Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric (M2, științe ale naturii)

O roată hidraulică se învârte lângă o moară: fiecare paletă coboară sub apă, iese, urcă, apoi coboară din nou. Înălțimea unei palete față de suprafața apei și depărtarea ei pe orizontală față de ax se schimbă după o regulă precisă, pe care o poți scrie cu două numere asociate unghiului de rotație. Aceste numere sunt cosinusul și sinusul. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), ele se definesc pe cercul trigonometric, pentru numerele din intervalul $[0,2\pi ]$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, cu studiul acelorași funcții pe $[0,2\pi ]$. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă definește funcțiile sinus și cosinus pe acest interval, cu valori în $[-1,1]$.

Pornim de la cercul trigonometric și punctele asociate la M2. Vom citi coordonatele unui punct, vom afla ce valori pot lua sinusul și cosinusul, vom calcula intervalul unei expresii și vom modela câteva mișcări circulare. Valorile pentru unghiurile de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ au propria lecție, imediat după aceasta.

Ce vei învăța

• Vei defini cosinusul și sinusul unui număr din $[0,2\pi ]$ ca abscisa și ordonata punctului asociat pe cercul trigonometric.
• Vei arăta că definiția nouă dă aceleași valori ca definiția din triunghiul dreptunghic, pentru unghiurile ascuțite.
• Vei citi valorile în cele cinci puncte de pe axe și le vei folosi în calcule.
• Vei justifica de ce valorile rămân între $-1$ și $1$ și vei afla intervalul unei expresii de forma $a+b\sin t$ sau $a+b\cos t$, inclusiv când $b$ este negativ.
• Vei scrie coordonatele unui punct de pe un cerc de rază $R$ și vei descrie proiecția unei mișcări circulare ca pe o oscilație.
• Vei obține valori aproximative cu un calculator pus în modul RAD și le vei controla cu poziția punctului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce coordonate are punctul asociat unui număr?

Fiecărui număr $t$ din intervalul $[0,2\pi ]$ îi corespunde, pe cercul trigonometric, punctul $M(t)$. Punctul are o abscisă și o ordonată, deci două numere determinate de $t$. Le dăm nume.

Cosinusul numărului $t\in [0,2\pi ]$ este abscisa punctului $M(t)$ asociat lui $t$ pe cercul trigonometric, iar sinusul lui $t$ este ordonata aceluiași punct; scriem $M(t)=(\cos t,\sin t)$.

Ordinea contează ca la orice pereche de coordonate: întâi abscisa, apoi ordonata. Astfel obținem două funcții, $\sin :[0,2\pi ]\to [-1,1]$ și $\cos :[0,2\pi ]\to [-1,1]$, exact în forma din programa de examen. La clasa a IX-a de științe le studiem pe acest interval; extinderea la toate numerele reale vine în clasa a X-a.

În figură, punctul $P$ se află în cadranul II. Proiecția lui pe axa $Ox$, segmentul marcat „cos”, cade la stânga originii, deci cosinusul este negativ. Proiecția pe axa $Oy$, marcată „sin”, este deasupra originii, deci sinusul este pozitiv. Figura arată poziția; valoarea exactă se obține prin calcul sau cu un instrument digital.

Pentru că punctul $M(t)$ se află pe cercul cu centrul în origine și raza $1$, coordonatele lui verifică ecuația cercului. Relația care rezultă de aici are o lecție proprie, cea despre formula fundamentală a trigonometriei. Aici o folosim numai ca test: un punct propus ca $M(t)$ trebuie să se afle pe cerc.

2. Se potrivește cu sinusul din triunghiul dreptunghic?

În clasa a VII-a, sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit erau câturi între o catetă și ipotenuză. Definiția nouă trebuie să dea aceleași valori pentru unghiurile ascuțite, altfel am avea două noțiuni diferite cu același nume.

Fie $t$ strict între $0$ și $\frac{\pi }{2}$ și $M(t)$ în cadranul I. Notăm cu $P$ proiecția lui $M$ pe axa $Ox$. Triunghiul $OPM$ este dreptunghic în $P$, are ipotenuza $OM=1$, iar unghiul din $O$ are măsura $t$. Cateta alăturată unghiului este $OP$, egală cu abscisa lui $M$; cateta opusă este $PM$, egală cu ordonata.

Rapoartele din gimnaziu dau $\frac{OP}{1}$ și $\frac{PM}{1}$, adică exact abscisa și ordonata. Pentru punctul de coordonate $(0,28;0,96)$, de exemplu, triunghiul are catetele $0,28$ și $0,96$ și ipotenuza $1$, iar rapoartele dau cosinusul $0,28$ și sinusul $0,96$. Împărțirea la ipotenuză dispare, pentru că ipotenuza este raza, adică $1$.

Ce câștigăm față de definiția din gimnaziu? Triunghiul dreptunghic nu poate avea un unghi obtuz sau unul de $200^{\circ }$, dar punctul $M(t)$ există pentru orice $t$ din interval. Definiția de pe cerc păstrează valorile vechi acolo unde triunghiul funcționa și le prelungește acolo unde triunghiul nu mai poate fi construit. Pentru unghiurile obtuze din triunghiurile oarecare, această prelungire va fi folosită în teoremele de la finalul unității.

3. Ce valori au sinusul și cosinusul în punctele de pe axe?

Cele cinci numere $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$ dau puncte ale căror coordonate le cunoaștem deja. Tabelul le grupează pe puncte, ca să le citești direct de pe desen.

Nu ai nimic de memorat dacă desenezi cercul: la dreapta și la stânga, ordonata este zero; sus și jos, abscisa este zero. Cosinusul atinge cea mai mare valoare, $1$, în $A$ și cea mai mică, $-1$, în $A^{\prime }$. Sinusul atinge $1$ în $B$ și $-1$ în $B^{\prime }$.

Aceste valori intră în multe calcule scurte. Când o expresie conține sinusul sau cosinusul acestor cinci numere, înlocuiești fiecare valoare citită din tabel și faci operațiile obișnuite. Atenție doar la faptul că același număr poate da zero pentru o funcție și o valoare nenulă pentru cealaltă.

Tabelul arată și o simetrie utilă: când trecem de la un punct de pe axe la următorul, în sens pozitiv, valoarea nenulă „se mută” de la cosinus la sinus și își schimbă semnul la fiecare jumătate de tură. Dacă uiți o valoare, parcurge cercul cu degetul de la $A$ și urmărește care coordonată este nenulă și de ce parte a originii se află punctul.

4. De ce valorile nu ies din intervalul $[-1,1]$?

Punctul $M(t)$ stă pe cercul de rază $1$, deci abscisa și ordonata lui nu pot depăși $1$ în valoare absolută. Oricare ar fi $t$ din interval, avem

$$-1\le \cos t\le 1,-1\le \sin t\le 1.$$

Mai mult, fiecare număr $k$ din $[-1,1]$ este atins de fiecare funcție. Dreapta orizontală $y=k$ intersectează cercul în cel puțin un punct, iar numărul acelui punct are sinusul $k$. La fel, dreapta verticală $x=k$ dă un punct cu cosinusul $k$. Prin urmare, mulțimea valorilor fiecărei funcții este exact $[-1,1]$.

Consecința practică este un test rapid. O egalitate precum $\sin t=1,3$ nu poate avea loc pentru niciun $t$: un asemenea punct ar trebui să stea deasupra cercului. Înainte de orice calcul cu o valoare dată, verifică dacă ea se află în intervalul permis.

5. Ce valori ia o expresie de forma $a+b\sin t$?

Pornim de la $-1\le \sin t\le 1$ și construim expresia pas cu pas. Pentru $1+4\sin t$, înmulțim cu $4$, număr pozitiv, și obținem $-4\le 4\sin t\le 4$; adunăm $1$ și ajungem la intervalul $[-3,5]$. Cele două capete sunt atinse, în $B^{\prime }$ și în $B$.

Când coeficientul este negativ, ordinea capetelor se inversează. Pentru $6-2\cos t$, înmulțirea cu $-2$ schimbă sensul inegalităților: $-2\le -2\cos t\le 2$. Adunând $6$, expresia rămâne între $4$ și $8$. Valoarea cea mai mare, $8$, se obține când cosinusul este $-1$, adică în $A^{\prime }$, nu în $A$.

Regula generală este simplă: expresia $a+b\sin t$ ia valori de la $a-|b|$ la $a+|b|$, la fel și $a+b\cos t$. Semnul lui $b$ decide doar în ce punct se atinge fiecare capăt. Dacă o problemă întreabă pentru ce $t$ se atinge maximul, semnul coeficientului contează.

6. Ce coordonate are un punct de pe un cerc de rază $R$?

Mecanismele reale nu au raza $1$. Dacă un punct se rotește pe un cerc cu centrul în origine și raza $R$, poziția lui după unghiul $t$ se obține mărind de $R$ ori punctul $M(t)$ de pe cercul trigonometric:

$$(x,y)=(R\cos t,R\sin t).$$

Pe cercul de rază $5$, pentru $t=\pi$ obținem $(5\cos \pi ,5\sin \pi )=(-5,0)$, punctul din stânga. Această formă se potrivește cu ecuația cercului de rază $R$ studiată la geometria analitică.

Când centrul nu este în origine, adaugi coordonatele centrului. O roată cu axul la înălțimea $c$ deasupra unui nivel de referință are un punct de pe margine la înălțimea $c+R\sin t$. Valorile acestei expresii se află de la $c-R$ până la $c+R$, după regula din secțiunea precedentă.

Unitatea de măsură a coordonatelor este unitatea razei. Dacă raza este în metri, și abscisa, și ordonata sunt în metri, iar sinusul și cosinusul rămân numere fără unitate. Această separare ajută la verificare: într-o formulă de înălțime, termenul cu sinus trebuie înmulțit cu o lungime, altfel rezultatul nu poate fi în metri.

7. Ce vede cine privește o rotație din lateral?

Imaginează-ți un știft prins pe marginea unui disc care se rotește uniform, luminat de o lampă îndepărtată aflată deasupra. Umbra lui pe o riglă orizontală are poziția $R\cos t$. Umbra nu se rotește: se deplasează înainte și înapoi între $-R$ și $R$, trece prin mijloc, se oprește o clipă la capete și revine.

O astfel de mișcare de du-te-vino, repetată regulat, se numește oscilație. Fizica o întâlnește la un corp prins de un resort, la pendulul cu abatere mică și la tensiunea alternativă. Legătura cu cercul explică de ce aceste fenomene se descriu cu sinus și cosinus: fiecare poate fi privit ca umbra unei rotații uniforme.

Distanța maximă a umbrei față de mijloc se numește amplitudine și este egală cu raza cercului. Mijlocul este poziția de echilibru, iar umbra trece prin el când punctul care se rotește se află pe axa $Oy$. Aceste observații se citesc direct de pe cerc, fără nicio formulă nouă.

Modelul are și o limită. Un resort real pierde energie, iar amplitudinea scade încet; umbra unei rotații uniforme nu pierde nimic. De aceea spunem că proiecția descrie oscilația ideală, pe un interval scurt de timp, în care frecările pot fi neglijate. Aceasta este forma de model pe care o vei folosi și la fizică.

8. Cum obținem valori pentru un număr oarecare?

Pentru un număr care nu este pe axe și nici printre unghiurile uzuale, cum ar fi $t=4,9$, valoarea se obține cu un instrument digital. Programa de științe permite explicit acest lucru. Calculatorul trebuie pus în modul RAD, pentru că $t$ este o lungime de arc, nu un număr de grade.

În modul RAD obținem $\cos 4,9\approx 0,1865$ și $\sin 4,9\approx -0,9825$. Rezultatul se potrivește cu poziția: $4,9$ este între $\frac{3\pi }{2}\approx 4,7124$ și $2\pi \approx 6,2832$, deci $M(4,9)$ este în dreapta jos, puțin după $B^{\prime }$: abscisa este pozitivă și mică, iar ordonata este negativă și aproape de $-1$. Controlul prin poziție prinde imediat o apăsare greșită de tastă sau un mod greșit.

Valorile de pe ecran sunt aproximări. Le scriem cu semnul $\approx$ și le rotunjim la numărul de zecimale cerut. Regula completă a semnelor pe cadrane va avea o lecție separată; aici semnul îl citim din poziția punctului pe desen.

Același control funcționează și invers. Dacă știi că un punct este în cadranul III și calculatorul îți dă un cosinus pozitiv, ceva nu este în regulă: fie numărul introdus, fie modul de lucru. O schiță de câteva secunde a cercului te scutește de o greșeală care altfel ar trece neobservată până la final.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O fracție cu valori de pe axe

Calculează $\frac{\sin \frac{\pi }{2}-\cos \pi }{2+\sin \frac{3\pi }{2}}$.

Rezolvare. Din poziția punctelor, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ (punctul $B$), $\cos \pi =-1$ (punctul $A^{\prime }$) și $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ (punctul $B^{\prime }$). Numărătorul este $1-(-1)=2$, iar numitorul este $2+(-1)=1$.

Rezultatul este $\frac{\sin \frac{\pi }{2}-\cos \pi }{2+\sin \frac{3\pi }{2}}=2$. Numitorul este nenul, deci fracția are sens; verificarea aceasta face parte din rezolvare.

Exemplul 2 — Roata hidraulică

O roată hidraulică are raza de $2,5$ m, iar axul ei este la $1,5$ m deasupra suprafeței apei. Înălțimea unei palete față de apă, după unghiul $t$ măsurat din poziția orizontală din dreapta, în sens pozitiv, este $h(t)=1,5+2,5\sin t$ (metri). Între ce valori variază înălțimea? Ce înseamnă valoarea cea mai mică?

Rezolvare. Din $-1\le \sin t\le 1$ rezultă $-2,5\le 2,5\sin t\le 2,5$, deci $1,5+2,5\sin t\in [-1;4]$. Cea mai mare înălțime, $4$ m, se atinge pentru $t=\frac{\pi }{2}$, iar cea mai mică, $-1$ m, pentru $t=\frac{3\pi }{2}$.

Valoarea negativă nu este o eroare: paleta coboară sub nivelul apei, până la un metru adâncime, unde curentul o poate împinge. Pentru $t=\pi$, paleta este la înălțimea axului, $1,5$ m, iar depărtarea ei orizontală față de ax este $2,5\cos \pi =-2,5$ m, adică spre stânga.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev are nevoie de $\sin 1,8$ și obține pe calculator $0,0314$. El conchide că $M(1,8)$ este foarte aproape de punctul $A$. Unde a greșit?

Rezolvare. Calculatorul era în modul DEG și a calculat sinusul unui unghi de $1,8^{\circ }$: $\sin 1,8^{\circ }\approx 0,0314$. Numărul $1,8$ din problemă este însă o lungime de arc, deci trebuie modul RAD. Corect, $\sin 1,8\approx 0,9738$ și $\cos 1,8\approx -0,2272$.

Controlul prin poziție confirmă: $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708<1,8<3,1416$, deci $M(1,8)$ este în cadranul II, sus și puțin la stânga axei $Oy$, cu ordonata aproape de $1$ și abscisa negativă. Concluzia elevului contrazicea chiar poziția punctului.

Exemplul 4 — Distanța până la o dreaptă orizontală

Un punct se mișcă pe cercul cu centrul în origine și raza $4$, având coordonatele $(4\cos t,4\sin t)$, cu $t\in [0,2\pi ]$. Care sunt cea mai mică și cea mai mare distanță de la el la dreapta $y=6$? În ce punct se atinge distanța maximă?

Rezolvare. Ordonata punctului este cel mult $4$, deci punctul se află mereu sub dreaptă. Distanța este diferența ordonatelor, $d=6-4\sin t$. Regula intervalelor dă $6-4\sin t\in [2,10]$.

Distanța maximă, $10$, se obține când $\sin t=-1$, adică pentru $t=\frac{3\pi }{2}$, în punctul $(0,-4)$, cel mai de jos al cercului. Distanța minimă, $2$, se obține în punctul $(0,4)$. Coeficientul negativ al sinusului a inversat locul capetelor.

Exemplul 5 — Umbra unui știft

Un știft este fixat pe marginea unui disc cu raza de $5$ cm, care se rotește uniform. Umbra lui pe o riglă orizontală are poziția $x=5\cos t$ (centimetri). Unde este umbra pentru $t=\frac{\pi }{2}$ și pentru $t=\pi$? Ce drum parcurge umbra într-o tură completă?

Rezolvare. Pentru $t=\frac{\pi }{2}$, $x=5\cos \frac{\pi }{2}=0$: umbra este în mijloc, deși știftul este sus. Pentru $t=\pi$, $x=5\cos \pi =-5$ cm, capătul din stânga.

Într-o tură, umbra pleacă din $5$, ajunge la $-5$ și revine la $5$. Drumul ei este $10+10=20$ cm, deși știftul parcurge pe cerc $10\pi \approx 31,42$ cm. Umbra se mișcă mai puțin, pentru că nu vede componenta verticală a mișcării.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $3\sin t+1=m$ are cel puțin o soluție $t\in [0,2\pi ]$. Pentru cea mai mică valoare a lui $m$, găsește soluția.

Rezolvare. Membrul stâng ia valori de la $1-3=-2$ la $1+3=4$ și atinge fiecare număr dintre ele, pentru că sinusul atinge toate valorile din $[-1,1]$. Ecuația are soluție exact atunci când $m$ se află în acest interval, adică $m\in [-2,4]$.

Pentru $m=-2$, ecuația devine $3\sin t+1=-2$, deci $\sin t=-1$, iar pe intervalul $[0,2\pi ]$ singura soluție este $t=\frac{3\pi }{2}$, punctul $B^{\prime }$. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I și nu reproduce o cerință oficială.

Să exersăm

Desenează cercul cu punctele de pe axe înaintea fiecărui calcul. La valorile aproximative folosește calculatorul în modul RAD și controlează semnul cu poziția punctului.

1. Punctul $M(t)$, cu $t\in [0,2\pi ]$, are ordonata $-\frac{1}{2}$. În ce cadrane se poate afla? Câte puncte ale cercului au, în schimb, ordonata $-1$?

2. Calculează $5\sin \frac{\pi }{2}-4\cos 2\pi +3\cos \pi$.

3. Pentru ce numere $t\in [0,2\pi ]$ are loc $\cos t=-1$? Dar $\sin t=0$?

4. Arată că punctul $Q\left(\frac{115}{277},-\frac{252}{277}\right)$ se află pe cercul trigonometric, precizează cadranul și scrie $\cos t$ și $\sin t$, unde $Q=M(t)$.

5. Stabilește, pentru fiecare dintre numerele $-0,98$; $1,002$; $-\frac{\pi }{3}$; $\sqrt{2}-1$; $\frac{3}{\sqrt{10}}$, dacă poate fi cosinusul unui număr din $[0,2\pi ]$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $\sin t=2-\sqrt{2}$ are cel puțin o soluție în intervalul $[0,2\pi ]$.

7. Determină mulțimea valorilor expresiei $F(t)=1+6\cos t$, $t\in [0,2\pi ]$.

8. Determină mulțimea valorilor expresiei $G(t)=4-7\sin t$, $t\in [0,2\pi ]$, și numerele $t$ pentru care se ating valoarea minimă și cea maximă.

9. Află toate numerele reale $m$ pentru care ecuația $\sin t=\frac{m+2}{5}$ are soluție în $[0,2\pi ]$.

10. Un punct se rotește pe cercul cu centrul în origine și raza de $12$ cm, cu coordonatele $(12\cos t,12\sin t)$. Cu calculatorul în modul RAD, află cu două zecimale coordonatele lui pentru $t=5,6$ și precizează cadranul. Cât este distanța lui până la axa $Ox$?

11. (Problemă aplicată.) Mânerul manivelei unei fântâni se află la capătul unui braț de $30$ cm, iar axul manivelei este la $90$ cm deasupra ghizdului. Înălțimea mânerului față de ghizd este $h(t)=90+30\sin t$ (centimetri). Între ce valori variază înălțimea? Pentru ce $t$ este minimă?

12. Un corp prins de un resort oscilează, iar poziția lui față de echilibru este $x(t)=0,04\cos t$ (metri). Între ce poziții se mișcă? Pentru ce valori ale lui $t$ din $[0,2\pi ]$ trece prin poziția de echilibru?

13. Cu un calculator în modul RAD, dă cu patru zecimale $\cos 3,9$ și $\sin 3,9$. Precizează cadranul lui $M(3,9)$ și verifică dacă semnele obținute se potrivesc cu poziția.

14. Un punct $M(t)$ din cadranul I are proiecția $P$ pe axa $Ox$ astfel încât $OP=\frac{44}{125}$ și $PM=\frac{117}{125}$. Verifică, cu teorema lui Pitagora, că $OM=1$ și scrie $\cos t$ și $\sin t$ din triunghiul $OPM$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $\sin \frac{\pi }{2}\cdot \cos 0-\cos \pi \cdot \sin \frac{3\pi }{2}=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $m$ știind că valoarea maximă a expresiei $m+2\sin t$, $t\in [0,2\pi ]$, este $9$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că $(3+\sin t)(3-\sin t)\ge 8$ pentru orice $t\in [0,2\pi ]$ și precizează când are loc egalitatea.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $t\in [0,2\pi ]$, distanța dintre punctele $A(1,0)$ și $M(t)$ este cel mult $2$. Pentru ce valoare a lui $t$ este egală cu $2$?

Răspunsuri și explicații

1. Dreapta orizontală $y=-\frac{1}{2}$ trece sub origine, dar deasupra punctului $B^{\prime }$, deci taie cercul în două puncte simetrice față de axa $Oy$: unul cu abscisa negativă, în cadranul III, și unul cu abscisa pozitivă, în cadranul IV. Dreapta $y=-1$ doar atinge cercul, în $B^{\prime }(0,-1)$: un singur punct, cu $t=\frac{3\pi }{2}$.

2. $5\sin \frac{\pi }{2}-4\cos 2\pi +3\cos \pi =5-4-3=-2$. Am folosit $\cos 2\pi =1$, pentru că $2\pi$ duce tot în $A$.

3. $\cos t=-1$ numai în $A^{\prime }$, deci $t=\pi$. $\sin t=0$ în $A$ și în $A^{\prime }$, deci pentru $t\in \{0,\pi ,2\pi \}$ — trei numere, fiindcă $A$ corespunde atât lui $0$, cât și lui $2\pi$.

4. ${\left(\frac{115}{277}\right)}^2+{\left(-\frac{252}{277}\right)}^2=\frac{13225+63504}{76729}=1$, deci punctul este pe cerc. Abscisa este pozitivă, ordonata negativă, deci cadranul IV. Din definiție, $\cos t=\frac{115}{277}$ și $\sin t=-\frac{252}{277}$.

5. Pot fi valori ale cosinusului doar numerele din $[-1,1]$: $-0,98$ da; $1,002$ nu; $-\frac{\pi }{3}\approx -1,0472$ nu; $\sqrt{2}-1\approx 0,4142$ da; $\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,9487$ da.

6. Adevărat. $2-\sqrt{2}\approx 0,5858$, un număr din $[-1,1]$, iar sinusul ia toate valorile acestui interval.

7. Din $-6\le 6\cos t\le 6$ rezultă $1+6\cos t\in [-5,7]$. Capetele se ating în $A^{\prime }$ și în $A$.

8. Înmulțirea cu $-7$ inversează inegalitățile: $-7\le -7\sin t\le 7$, deci $4-7\sin t\in [-3,11]$. Minimul $-3$ se atinge pentru $t=\frac{\pi }{2}$, iar maximul $11$ pentru $t=\frac{3\pi }{2}$.

9. Condiția este $-1\le \frac{m+2}{5}\le 1$, adică $-5\le m+2\le 5$, deci $m\in [-7,3]$.

10. $12\cos 5,6\approx 9,31$ și $12\sin 5,6\approx -7,58$, deci punctul este aproximativ $(9,31;-7,58)$, în centimetri. Cum $4,7124<5,6<6,2832$, el este în cadranul IV, cu abscisa pozitivă și ordonata negativă, exact ca în calcul. Distanța până la axa $Ox$ este modulul ordonatei, aproximativ $7,58$ cm.

11. Din $-30\le 30\sin t\le 30$ rezultă $90+30\sin t\in [60,120]$, deci mânerul urcă de la $60$ cm la $120$ cm. Minimul se atinge pentru $t=\frac{3\pi }{2}$, când brațul este vertical, în jos.

12. Poziția este în $[-0,04;0,04]$ metri, adică la cel mult patru centimetri de echilibru. Corpul trece prin echilibru când $\cos t=0$, adică pentru $t=\frac{\pi }{2}$ și $t=\frac{3\pi }{2}$.

13. $\cos 3,9\approx -0,7259$ și $\sin 3,9\approx -0,6878$. Cum $\pi \approx 3,1416<3,9<4,7124$, punctul $M(3,9)$ este în cadranul III, stânga jos, unde ambele coordonate sunt negative, deci semnele se potrivesc.

14. $O{M}^2={\left(\frac{44}{125}\right)}^2+{\left(\frac{117}{125}\right)}^2=\frac{1936+13689}{15625}=1$, deci $OM=1$. În triunghiul $OPM$, cateta alăturată unghiului din $O$ este $OP$, deci $\cos t=\frac{44}{125}$, iar cateta opusă este $PM$, deci $\sin t=\frac{117}{125}$.

15. $\sin \frac{\pi }{2}\cdot \cos 0-\cos \pi \cdot \sin \frac{3\pi }{2}=1\cdot 1-(-1)(-1)=0$.

16. Valoarea maximă a lui $2\sin t$ este $2$, atinsă pentru $t=\frac{\pi }{2}$, deci maximul expresiei este $m+2$. Din $m+2=9$ rezultă $m=7$.

17. Produsul este $9-{\sin }^{2}t$. Cum $-1\le \sin t\le 1$, pătratul sinusului este cel mult $1$, deci $9-{\sin }^{2}t\ge 8$. Egalitatea cere ca pătratul sinusului să fie $1$, adică $\sin t=1$ sau $\sin t=-1$, deci $t=\frac{\pi }{2}$ sau $t=\frac{3\pi }{2}$.

18. Punctele $A$ și $M(t)$ sunt amândouă pe cercul de rază $1$, deci segmentul $AM$ este o coardă a cercului. O coardă nu depășește diametrul, care are lungimea $2$. Egalitatea are loc când coarda este un diametru, adică atunci când $M(t)$ este diametral opus lui $A$, deci $M(t)=A^{\prime }$ și $t=\pi$.

De reținut

• Pentru $t\in [0,2\pi ]$, $\cos t$ este abscisa și $\sin t$ este ordonata punctului $M(t)$: $M(t)=(\cos t,\sin t)$.
• Pentru unghiurile ascuțite, definiția de pe cerc dă aceleași valori ca rapoartele din triunghiul dreptunghic, pentru că ipotenuza $OM$ este $1$.
• În punctele de pe axe valorile se citesc direct: în $A$ perechea este $(1,0)$, în $B$ este $(0,1)$, în $A^{\prime }$ este $(-1,0)$, în $B^{\prime }$ este $(0,-1)$.
• Ambele funcții iau exact valorile din $[-1,1]$, iar $a+b\sin t$ și $a+b\cos t$ iau valori de la $a-|b|$ la $a+|b|$.
• Pe un cerc de rază $R$ cu centrul în origine, punctul rotit cu $t$ are coordonatele $(R\cos t,R\sin t)$; proiecția lui pe o axă oscilează între $-R$ și $R$.

Greșeli frecvente

• Cosinusul tratat ca o lungime, deci mereu pozitiv. Cosinusul este o coordonată, cu semn: $\cos \pi =-1$, pentru că punctul $A^{\prime }$ este la stânga originii.
• Uitarea razei pe un cerc care nu are raza $1$. Pe un cerc de rază $R$, coordonatele sunt $(R\cos t,R\sin t)$, nu $(\cos t,\sin t)$; altfel punctul cade pe alt cerc.
• Maximul lui $a+b\sin t$ căutat la $\sin t=1$ și când $b$ este negativ. Dacă $b<0$, expresia este cea mai mare când sinusul este $-1$; locul capetelor se inversează.
• Uitarea înălțimii axului. Înălțimea unui punct de pe o roată față de sol este $c+R\sin t$, nu $R\sin t$; fără $c$ ai măsura de la ax, nu de la sol.
• Mulțimea valorilor calculată doar în capetele lui $t$. Expresia $1+4\sin t$ valorează $1$ și în $t=0$, și în $t=2\pi$, dar între ele urcă până la $5$ și coboară până la $-3$; capetele intervalului lui $t$ nu dau capetele valorilor.

Aplică acasă

1. Explorare cu un program de geometrie. Construiește cercul de rază $1$, un punct pe el comandat de un cursor $t$ între $0$ și $2\pi$ și afișează-i coordonatele. Mișcă cursorul și notează în ce puncte abscisa este zero, în ce puncte ordonata este maximă și cum se schimbă semnele coordonatelor.
2. Umbra la lanternă. Lipește un creion vertical pe marginea platoului rotitor al unui cuptor cu microunde, oprit și rotit cu mâna, și luminează-l din lateral cu lanterna telefonului, spre un perete. Marchează pozițiile extreme ale umbrei și măsoară distanța dintre ele. Compară-o cu diametrul cercului descris de creion.
3. Căutarea inversă a unei valori. Pe hârtie milimetrică, desenează un cerc de rază $10$ cm, deci unitatea de $10$ cm. Alege o valoare $k$ între $-1$ și $1$, trasează dreapta orizontală la înălțimea $10k$ cm și găsește cele două puncte de intersecție. Măsoară unghiurile lor cu raportorul și explică de ce două numere diferite din $[0,2\pi ]$ au același sinus.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută sinusul și cosinusul din triunghiul dreptunghic pe cercul trigonometric, pe intervalul $[0,2\pi ]$ cerut de programa de științe. Elevul trebuie să spună fără ezitare care coordonată este sinusul, să citească valorile de pe axe, să găsească intervalul unei expresii cu coeficient negativ și să folosească raza reală a unui mecanism. Întrebări utile: „Ce semn are cosinusul pentru un punct din stânga originii?” și „Unde se atinge maximul lui $6-2\cos t$?”. Semne că elevul a înțeles: desenează punctul înaintea calculului, verifică orice valoare cu intervalul $[-1,1]$ și, la modelele cu roți, scrie separat raza, înălțimea axului și unitatea de măsură. Pentru reamintirea definiției din gimnaziu se poate relua sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit, din clasa a VII-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde programa cere studiul funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $[0,2\pi ]$ cu ajutorul cercului trigonometric. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) definește funcțiile sinus și cosinus pe $[0,2\pi ]$, cu valori în $[-1,1]$. Modelul oficial din 2026 conține la Subiectul I o cerință de trigonometrie într-un triunghi; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric definește funcțiile pe toată mulțimea numerelor reale. Pe traseul M2 urmează valorile sinusului și cosinusului pentru unghiurile de bază la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la sinus și cosinus în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, în clasa a IX-a, funcțiile se definesc și se studiază pe intervalul de la zero la doi pi, exact ca în programa de examen, iar accentul cade pe modele: roți, manivele, oscilații. Lecția M1 le definește pe toată mulțimea numerelor reale și leagă imediat formula fundamentală.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 apar sinusul și cosinusul?

Programa de examen definește sinusul și cosinusul pe intervalul de la zero la doi pi, iar cerințele de trigonometrie de la Subiectul I le folosesc. În modelul oficial din 2026, trigonometria apare într-un triunghi dreptunghic cu un unghi dat în radiani. Valorile de pe axe și intervalul unei expresii se calculează repede, pe cerc.

Cum scriu coordonatele unui punct pe un cerc care nu are raza unu?

Înmulțești cu raza ambele coordonate ale punctului de pe cercul trigonometric: abscisa devine R cosinus de t, iar ordonata devine R sinus de t. Dacă centrul nu este în origine, adaugi coordonatele centrului. Pentru înălțimea față de sol, adaugi înălțimea axului.

Pot folosi calculatorul pentru sinusul unui număr oarecare?

Da, programa de științe permite valori obținute cu mijloace digitale. Pune calculatorul în modul RAD, pentru că numărul este o lungime de arc, nu un număr de grade. Scrie rezultatul cu semnul aproximativ și verifică semnul lui cu poziția punctului pe cerc, ca să prinzi o eventuală greșeală de mod.

Cum verific rapid dacă un rezultat cu sinus sau cosinus este plauzibil?

Verifică întâi dacă valoarea este între minus unu și unu. Apoi desenează punctul pe cerc: dacă este la stânga axei verticale, cosinusul trebuie să fie negativ; dacă este sub axa orizontală, sinusul trebuie să fie negativ. Un rezultat care contrazice desenul ascunde o greșeală.

De ce umbra unui punct care se rotește uniform se mișcă înainte și înapoi?

Umbra păstrează doar o coordonată a punctului, de exemplu abscisa, care este R cosinus de t. Pe măsură ce punctul face turul cercului, abscisa scade de la R la minus R și apoi crește la loc. De aceea umbra oscilează între cele două capete, cu amplitudinea egală cu raza.