Ce valori ia expresia a plus b sin t?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sinus și cosinus pe cerc

Cum $- 1 \leq sin t \leq 1$ , expresia $a + b sin t$ ia valori de la $a - ∣ b ∣$ până la $a + ∣ b ∣$ . Semnul lui $b$ spune unde se atinge fiecare capăt. Exemplu: $3 - 2 sin t$ , cu $t \in [0, 2 π]$ , are valorile în $[1, 5]$ ; minimul $1$ apare când $sin t = 1$ , la $t = \frac{π}{2}$ , iar maximul $5$ când $sin t = - 1$ , la $t = \frac{3 π}{2}$ .

Pentru un număr t din intervalul de la zero la doi pi, punctul M(t) de pe cercul trigonometric are două coordonate. Abscisa lui se numește cosinusul lui t, iar ordonata se numește sinusul lui t. Pentru un unghi ascuțit, triunghiul format cu proiecția pe axa orizontală are ipotenuza unu, deci rapoartele din gimnaziu dau exact aceste coordonate.

Pe axe, perechile se văd imediat: la dreapta perechea este unu și zero, sus zero și unu, la stânga minus unu și zero, jos zero și minus unu.

Punctul nu iese de pe cercul de rază unu, așa că sinusul și cosinusul iau exact valorile de la minus unu la unu. O expresie de forma a plus b înmulțit cu sinusul lui t ia valori de la a minus modulul lui b până la a plus modulul lui b; semnul lui b decide unde se atinge fiecare capăt.

Pe un cerc de rază R, coordonatele devin R cosinus și R sinus. Umbra unui punct care se rotește uniform oscilează între minus R și R. Pentru alte numere, calculatorul în modul RAD dă aproximări, controlate cu poziția punctului.

De reținut

$cos t$ este abscisa, $sin t$ ordonata punctului $M (t)$
$a + b sin t \in [a - ∣ b ∣, a + ∣ b ∣]$
pe cercul de rază $R$ : $(R cos t, R sin t)$

Greșeala tipică

Se crede că maximul lui $3 - 2 sin t$ este $3 + 2 \cdot 1 = 5$ atins când $sin t = 1$ ; cu $b$ negativ, maximul apare când $sin t = - 1$ , iar la $sin t = 1$ se atinge minimul $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $cos \frac{3 π}{2}$ ?
- a) $0$
- b) $1$
- c) $- 1$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$

Punctul asociat este $B^{'} (0, - 1)$ , iar cosinusul este abscisa lui, adică $0$ .
Care dintre numerele de mai jos poate fi sinusul unui număr din $[0, 2 π]$ ?
- a) $- 1, 2$
- b) $\frac{π}{4}$
- c) $3$
- d) $\frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{π}{4}$

Doar numerele din $[- 1, 1]$ pot fi valori ale sinusului, iar $\frac{π}{4} \approx 0, 785$ este singurul dintre ele.
Care este mulțimea valorilor expresiei $5 - 4 cos t$ , $t \in [0, 2 π]$ ?
- a) $[1, 9]$
- b) $[- 4, 4]$
- c) $[5, 9]$
- d) $[1, 5]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[1, 9]$

Din $- 4 \leq - 4 cos t \leq 4$ , adunând $5$ , obținem intervalul $[1, 9]$ .

Întrebări conexe

La ce înălțime este o cabină de pe o roată panoramică după un sfert de tură?

Dacă roata are raza de $20$ m, centrul la $22$ m și cabina pornește de jos, înălțimea este $h (t) = 22 - 20 cos t$ . După un sfert de tură, $t = \frac{π}{2}$ și $h = 22$ m, la nivelul centrului. După o jumătate de tură, $h = 42$ m.

Unde se anulează sinusul și cosinusul pe intervalul $[0, 2 π]$ ?

Sinusul este ordonata punctului, deci se anulează pe axa orizontală: la $0$ , $π$ și $2 π$ . Cosinusul este abscisa, deci se anulează pe axa verticală: la $\frac{π}{2}$ și $\frac{3 π}{2}$ . Nu există niciun $t$ în care ambele să fie zero.

Care este mai mare: $sin 1$ , $sin 2$ sau $sin 3$ ?

Sinusul este cel mai aproape de $1$ lângă $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ . Distanțele până acolo sunt $0, 57$ , $0, 43$ și $1, 43$ , deci $sin 2$ este cel mai mare. Calculatorul confirmă: $sin 1 \approx 0, 841$ , $sin 2 \approx 0, 909$ , $sin 3 \approx 0, 141$ .

Pentru ce numere din $[0, 2 π]$ este cosinusul negativ?

Cosinusul este abscisa punctului, deci este negativ când punctul stă la stânga axei $O y$ : pentru $t \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ . De exemplu, $cos π = - 1$ , iar $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ . În capetele intervalului cosinusul este zero.

Cât face $sin 0 + sin \frac{π}{2} + sin π + sin \frac{3 π}{2}$ ?

Citești ordonatele punctelor de pe axe: $A (1, 0)$ , $B (0, 1)$ , $A^{'} (- 1, 0)$ și $B^{'} (0, - 1)$ . Suma este $0 + 1 + 0 + (- 1) = 0$ . La bacalaureatul M2, cerințele scurte de trigonometrie sunt la Subiectul I, iar valorile de pe axe se citesc direct pe cerc.

Oamenii mai întreabă și: valorile expresiei a plus b sinus · minimul și maximul lui a plus b sin x · mulțimea valorilor cu sinus · între ce valori este 3 minus 2 sin t

Ce valori ia expresia a plus b sin t?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

La ce înălțime este o cabină de pe o roată panoramică după un sfert de tură?

Unde se anulează sinusul și cosinusul pe intervalul [0,2π]?

Care este mai mare: sin1, sin2 sau sin3?

Pentru ce numere din [0,2π] este cosinusul negativ?

Cât face sin0+sin2π​+sinπ+sin23π​?

Continuă cu

Unde se anulează sinusul și cosinusul pe intervalul $[0, 2 π]$ ?

Care este mai mare: $sin 1$ , $sin 2$ sau $sin 3$ ?

Pentru ce numere din $[0, 2 π]$ este cosinusul negativ?

Cât face $sin 0 + sin \frac{π}{2} + sin π + sin \frac{3 π}{2}$ ?