Șiruri de numere reale: monotonie și mărginire (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

O cultură de bacterii numărată din oră în oră, concentrația unui reactant măsurată la fiecare minut, cantitatea de medicament rămasă în sânge după fiecare doză — toate dau un șir de numere. Despre un asemenea șir se pun, în laborator, exact două întrebări: crește sau scade de la un pas la altul și rămâne oare între niște limite? Prima întrebare este monotonia, a doua este mărginirea, iar lecția aceasta, din traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), arată cum se răspunde la ele cu demonstrație, nu cu o listă de termeni — așa cum se cere la bacalaureatul M2.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: șirurile mărginite și șirurile monotone sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși programa nouă a clasei a IX-a păstrează din acest capitol doar progresiile. Ce este un șir, cum se notează termenul de rang $n$ și în câte feluri se poate defini un șir ai aflat deja din lecția anterioară a traseului tău, șiruri: moduri de definire și recurență; aici pornim direct de la întrebarea despre creștere. Uneltele de lucru vin din două locuri cunoscute: semnul unei expresii, de la funcția de gradul I: ecuații și inecuații, și încadrarea într-un interval, din clasa a VIII-a, de la intervalele numerice mărginite.

Ce vei învăța

Vei ști să deosebești crescător de strict crescător și să scrii corect concluzia, cu rangul de la care proprietatea are loc.
Vei ști să compari doi termeni consecutivi calculând diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ , procedeul care merge la orice șir.
Vei ști când ai voie să folosești metoda raportului și de ce condiția termenilor pozitivi nu e o formalitate.
Vei ști ce sunt un majorant și un minorant și cum se demonstrează o mărginire pentru orice rang.
Vei ști să obții o încadrare prelucrând termenul general, nu căutând valori pe calculator.
Vei ști să citești monotonia și mărginirea într-un context din biologie sau din chimie, cu unitatea de măsură la vedere.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un șir este monoton?

Un șir $(x_{n})_{n \geq 1}$ se numește crescător dacă fiecare termen este mai mic sau egal cu următorul, adică $x_{n} \leq x_{n + 1}$ pentru orice rang $n$ ; dacă inegalitatea este strictă la fiecare pas, șirul se numește strict crescător. Simetric, șirul este descrescător când $x_{n} \geq x_{n + 1}$ pentru orice $n$ și strict descrescător când $x_{n} > x_{n + 1}$ pentru orice $n$ . Un șir care se încadrează în vreunul dintre aceste patru cazuri se numește monoton.

Trei precizări care fac diferența în rezolvare:

Cuvintele „pentru orice $n$ " sunt esențiale: câțiva termeni calculați nu demonstrează nimic. Un șir poate urca la început și coborî după aceea, iar primele valori nu dau niciun indiciu despre ce urmează.
Un șir poate fi nemonoton, adică nici crescător, nici descrescător — nu există regulă care să-l oblige să fie una sau alta.
Proprietatea poate începe de la un rang încolo. Atunci concluzia se scrie cu rangul cu tot: „șirul este strict crescător pentru $n \geq 4$ ", nu „șirul este crescător".

Verificarea numerică rămâne totuși utilă, dar cu rolul ei adevărat: ghicești din primii termeni ce ai de demonstrat, apoi demonstrezi. Pentru $a_{n} = \frac{5 n - 2}{n + 4}$ primii cinci termeni sunt:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{13}{7}$	$\frac{9}{4}$	$\frac{23}{9}$

Valorile urcă, deci merită să încercăm să arătăm că șirul este strict crescător.

2. Cum studiez monotonia prin semnul diferenței?

Calculezi $a_{n + 1} - a_{n}$ , aduci rezultatul la o formă din care semnul se vede, apoi tragi concluzia: o diferență pozitivă la fiecare rang înseamnă creștere strictă, iar una negativă, descreștere strictă. Metoda merge la orice șir, fără nicio condiție prealabilă, și de aceea este cea folosită implicit la examen.

Reluăm șirul de mai sus. Prelucrăm mai întâi termenul general, scriind numărătorul cu ajutorul numitorului: $5 n - 2 = 5 (n + 4) - 22$ , deci $a_{n} = 5 - \frac{22}{n + 4}$ . Atunci

$a_{n + 1} - a_{n} = (5 - \frac{22}{n + 5}) - (5 - \frac{22}{n + 4}) = \frac{22}{n + 4} - \frac{22}{n + 5} = \frac{22}{( n + 4 ) ( n + 5 )} .$

Numitorul fiind pozitiv la orice rang, diferența rămâne mereu deasupra lui zero, deci șirul crește strict. Observă cum a fost obținut $a_{n + 1}$ : peste tot unde apărea $n$ am pus $n + 1$ , inclusiv la numitor — greșeala clasică este să se schimbe doar numărătorul.

Aceeași metodă, pe un șir care scade. Pentru $b_{n} = \frac{n + 6}{2 n}$ scriem $b_{n} = \frac{1}{2} + \frac{3}{n}$ și obținem $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{3}{n + 1} - \frac{3}{n} = - \frac{3}{n ( n + 1 )}$ , strict negativ pentru orice $n \geq 1$ : șirul este strict descrescător.

3. Când am voie să folosesc metoda raportului?

Numai când toți termenii sunt strict pozitivi. Dacă $x_{n} > 0$ pentru orice $n$ , atunci din $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} > 1$ rezultă $x_{n + 1} > x_{n}$ , deci șirul este strict crescător; din $\frac{x _{n + 1}}{x _{n}} < 1$ rezultă că este strict descrescător. Trecerea de la raport la comparație se face înmulțind cu $x_{n}$ — iar înmulțirea păstrează sensul inegalității doar dacă numărul e pozitiv, exact ca la inecuațiile de gradul I.

Condiția nu e decorativă. Pentru șirul $g_{n} = - \frac{1}{n}$ , cu termenii $- 1$ , $- \frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{3}$ , raportul este $\frac{g _{n + 1}}{g _{n}} = \frac{n}{n + 1} < 1$ , ceea ce ar sugera un șir descrescător; în realitate termenii cresc, pentru că fiecare este mai aproape de zero decât cel dinainte. Prima propoziție dintr-o rezolvare prin raport trebuie deci să fie „termenii șirului sunt strict pozitivi, pentru că…".

Metoda e cea mai comodă la șirurile în care apar puteri. Într-un vas, concentrația unui reactant scade cu o cincime la fiecare minut, deci la minutul $n$ ea este $c_{n} = 50 \cdot (\frac{4}{5})^{n}$ miligrame pe litru. Toți termenii sunt pozitivi, iar

$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{50 \cdot ( \frac{4}{5} ) ^{n + 1}}{50 \cdot ( \frac{4}{5} ) ^{n}} = \frac{4}{5} < 1,$

deci șirul este strict descrescător: concentrația scade la fiecare minut, ceea ce se și vedea din enunț. Prin diferență ar fi ieșit la fel, dar cu un calcul mai lung.

4. Ce înseamnă că un șir este mărginit?

Un număr $M$ se numește majorant al șirului dacă $a_{n} \leq M$ pentru orice $n$ , iar un număr $m$ se numește minorant dacă $m \leq a_{n}$ pentru orice $n$ . Șirul este mărginit superior dacă are un majorant, mărginit inferior dacă are un minorant și, pur și simplu, mărginit dacă le are pe amândouă — adică dacă toți termenii lui încap într-un interval $[m, M]$ .

Două lucruri de reținut despre aceste numere. Întâi, un majorant nu este unic: dacă $M$ merge, merge și orice număr mai mare. Ca să arăți mărginirea, e bun oricare dintre ei; abia întrebarea „care este cel mai mic majorant" cere un răspuns precis. Apoi, majorantul este un număr, nu o expresie: dacă în el a rămas rangul $n$ , nu ai găsit nicio margine.

5. Cum arăt că un șir este mărginit?

Prelucrând termenul general până când mărginirea devine evidentă. Reluăm $a_{n} = 5 - \frac{22}{n + 4}$ . Pentru orice $n \geq 1$ avem $\frac{22}{n + 4} > 0$ , deci $a_{n} < 5$ : numărul $5$ este majorant. Pe de altă parte, șirul fiind crescător, toți termenii sunt cel puțin egali cu primul, deci $a_{n} \geq a_{1} = \frac{3}{5}$ , iar $\frac{3}{5}$ este minorant. Așadar $\frac{3}{5} \leq a_{n} < 5$ pentru orice $n \geq 1$ și șirul este mărginit.

A doua cale este majorarea grosieră: înlocuiești o parte din expresie cu ceva mai mare, ușor de evaluat. Pentru $b_{n} = \frac{1}{2} + \frac{3}{n}$ , din $n \geq 1$ rezultă $\frac{3}{n} \leq 3$ , deci $b_{n} \leq \frac{7}{2}$ ; iar cum $\frac{3}{n} > 0$ , avem și $b_{n} > \frac{1}{2}$ . Încadrarea $\frac{1}{2} < b_{n} \leq \frac{7}{2}$ este demonstrată pentru orice rang, cu două inegalități scrise, nu cu un tabel de valori.

Ce nu este o demonstrație: „am calculat primii zece termeni și toți sunt mai mici decât $5$ ". Un șir poate sta cuminte o sută de pași și apoi să depășească orice prag; verificarea numerică sugerează marginea, inegalitatea o demonstrează.

6. Poate fi un șir mărginit doar într-o parte?

Da, și e cazul cel mai des întâlnit în aplicații. Într-un mediu de cultură, numărul de celule, în mii, la ora $n$ , este aproximat de $p_{n} = 200 + 15 n$ . Șirul este strict crescător, pentru că $p_{n + 1} - p_{n} = 15 > 0$ , și este mărginit inferior de $215$ , valoarea de la prima oră. Superior însă nu este mărginit: oricât de mare ar fi un prag $M$ , alegând un rang $n$ mai mare decât $\frac{M - 200}{15}$ obținem $p_{n} > M$ .

Concluzia corectă se scrie întreagă: șirul este mărginit inferior și nemărginit superior, deci nu este mărginit. Cuvântul „mărginit", spus fără nicio precizare, cere amândouă capetele — iar modelul biologic ne spune și de ce: creșterea nelimitată este exact motivul pentru care o cultură reală se abate, mai devreme sau mai târziu, de la acest model.

7. Ce legătură este între monotonie și mărginire?

Una singură, simplă, și merită știută pe de rost: la un șir crescător, primul termen este minorant, iar la unul descrescător, primul termen este majorant. Mai mult decât atât nu se poate spune: șirul $p_{n}$ de mai sus este crescător și nemărginit superior.

Invers nu funcționează deloc: un șir mărginit nu are niciun motiv să fie monoton. Șirul $q_{n} = 3 + (- 1)^{n}$ ia alternativ valorile $2$ și $4$ , deci este mărginit, cu $2 \leq q_{n} \leq 4$ , dar nu este nici crescător, nici descrescător. Cele două proprietăți sunt independente și se demonstrează separat, chiar dacă la examen se cer adesea în același subiect.

Un șir care este și crescător, și mărginit superior are o proprietate în plus, foarte importantă, dar ea se studiază la matematică-informatică, în clasa a XI-a, odată cu limitele de șiruri. La M2 ne oprim aici: la monotonia și la mărginirea demonstrate direct.

8. Ce rămâne vecinilor din traseu?

Progresiile aritmetice și geometrice — adică șirurile cu rație — au formulele lor, termenul general și suma primilor $n$ termeni, în lecțiile de progresii pe care le-ai parcurs deja; aici ele apar doar ca exemple de șiruri monotone. Condiția ca trei numere să fie în progresie este subiectul lecției următoare din traseul tău, caracterizarea progresiilor prin trei termeni consecutivi. Iar limitele de șiruri, convergența și teoremele legate de ele nu intră în programa de examen M2; la mate-info ele deschid clasa a XI-a, unde monotonia șirurilor de numere reale este reluată tocmai ca pregătire pentru limite. Pentru comparație, aceea este lecția cea mai apropiată de a ta din traseul de matematică-informatică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Monotonie prin diferență

Studiați monotonia șirului $a_{n} = \frac{7 n - 3}{n + 1}$ , $n \geq 1$ .

Rezolvare. Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $7 n - 3 = 7 (n + 1) - 10$ , deci $a_{n} = 7 - \frac{10}{n + 1}$ . Atunci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{10}{n + 1} - \frac{10}{n + 2} = \frac{10}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ .

Ambii factori de la numitor sunt pozitivi la orice rang, așadar diferența se păstrează deasupra lui zero: șirul crește strict.

Control numeric: $a_{1} = 2$ , $a_{2} = \frac{11}{3}$ , iar $\frac{11}{3} - 2 = \frac{5}{3}$ , exact cât dă formula diferenței pentru $n = 1$ : $\frac{10}{2 \cdot 3} = \frac{5}{3}$ ✓

Exemplul 2 — Monotonie prin raport

Arătați că șirul $v_{n} = \frac{2 ^{n}}{n + 3}$ , $n \geq 1$ , este strict crescător.

Rezolvare. Toți termenii sunt strict pozitivi, fiindcă o putere a lui $2$ și o sumă de numere pozitive sunt pozitive, deci metoda raportului se poate aplica:

$\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{n + 4} \cdot \frac{n + 3}{2 ^{n}} = \frac{2 ( n + 3 )}{n + 4} .$

Raportul este supraunitar când $2 (n + 3) > n + 4$ , adică $n > - 2$ — adevărat la orice rang. Prin urmare $v_{n + 1} > v_{n}$ pentru orice $n \geq 1$ : șirul este strict crescător. Aici raportul a fost metoda scurtă; diferența ar fi cerut un numitor comun și un calcul mult mai lung.

Control numeric: $v_{1} = \frac{1}{2}$ , $v_{2} = \frac{4}{5}$ , iar raportul lor este $\frac{8}{5}$ , exact cât dă formula pentru $n = 1$ ✓

Exemplul 3 — Un șir care nu este monoton

Arătați că șirul $d_{n} = n + \frac{12}{n}$ , $n \geq 1$ , nu este monoton.

Rezolvare. Calculăm diferența și o aducem la o formă din care semnul se vede:

$d_{n + 1} - d_{n} = 1 + \frac{12}{n + 1} - \frac{12}{n} = 1 - \frac{12}{n ( n + 1 )} = \frac{n ^{2} + n - 12}{n ( n + 1 )} = \frac{( n + 4 ) ( n - 3 )}{n ( n + 1 )} .$

Numitorul este pozitiv, la fel și factorul $n + 4$ , deci semnul diferenței este dat de $n - 3$ : negativ pentru $n < 3$ , nul pentru $n = 3$ și pozitiv pentru $n > 3$ . Prin urmare șirul scade la început, are doi termeni egali, $d_{3} = d_{4} = 7$ , și apoi crește strict: nu este nici crescător, nici descrescător pe tot parcursul.

Control numeric: $d_{1} = 13$ , $d_{2} = 8$ , $d_{3} = 7$ , $d_{4} = 7$ , $d_{5} = \frac{37}{5}$ — valorile coboară, se opresc, apoi urcă ✓

Exemplul 4 — Încadrare prin prelucrarea termenului general

Arătați că șirul $w_{n} = \frac{n}{2 n + 5}$ , $n \geq 1$ , este mărginit și precizați o încadrare.

Rezolvare. Aici nu mai avem nevoie de rescriere, ci doar de o majorare grosieră: înlocuim numitorul cu ceva mai mic, dar comod. Cum $n \geq 1$ , numărătorul și numitorul sunt pozitive, deci $w_{n} > 0$ . Pe de altă parte $2 n + 5 > 2 n$ , iar mărind numitorul micșorăm fracția, așa că

$w_{n} = \frac{n}{2 n + 5} < \frac{n}{2 n} = \frac{1}{2} .$

Prin urmare $0 < w_{n} < \frac{1}{2}$ pentru orice $n \geq 1$ : șirul este mărginit, cu minorantul $0$ și majorantul $\frac{1}{2}$ , niciunul dintre ele atins vreodată.

Control numeric: $w_{1} = \frac{1}{7}$ , $w_{2} = \frac{2}{9}$ , $w_{100} = \frac{100}{205}$ — toate în bandă, iar ultimul deja aproape de $\frac{1}{2}$ , fără să-l atingă ✓

Exemplul 5 — Un șir definit prin recurență

Se consideră șirul definit prin $u_{1} = 1$ și $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 6}{3}$ , pentru orice $n \geq 1$ . Arătați că $u_{n} < 3$ pentru orice $n$ și că șirul este strict crescător.

Rezolvare. Mărginirea superioară se demonstrează prin inducție matematică. Pentru $n = 1$ , $u_{1} = 1 < 3$ . Presupunem $u_{n} < 3$ ; atunci $u_{n} + 6 < 9$ , iar prin împărțire la $3 > 0$ obținem $u_{n + 1} < 3$ . Prin inducție, $u_{n} < 3$ pentru orice $n \geq 1$ .

Pentru monotonie calculăm diferența folosind regula de recurență: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u _{n} + 6}{3} - u_{n} = \frac{6 - 2 u _{n}}{3}$ . Cum tocmai am arătat că $u_{n} < 3$ , avem $2 u_{n} < 6$ , deci numărătorul este strict pozitiv: șirul este strict crescător.

Control numeric: $u_{2} = \frac{7}{3}$ , $u_{3} = \frac{25}{9}$ , $u_{4} = \frac{79}{27}$ — valorile urcă și rămân sub $3$ ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{n} = \frac{2 n + 7}{n + 2}$ . a) Arătați că $a_{1} = 3$ . b) Arătați că $a_{n} = 2 + \frac{3}{n + 2}$ , pentru orice $n \geq 1$ . c) Demonstrați că $2 < a_{n} \leq 3$ , pentru orice $n \geq 1$ .

Rezolvare. a) Înlocuim $n$ cu $1$ : $a_{1} = \frac{2 + 7}{1 + 2} = \frac{9}{3} = 3$ .

b) Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $2 n + 7 = 2 (n + 2) + 3$ , deci $a_{n} = \frac{2 ( n + 2 ) + 3}{n + 2} = 2 + \frac{3}{n + 2}$ .

c) Din $n \geq 1$ rezultă $n + 2 \geq 3$ , deci $0 < \frac{3}{n + 2} \leq 1$ . Adunând $2$ în toate cele trei locuri, obținem $2 < a_{n} \leq 3$ , ceea ce trebuia demonstrat. Capătul din dreapta este atins, la $n = 1$ , iar cel din stânga nu este atins niciodată.

Să exersăm

Rețeta, la orice cerință de monotonie: scrie $a_{n + 1}$ înlocuind $n$ cu $n + 1$ peste tot, calculează diferența și adu-o la o formă cu semn vizibil. La orice cerință de mărginire: prelucrează termenul general până rămâne o singură fracție care se poate încadra.

1. Calculează primii patru termeni ai șirului $a_{n} = \frac{5 n + 1}{n + 3}$ și spune dacă pare crescător sau descrescător.

2. Studiază monotonia șirului $b_{n} = 7 - 2 n$ , folosind semnul diferenței.

3. Arată că șirul $c_{n} = \frac{n + 2}{n + 5}$ este strict crescător.

4. Arată că șirul $d_{n} = 80 \cdot (\frac{3}{4})^{n}$ este strict descrescător, folosind metoda raportului.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un șir strict descrescător nu poate fi mărginit inferior."

6. Arată că șirul $e_{n} = \frac{6 n - 1}{2 n + 3}$ este mărginit și dă o încadrare cu numere concrete.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{n} = 5 n - 9$ . a) Calculează $a_{1}$ și $a_{4}$ . b) Arată că șirul este strict crescător. c) Determină rangul termenului egal cu $41$ .

8. Studiază mărginirea șirului $f_{n} = 100 - 4 n$ : are majorant? Dar minorant?

9. Arată că șirul $h_{n} = \frac{18}{n} - 2 n$ este strict descrescător și precizează un majorant al lui.

10. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de aerare, concentrația de oxigen dizolvat, în miligrame pe litru, la minutul $n$ este $o_{n} = 9 - \frac{6}{n + 1}$ . Arată că șirul este strict crescător și că valorile rămân mereu sub $9$ mg/L.

11. Arată că șirul $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n + 1}$ este strict crescător și mărginit.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră șirul $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{n} = 4 n - 7$ . a) Arată că $b_{n + 1} - b_{n} = 4$ , pentru orice $n \geq 1$ . b) Determină câți termeni ai șirului sunt negativi.

13. Determină rangul de la care termenii șirului $v_{n} = 2 n - 15$ devin strict pozitivi.

14. Arată că niciun termen al șirului $w_{n} = \frac{n + 1}{n + 3}$ nu atinge valoarea $1$ , deși toți termenii sunt mai mici decât $1$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră șirul definit prin $u_{1} = 12$ și $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3$ . a) Calculează $u_{2}$ și $u_{3}$ . b) Arată, prin inducție, că $u_{n} > 6$ pentru orice $n \geq 1$ .

16. Arată că șirul $a_{n} = \frac{4 n}{n + 2}$ este strict crescător și mărginit superior de $4$ .

17. Determină numărul real $m$ pentru care șirul $a_{n} = \frac{mn + 3}{n + 1}$ este constant.

18. (Provocare.) Se consideră șirul $a_{n} = \frac{n + 12}{n}$ , $n \geq 1$ . a) Arată că șirul este strict descrescător. b) Determină toate rangurile pentru care termenul $a_{n}$ este număr natural.

Răspunsuri și explicații

1. Înlocuim pe rând: $a_{1} = \frac{3}{2}$ , $a_{2} = \frac{11}{5}$ , $a_{3} = \frac{8}{3}$ , $a_{4} = 3$ . Valorile urcă, deci șirul pare crescător; ca să fie demonstrat, se scrie $a_{n} = 5 - \frac{14}{n + 3}$ și se observă că scăzătorul se micșorează la fiecare pas.

2. $b_{n + 1} - b_{n} = (7 - 2 (n + 1)) - (7 - 2 n) = - 2$ , strict negativ pentru orice $n$ , deci șirul este strict descrescător. Fiind o progresie aritmetică de rație $- 2$ , rezultatul era de așteptat: rația este chiar diferența a doi termeni consecutivi.

3. $c_{n} = \frac{n + 5 - 3}{n + 5} = 1 - \frac{3}{n + 5}$ , deci $c_{n + 1} - c_{n} = \frac{3}{n + 5} - \frac{3}{n + 6} = \frac{3}{( n + 5 ) ( n + 6 )} > 0$ pentru orice $n \geq 1$ : șirul este strict crescător. Control: $c_{1} = \frac{1}{2}$ , $c_{2} = \frac{4}{7}$ , iar $\frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{1}{14}$ , exact cât dă formula pentru $n = 1$ .

4. Toți termenii sunt strict pozitivi, deci raportul se poate folosi: $\frac{d _{n + 1}}{d _{n}} = \frac{3}{4} < 1$ , deci $d_{n + 1} < d_{n}$ pentru orice $n$ și șirul este strict descrescător. Control: $d_{1} = 60$ și $d_{2} = 45 = 60 \cdot \frac{3}{4}$ .

5. Fals. Contraexemplu: $h_{n} = 2 + \frac{3}{n}$ , cu $n \geq 1$ . Este strict descrescător, fiindcă $h_{n + 1} - h_{n} = 3 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}) = - \frac{3}{n ( n + 1 )} < 0$ , și este mărginit inferior de $2$ , fiindcă $\frac{3}{n} > 0$ dă $h_{n} > 2$ pentru orice rang. Din monotonie primești gratis doar cealaltă margine: la un șir descrescător, primul termen — aici $h_{1} = 5$ — este majorant.

6. Scriem $6 n - 1 = 3 (2 n + 3) - 10$ , deci $e_{n} = 3 - \frac{10}{2 n + 3}$ . Pentru $n \geq 1$ avem $2 n + 3 \geq 5$ , deci $0 < \frac{10}{2 n + 3} \leq 2$ și, prin urmare, $1 \leq e_{n} < 3$ . Șirul este mărginit, cu minorantul $1$ , atins la $n = 1$ , și majorantul $3$ , neatins.

7. a) $a_{1} = - 4$ și $a_{4} = 11$ . b) $a_{n + 1} - a_{n} = (5 (n + 1) - 9) - (5 n - 9) = 5 > 0$ pentru orice $n$ , deci șirul este strict crescător. c) Cerem $5 n - 9 = 41$ , de unde $5 n = 50$ și $n = 10$ ; termenul căutat are rangul $10$ . Verificare: $5 \cdot 10 - 9 = 41$ ✓

8. $f_{n + 1} - f_{n} = - 4$ , deci șirul scade strict, iar primul termen, $f_{1} = 96$ , este majorant: $f_{n} \leq 96$ pentru orice $n$ . Minorant nu există: pentru orice prag, alegând un rang destul de mare, termenii coboară sub el, de pildă $f_{1000} = - 3900$ . Șirul este mărginit superior și nemărginit inferior, deci nu este mărginit.

9. $h_{n + 1} - h_{n} = \frac{18}{n + 1} - \frac{18}{n} - 2 = - \frac{18}{n ( n + 1 )} - 2$ . Amândoi termenii sunt negativi la orice rang, deci diferența este strict negativă: șirul este strict descrescător. Fiind descrescător, primul termen este majorant: $h_{n} \leq h_{1} = 16$ pentru orice $n$ . Control: $h_{1} = 16$ , $h_{2} = 5$ , $h_{3} = 0$ , $h_{4} = - \frac{7}{2}$ ✓

10. $o_{n + 1} - o_{n} = \frac{6}{n + 1} - \frac{6}{n + 2} = \frac{6}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ , deci concentrația crește de la un minut la altul. Cum $\frac{6}{n + 1} > 0$ , avem $o_{n} < 9$ pentru orice $n$ : valorile rămân sub $9$ mg/L, fără să atingă vreodată pragul. Control: $o_{1} = 6$ mg/L, $o_{2} = 7$ mg/L, $o_{5} = 8$ mg/L.

11. Scriem $a_{n} = \frac{2 n + 1 - 2}{2 n + 1} = 1 - \frac{2}{2 n + 1}$ , deci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2}{2 n + 1} - \frac{2}{2 n + 3} = \frac{4}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )} > 0$ : șirul este strict crescător. Mărginirea: $\frac{2}{2 n + 1} > 0$ dă $a_{n} < 1$ , iar monotonia dă $a_{n} \geq a_{1} = \frac{1}{3}$ , deci $\frac{1}{3} \leq a_{n} < 1$ .

12. a) $b_{n + 1} - b_{n} = (4 (n + 1) - 7) - (4 n - 7) = 4$ , pentru orice $n \geq 1$ ; diferența fiind constantă și pozitivă, șirul este o progresie aritmetică strict crescătoare. b) Cerem $4 n - 7 < 0$ , adică $n < \frac{7}{4}$ . Singurul rang natural nenul care convine este $n = 1$ , deci șirul are un singur termen negativ, $b_{1} = - 3$ ; deja $b_{2} = 1 > 0$ .

13. Cerem $2 n - 15 > 0$ , adică $n > \frac{15}{2}$ . Cum rangul este număr natural nenul, prima valoare care convine este $n = 8$ , iar $v_{8} = 1 > 0$ . Verificare pentru rangul dinainte: $v_{7} = - 1 < 0$ , deci $8$ este chiar primul rang cu termen strict pozitiv.

14. Scriem $w_{n} = \frac{n + 3 - 2}{n + 3} = 1 - \frac{2}{n + 3}$ . Cum $\frac{2}{n + 3} > 0$ pentru orice $n$ , rezultă $w_{n} < 1$ : niciun termen nu atinge valoarea $1$ . Numărul $1$ este deci majorant fără să fie valoare a șirului — o situație perfect normală, care arată că un majorant nu trebuie să fie neapărat un termen.

15. a) $u_{2} = \frac{12}{2} + 3 = 9$ , iar $u_{3} = \frac{9}{2} + 3 = \frac{15}{2}$ . b) Pentru $n = 1$ , $u_{1} = 12 > 6$ . Presupunem $u_{n} > 6$ ; atunci $\frac{u _{n}}{2} > 3$ , deci $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3 > 6$ . Prin inducție, $u_{n} > 6$ pentru orice $n \geq 1$ . Aici mărginirea e inferioară, iar șirul coboară spre prag fără să-l atingă.

16. $a_{n} = \frac{4 ( n + 2 ) - 8}{n + 2} = 4 - \frac{8}{n + 2}$ , deci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{8}{n + 2} - \frac{8}{n + 3} = \frac{8}{( n + 2 ) ( n + 3 )} > 0$ : șirul este strict crescător. Cum $\frac{8}{n + 2} > 0$ , avem $a_{n} < 4$ pentru orice $n$ , deci $4$ este majorant. Control: $a_{1} = \frac{4}{3}$ , $a_{2} = 2$ , $a_{8} = \frac{16}{5}$ .

17. Scriem $mn + 3 = m (n + 1) + 3 - m$ , deci $a_{n} = m + \frac{3 - m}{n + 1}$ . Șirul este constant exact când fracția care depinde de rang dispare, adică atunci când $3 - m = 0$ , deci $m = 3$ . Verificare: pentru $m = 3$ avem $a_{n} = \frac{3 n + 3}{n + 1} = 3$ , același număr la orice rang.

18. a) Scriem $a_{n} = 1 + \frac{12}{n}$ , deci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{12}{n + 1} - \frac{12}{n} = - \frac{12}{n ( n + 1 )}$ , strict negativ la orice rang: șirul este strict descrescător. b) Din forma de mai sus, $a_{n}$ este număr natural exact când $\frac{12}{n}$ este număr natural, adică atunci când $n$ este divizor al lui $12$ . Rangurile căutate sunt $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ și $12$ , cu termenii $13$ , $7$ , $5$ , $4$ , $3$ și $2$ . Peste rangul $12$ toți termenii sunt cuprinși strict între $1$ și $2$ , deci niciunul nu mai poate fi natural.

De reținut

Un șir este crescător dacă $a_{n} \leq a_{n + 1}$ pentru orice rang; calculul câtorva termeni sugerează concluzia, dar nu o demonstrează niciodată.
Metoda diferenței se aplică oricărui șir: se calculează $a_{n + 1} - a_{n}$ , se aduce la o formă cu semn vizibil și se conchide după semnul ei.
Metoda raportului cere ca toți termenii să fie strict pozitivi și se folosește mai ales la șirurile cu puteri; fără verificarea pozitivității, concluzia se poate inversa.
Un șir este mărginit dacă toți termenii lui încap într-un interval $[m, M]$ , cu $m$ și $M$ numere fixate; o margine în care apare rangul $n$ nu este margine.
La un șir crescător, primul termen este minorant; la unul descrescător, primul termen este majorant. Invers nu funcționează: încadrarea într-un interval nu spune nimic despre ordinea termenilor.

Greșeli frecvente

Diferența calculată în ordine inversă. Se scrie $a_{n} - a_{n + 1}$ în loc de $a_{n + 1} - a_{n}$ , iar la final semnul obținut se citește ca și cum ar fi al diferenței corecte: concluzia iese exact pe dos. Ordinea e fixată de definiție — se scade termenul de rang mai mic din cel de rang mai mare — și se notează o dată, la începutul rezolvării, ca să nu se schimbe pe parcurs.
Semnul unei fracții citit numai din numărător. La $\frac{( n + 4 ) ( n - 3 )}{n ( n + 1 )}$ elevul se uită doar la $(n + 4) (n - 3)$ și trage concluzia. Într-o fracție semnul îl dau amândouă etajele, așa că numitorul trebuie spus în rezolvare, fie și într-o propoziție: „numitorul este pozitiv la orice rang, deci semnul e dat de numărător". Fără ea, argumentul e incomplet și la examen se vede ca atare.
Primul termen luat drept majorant la un șir crescător. „Toți termenii sunt cel mult $a_{1}$ " pare firesc, fiindcă de la $a_{1}$ pornește șirul — dar la un șir crescător $a_{1}$ este exact minorantul, nu majorantul. La un șir crescător primul termen mărginește de jos; marginea de sus, dacă există, se caută în forma rescrisă a termenului general.
Rangul confundat cu termenul. La cerința „determină rangul termenului egal cu $34$ " răspunsul corect este un număr de ordine, nu valoarea: pentru $a_{n} = 3 n - 5$ rangul este $13$ , iar $34$ este termenul. Verificarea e imediată — pui rangul găsit în formulă și trebuie să obții valoarea din enunț.
Unitatea de măsură pierdută la un șir care modelează o mărime. Când $c_{n}$ este o concentrație sau $p_{n}$ un număr de celule, răspunsul „șirul este mărginit de $40$ " nu spune nimic: sunt $40$ de miligrame pe litru, respectiv $40$ de mii de celule. La o problemă de modelare, marginea și termenii se scriu cu unitatea lor, altfel concluzia nu poate fi confruntată cu experimentul.

Aplică acasă

Două metode, același șir. Ia trei șiruri cu termeni strict pozitivi, de pildă $\frac{n + 4}{n}$ , $\frac{3 ^{n}}{n}$ și $\frac{n}{n ^{2} + 1}$ , și studiază monotonia fiecăruia de două ori: o dată prin diferență, o dată prin raport. Notează pentru fiecare care metodă a cerut mai puține rânduri și de ce. Apoi încearcă amândouă metodele pe $- \frac{1}{n}$ : una dă concluzia corectă, cealaltă nu are voie să fie folosită — scrie în două rânduri care și din ce motiv.
Trei șiruri, trei verdicte. Pentru șirurile $a_{n} = \frac{n}{n + 7}$ , $b_{n} = 4 - 3 n$ și $c_{n} = 2 + \frac{5}{n}$ completează un tabel cu patru coloane: primii patru termeni, semnul diferenței, monotonia, o încadrare (dacă există). Vei vedea că pentru al doilea șir coloana încadrării rămâne pe jumătate goală — și exact asta e informația.
Cât de departe merge modelul. Pentru $p_{n} = 200 + 15 n$ (mii de celule la ora $n$ ) calculează după câte ore modelul ar prezice un miliard de celule. Compară numărul obținut cu durata unui experiment real și scrie două rânduri despre ce înseamnă „nemărginit superior" pentru un model din biologie.

Pentru părinți și profesori

Lecția schimbă natura întrebării: până acum elevul calcula termeni, de acum trebuie să demonstreze o proprietate valabilă pentru orice rang. Acesta este pragul real al capitolului și, de obicei, locul unde apare prima oară ideea că un tabel de valori nu constituie o demonstrație. Ajută foarte mult ca cele două metode să fie ținute separate în caiet: diferența, care merge întotdeauna, și raportul, care cere termeni pozitivi. La profilul științe ale naturii contextul este un aliat: o concentrație care scade, o populație care crește, o valoare care nu depășește un prag sunt exact monotonie și mărginire, iar întrebarea „până unde merge modelul" are răspuns matematic.

De urmărit în caiet: dacă la $a_{n + 1}$ s-a înlocuit $n$ cu $n + 1$ peste tot; dacă înainte de metoda raportului a fost scrisă pozitivitatea termenilor; dacă marginea propusă este un număr, nu o expresie cu $n$ ; dacă în concluzie apare rangul, atunci când proprietatea începe mai târziu. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Ce semn are $a_{n + 1} - a_{n}$ și de ce?"; „Ce număr ai ales ca majorant și cum l-ai găsit?"; „De ce nu e destul să calculezi zece termeni?"; „Un șir mărginit este neapărat monoton?". Semn că elevul a înțeles: începe orice cerință de monotonie scriind diferența, nu calculând valori.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere la clasa a IX-a, în capitolul de șiruri, „modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone", în timp ce programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, păstrează din acest capitol numai progresiile aritmetice și geometrice. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde materia clasei a IX-a — deci și capitolul de șiruri — intră la Subiectul I, cel cu șase cerințe scurte. Cerințele se schimbă de la o sesiune la alta: în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cele șase sunt din numere complexe, funcții, ecuații logaritmice, probabilități, geometrie analitică și trigonometrie, deci fără o cerință despre șiruri, dar programa de examen le păstrează în materia evaluată. Pentru generația care va da Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2), monotonia și mărginirea nu mai apar la șiruri, ci numai ca proprietăți ale funcțiilor, citite grafic, în domeniul Algebră. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum arăt că un șir este crescător? Calculezi diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ , o aduci la o formă din care se citește semnul și arăți că este pozitivă pentru orice rang. Dacă termenii sunt strict pozitivi, poți folosi în loc raportul $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ și arăți că este supraunitar. Primii termeni calculați îți spun doar ce ai de demonstrat.

Care este diferența dintre „crescător" și „strict crescător"? La un șir crescător se acceptă egalitatea între doi termeni consecutivi, $a_{n} \leq a_{n + 1}$ ; la unul strict crescător inegalitatea este strictă la fiecare pas. Distincția contează la șirurile cu termeni egali: $d_{n} = n + \frac{12}{n}$ are $d_{3} = d_{4}$ , deci nu poate fi numit strict monoton pe acea porțiune.

Se dau șirurile monotone și la M1, și la M2? Ce diferă? Tema e aceeași, dar vine în ani diferiți și cu alt scop. La științe ale naturii monotonia și mărginirea se cer în clasa a IX-a, ca proprietăți demonstrate direct. La matematică-informatică ele deschid clasa a XI-a și sunt pregătirea pentru limite de șiruri: monotonia șirurilor la mate-info (M1). Limitele nu intră în programa de examen M2.

La ce subiect apar șirurile la bacalaureatul M2? La Subiectul I, cel cu șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a și a X-a, în care intră și capitolul de șiruri și progresii. Cerințele diferă de la o sesiune la alta: în modelul oficial pentru 2026 niciuna dintre cele șase nu este despre șiruri, însă programa de examen păstrează șirurile mărginite și monotone în materia evaluată.

Ce este rangul unui termen și cum îl aflu? Rangul este numărul de ordine al termenului în șir: la $a_{n} = 3 n - 5$ , termenul de rang $4$ este $a_{4} = 7$ . Când cerința sună „determină rangul termenului egal cu $34$ ", se rezolvă ecuația $3 n - 5 = 34$ și se reține $n = 13$ , adică poziția, nu valoarea. Rangul este întotdeauna număr natural nenul, deci o soluție fracționară înseamnă că valoarea dată nu apare în șir.

Poate fi nemărginit un șir care modelează o mărime din laborator? Matematic, da — modelul $p_{n} = 200 + 15 n$ nu are majorant, oricât de departe am merge cu rangul. Fizic, nu: o cultură de celule, o concentrație sau o temperatură se lovesc la un moment dat de o limită reală. Tocmai de aceea orice model dintr-o problemă vine cu un interval de ranguri pe care are sens, iar concluzia se scrie pentru acel interval.

Progresiile aritmetice și geometrice sunt șiruri monotone? O progresie aritmetică are $a_{n + 1} - a_{n} = r$ , deci este strict crescătoare când $r > 0$ , strict descrescătoare când $r < 0$ și constantă când $r = 0$ — monotonia se citește direct din rație. La o progresie geometrică cu termeni pozitivi decide raportul $q$ : crescătoare pentru $q > 1$ , descrescătoare pentru $0 < q < 1$ . Când rația unei progresii geometrice este negativă, termenii alternează și șirul nu este monoton.