Dacă $$a_1b_2-a_2b_1\ne 0$$, ce se poate spune despre sistem?

are soluție unică, iar dreptele sunt secante

nu se poate spune nimic fără termenii liberi

Care este soluția sistemului de inecuații $$x>2$$ și $$x\le 5$$?

$$(2,\,+\infty)\cup(-\infty,\,5]$$

Care este soluția sistemului de inecuații 3x+1≥ 7 și x-4<1?

Prima inecuație dă x≥ 2, a doua dă x<5. Sistemul cere ambele condiții, deci intersectezi: x∈[2,5). Capătul 2 este inclus pentru că prima inegalitate este nestrictă, iar 5 este exclus.

Ce înseamnă grafic soluția unui sistem?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Sisteme de gradul I

Graficul oricărei ecuații de forma $a x + b y = c$ , cu $a$ și $b$ nu amândoi nuli, este o dreaptă, iar soluția sistemului este punctul comun al celor două drepte. Pentru $x + 2 y = 5$ și $3 x - y = 1$ : din a doua, $y = 3 x - 1$ , deci $x + 6 x - 2 = 5$ , $x = 1$ și $y = 2$ . Dreptele se taie în $(1, 2)$ ; punctul verifică ambele ecuații: $1 + 4 = 5$ și $3 - 2 = 1$ . Dreptele paralele nu dau soluții, iar cele confundate dau o infinitate.

Două ecuații de gradul I formează un sistem a cărui rezolvare se încheie cu o pereche ordonată $(x, y)$ care verifică deodată cele două ecuații. Notează răspunsul sub forma $(x, y) = (\dots, \dots)$ și uită-te la prima poziție: prin reducere valorile ies uneori în altă ordine decât cea cerută, iar o pereche întoarsă descrie alt punct.

Coeficienții aleg metoda: substituția, când o necunoscută vine cu coeficientul $1$ sau $- 1$ ; reducerea, când coeficienții unei necunoscute sunt opuși ori se pot face opuși. Expresia scoasă dintr-o ecuație se duce obligatoriu în cealaltă, altfel îți rămâne o identitate care nu spune nimic.

Numărul soluțiilor se vede înainte de rezolvare: cu $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ ai soluție unică, iar dreptele se taie. Dacă acel număr este $0$ , dreptele nu se mai taie — însă alegerea între paralele distincte (nicio soluție) și confundate (o infinitate) o face abia compararea celor două ecuații. Infinitatea cere ca una dintre ecuații să fie un multiplu nenul al celeilalte, cu tot cu termenul liber.

Sistemele de inecuații se rezolvă bucată cu bucată, apoi mulțimile se intersectează: „și” cere intersecție, nu reuniune. Dintre marginile de jos rămâne cea mai mare, dintre cele de sus cea mai mică, iar mulțimea vidă este un răspuns corect.

De reținut

grafic, soluția sistemului este punctul de intersecție al dreptelor
$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ : soluție unică; altfel paralele sau confundate
un sistem de inecuații se rezolvă prin intersecția mulțimilor

Greșeala tipică

Se scrie soluția ca două numere separate, „ $x = 1$ , $y = 2$ ”, fără să se vadă că reprezintă un singur punct; corect este perechea ordonată $(1, 2)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce fel de obiect este soluția unui sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute?
- a) un singur număr
- b) o pereche ordonată $(x, y)$
- c) un interval de numere reale
- d) o dreaptă din plan
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) o pereche ordonată $(x, y)$

Perechea trebuie să verifice amândouă ecuațiile, iar ordinea componentelor contează: prima este valoarea lui $x$ . Dreptele de la d) sunt reprezentările grafice ale ecuațiilor, nu soluția.
Dacă $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ , ce se poate spune despre sistem?
- a) nu are soluții
- b) are soluție unică, iar dreptele sunt secante
- c) are o infinitate de soluții
- d) nu se poate spune nimic fără termenii liberi
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) are soluție unică, iar dreptele sunt secante

Numărul nenul înseamnă drepte cu pante diferite, deci un singur punct de intersecție. Abia când el se anulează mai ai nevoie de termenii liberi, ca să alegi între paralele distincte și confundate.
Care este soluția sistemului de inecuații $x > 2$ și $x \leq 5$ ?
- a) $(2, 5]$
- b) $[2, 5)$
- c) $(2, + \infty) \cup (- \infty, 5]$
- d) mulțimea vidă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(2, 5]$

Un sistem cere „și”, deci intersecție: capătul din stânga rămâne deschis, cel din dreapta închis. Varianta c) este reuniunea celor două mulțimi, care ar însemna toată axa.

Întrebări conexe

Pentru ce $m$ are sistemul $x + m y = 2$ , $2 x + 4 y = 4$ o infinitate de soluții?

Împarți a doua ecuație la $2$ și obții $x + 2 y = 2$ . Pentru $m = 2$ ecuațiile coincid, deci dreptele sunt confundate și soluțiile sunt infinit de multe. Pentru $m \neq = 2$ , numărul $4 - 2 m$ este nenul, iar sistemul are o singură soluție.

Care este soluția sistemului de inecuații $3 x + 1 \geq 7$ și $x - 4 < 1$ ?

Prima inecuație dă $x \geq 2$ , a doua dă $x < 5$ . Sistemul cere ambele condiții, deci intersectezi: $x \in [2, 5)$ . Capătul $2$ este inclus pentru că prima inegalitate este nestrictă, iar $5$ este exclus.

Cum aflu cu un sistem cât amestec din două soluții de concentrații diferite?

Vrei $10$ L de soluție de $38%$ din soluții de $20%$ și $50%$ . Notezi volumele $x$ și $y$ : $x + y = 10$ și $0, 2 x + 0, 5 y = 3, 8$ . Înlocuind $y = 10 - x$ obții $5 - 0, 3 x = 3, 8$ , deci $x = 4$ L și $y = 6$ L.

De ce sistemul $x + y = 3$ , $2 x + 2 y = 5$ nu are soluții?

Dacă înmulțești prima ecuație cu $2$ , obții $2 x + 2 y = 6$ , dar a doua cere $2 x + 2 y = 5$ . Aceeași expresie nu poate fi simultan $6$ și $5$ . Grafic, dreptele au aceeași pantă și termeni liberi diferiți, deci sunt paralele distincte.

Când nu are soluții un sistem de inecuații de gradul I?

Când intervalele obținute din fiecare inecuație nu au niciun punct comun. De exemplu, $x < 1$ și $x > 4$ dau mulțimi disjuncte, deci soluția este mulțimea vidă. Acesta este un răspuns corect și se scrie ca atare, $\emptyset$ .

Oamenii mai întreabă și: interpretarea geometrică a unui sistem · soluția unui sistem ca punct de intersecție · sistemul și poziția a două drepte · ce reprezintă soluția unui sistem pe grafic