Cum aflu semnul lui sin 5 fără calculator?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Semnele pe cadrane

Numărul $5$ se măsoară în radiani și se compară cu reperele $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ , $π \approx 3, 14$ , $\frac{3 π}{2} \approx 4, 71$ și $2 π \approx 6, 28$ . Cum $4, 71 < 5 < 6, 28$ , punctul $M (5)$ este în cadranul IV, sub axa orizontală. Deci $sin 5 < 0$ , iar $cos 5 > 0$ . Calculatorul, pus pe radiani, confirmă: $sin 5 \approx - 0, 959$ . Pe modul grade ar fi calculat sinusul lui $5^{\circ}$ , care este pozitiv.

Pentru un număr $t$ din $[0, 2 π]$ , semnul sinusului este semnul ordonatei punctului de pe cerc, iar semnul cosinusului este semnul abscisei. Tangenta, fiind un cât, are semnul dat de regula împărțirii.

Cadranele sunt intervale deschise între bornele $\frac{π}{2}$ , $π$ și $\frac{3 π}{2}$ . Sinusul este pozitiv deasupra axei orizontale, pe $(0, π)$ . Cosinusul este pozitiv la dreapta axei verticale, pe $[0, \frac{π}{2})$ și pe $(\frac{3 π}{2}, 2 π]$ ; capetele $0$ și $2 π$ nu stau în niciun cadran, dar au cosinusul $1$ . Tangenta este pozitivă în primul și al treilea cadran.

Un număr scris zecimal se măsoară în radiani și se încadrează între $1, 57$ , $3, 14$ , $4, 71$ și $6, 28$ ; lângă o bornă sunt necesare mai multe zecimale. Două condiții de semn despre funcții diferite fixează un singur cadran; trei condiții se pot contrazice, iar atunci nu rămâne niciunul.

Semnul unui produs sau al unui cât rezultă din semnele factorilor. O sumă are semn sigur numai când toți termenii au același semn. Într-o mișcare circulară cu centrul în origine, semnele coordonatelor arată dacă punctul este sus sau jos, la dreapta sau la stânga centrului.

De reținut

reperele: $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ , $π \approx 3, 14$ , $\frac{3 π}{2} \approx 4, 71$ , $2 π \approx 6, 28$
sinusul e pozitiv în cadranele I și II, cosinusul în I și IV, tangenta în I și III
semnul unui produs sau cât rezultă din semnele factorilor

Greșeala tipică

Se tratează numărul $5$ ca $5^{\circ}$ și se spune că sinusul este pozitiv; fără simbolul de grad, $5$ înseamnă $5$ radiani, adică un punct din cadranul IV.

Exerciții din această mini-lecție

Ce semn are $cos 21 5^{\circ}$ ?
- a) Pozitiv
- b) Negativ
- c) Zero
- d) Nu există
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Negativ

Unghiul este între $18 0^{\circ}$ și $27 0^{\circ}$ , în cadranul III, unde abscisa punctului este negativă.
În ce cadran se află punctul asociat numărului $\frac{3 π}{7}$ ?
- a) Cadranul I
- b) Cadranul II
- c) Cadranul III
- d) Cadranul IV
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Cadranul I

Fracția $\frac{3}{7}$ este mai mică decât $\frac{1}{2}$ , deci numărul este între $0$ și $\frac{π}{2}$ .
Despre $x \in [0, 2 π]$ se știe că $sin x < 0$ și $cos x > 0$ . Atunci:
- a) $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$
- b) $x \in (π, \frac{3 π}{2})$
- c) $x \in (\frac{π}{2}, π)$
- d) $x \in (0, \frac{π}{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$

Punctul este sub axa orizontală și la dreapta axei verticale, adică în cadranul IV.

Întrebări conexe

În ce cadran este $x$ dacă $sin x > 0$ și $tg x < 0$ ?

Sinusul pozitiv înseamnă cadranul I sau II. Tangenta negativă înseamnă cadranul II sau IV. Singurul cadran comun este al doilea, deci $x \in (\frac{π}{2}, π)$ . Acolo cosinusul este negativ, iar câtul $\frac{s i n x}{c o s x}$ iese negativ.

Ce semn are produsul $sin 2 \cdot cos 4$ ?

Numărul $2$ este între $1, 57$ și $3, 14$ , în cadranul II, deci $sin 2 > 0$ . Numărul $4$ este între $3, 14$ și $4, 71$ , în cadranul III, deci $cos 4 < 0$ . Produsul unui număr pozitiv cu unul negativ este negativ.

Ce semne au coordonatele unui punct care s-a rotit $4$ radiani pe un cerc?

Dacă punctul pornește din $(R, 0)$ și se rotește în sens trigonometric, ajunge în $(R cos 4, R sin 4)$ . Numărul $4$ este în cadranul III, deci ambele coordonate sunt negative: punctul este sub centru și la stânga lui. Aproximativ, $cos 4 \approx - 0, 65$ și $sin 4 \approx - 0, 76$ .

Are $sin x + cos x$ un semn fix în cadranul al doilea?

Nu. Acolo sinusul este pozitiv și cosinusul negativ, iar suma depinde de care este mai mare în modul. La $x = 2$ , $sin 2 + cos 2 \approx 0, 909 - 0, 416 > 0$ , iar la $x = 3$ , $sin 3 + cos 3 \approx 0, 141 - 0, 990 < 0$ . O sumă are semn sigur doar când termenii au același semn.

De ce $cos 0$ este pozitiv, deși $0$ nu aparține niciunui cadran?

Punctul asociat lui $0$ este $A (1, 0)$ , pe axa orizontală, iar cadranele sunt regiuni deschise dintre axe. Cosinusul este abscisa, adică $1$ , deci pozitiv. Semnul se citește din coordonate, chiar și pentru punctele de pe axe.

Oamenii mai întreabă și: semnul lui sinus de 5 · semnul sinusului unui număr în radiani · sin 5 pozitiv sau negativ · în ce cadran este 5 radiani

Cum aflu semnul lui sin 5 fără calculator?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

În ce cadran este x dacă sinx>0 și tgx<0?

Ce semn are produsul sin2⋅cos4?

Ce semne au coordonatele unui punct care s-a rotit 4 radiani pe un cerc?

Are sinx+cosx un semn fix în cadranul al doilea?

De ce cos0 este pozitiv, deși 0 nu aparține niciunui cadran?

Continuă cu

În ce cadran este $x$ dacă $sin x > 0$ și $tg x < 0$ ?

Ce semn are produsul $sin 2 \cdot cos 4$ ?

Ce semne au coordonatele unui punct care s-a rotit $4$ radiani pe un cerc?

Are $sin x + cos x$ un semn fix în cadranul al doilea?

De ce $cos 0$ este pozitiv, deși $0$ nu aparține niciunui cadran?