Ana are două dreptunghiuri: primul are lungimea $$9$$ cm și lățimea $$5$$ cm; al doilea are lungimea $$5$$ cm și lățimea $$9$$ cm, fiind același dreptunghi rotit cu $$90°$$. Sunt cele două dreptunghiuri congruente?

Da, pentru că au aceeași formă și aceeași mărime, doar sunt rotite

Nu, pentru că lungimea și lățimea sunt schimbate între ele

Nu, pentru că un dreptunghi rotit devine altă figură

Nu se poate ști fără să măsurăm unghiurile

Câte axe de simetrie are un triunghi isoscel care nu este echilateral?

O singură axă, din vârful dintre laturile egale spre mijlocul bazei

Două axe, câte una pe fiecare latură egală

Trei axe, ca la triunghiul echilateral

Ce înseamnă că două figuri sunt congruente?

Lecția pe scurt · clasa a V-a · Simetrie și figuri congruente

Înseamnă că au aceeași formă și aceeași mărime, deci una se poate așeza exact peste cealaltă. Mutarea, rotirea sau întoarcerea ca într-o oglindă nu strică această potrivire, fiindcă ele schimbă doar poziția figurii. Un dreptunghi de 9 cm pe 5 cm și unul de 5 cm pe 9 cm sunt congruente, fiind același dreptunghi rotit. Se scrie cu semnul de congruență, ca în $△ A B C ≅ △ M N P$ .

O figură are axă de simetrie dacă, îndoind-o exact pe acea dreaptă, cele două jumătăți se suprapun perfect (coincid punct cu punct). Numărul de axe diferă de la o figură la alta: pătratul are 4, dreptunghiul care nu e pătrat are 2, cercul are o infinitate, iar unele litere (F, R) nu au nicio axă. Regula generală: mai multă „egalitate" în figură înseamnă mai multe axe.

Două figuri sunt congruente dacă au aceeași formă ȘI aceeași mărime, adică una se poate așeza exact peste cealaltă prin alunecare, rotire sau oglindire. Se scrie $△ A B C ≅ △ M N P$ . Rotirea sau oglindirea NU strică congruența.

Legătura dintre idei: orice axă de simetrie împarte figura în două jumătăți congruente.

Exemplu. Un triunghi echilateral are 3 axe de simetrie, câte una din fiecare vârf spre mijlocul laturii opuse, pentru că toate laturile sunt egale.

De reținut

congruent = aceeași formă și aceeași mărime
rotirea, alunecarea și oglindirea nu strică congruența
axa de simetrie taie figura în două jumătăți congruente
la cerc, orice dreaptă dusă prin centru este axă de simetrie

Greșeala tipică

Se crede că simetria și congruența sunt același lucru. Simetria privește o singură figură împreună cu o dreaptă a ei, în timp ce congruența compară două figuri între ele.

Exerciții din această mini-lecție

Câte axe de simetrie are un romb care nu este pătrat (are toate laturile egale, dar unghiurile nu sunt de $90°$ )?
- a) 0
- b) 1
- c) 2
- d) 4
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 2

O dreaptă este axă de simetrie dacă este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului care unește fiecare punct cu „oglinda" lui. La romb, fiecare diagonală este perpendiculară pe cealaltă diagonală și trece exact prin mijlocul ei: îndoind rombul pe o diagonală, cele două vârfuri de la capetele celeilalte diagonale cad exact unul peste celălalt, deci jumătățile se suprapun perfect. Așadar ambele diagonale sunt axe de simetrie. (Atenție: nu e suficient ca o dreaptă să taie figura în două triunghiuri congruente — la dreptunghi diagonala face același lucru, dar NU este axă de simetrie, tocmai pentru că nu e perpendiculară pe cealaltă diagonală prin mijlocul ei.) Rombul (care nu e pătrat) nu are alte axe, pentru că unghiurile lui nu sunt toate de $90°$ ca la pătrat, deci dreptele prin mijloacele laturilor nu mai sunt axe. Răspuns: 2 axe.
Ana are două dreptunghiuri: primul are lungimea $9$ cm și lățimea $5$ cm; al doilea are lungimea $5$ cm și lățimea $9$ cm, fiind același dreptunghi rotit cu $90°$ . Sunt cele două dreptunghiuri congruente?
- a) Da, pentru că au aceeași formă și aceeași mărime, doar sunt rotite
- b) Nu, pentru că lungimea și lățimea sunt schimbate între ele
- c) Nu, pentru că un dreptunghi rotit devine altă figură
- d) Nu se poate ști fără să măsurăm unghiurile
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că au aceeași formă și aceeași mărime, doar sunt rotite

Rotirea unei figuri schimbă doar poziția ei, nu forma și nici mărimea. Ambele dreptunghiuri au aceleași două lungimi de laturi ( $9$ cm și $5$ cm), deci se pot suprapune perfect prin rotire. Sunt congruente.
Câte axe de simetrie are un triunghi isoscel care nu este echilateral?
- a) Nicio axă
- b) O singură axă, din vârful dintre laturile egale spre mijlocul bazei
- c) Două axe, câte una pe fiecare latură egală
- d) Trei axe, ca la triunghiul echilateral
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) O singură axă, din vârful dintre laturile egale spre mijlocul bazei

Un triunghi isoscel (care nu e echilateral) are exact o axă de simetrie: dreapta care pornește din vârful unghiului dintre laturile egale și trece prin mijlocul laturii opuse (baza). Îndoind triunghiul pe această dreaptă, cele două jumătăți se suprapun perfect, pentru că laturile egale coincid.

Întrebări conexe

Ce este un centru de simetrie?

Un punct față de care figura arată la fel după o rotire de o jumătate de tur. Paralelogramul are unul, în intersecția diagonalelor, iar cercul îl are în centru. Sunt figuri, precum triunghiul isoscel, care au axă de simetrie fără să aibă și centru.

Ce litere ale alfabetului au axă de simetrie?

Litera A, litera M și litera T au o axă verticală, iar B, C și E au una orizontală. Literele H, I, O și X au câte două, fiindcă se potrivesc în ambele sensuri. În schimb F, R și S nu au nicio axă, oricum ai îndoi foaia.

Cum se scrie congruența a două triunghiuri?

Cu semnul de congruență între ele și cu vârfurile trecute în ordinea potrivirii: $△ A B C ≅ △ M N P$ arată că $A$ ajunge peste $M$ , $B$ peste $N$ și $C$ peste $P$ . Ordinea literelor nu se schimbă la întâmplare, fiindcă ea spune care laturi și care unghiuri se corespund.

Două pătrate de mărimi diferite sunt congruente?

Nu. Ele au aceeași formă, dar mărimile diferă, deci nu se pot suprapune. Pentru congruență e nevoie de amândouă condițiile deodată. Figurile cu aceeași formă și mărimi diferite se numesc asemenea, o noțiune studiată în clasele mai mari.

Cum împart un steag în benzi congruente?

Împarți lățimea totală la numărul de benzi și obții lățimea fiecăreia. Un steag lat de 88 cm cu patru benzi dă $88 : 4 = 22$ cm pentru fiecare. Benzile fiind congruente, au toate aceeași lățime și aceeași înălțime.

Oamenii mai întreabă și: figuri congruente · ce înseamnă congruent · două figuri identice ca formă și mărime · congruența figurilor geometrice