Ce condiție trebuie verificată înainte de a folosi metoda raportului?

toți termenii să fie strict pozitivi

termenii să fie numere întregi

La un șir crescător, ce rol are primul termen?

este și majorant, și minorant

Cum aplic metoda raportului la șirul aₙ= n/3ⁿ?

Termenii sunt strict pozitivi, deci poți compara raportul cu 1: aₙ₊₁/aₙ= (n+1)/3n. Inegalitatea (n+1)/3n<1 înseamnă n+1<3n, adevărată pentru orice n≥ 1. Șirul este deci strict descrescător: fiecare termen este mai mic decât cel dinaintea lui, de exemplu a₁= 1/3 și a₂= 2/9.

De la ce rang este crescător șirul aₙ=n²-4n?

Calculezi diferența: aₙ₊₁-aₙ=(n+1)²-4(n+1)-n²+4n=2n-3. Ea este negativă pentru n=1 și pozitivă pentru n≥ 2. Într-adevăr, a₁=-3, a₂=-4, a₃=-3: șirul scade o dată, apoi crește de la rangul 2.

De la ce rang termenii șirului aₙ=5n+2 depășesc 100?

Rezolvi inecuația 5n+2>100, adică 5n>98 și n>19,6. Cum rangul este natural, primul rang bun este n=20, cu a₂₀=102. Verificare: a₁₉=97, încă sub 100, deci toți termenii de la rangul 20 încolo trec de prag, iar șirul fiind crescător nu mai coboară.

Ce este un șir mărginit?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Monotonie și mărginire

Un șir se numește mărginit când există două numere fixate care îi cuprind toți termenii: există $m$ și $M$ cu $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice rang $n$ . Exemplu: $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ . Termenul scăzut este pozitiv și cel mult $\frac{1}{2}$ , deci $\frac{3}{2} \leq a_{n} < 2$ pentru orice $n \geq 1$ . Așadar marginea de jos, $\frac{3}{2}$ , se atinge pentru $n = 1$ , iar cea de sus, $2$ , nu se atinge niciodată.

Un șir se numește crescător când $a_{n} \leq a_{n + 1}$ la orice rang. Câțiva termeni calculați te pot îndrepta spre concluzie, dar nu țin loc de demonstrație: cerința privește toți termenii, nu primii cinci.

Metoda diferenței funcționează oriunde: aduci $a_{n + 1} - a_{n}$ la o scriere cu semnul la vedere și tragi concluzia după el. Ordinea vine din definiție — termenul de rang mai mic se scade din cel de rang mai mare —, iar scrisă invers întoarce concluzia pe dos.

O fracție își primește semnul de la amândouă etajele. La $\frac{( n + 4 ) ( n - 3 )}{n ( n + 1 )}$ nu privi numai numărătorul: spune în rezolvare, fie și într-o propoziție, că numitorul rămâne pozitiv la orice rang. Fără ea, argumentul rămâne neîncheiat.

Metoda raportului cere termeni strict pozitivi și se potrivește șirurilor cu puteri; sărind peste verificarea pozitivității, concluzia se poate răsturna.

Mărginirea cere un interval $[m, M]$ care să-i cuprindă pe toți termenii, iar $m$ și $M$ trebuie să fie numere fixate; o expresie în care mai apare rangul $n$ nu poate fi margine. Când șirul crește, capătul de jos îl dă chiar primul termen — el este minorant, nu majorant.

Rangul și termenul sunt lucruri diferite: pentru $a_{n} = 3 n - 5$ , valoarea $34$ se află pe rangul $13$ .

De reținut

mărginit: există $m$ , $M$ fixate cu $m \leq a_{n} \leq M$ pentru orice $n$
marginile sunt numere fixate, fără $n$ în ele
crescător și mărginit, sau monoton și nemărginit: proprietăți independente

Greșeala tipică

Se dă drept majorant o expresie ca $n + 1$ , care crește odată cu rangul; un majorant trebuie să fie un număr fixat, același pentru toți termenii.

Exerciții din această mini-lecție

Ce expresie se calculează la metoda diferenței, pentru a stabili monotonia unui șir?
- a) $a_{n} - a_{n + 1}$
- b) $a_{n + 1} - a_{n}$
- c) $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$
- d) $a_{n} - a_{1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a_{n + 1} - a_{n}$

Definiția compară termenul de rang mai mare cu cel dinaintea lui, deci se scade cel mic din cel mare. Scrisă în ordine inversă, ca la a), toate semnele se răstoarnă și concluzia iese pe dos. Varianta c) este metoda raportului, care are condiții suplimentare.
Ce condiție trebuie verificată înainte de a folosi metoda raportului?
- a) termenii să fie numere întregi
- b) toți termenii să fie strict pozitivi
- c) șirul să fie mărginit
- d) șirul să fie deja crescător
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) toți termenii să fie strict pozitivi

Împărțirea la un termen negativ răstoarnă inegalitatea, deci concluzia trasă din raport s-ar inversa. Pozitivitatea nu e o formalitate: e chiar ipoteza care face metoda valabilă.
La un șir crescător, ce rol are primul termen?
- a) este un minorant al șirului
- b) este un majorant al șirului
- c) este și majorant, și minorant
- d) nu are niciun rol
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) este un minorant al șirului

La un șir crescător toți termenii sunt cel puțin $a_{1}$ , deci primul termen mărginește de jos. Marginea de sus, dacă există, se caută în forma rescrisă a termenului general. La un șir descrescător rolurile se inversează.

Întrebări conexe

Cum aplic metoda raportului la șirul $a_{n} = \frac{n}{3 ^{n}}$ ?

Termenii sunt strict pozitivi, deci poți compara raportul cu $1$ : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 1}{3 n}$ . Inegalitatea $\frac{n + 1}{3 n} < 1$ înseamnă $n + 1 < 3 n$ , adevărată pentru orice $n \geq 1$ . Șirul este deci strict descrescător: fiecare termen este mai mic decât cel dinaintea lui, de exemplu $a_{1} = \frac{1}{3}$ și $a_{2} = \frac{2}{9}$ .

Este monoton șirul $a_{n} = (- 1)^{n}$ ?

Nu. Termenii sunt $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ , deci șirul urcă și coboară alternativ și nu este nici crescător, nici descrescător. Este totuși mărginit, pentru că toți termenii se află în intervalul $[- 1, 1]$ . Mărginirea și monotonia sunt proprietăți independente.

De la ce rang este crescător șirul $a_{n} = n^{2} - 4 n$ ?

Calculezi diferența: $a_{n + 1} - a_{n} = (n + 1)^{2} - 4 (n + 1) - n^{2} + 4 n = 2 n - 3$ . Ea este negativă pentru $n = 1$ și pozitivă pentru $n \geq 2$ . Într-adevăr, $a_{1} = - 3$ , $a_{2} = - 4$ , $a_{3} = - 3$ : șirul scade o dată, apoi crește de la rangul $2$ .

Un șir crescător este întotdeauna nemărginit?

Nu. Șirul $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ este crescător, pentru că scăzutul $\frac{1}{n}$ se micșorează, dar toți termenii rămân sub $1$ . Deci șirul este crescător și mărginit în același timp, cu termenii între $0$ și $1$ .

De la ce rang termenii șirului $a_{n} = 5 n + 2$ depășesc $100$ ?

Rezolvi inecuația $5 n + 2 > 100$ , adică $5 n > 98$ și $n > 19, 6$ . Cum rangul este natural, primul rang bun este $n = 20$ , cu $a_{20} = 102$ . Verificare: $a_{19} = 97$ , încă sub $100$ , deci toți termenii de la rangul $20$ încolo trec de prag, iar șirul fiind crescător nu mai coboară.

Oamenii mai întreabă și: șir mărginit · ce înseamnă șir mărginit superior și inferior · când este un șir mărginit · majorant și minorant la șiruri

Ce este un șir mărginit?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aplic metoda raportului la șirul an​=3nn​?

Este monoton șirul an​=(−1)n?

De la ce rang este crescător șirul an​=n2−4n?

Un șir crescător este întotdeauna nemărginit?

De la ce rang termenii șirului an​=5n+2 depășesc 100?

Continuă cu

Cum aplic metoda raportului la șirul $a_{n} = \frac{n}{3 ^{n}}$ ?

Este monoton șirul $a_{n} = (- 1)^{n}$ ?

De la ce rang este crescător șirul $a_{n} = n^{2} - 4 n$ ?

De la ce rang termenii șirului $a_{n} = 5 n + 2$ depășesc $100$ ?