Sisteme 2×2 la tehnologic: două oferte

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Trei firme de catering îți trimit oferte pentru aceeași cină, iar fiecare cere o taxă fixă și un preț pe persoană. Care e mai ieftină depinde de câți oaspeți vin, iar răspunsul se află rezolvând un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Lecția e pentru clasa a IX-a, filiera tehnologică: scrii sistemul, îl rezolvi și alegi oferta cu ajutorul lui. La final vezi unde apare ideea în cerințele de la Bacalaureat M3.

Situația de pornire

O pensiune din Bran așteaptă în noiembrie un grup de turiști pentru un weekend cu cazare și cină festivă sâmbătă seara. Administratoarea a cerut oferte de la trei firme de catering. Fiecare cere un tarif în două părți: o taxă fixă, pentru transport, personal și veselă, plătită oricâți oaspeți ar sta la masă, plus un preț pentru fiecare persoană servită.

Oferta	Taxă fixă (lei)	Preț pe persoană (lei/persoană)	Capacitate (persoane)
A	900	55	80
B	300	70	45
C	1200	70	120

Sunt înscrise 34 de persoane, dar grupul poate ajunge la 52, fiindcă mai așteaptă răspunsul unor colegi. Administratoarea vede că A are cel mai mic preț pe persoană, dar și o taxă fixă de trei ori mai mare decât B, și nu știe dacă prețul mic compensează taxa. La C prețul pe persoană e același ca la B, iar taxa e mai mare.

Întrebare: la câte persoane costă la fel ofertele A și B, ce ofertă alegi pentru 34 de persoane și ce ofertă pentru 52, și poate costa vreodată la fel C ca B?

De la situație la model

Alege două mărimi care se schimbă: numărul $x$ de persoane și costul $y$ , în lei. Fiecare firmă calculează la fel: taxa fixă plus prețul pe persoană înmulțit cu numărul de persoane, deci $y = 55 x + 900$ pentru A, $y = 70 x + 300$ pentru B și $y = 70 x + 1200$ pentru C. Tabelul traduce cuvintele din pensiune în cuvinte din matematică.

În situație	În matematică
numărul de persoane din grup	necunoscuta $x$
costul total al unei oferte, în lei	necunoscuta $y$
taxa fixă	termenul liber $b$ din $y = a x + b$ : unde dreapta taie axa verticală
prețul pe persoană	coeficientul $a$ al lui $x$ : cu cât crește costul la o persoană în plus
„două oferte costă la fel”	o pereche $(x; y)$ care verifică ambele ecuații: un punct comun al celor două drepte
„B e mai ieftină decât A”	inegalitatea $y_{B} < y_{A}$ : dreapta lui B trece mai jos decât a lui A

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute este o pereche de ecuații pe care trebuie să le verifice, în același timp, aceleași valori ale lui $x$ și $y$ , iar soluția lui este perechea $(x; y)$ care le verifică pe amândouă. Aici fiecare ecuație descrie o dreaptă, deci soluția este punctul în care ele se taie.

Ce înseamnă că două oferte „costă la fel”?

Ofertele A și B costă la fel când $55 x + 900 = 70 x + 300$ : punctul $(x; y)$ stă pe ambele drepte. Calculul se vede cel mai bine în diferența dintre cele două facturi.

Cum vezi diferența dintre două oferte?

Calculează costurile pentru câteva grupuri și scade-le una din alta.

Persoane	Costul A (lei)	Costul B (lei)	A − B (lei)
20	2000	1700	300
30	2550	2400	150
40	3100	3100	0
50	3650	3800	−150

Cu fiecare persoană în plus, diferența scade cu 15 lei, fiindcă $70 - 55 = 15$ . Pe scurt:

$(55 x + 900) - (70 x + 300) = 600 - 15 x$

Diferența este zero la $x = 40$ , pozitivă înainte (A e mai scumpă) și negativă după (A e mai ieftină): la 40 de persoane ambele oferte costă câte 3100 de lei.

Când două oferte nu se egalează niciodată?

Compară B cu C: $(70 x + 1200) - (70 x + 300) = 900$ . Necunoscuta $x$ a dispărut: diferența este de 900 de lei la orice număr de persoane, deci B și C nu costă niciodată la fel. Sistemul lor nu are soluție, iar dreptele sunt paralele: același preț pe persoană, taxe diferite. Dacă și taxele ar fi egale, dreptele s-ar suprapune și orice $x$ ar fi soluție. Două drepte se taie deci într-un punct, nu se taie deloc sau coincid.

Cum rezolvi un sistem când nu ai $y$ singur?

Nu toate sistemele sunt tarife. La un restaurant din Brașov, alt grup a luat 52 de meniuri: unele standard, la 62 de lei, altele vegetariene, la 58 de lei, iar nota a fost de 3100 de lei. Câte din fiecare fel? Cu $x$ meniuri standard și $y$ vegetariene obții $x + y = 52$ și $62 x + 58 y = 3100$ . Prima ecuație, înmulțită cu 58, dă $58 x + 58 y = 3016$ , deci $y$ are același coeficient în ambele. Scazi din ea a doua ecuație: $- 4 x = - 84$ , deci $x = 21$ , iar $y = 52 - 21 = 31$ . Un tarif $y = a x + b$ e cazul comod: $y$ are deja coeficientul 1 și scazi direct.

Dacă ai două valori ale costului și îți lipsește formula ofertei, vezi ecuația dreptei prin două puncte, cu tarife. Când una dintre curbe nu mai e dreaptă, vezi dreapta și parabola: puncte comune.

Metoda pas cu pas

Alege necunoscutele și scrie ce înseamnă fiecare, cu unitatea ei: de exemplu $x$ = numărul de persoane, $y$ = costul în lei.
Scrie fiecare condiție din enunț ca o ecuație și așază cele două ecuații una sub alta. O ofertă cu taxa fixă $b$ și prețul unitar $a$ devine $y = a x + b$ .
Elimină o necunoscută: alege una care apare în ambele ecuații, înmulțește ecuațiile cu numere nenule, ca ea să aibă același coeficient în amândouă, apoi scade o ecuație din cealaltă. La tarife, $y$ are deja coeficientul 1, deci scazi direct; substituția dă același rezultat.
Citește rezultatul scăderii cu tabelul de mai jos. Dacă ai obținut o valoare pentru $x$ , calculează $y$ înlocuind în una dintre ecuații.
Decide: compară ofertele pe intervale, după semnul diferenței, și ține cont de limitele din enunț: număr întreg de persoane, capacitate. Pentru „de la câte persoane mai ieftină”, vezi și inecuațiile pe condiții de lucru.
Verifică: înlocuiește perechea în ambele ecuații inițiale, apoi controlează ordinul de mărime și unitățile.

Dacă după scădere obții…	atunci…
o ecuație de forma $k x = t$ , cu $k \neq = 0$	sistemul are o singură soluție, $x = t / k$ ; dreptele se taie într-un punct, iar acolo ofertele se egalează și ordinea lor se schimbă
egalitatea $0 = t$ , cu $t \neq = 0$	sistemul nu are soluție; dreptele sunt paralele, iar aceeași ofertă rămâne mai ieftină la orice $x$
egalitatea $0 = 0$	sistemul are o infinitate de soluții; dreptele coincid, iar ofertele sunt identice
un $x$ negativ sau în afara limitelor problemei	punctul comun nu intră în situația ta; alegi oferta mai ieftină pe tot intervalul permis
un $x$ fracționar, la lucruri numărate (persoane, piese)	compari ofertele la cei doi întregi vecini și spui concluzia pe intervale de numere întregi

Fișa de buzunar

$x_{0} = \frac{b _{2} - b _{1}}{a _{1} - a _{2}}, y_{0} = a_{1} x_{0} + b_{1}$

$(an - bm) x = c n - b p$

Prima formulă rezolvă ofertele $y = a_{1} x + b_{1}$ și $y = a_{2} x + b_{2}$ , când $a_{1} \neq = a_{2}$ . A doua vine din sistemul $a x + b y = c$ , $m x + n y = p$ , după ce înmulțești prima ecuație cu $n$ , a doua cu $b$ și le scazi; se aplică numai când $b \neq = 0$ și $n \neq = 0$ . Dacă $an - bm = 0$ , nu împărți: te uiți la $c n - b p$ . Verificare rapidă: perechea găsită trebuie să verifice ambele ecuații inițiale.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cina de sâmbătă: ofertele A, B și C

Domeniu: turism.

Enunț. Reia ofertele din situația de pornire: A cere 900 de lei și 55 de lei pe persoană, B cere 300 de lei și 70 de lei pe persoană, iar C cere 1200 de lei și 70 de lei pe persoană; ele primesc cel mult 80, 45 și respectiv 120 de persoane. a) La câte persoane costă la fel A și B? b) Ce ofertă alegi pentru 34 de persoane și ce ofertă pentru 52? c) Pot costa la fel B și C?

Rezolvare. a) Scrii sistemul $y = 55 x + 900$ , $y = 70 x + 300$ și scazi a doua ecuație din prima: $0 = (55 - 70) x + (900 - 300)$ , adică $- 15 x + 600 = 0$ , deci $x = 40$ . Costul comun este $y = 55 \cdot 40 + 900 = 3100$ . La 40 de persoane A și B costă la fel, câte 3100 de lei.

b) Diferența $A - B$ este $600 - 15 x$ . La $x = 34$ ea este $600 - 510 = 90$ , pozitivă: A costă cu 90 de lei mai mult, deci alegi B, cu $300 + 70 \cdot 34 = 2680$ de lei, față de 2770 de lei la A. La 52 de persoane B nu poate fi aleasă, fiindcă primește cel mult 45; între A, cu $900 + 55 \cdot 52 = 3760$ de lei, și C, cu $1200 + 70 \cdot 52 = 4840$ de lei, alegi A.

c) Scazi a doua ecuație din prima: $0 = (70 x + 300) - (70 x + 1200)$ , adică $0 = - 900$ . Egalitatea e falsă, deci nu există soluție: B și C nu costă niciodată la fel. C e mai scumpă cu 900 de lei la orice grup; are rost doar peste 80 de persoane, pe care nu le primește nicio altă firmă.

Capcană. Prețul pe persoană atrage privirea: 55 de lei sunt mai puțin decât 70 de lei, deci A pare câștigătoare. La 34 de persoane însă A costă cu 90 de lei mai mult decât B; prețul mic câștigă abia de la 41 de persoane în sus, după punctul de egalitate.

Verificare. La $x = 40$ obții $55 \cdot 40 + 900 = 3100$ și $70 \cdot 40 + 300 = 3100$ : perechea verifică ambele ecuații. Costul pe persoană, $3100 : 40 = 77, 5$ lei, e plauzibil pentru o cină festivă.

Exemplul 2 — Două facturi de service

Domeniu: auto.

Enunț. Un service auto a emis două facturi de revizie. Prima, pentru un autoturism: 3 ore de manoperă și 5 litri de ulei, în total 540 de lei. A doua, pentru o autoutilitară: tot 3 ore de manoperă, dar 7 litri de ulei, în total 624 de lei. Cât costă o oră de manoperă și cât costă un litru de ulei?

Rezolvare. Notezi cu $x$ prețul unei ore de manoperă (lei pe oră) și cu $y$ prețul unui litru de ulei (lei pe litru). Sistemul este $3 x + 5 y = 540$ și $3 x + 7 y = 624$ . Termenul $3 x$ e același în ambele ecuații, deci scazi prima ecuație din a doua: $(3 x + 7 y) - (3 x + 5 y) = 624 - 540$ , adică $2 y = 84$ și $y = 42$ . Din prima ecuație, $3 x + 5 \cdot 42 = 540$ , deci $3 x = 330$ și $x = 110$ . Ora costă 110 lei, litrul de ulei 42 de lei.

Capcană. Dacă scazi membrii stângi în ordinea (a doua − prima), dar membrii drepți în ordinea inversă, obții $2 y = - 84$ , deci un preț negativ pentru ulei: ai încurcat ordinea. Scrie scăderea o singură dată, pe întreaga egalitate.

Verificare. În a doua factură: $3 \cdot 110 + 7 \cdot 42 = 330 + 294 = 624$ , exact suma de pe factură; prețurile sunt plauzibile pentru un service.

Exemplul 3 — Plăci de PAL pe palet

Domeniu: lemn.

Enunț. Pe un palet dintr-un depozit de mobilă stă o stivă de 24 de plăci de PAL, de două grosimi: 18 mm și 25 mm. Cu ruleta, depozitarul măsoară înălțimea stivei: 50,2 cm. Câte plăci din fiecare grosime sunt în stivă?

Rezolvare. Notezi cu $x$ numărul plăcilor de 18 mm și cu $y$ numărul celor de 25 mm. Înălțimea e în centimetri, grosimile în milimetri, deci convertești: 50,2 cm = 502 mm. Sistemul este $x + y = 24$ și $18 x + 25 y = 502$ . Înmulțești prima ecuație cu 18, ca $x$ să aibă același coeficient în ambele: $18 x + 18 y = 432$ . O scazi din a doua: $7 y = 70$ , deci $y = 10$ , iar $x = 24 - 10 = 14$ . Sunt 14 plăci de 18 mm și 10 plăci de 25 mm.

Capcană. Dacă scrii a doua ecuație cu 50,2 în loc de 502, amesteci milimetrii cu centimetrii: obții $432 + 7 y = 50, 2$ , adică $y \approx - 54, 5$ , un număr negativ și fracționar de plăci. Un astfel de rezultat arată că ai încurcat unitățile.

Verificare. $14 \cdot 18 + 10 \cdot 25 = 252 + 250 = 502$ mm, adică 50,2 cm, iar $14 + 10 = 24$ plăci; ambele necunoscute sunt numere întregi pozitive.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: punctul de intersecție

Domeniu: mecanica.

Enunț. O cerință de acest tip, cu alte numere, arată așa: „Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 11 x + 19$ și $g (x) = 3 x + 51$ . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ .”

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare. Punctul de intersecție verifică ambele formule, deci $f (x) = g (x)$ : $11 x + 19 = 3 x + 51$ , adică $8 x = 32$ și $x = 4$ . Cerința vrea coordonatele, nu doar abscisa, așa că afli și ordonata: $y = f (4) = 11 \cdot 4 + 19 = 63$ . Punctul este $(4; 63)$ . Ca prețuri la două ateliere pentru $x$ piese, $f$ și $g$ s-ar egala la 4 piese, la 63 de lei.

Capcană. Dacă ar fi cerut doar abscisa, te opreai la $x = 4$ . Aici se cer coordonatele, iar $x$ singur lasă fără punctele pentru ordonată.

Verificare. $g (4) = 3 \cdot 4 + 51 = 63$ , aceeași valoare ca $f (4)$ . Perechea $(4; 63)$ verifică ambele formule.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Fără să rezolvi sistemele, spune dacă dreptele sunt secante, paralele sau confundate: a) $y = 9 x - 28$ și $y = - 5 x + 56$ ; b) $y = 12 x + 38$ și $y = 12 x - 15$ ; c) $5 x + 2 y = 26$ și $15 x + 6 y = 78$ .

2. Rezolvă sistemul $y = 6 x + 29$ , $y = 2 x + 61$ , egalând cele două valori ale lui $y$ .

3. Rezolvă sistemul ${7 x + 3 y = 61 4 x + 3 y = 40$ și verifică soluția în ambele ecuații.

4. Are soluții sistemul ${2 x + 5 y = 17 6 x + 15 y = 40$ ? Înmulțește prima ecuație cu 3 și explică ce obții.

Nivelul 2 — situații

5. Un fermier are de arat 12 ha și compară două firme cu tractor și operator. Firma P cere 480 de lei pentru aducerea utilajului și 210 de lei pe hectar; firma Q nu cere nimic pentru aducere, dar cere 240 de lei pe hectar. La câte hectare costă la fel? Ce firmă alege fermierul pentru cele 12 ha?

6. La un șantier au venit 18 saci de ciment, unii de 25 kg și alții de 40 kg, cu masa totală de 570 kg. Câți saci sunt de fiecare fel?

7. Un magazin oferă un card de client: 120 de lei pe an și 12% reducere la toate cumpărăturile; fără card nu există reducere. Scrie costul anual al cumpărăturilor, cu și fără card, în funcție de suma $x$ a cumpărăturilor la prețul din raft. De la ce sumă anuală merită cardul?

8. Un mic producător de zacuscă cumpără borcane de la trei firme de ambalaje: A cere 150 de lei taxă de transport și 1,20 lei pe borcan, B cere 90 de lei și 1,50 lei pe borcan, iar C cere 200 de lei și 1,50 lei pe borcan. a) Care două oferte nu costă niciodată la fel? De ce? b) Care e cea mai ieftină pentru un lot de 400 de borcane?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 11 x - 22$ și $g (x) = - 6 x + 46$ . Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 13 x - 22$ și $g (x) = - 5 x + 32$ . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În $R [X]$ se consideră polinomul $f = X^{3} - 7 X^{2} + a X + b$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că $x_{1} = 2$ și $x_{2} = - 3$ sunt rădăcini ale polinomului $f$ . ( $R [X]$ : polinoamele cu coeficienți reali. Un număr e rădăcină dacă, înlocuit în $f$ , dă 0.)

12. (Sinteză.) O primărie compară două firme de colectare a deșeurilor. Firma A cere 640 de lei taxă lunară și 48 de lei pe container golit; firma B cere 250 de lei taxă lunară și $p$ lei pe container golit. Pentru 30 de containere pe lună cele două firme costă la fel. a) Calculează $p$ . b) Pentru ce numere de containere pe lună e mai ieftină firma B?

Răspunsuri și verificări

1. a) secante; b) paralele; c) confundate. Verificare: la a) diferența $14 x - 84$ se anulează o singură dată; la b) diferența e constantă, 53; la c) prima ecuație, înmulțită cu 3, dă a doua.

2. $6 x + 29 = 2 x + 61$ , deci $4 x = 32$ și $x = 8$ , iar $y = 6 \cdot 8 + 29 = 77$ . Verificare: $2 \cdot 8 + 61 = 77$ .

3. Scazi: $3 x = 21$ , deci $x = 7$ ; apoi $3 y = 61 - 49 = 12$ și $y = 4$ . Verificare: $4 \cdot 7 + 3 \cdot 4 = 40$ .

4. Nu are soluții. Prima ecuație, înmulțită cu 3, dă $6 x + 15 y = 51$ ; scazi a doua ecuație și obții $0 = 11$ , egalitate falsă: dreptele sunt paralele. Verificare: $6 x + 15 y$ ar trebui să fie și 51, și 40.

5. Din $480 + 210 x = 240 x$ rezultă $30 x = 480$ , deci costă la fel la $x = 16$ ha, cu 3840 de lei. Pentru 12 ha alege firma Q: 2880 de lei, față de 3000 la P. Verificare: $480 + 210 \cdot 16 = 3840 = 240 \cdot 16$ .

6. Sunt 10 saci de 25 kg și 8 saci de 40 kg: din $x + y = 18$ și $25 x + 40 y = 570$ rezultă $15 y = 570 - 450 = 120$ , deci $y = 8$ și $x = 10$ . Verificare: $250 + 320 = 570$ kg.

7. Fără card, costul este $y = x$ ; cu card, $y = 120 + 0, 88 x$ . Din $x = 120 + 0, 88 x$ rezultă $0, 12 x = 120$ , deci $x = 1000$ de lei. Cardul merită peste 1000 de lei pe an. Verificare: la 2000 de lei cardul dă $120 + 0, 88 \cdot 2000 = 1880$ .

8. a) B și C: același preț pe borcan, 1,50 lei, taxe diferite (90 și 200 de lei), deci C e mereu mai scumpă cu 110 lei. b) La 400 de borcane: A costă $150 + 1, 2 \cdot 400 = 630$ de lei, B $90 + 1, 5 \cdot 400 = 690$ de lei, C 800 de lei; cea mai ieftină e A. Verificare: A și B se egalează la 200 de borcane (390 de lei), iar peste 200 A rămâne sub B.

9. Egalezi valorile: $11 x - 22 = - 6 x + 46$ . Treci termenii în părți diferite: $17 x = 68$ . Abscisa este $x = 4$ . Verificare: $f (4) = 22$ și $g (4) = 22$ .

10. Egalezi valorile: $13 x - 22 = - 5 x + 32$ , deci $18 x = 54$ și $x = 3$ . Ordonata este $y = f (3) = 13 \cdot 3 - 22 = 17$ . Punctul de intersecție este $(3; 17)$ . Verificare: $g (3) = - 5 \cdot 3 + 32 = 17$ .

11. $f (2) = 0$ dă $8 - 28 + 2 a + b = 0$ , adică $2 a + b = 20$ ; $f (- 3) = 0$ dă $- 27 - 63 - 3 a + b = 0$ , adică $- 3 a + b = 90$ . Scazi a doua ecuație din prima: $5 a = - 70$ , deci $a = - 14$ . Apoi $b = 20 - 2 a = 48$ . Verificare: pentru $f = X^{3} - 7 X^{2} - 14 X + 48$ , $f (2) = 8 - 28 - 28 + 48 = 0$ și $f (- 3) = - 27 - 63 + 42 + 48 = 0$ .

12. a) La 30 de containere firma A costă $640 + 48 \cdot 30 = 2080$ de lei, deci $250 + 30 p = 2080$ și $p = 61$ de lei pe container. b) Firma B costă mai puțin dacă $250 + 61 x < 640 + 48 x$ , adică $13 x < 390$ . Rezultă $x < 30$ : B e mai ieftină sub 30 de containere pe lună. Verificare: la 20 de containere B costă 1470 de lei, A 1600; la 40, A 2560, B 2690.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026 nicio cerință nu spune „Rezolvați sistemul…”; tema e totuși în programa de examen, deci poate fi cerută. Până acum ideea a apărut ascunsă într-o altă cerință: punctul de intersecție a graficelor a două funcții de gradul I, sau două condiții din care afli doi coeficienți. Tema a apărut în 5 probe; patru au aceeași cerință, a doua din Subiectul I, de câte cinci puncte. Mai jos sunt patru dintre cele cinci cerințe:

Modelul din 2022, Subiectul I, exercițiul 2: se dau două funcții de gradul I prin formule și se cer coordonatele punctului de intersecție a graficelor, iar baremul acordă două puncte pentru egalitatea celor două formule și trei pentru coordonate. Pasul 3 din Metodă dă abscisa, iar pasul 4 ordonata.
August 2014, Subiectul I, exercițiul 2: aceeași idee, dar se cere numai abscisa, iar baremul dă trei puncte pentru ecuația scrisă și două pentru valoarea lui $x$ . Ajungi la ea după pasul 3 din Metodă.
August 2020, Subiectul I, exercițiul 2: din nou numai abscisa, iar una dintre funcții are panta negativă. La pasul 3 din Metodă ai grijă la semnul minus, când scazi sau treci termenii dintr-o parte în alta.
Modelul din 2013, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: Subiectul al II-lea, problema 2, punctul c, cu un polinom (la filiera tehnologică, polinoamele vin în clasa a XII-a; la științe ale naturii, pe programa nouă, sunt în clasa a IX-a). Aici contează doar sistemul: două rădăcini date, înlocuite în polinom, dau două ecuații în necunoscutele $a$ și $b$ . Folosești pașii 1–4 din Metodă.

Pe foaia de examen scrie întâi egalitatea celor două formule, apoi rezolvarea ei și, la sfârșit, răspunsul care ți se cere: numai $x$ sau perechea $(x; y)$ . Exercițiile 9–11 repetă aceste formate; restul temelor din Subiectul I sunt în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Scrii numai $x$ când cerința cere coordonatele punctului → cum o prinzi: înainte de răspuns recitești verbul din enunț; „coordonatele” înseamnă perechea $(x; y)$ , iar la modelul din 2022 trei din cele cinci puncte erau pentru coordonate.
Scazi membrii stângi în ordinea (a doua − prima) și membrii drepți în ordinea inversă → cum o prinzi: scrii scăderea o singură dată, pe întreaga egalitate, și verifici rezultatul în ambele ecuații inițiale.
Alegi oferta cu prețul pe persoană mai mic, fără să calculezi → cum o prinzi: calculezi costul ambelor oferte pentru un număr concret de persoane.
Spui „fără soluție” după o scădere greșită → cum o prinzi: scrii ambele ecuații ca $a x + b y = c$ ; dreptele sunt paralele numai dacă un membru stâng e celălalt înmulțit cu un număr, iar membrul drept nu.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: rezolvarea sistemelor de ecuații de gradul I, împreună cu poziția relativă a două drepte, face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 5 probe, la Subiectul I și Subiectul al II-lea. În programa Bacalaureatului din 2030 tema reapare în unitatea XI.2 (calcul matriceal, sisteme de ecuații și inecuații liniare) la toate cele patru profiluri (MAT_P3–MAT_P6).

Întrebări frecvente

Cum aleg între două oferte dacă ele se egalează la 37,5 persoane? Persoanele se numără întregi, deci un grup de 37,5 persoane nu există. Calculezi diferența dintre cele două facturi la 37 și la 38 de persoane: între ele își schimbă semnul. Oferta cu taxa fixă mai mică e mai ieftină până la 37 de persoane inclusiv, cealaltă de la 38. Concluzia se scrie pe intervale de numere întregi.

De ce scad ofertele în loc să le adun? Diferența dintre două facturi spune cât plătești în plus la una față de cealaltă, iar tu vrei să afli când diferența se anulează. Scăderea e alegerea firească atunci când coeficienții necunoscutei pe care o elimini sunt egali. Adunarea elimină necunoscuta doar când acești coeficienți sunt opuși.

Cum arată pe grafic două oferte care nu se egalează niciodată? Sunt două drepte paralele: urcă la fel de repede, fiindcă au același preț pe persoană, dar pornesc de la taxe fixe diferite. Distanța dintre ele, măsurată pe verticală, este chiar diferența taxelor și rămâne aceeași pe tot graficul. Dreapta de jos e oferta mai ieftină la orice număr de persoane.

Cum apare intersecția a două grafice la Bacalaureatul M3? Ca o cerință din Subiectul I al probei M_tehnologic: abscisa sau coordonatele punctului de intersecție a graficelor a două funcții de gradul I. În probele oficiale 2013–2026 tema a apărut în 5 probe, iar patru dintre ele au această cerință. O rezolvi prin egalarea formulelor, ca la pasul 3 din Metodă.

Trebuie să scriu și ordonata, nu doar abscisa? Depinde de cerință. Dacă ți se cere abscisa, ajunge valoarea lui $x$ . Dacă ți se cer coordonatele punctului, scrii perechea $(x; y)$ , iar pe $y$ îl afli înlocuind $x$ într-una dintre formule. Recitește întrebarea înainte de răspuns și scrie exact ce ți se cere.