Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane (M2, științe ale naturii)

O bilă legată de un fir se rotește uniform într-un plan vertical. La fiecare moment, poziția ei față de centrul cercului are două coordonate, iar semnele lor spun, fără niciun calcul de lungime, dacă bila este deasupra sau sub centru și dacă este în dreapta sau în stânga lui. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), programa cere exact această competență: stabilirea semnului funcțiilor trigonometrice pentru un număr din intervalul $[0,2\pi ]$. La bacalaureatul M2, în modelul oficial 2026, trigonometria apare la Subiectul I, fără o cerință separată despre semn, dar semnul decide rezultatul oriunde trebuie ales între o valoare pozitivă și una negativă. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor trigonometrice.

Pornim de la reperul cartezian cu axele, originea și cadranele, studiat în unitatea de geometrie analitică, și de la definiția tangentei din lecția funcția tangentă pe intervalul de la 0 la 2π. Lecția de față nu introduce valori noi: citește semnul din poziția punctului pe cerc și îl folosește în trei direcții, de la unghi la semn, de la semne la cadran și de la semnele factorilor la semnul unei expresii.

Ce vei învăța

• Vei stabili cadranul unui număr din $[0,2\pi ]$ dat în grade, ca fracție de $\pi$ sau ca număr zecimal, comparându-l cu patru borne.
• Vei citi semnul sinusului, al cosinusului și al tangentei din poziția punctului, fără tabel memorat.
• Vei trata separat capetele și punctele de pe axe, unde una dintre funcții este zero sau nu există.
• Vei găsi cadranul din semnele a două funcții și vei recunoaște combinațiile imposibile.
• Vei stabili semnul unei expresii formate din produse, câturi și sume de termeni cu același semn.
• Vei interpreta semnele coordonatelor într-un model de mișcare circulară.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă semnul unei funcții trigonometrice?

Pentru fiecare $t\in [0,2\pi ]$, punctul $M(t)$ de pe cercul trigonometric are abscisa $\cos t$ și ordonata $\sin t$. Semnul unei coordonate depinde numai de partea planului în care se află punctul: la dreapta sau la stânga axei $Oy$, deasupra sau dedesubtul axei $Ox$.

Semnul funcției sinus în $t$ este semnul ordonatei punctului $M(t)$, iar semnul funcției cosinus este semnul abscisei lui. Semnul tangentei, acolo unde ea există, este semnul raportului dintre cele două coordonate. Prin urmare, trei întrebări despre funcții devin trei întrebări despre poziția unui singur punct.

Nu avem nevoie de valoarea funcției. Punctul pentru $t=0,7$, de exemplu, are coordonate pe care nu le putem scrie exact, dar știm că se află în partea din dreapta-sus a cercului, deci ambele coordonate sunt pozitive. Lecția întreagă se sprijină pe această separare: semnul se află mai ușor decât valoarea.

2. Cum se împarte intervalul [0, 2π] în cadrane?

Axele împart cercul în patru arce egale. Parcurgându-le în sens trigonometric, de la $A(1,0)$, obținem patru intervale deschise: primul cadran pentru $t\in (0,\frac{\pi }{2})$, al doilea pentru $t\in (\frac{\pi }{2},\pi )$, al treilea pentru $t\in (\pi ,\frac{3\pi }{2})$ și al patrulea pentru $t\in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$. În grade, bornele sunt $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$ și $360^{\circ }$.

Cele cinci numere $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$ nu aparțin niciunui cadran: punctele lor sunt pe axe. Acolo o coordonată este zero, deci funcția corespunzătoare nu este nici pozitivă, nici negativă. Numerele $0$ și $2\pi$ dau același punct, $A$, fiindcă o tură completă readuce punctul în poziția de pornire.

Figura rezumă ce urmează în secțiunile 3–5. Nu o învăța ca pe o listă: fiecare semn din ea se reface în câteva secunde, întrebându-te unde stă punctul față de cele două axe.

3. Când este sinusul pozitiv?

Ordonata este pozitivă deasupra axei orizontale. Punctele de pe arcul superior corespund numerelor dintre $0$ și $\pi$, deci $\sin t>0$ pentru $t\in (0,\pi )$, adică în primele două cadrane. Pe arcul inferior, pentru $t\in (\pi ,2\pi )$, ordonata este negativă, deci sinusul este negativ în cadranele al treilea și al patrulea.

Pentru un număr dat în grade, regula se citește la fel: un unghi între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, exclusiv capetele, are sinusul pozitiv, iar unul între $180^{\circ }$ și $360^{\circ }$ îl are negativ. Nu contează cât de aproape este unghiul de o axă; contează doar de ce parte a ei se află punctul.

Sinusul se anulează exact în $0$, $\pi$ și $2\pi$, capetele celor două arce. O verificare utilă este cu valorile pe axe: sinusul lui $\frac{\pi }{2}$ este $1$, pozitiv, iar sinusul lui $\frac{3\pi }{2}$ este $-1$, negativ; fiecare stă la mijlocul arcului său.

4. De ce cosinusul are două bucăți pozitive pe [0, 2π]?

Abscisa este pozitivă la dreapta axei verticale. Arcul din dreapta începe în $(0,-1)$, trece prin $A$ și se termină în $(0,1)$; parcurs în sens trigonometric, el conține numerele de la $\frac{3\pi }{2}$ la $2\pi$ și, după trecerea prin $A$, numerele de la $0$ la $\frac{\pi }{2}$. Pe intervalul $[0,2\pi ]$, scris ca segment al axei reale, acest arc apare deci în două bucăți.

Concluzia exactă este: $\cos t>0$ pentru $t\in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{3\pi }{2},2\pi ]$, iar $\cos t<0$ pentru $t\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$. Observă capetele: $0$ și $2\pi$ nu sunt în niciun cadran, dar cosinusul lor este $1$, deci pozitiv. Enunțul „cosinusul e pozitiv numai în primul și al patrulea cadran” este adevărat pentru cadrane, dar incomplet pentru interval.

Cosinusul se anulează în $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$. Acolo punctul este pe axa verticală, iar abscisa lui este zero.

5. Cum se află semnul tangentei?

Tangenta este câtul $\frac{\sin t}{\cos t}$, deci semnul ei urmează regula semnelor de la împărțire: câtul a două numere cu același semn este pozitiv, câtul a două numere cu semne contrare este negativ. În primul cadran ambele coordonate sunt pozitive, în al treilea ambele sunt negative, deci tangenta este pozitivă în aceste două cadrane și negativă în al doilea și al patrulea.

În $0$, $\pi$ și $2\pi$ tangenta este zero, fiindcă numărătorul este zero. În $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$ ea nu există, deci nu are nici semn. Tabelul nu trebuie memorat ca atare. Dacă îl uiți, desenează două axe și un punct în cadranul care te interesează, apoi citește cele două coordonate; al treilea rând se obține împărțind primele două. Toată informația din tabel încape în această procedură de câteva secunde.

Legătura cu panta din lecția precedentă dă aceeași concluzie: dreapta $OM$ urcă spre dreapta când punctul este în primul sau al treilea cadran și coboară spre dreapta în celelalte două.

6. Cum încadrezi un număr care nu conține π?

Argumentul $2,5$, scris fără simbolul de grad, înseamnă $2,5$ radiani. Ca să-l plasăm pe cerc, comparăm cu bornele în formă zecimală: $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$ și $2\pi \approx 6,28$. Aproximările sunt rotunjite la sutimi, ceea ce ajunge pentru numere care nu sunt foarte aproape de o bornă.

Drumul pe un exemplu: numărul $3,6$ este mai mare decât $3,14$ și mai mic decât $4,71$, deci stă în al treilea cadran; acolo sinusul și cosinusul sunt negative, iar tangenta pozitivă. Un calcul digital confirmă, dar nu înlocuiește raționamentul.

Pentru numerele date ca fracții de $\pi$ nu ai nevoie de zecimale: aduci fracția și bornele la același numitor și compari numărătorii. Un număr de forma $\frac{a\pi }{b}$ este în primul cadran dacă $\frac{a}{b}$ este între $0$ și $\frac{1}{2}$, în al doilea dacă este între $\frac{1}{2}$ și $1$, în al treilea între $1$ și $\frac{3}{2}$, iar în al patrulea între $\frac{3}{2}$ și $2$. Comparația se face deci între fracții obișnuite.

Dacă numărul este foarte aproape de o bornă, de exemplu $3,141$, ai nevoie de mai multe zecimale. Cu $\pi \approx 3,14$ ai spune că numărul a trecut în al treilea cadran; cu $\pi \approx 3,1416$ vezi că $3,141<\pi$, deci punctul este încă în al doilea. Iar numărul $7$ depășește o tură: punctul lui se găsește scăzând $2\pi$, ca în lecția despre cercul trigonometric, și este punctul lui $7-2\pi \approx 0,72$. Funcțiile le studiem însă, în clasa a IX-a, numai pe $[0,2\pi ]$, așa că exercițiile lucrează cu numărul redus.

7. Cum găsești cadranul din două semne?

O singură informație de semn lasă mereu două cadrane posibile, fiindcă fiecare funcție are același semn în două cadrane. Două informații de semn despre funcții diferite se intersectează mereu într-un singur cadran, fiindcă fiecare cadran are propria pereche de semne. Metoda: scrii mulțimea de cadrane permisă de fiecare condiție și păstrezi cadranul comun.

De exemplu, dacă se știe că $\cos t<0$ și $\mathrm{tg}t>0$, prima condiție lasă cadranele II și III, a doua lasă I și III; cadranul comun este al treilea, deci și sinusul este negativ. Cu trei condiții, intersecția poate fi vidă; atunci răspunsul corect este că nu există un astfel de număr. Condițiile despre sinus și tangentă, sau despre cosinus și tangentă, sunt la fel de bune ca cele despre sinus și cosinus.

Există și combinații imposibile. Condițiile $\sin t>0$, $\cos t>0$ și $\mathrm{tg}t<0$ nu pot fi îndeplinite împreună: primele două fixează primul cadran, unde tangenta este pozitivă. Un astfel de enunț are ca răspuns mulțimea vidă, iar a o spune explicit este un răspuns complet, nu o renunțare.

O capcană: dacă o condiție este „mai mare sau egal cu zero”, punctele de pe axe devin și ele candidați. Citește cu atenție semnul de inegalitate înainte să răspunzi doar cu un cadran.

8. Ce spun semnele într-un model de mișcare circulară?

Un punct care se rotește pe un cerc cu centrul în origine și raza $r$ are coordonatele $r\cos t$ și $r\sin t$, unde $t$ este unghiul parcurs de la poziția din dreapta. Raza este pozitivă, deci semnele coordonatelor sunt chiar semnele cosinusului și sinusului. Ordonata negativă înseamnă că punctul este sub centru; abscisa negativă înseamnă că este la stânga lui.

Modelul acesta descrie orice corp care se rotește în jurul unui centru fix, de la o bilă prinsă de un fir până la o planetă pe o orbită aproape circulară. Întrebarea „deasupra sau dedesubt?” are întotdeauna răspunsul în semnul sinusului, iar „la dreapta sau la stânga?” în semnul cosinusului, cu condiția ca unghiul să fie măsurat din poziția orizontală din dreapta.

Modelul presupune sensul trigonometric de rotație și unghiul măsurat din poziția orizontală din dreapta. Dacă enunțul alege alt punct de pornire sau rotația în sensul acelor de ceasornic, semnele trebuie recitite după noua convenție. Intervalul de valabilitate este o tură, $[0,2\pi ]$; pentru mai multe ture se scad întâi turele complete, cum ai văzut la cercul trigonometric.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește figura

În figură, raza $OP$ face cu semiaxa pozitivă $Ox$ unghiul marcat. Precizează cadranul și semnele lui $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ pentru acest unghi.

Rezolvare. Unghiul marcat este de $305^{\circ }$, între $270^{\circ }$ și $360^{\circ }$, deci punctul $P$ este în cadranul IV. El se află sub axa orizontală, deci ordonata lui, adică sinusul, este negativă; se află la dreapta axei verticale, deci abscisa, adică cosinusul, este pozitivă.

Sinusul negativ împărțit la cosinusul pozitiv dă o tangentă negativă. Figura nu desenează proiecțiile: le-ai imaginat tu pe cele două axe, pornind numai de la poziția punctului, fără nicio valoare numerică.

Exemplul 2 — Un unghi în grade

Stabilește semnele lui $\sin 145^{\circ }$, $\cos 145^{\circ }$ și $\mathrm{tg}145^{\circ }$.

Rezolvare. Cum $90^{\circ }<145^{\circ }<180^{\circ }$, punctul este în cadranul II, sus și la stânga. Deci $\sin 145^{\circ }>0$, $\cos 145^{\circ }<0$ și $\mathrm{tg}145^{\circ }<0$.

Răspunsul se poate scrie și ca propoziție: unghiul de $145^{\circ }$ are sinusul pozitiv, iar cosinusul și tangenta negative. La o cerință de examen, scrie și motivul, adică încadrarea între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$; semnul fără justificare nu arată raționamentul.

Control: punctul este aproape de punctul $(-1,0)$, cu $35^{\circ }$ înainte de semitură, deci se află la stânga axei verticale și deasupra axei orizontale.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$\sin 3<0$, pentru că $3$ este mai mare decât $\frac{\pi }{2}$, deci punctul a trecut de vârful cercului.” Unde greșește?

Rezolvare. Trecerea de $\frac{\pi }{2}$ duce punctul în cadranul al doilea, nu sub axa orizontală. Comparăm cu ambele borne: $1,57<3<3,14$, deci $3$ este în cadranul II, unde sinusul este pozitiv. Corect este $\sin 3>0$; un calcul digital dă $\sin 3\approx 0,141$.

Sinusul devine negativ abia după $\pi$. Pentru comparație, numărul $3,2$ ar fi dat, într-adevăr, un sinus negativ, fiindcă depășește $3,14$; diferența dintre cele două cazuri este de câteva zecimi, dar concluzia se schimbă complet. Greșeala elevului este comparația cu o singură bornă, $\frac{\pi }{2}$, în loc de încadrarea între două borne consecutive.

Exemplul 4 — Problema inversă

Despre un număr $x\in [0,2\pi ]$ se știe că $\sin x<0$ și $\mathrm{tg}x<0$. În ce cadran este punctul lui și ce semn are $\cos x$?

Rezolvare. Sinusul negativ lasă cadranele III și IV. Tangenta negativă lasă cadranele II și IV. Cadranul comun este IV, deci $x\in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$.

În cadranul IV abscisa este pozitivă, deci $\cos x>0$. Același rezultat se obține din cât: un cât negativ cu numărătorul negativ cere numitor pozitiv.

Exemplul 5 — Model: bila rotită pe un cerc vertical

O bilă legată de un fir de $0,8$ m se rotește uniform într-un plan vertical, în sens trigonometric, pornind din poziția orizontală din dreapta centrului. Unde se află bila, față de centru, după ce raza ei a parcurs un unghi de $3,8$ radiani? Estimează coordonatele cu un instrument digital.

Rezolvare. Comparăm: $3,14<3,8<4,71$, deci unghiul este în cadranul III. Ambele coordonate sunt negative: bila este sub nivelul centrului și la stânga lui.

Cu un instrument digital, abscisa este $0,8\cos 3,8\approx -0,633$ m, iar ordonata $0,8\sin 3,8\approx -0,489$ m. Semnele calculate confirmă raționamentul. Modelul presupune firul întins și raza constantă pe toată mișcarea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră $x\in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$. Stabiliți semnul numărului $E=2\cos x-\mathrm{tg}x$.

Rezolvare. Intervalul este cadranul IV, unde $\cos x>0$ și $\mathrm{tg}x<0$. Primul termen, $2\cos x$, este pozitiv. Al doilea termen se scade; scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea unui număr pozitiv, deci $-\mathrm{tg}x>0$.

Expresia este suma a două numere pozitive, deci $E>0$ pentru orice $x$ din intervalul dat. Enunțul este un antrenament propriu, în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I.

Să exersăm

Pentru fiecare număr, încadrează-l întâi între două borne consecutive. Toate numerele sunt din $[0,2\pi ]$; cele fără simbolul de grad sunt în radiani.

1. Stabilește cadranul și semnele lui $\sin$, $\cos$ și $\mathrm{tg}$ pentru $110^{\circ }$.

2. Stabilește cadranul și semnele celor trei funcții pentru $235^{\circ }$.

3. Stabilește cadranul și semnele celor trei funcții pentru $\frac{7\pi }{11}$.

4. Stabilește cadranul și semnele celor trei funcții pentru $\frac{13\pi }{8}$.

5. Pentru numerele $\frac{15\pi }{11}$, $\frac{8\pi }{11}$ și $\frac{11\pi }{10}$, precizează cadranul fiecăruia, apoi ordonează-le crescător.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) $\cos 5,3\cdot \mathrm{tg}3,7>0$.

7. Determină cadranul numărului $x\in [0,2\pi ]$ pentru care $\sin x>0$ și $\sin x\cdot \mathrm{tg}x<0$, apoi semnul lui $\cos x$.

8. Determină cadranul numărului $x\in [0,2\pi ]$ pentru care $\mathrm{tg}x>0$ și $\sin x>0$, apoi semnul lui $\cos x$.

9. Stabilește, fără calculator, semnele numerelor $\sin 2,5$ și $\cos 2,5$.

10. Stabilește semnul numărului $\mathrm{tg}4,3$.

11. Stabilește semnul numărului $\cos 6$.

12. Stabilește semnul produsului $\sin 100^{\circ }\cos 260^{\circ }$.

13. Stabilește semnul câtului $\frac{\cos 130^{\circ }}{\mathrm{tg}300^{\circ }}$.

14. (Problemă aplicată.) Un satelit se mișcă pe o orbită circulară în jurul Pământului. Într-un reper cu originea în centrul Pământului, el pornește de pe semiaxa pozitivă $Ox$ și se rotește în sens trigonometric. După ce raza lui a descris un unghi de $290^{\circ }$, satelitul este deasupra sau sub axa $Ox$? La dreapta sau la stânga axei $Oy$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$. Stabiliți semnul numărului $E=\mathrm{tg}x-3\sin x$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in (\pi ,\frac{3\pi }{2})$. Stabiliți semnul numărului $\frac{\sin x}{\mathrm{tg}x}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru câte numere $t$ din mulțimea $\{1,2,3,4,5,6\}$ are loc $\sin t<0$?

18. (Provocare.) Stabilește semnul produsului $\sin 1\cos 2\mathrm{tg}3\sin 4$, încadrând fiecare argument.

Răspunsuri și explicații

1. $90^{\circ }<110^{\circ }<180^{\circ }$, deci cadranul II: sinusul pozitiv, cosinusul negativ, tangenta negativă.

2. $180^{\circ }<235^{\circ }<270^{\circ }$, deci cadranul III: sinusul și cosinusul negative, tangenta pozitivă, ca un cât de două numere negative.

3. Fracția din fața lui $\pi$ verifică $\frac{1}{2}<\frac{7}{11}<1$, deci numărul este între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$, în cadranul II: sinusul pozitiv, cosinusul și tangenta negative.

4. Cu numitorul $8$: $\frac{12\pi }{8}<\frac{13\pi }{8}<\frac{16\pi }{8}$, deci cadranul IV: sinusul negativ, cosinusul pozitiv, tangenta negativă.

5. $\frac{15\pi }{11}$ este în cadranul III, fiindcă $1<\frac{15}{11}<\frac{3}{2}$; $\frac{8\pi }{11}$ este în cadranul II, fiindcă $\frac{1}{2}<\frac{8}{11}<1$; iar $\frac{11\pi }{10}$ este în cadranul III, fiindcă $1<\frac{11}{10}<\frac{3}{2}$. În ordine crescătoare: $\frac{8\pi }{11}<\frac{11\pi }{10}<\frac{15\pi }{11}$.

6. Adevărat. Din $4,71<5,3<6,28$, numărul $5,3$ este în cadranul IV, unde $\cos 5,3>0$. Din $3,14<3,7<4,71$, numărul $3,7$ este în cadranul III, unde $\mathrm{tg}3,7>0$. Produsul a doi factori pozitivi este pozitiv.

7. Un produs negativ cu primul factor pozitiv are al doilea factor negativ, deci $\mathrm{tg}x<0$. Sinusul pozitiv lasă cadranele I și II, tangenta negativă lasă II și IV; rămâne cadranul II, unde cosinusul este negativ, adică $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ și $\cos x<0$.

8. Tangenta pozitivă lasă cadranele I și III, sinusul pozitiv lasă I și II; rămâne cadranul I, deci $x\in (0,\frac{\pi }{2})$, unde și $\cos x>0$.

9. $1,57<2,5<3,14$, deci cadranul II: $\sin 2,5>0$ și $\cos 2,5<0$.

10. $3,14<4,3<4,71$, deci cadranul III, unde tangenta este pozitivă: $\mathrm{tg}4,3>0$.

11. $4,71<6<6,28$, deci cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv: $\cos 6>0$. Numărul $6$ este sub $2\pi$, deci aparține intervalului studiat.

12. $100^{\circ }$ este în cadranul II, deci $\sin 100^{\circ }>0$; $260^{\circ }$ este în cadranul III, deci $\cos 260^{\circ }<0$. Produsul este negativ: $\sin 100^{\circ }\cos 260^{\circ }<0$.

13. $130^{\circ }$ este în cadranul II, deci $\cos 130^{\circ }<0$; $300^{\circ }$ este în cadranul IV, deci $\mathrm{tg}300^{\circ }<0$. Câtul a două numere negative este pozitiv.

14. $270^{\circ }<290^{\circ }<360^{\circ }$, deci cadranul IV: ordonata este negativă și abscisa pozitivă. Satelitul este sub axa $Ox$ și la dreapta axei $Oy$, cu $70^{\circ }$ înainte de a reveni în poziția de pornire.

15. În cadranul II, $\mathrm{tg}x<0$ și $\sin x>0$, deci $-3\sin x<0$. Expresia este suma a două numere negative, deci $E<0$.

16. În cadranul III, $\sin x<0$ și $\mathrm{tg}x>0$. Împărțind un număr negativ la unul pozitiv obținem un rezultat negativ, deci $\frac{\sin x}{\mathrm{tg}x}<0$.

17. Sinusul este negativ pentru numerele din $(\pi ,2\pi )$, adică între $3,14$ și $6,28$. Din mulțime, doar $4$, $5$ și $6$ îndeplinesc condiția, deci răspunsul este trei numere; $3$ este încă sub $\pi$.

18. $1$ este în cadranul I, deci $\sin 1>0$; $2$ este în cadranul II, deci $\cos 2<0$; $3$ este în cadranul II, deci $\mathrm{tg}3<0$; $4$ este în cadranul III, deci $\sin 4<0$. Produsul are trei factori negativi, deci este negativ: $\sin 1\cos 2\mathrm{tg}3\sin 4<0$.

De reținut

• Semnul sinusului este semnul ordonatei (sus sau jos), semnul cosinusului este semnul abscisei (dreapta sau stânga), iar tangenta urmează regula semnelor de la împărțire.
• Pe $[0,2\pi ]$: sinusul e pozitiv pe $(0,\pi )$; cosinusul e pozitiv pe $[0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{3\pi }{2},2\pi ]$; tangenta e pozitivă în cadranele I și III.
• Numerele $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$ nu sunt în niciun cadran; acolo o funcție este zero, iar tangenta poate să nu existe.
• Un număr fără simbolul de grad se încadrează între bornele $1,57$, $3,14$, $4,71$ și $6,28$, cu mai multe zecimale când e aproape de o bornă.
• Semnul unei expresii se află din semnele factorilor sau din termeni cu același semn; o sumă de termeni cu semne diferite cere mai multă informație.

Greșeli frecvente

• Comparația cu o singură bornă. „Mai mare decât $\frac{\pi }{2}$” nu înseamnă „sub axa orizontală”; încadrează numărul între două borne consecutive.
• Capetele intervalului uitate. În $0$ și $2\pi$ cosinusul este $1$, deci pozitiv, deși aceste numere nu sunt în niciun cadran.
• Suma cu termeni de semne diferite declarată pozitivă. Pentru $\sin x+\cos x$ în cadranul II, semnele termenilor nu decid; fără alte date, nu poți conchide.
• Convenția modelului ignorată. Dacă rotația are loc în sensul acelor de ceasornic, cadranele se parcurg invers, iar semnele trebuie recitite.
• Pătratul numărat ca factor negativ. În ${\sin }^{2}x\cos x$, pentru $x$ din cadranul III, factorul ${\sin }^{2}x$ este pozitiv, deși $\sin x<0$. Un pătrat e pozitiv oriunde funcția nu se anulează, deci semnul produsului vine numai de la $\cos x$.

Aplică acasă

1. Capacul care se rotește. Desenează două axe pe o foaie, așază un capac rotund cu centrul în origine și lipește pe marginea lui o bulină colorată, pornind din dreapta. Rotește capacul câte o optime de tură și notează, de fiecare dată, semnele celor două coordonate ale bulinei. Compară cu tabelul semnelor și spune în ce sens ai rotit.
2. Încadrează numere cu un instrument digital. Alege zece numere zecimale între $0$ și $6,2$ și încadrează-le în minte între borne. Verifică apoi cu un calculator semnele sinusului și cosinusului; notează cazurile, dacă există, în care ai greșit și cât de aproape erau de o bornă.
3. Construiește un contraexemplu. Pentru afirmația „dacă $\sin x>0$, atunci $\mathrm{tg}x>0$”, caută un număr din $[0,2\pi ]$ care o infirmă și explică, cu figura, de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă întrebări despre funcții în întrebări despre poziția unui punct față de două axe. Merită urmărit dacă elevul încadrează numerele între două borne consecutive, dacă tratează separat punctele de pe axe și dacă observă că cosinusul este pozitiv în capetele $0$ și $2\pi$, un detaliu pe care tabelele pe cadrane îl ascund. Semnul este pasul care precede alegerea radicalului pozitiv sau negativ în lecțiile următoare ale unității. Merită cerut elevului să justifice fiecare semn printr-o încadrare scrisă între două borne, nu doar prin cuvântul „cadranul”. Exercițiile cu numere zecimale, precum $2,5$ sau $6$, verifică dacă elevul a înțeles că un argument fără simbolul de grad este măsurat în radiani.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: competența IX.CS.2.7 cere stabilirea semnului funcțiilor trigonometrice pentru un număr din intervalul $[0,2\pi ]$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a căror programă de examen (OMEN 4430/2014) conține cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice și reducerea la primul cadran, pentru care semnele sunt indispensabile. Modelul oficial 2026 nu are o cerință separată despre semn. Numărul de trei ore pe săptămână vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane are alte exemple. În traseul de științe urmează graficele funcțiilor sinus și cosinus, iar pentru antrenament există testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Prin ce se deosebește lecția M2 despre semne de cea de mate-info (M1)?

La științe ale naturii, programa clasei a IX-a cere semnul numai pentru numere din intervalul $[0,2\pi ]$, iar lecția de aici rămâne strict în acest interval, cu atenție la capete și la numerele scrise zecimal. Aplicațiile sunt modele de mișcare circulară. Pagina de mate-info este o lectură opțională; tot ce ai nevoie pentru traseul tău este pe această pagină.

Unde contează semnul la bacalaureatul M2?

În modelul oficial M_șt-nat 2026, trigonometria apare la Subiectul I, cerința 6, într-un triunghi, iar semnul nu este cerut separat. Programa de examen conține însă cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice și reducerea la primul cadran, iar acolo semnul decide între două rezultate. Un model publicat nu arată cât de des revine tema.

La ce îmi folosește semnul în lecțiile următoare?

La calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta. Din relația dintre pătratele sinusului și cosinusului obții, de obicei, două valori opuse, iar cadranul din enunț o alege pe cea bună. Fără semn, răspunsul ar rămâne dublu. De aceea, la orice astfel de calcul, prima propoziție a rezolvării spune în ce cadran se află punctul.

Cum știu dacă un număr zecimal, ca $6,3$, mai aparține intervalului $[0,2\pi ]$?

Îl compari cu $2\pi$, a cărui valoare aproximativă este $6,283$. Numărul $6,3$ este puțin mai mare, deci iese din interval, deși rotunjirea lui $2\pi$ la o zecimală ar fi dat tot $6,3$. Pentru asemenea numere folosește trei zecimale. Punctul lui $6,3$ se găsește scăzând o tură, ca la cercul trigonometric: $6,3-2\pi \approx 0,017$, un număr din primul cadran, cu care lucrezi mai departe.

Cum stabilesc semnul unui produs cu mulți factori trigonometrici?

Încadrezi fiecare argument separat, notezi semnul fiecărui factor și numeri factorii negativi. Dacă numărul lor este par, produsul este pozitiv; dacă este impar, produsul este negativ. Un factor egal cu zero face produsul zero, iar o tangentă care nu există face expresia fără sens. Scrie semnele deasupra factorilor, ca să nu pierzi niciunul.

Ce se schimbă dacă un corp se rotește în sensul acelor de ceasornic?

Unghiul parcurs se măsoară atunci în sens invers, deci punctul trece întâi prin cadranul al patrulea, nu prin primul. Semnele coordonatelor rămân legate de poziție, nu de sens: sub centru ordonata e negativă oricum. Trebuie doar să stabilești corect în ce cadran a ajuns punctul, conform convenției din enunț.