La un salon de înfrumusețare, $$3$$ vopsiri și $$2$$ tunsori costă împreună $$410$$ lei, iar o vopsire și $$4$$ tunsori costă $$330$$ de lei. Notăm cu $$x$$ prețul unei vopsiri și cu $$y$$ prețul unei tunsori, în lei. Care sistem descrie datele?

$$3x + 2y = 410$$ și $$x + 4y = 330$$

$$3x + 4y = 410$$ și $$x + 2y = 330$$

$$2x + 3y = 410$$ și $$4x + y = 330$$

$$3x + 2y = 330$$ și $$x + 4y = 410$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sisteme 2×2: facturi și tarife

Cum rezolv un sistem 2×2 din două facturi?

Fiecare factură dă o ecuație cu prețurile ca necunoscute, iar sistemul se rezolvă eliminând una dintre ele. Exemplu: la o cafenea, $2$ mese și $3$ cafele costă $41$ de lei, iar $2$ mese și $5$ cafele costă $57$ de lei. Scazi ecuațiile: $2 c = 16$ , deci $c = 8$ , iar $2 m = 41 - 24$ , adică $m = 8, 5$ . Proba: $2 \cdot 8, 5 + 5 \cdot 8 = 57$ , deci perechea verifică ambele facturi.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Când ai două ecuații în care apar aceleași două necunoscute, cauți perechea de valori care le verifică pe amândouă. Când ecuațiile sunt două tarife, $y = a_{1} x + b_{1}$ și $y = a_{2} x + b_{2}$ , perechea este punctul în care cele două drepte se taie: acolo ofertele costă la fel. Dacă dreptele sunt paralele, nu există soluție; dacă se suprapun, există o infinitate.

Pentru calcul alegi o necunoscută și o elimini: alegi multiplii potriviți ai ecuațiilor, astfel încât coeficientul ei să devină egal în ambele, apoi le scazi. Rămâne o ecuație cu o singură necunoscută, din care o afli pe cealaltă prin înlocuire. La tarife egalezi direct cele două costuri, iar abscisa punctului comun este diferența taxelor fixe împărțită la diferența prețurilor unitare.

Prima capcană este prețul pe unitate: oferta cu prețul mic nu e și cea ieftină, dacă taxa fixă o compensează, deci compari costurile pentru numărul real de bucăți. A doua capcană este ordinea scăderii, care se respectă pe întreaga egalitate. A treia este să scrii numai $x$ când se cer coordonatele.

Verifici înlocuind perechea în ambele ecuații inițiale și controlând unitățile. Un rezultat fracționar la lucruri numărate se interpretează pe cei doi întregi vecini.

De reținut

fiecare factură sau ofertă dă o ecuație
elimini o necunoscută: coeficienți egali, apoi scădere
perechea găsită se verifică în ambele ecuații inițiale

Greșeala tipică

Se scade o ecuație din cealaltă într-o ordine pe stânga și în ordinea inversă pe dreapta, ceea ce dă un preț negativ. Corect este $(2 m + 5 c) - (2 m + 3 c) = 57 - 41$ , adică $2 c = 16$ .

Exerciții din această mini-lecție

La un salon de înfrumusețare, $3$ vopsiri și $2$ tunsori costă împreună $410$ lei, iar o vopsire și $4$ tunsori costă $330$ de lei. Notăm cu $x$ prețul unei vopsiri și cu $y$ prețul unei tunsori, în lei. Care sistem descrie datele?
- a) $3 x + 2 y = 410$ și $x + 4 y = 330$
- b) $3 x + 4 y = 410$ și $x + 2 y = 330$
- c) $2 x + 3 y = 410$ și $4 x + y = 330$
- d) $3 x + 2 y = 330$ și $x + 4 y = 410$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 x + 2 y = 410$ și $x + 4 y = 330$

Fiecare comandă dă o ecuație: $3$ vopsiri și $2$ tunsori costă $3 x + 2 y$ , adică $410$ lei, iar o vopsire și $4$ tunsori costă $x + 4 y$ , adică $330$ de lei. Coeficienții sunt numerele de servicii, iar membrii drepți sunt sumele plătite. Varianta cu $3 x + 4 y$ amestecă numerele de vopsiri și de tunsori, a treia inversează rolul lui $x$ și al lui $y$ , iar a patra schimbă între ele cele două sume.
Doi furnizori de energie electrică cer tarife în două părți. Furnizorul A cere $24$ de lei abonament și $0, 65$ lei pe kWh, iar furnizorul B cere $15$ lei abonament și $0, 77$ lei pe kWh. La câți kWh consumați într-o lună cele două facturi sunt egale?
- a) $- 75$
- b) $200$
- c) $75$
- d) $125$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $75$

Facturile sunt egale când $24 + 0, 65 x = 15 + 0, 77 x$ , adică $24 - 15 = 0, 77 x - 0, 65 x$ , deci $9 = 0, 12 x$ și $x = 75$ kWh. Verificare: $24 + 0, 65 \cdot 75 = 72, 75$ lei și $15 + 0, 77 \cdot 75 = 72, 75$ lei. Varianta $200$ împarte abonamentul $24$ la diferența prețurilor, $\frac{24}{0 , 12} = 200$ , în loc de diferența abonamentelor, iar $125$ face la fel cu abonamentul $15$ . Varianta $- 75$ scade abonamentele într-o ordine și prețurile în ordine inversă.
O fermă cumpără două feluri de nutreț, în saci. $3$ saci din felul A și $4$ saci din felul B costă $590$ de lei, iar $5$ saci din felul A și $2$ saci din felul B costă $540$ de lei. Cât costă un sac din felul A, în lei?
- a) $95$
- b) $- 70$
- c) $490$
- d) $70$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $70$

Înmulțim a doua ecuație cu $2$ : $10 a + 4 b = 1080$ . Scădem prima ecuație, $3 a + 4 b = 590$ , și obținem $7 a = 490$ , deci $a = 70$ lei, iar $b = \frac{590 - 210}{4} = 95$ lei. Varianta $95$ este prețul sacului din felul B, $- 70$ scade ecuațiile în ordinea inversă, iar $490$ uită să împartă la $7$ .

Întrebări conexe

Cum elimin o necunoscută când coeficienții sunt diferiți?

Înmulțești o ecuație cu un număr, ca o necunoscută să aibă același coeficient în ambele. Pentru $5 x + 3 y = 51$ și $9 x + 6 y = 96$ , prima ecuație înmulțită cu $2$ dă $10 x + 6 y = 102$ . Scazi a doua ecuație și rămâne $x = 6$ , apoi $y = \frac{51 - 30}{3} = 7$ .

Ce înseamnă un rezultat negativ la un sistem de prețuri?

Un preț negativ arată că ai încurcat ordinea scăderii sau că datele nu respectă situația. La $4 a + 3 b = 72$ și $4 a + 5 b = 96$ , scăderea corectă este $2 b = 24$ , deci $b = 12$ . Dacă scazi pe stânga într-o ordine și pe dreapta în ordinea inversă, obții $2 b = - 24$ și $b = - 12$ .

Cum aflu câte bilete de fiecare fel s-au vândut?

Notezi cu $x$ și $y$ numărul biletelor și scrii totalul pieselor și totalul banilor. Pentru $50$ de bilete, unele de $12$ lei și altele de $8$ lei, cu încasarea $520$ de lei: $x + y = 50$ și $12 x + 8 y = 520$ . Înmulțești prima ecuație cu $8$ și scazi: $4 x = 120$ , deci $x = 30$ și $y = 20$ .

Cât economisesc după ce două oferte se egalează?

După punctul de egalitate, diferența de cost crește cu diferența prețurilor unitare. Ofertele $180 + 8 x$ și $60 + 11 x$ se egalează la $x = 40$ . La $x = 70$ a doua ofertă costă mai mult decât prima cu $(60 + 11 \cdot 70) - (180 + 8 \cdot 70) = 830 - 740 = 90$ lei.

Cum apare sistemul 2×2 în probele oficiale?

Sistemul 2×2 a apărut în 5 probe M_tehnologic din 2013–2026, de patru ori în Subiectul I și o dată în Subiectul al II-lea. La Subiectul I se cere punctul în care se taie graficele a două funcții de gradul I sau doar abscisa lui, iar pe lucrare scrii egalitatea formulelor, rezolvarea ei și răspunsul cerut de enunț.

Oamenii mai întreabă și: sistem 2x2 cu două oferte de preț · prețul unitar din două facturi · sistem de două ecuații cu două necunoscute din prețuri · aflu două prețuri necunoscute