , rădăcinile și mulțimea soluțiilor. Exercițiile 9–11 repetă cele trei forme, cu definiția legii scrisă în enunț.

Greșeli care costă puncte

Uiți să schimbi sensul inegalității la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ → cum o prinzi: pasul 5 din Metodă; o valoare de probă din zona aleasă trebuie să verifice inecuația inițială.
Pui paranteze drepte la o inegalitate strictă, sau rotunde la una cu egal → cum o prinzi: verifici rădăcinile separat, ca la apă, unde nivelul atinge cota fără să o depășească.
Citești partea zecimală a unei ore ca minute → cum o prinzi: înmulțești zecimalele cu 60; $0, 17$ h înseamnă aproximativ 10 minute.
Numeri doar de la 1 când cerința spune numere naturale → cum o prinzi: scrii primul și ultimul număr din interval, inclusiv 0, și le numeri.
Răspunzi „pentru orice $x$ ” fără să calculezi $Δ$ → cum o prinzi: la $Δ > 0$ trinomul schimbă semnul, deci afirmația e falsă; pentru „orice $x$ ” ai nevoie de $Δ \leq 0$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea inecuațiilor de gradul al doilea face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 22 de probe, la Subiectul al II-lea. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare, parțial, în unitatea XI.1 (calcul numeric și algebric aplicat) la unele profiluri (MAT_P4 și MAT_P5).

Întrebări frecvente

De ce nu intră în soluție momentele de 4 ore și de 13 ore? Pentru că inecuația e strictă: la 4 ore și la 13 ore nivelul este exact 180 cm, adică atinge cota de alarmă fără să o depășească. Rădăcinile se scriu cu paranteze rotunde, $(4; 13)$ . Dacă cerința ar fi „cel puțin 180 cm”, ele ar intra, iar intervalul s-ar scrie cu paranteze drepte.

Cum afli cât timp stă nivelul deasupra cotei de alarmă? Scazi cele două rădăcini: $13 - 4 = 9$ ore. Dar numai după ce ai verificat că între ele nivelul chiar e peste cotă, cu o valoare de probă, de exemplu $h (7) = 234$ cm, mai mare decât 180 cm. Fără verificare, o inecuație întoarsă greșit ți-ar da zona de dinafară, în care nivelul e sub cotă.

Ce s-ar întâmpla dacă cota de alarmă ar fi 250 cm? Nivelul maxim este 240,75 cm, deci cota de 250 cm n-ar fi atinsă niciodată. Calculul o confirmă: $- 3 t^{2} + 51 t + 24 > 250$ dă $3 t^{2} - 51 t + 226 < 0$ , cu $Δ = 2601 - 2712 = - 111 < 0$ , adică trinomul e pozitiv peste tot și inecuația nu are soluții: parabola rămâne tot timpul sub dreapta de 250 cm.

De ce se pornește ventilația la 11:10, nu la 11:11? Rădăcina exactă, $8 - 22 \approx 5, 1716$ h, înseamnă 5 h 10,3 min după ora 6:00, deci 11:10 și câteva secunde. Ora se rotunjește în favoarea animalelor: pornirea mai devreme, oprirea mai târziu, ca temperatura să nu depășească pragul nici măcar o clipă.

Ce cer concret probele de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) la semnul trinomului? Tema a apărut în 22 dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, mereu ca punctul c al unei probleme din Subiectul al II-lea, după o lege de compoziție sau o matrice. Se cere fie o mulțime de numere reale, întregi sau naturale, fie să arăți că inegalitatea e adevărată pentru orice $x$ . Rezolvarea trece prin același trinom, cu $Δ$ și rădăcinile.