Sisteme de ecuații și de inecuații de gradul I (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Un laborant are două soluții de aceeași substanță, una slabă și una concentrată, și trebuie să obțină din ele o cantitate dată, la o concentrație dată. Două cerințe simultane, două necunoscute: câte grame ia din prima și câte din a doua. Nicio ecuație singură nu rezolvă problema, pentru că fiecare dintre ele are o infinitate de soluții; răspunsul se află abia când cerem ca amândouă să fie adevărate în același timp. Lecția aceasta, din traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), arată cum se rezolvă și cum se discută astfel de perechi de condiții — ecuații sau inecuații de gradul I — așa cum se cer la bacalaureatul M2, la Subiectul I.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: sistemele de ecuații de gradul I cu două necunoscute și sistemele de inecuații de gradul I sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu apar în programa nouă a clasei a IX-a. Metodele de rezolvare le ai din gimnaziu, de la rezolvarea sistemelor prin metoda substituției și metoda reducerii; nou este restul — numărul de soluții citit direct din coeficienți, discuția după un parametru și scrierea ca interval a soluției unui sistem de inecuații. Pasul anterior din traseul tău, funcția de gradul I: ecuații și inecuații, îți dă unealta de bază: o singură inecuație, rezolvată cu tabel de semn.

Ce vei învăța

Vei ști să duci la capăt un sistem de două ecuații de gradul I, prin substituție sau prin reducere, alegând metoda după forma coeficienților.
Vei ști să spui, fără să rezolvi, câte soluții are un sistem, calculând numărul $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ .
Vei ști să traduci fiecare caz în poziția relativă a două drepte: secante, paralele sau confundate.
Vei ști să porți discuția după un parametru și să scrii răspunsul pe cazuri.
Vei ști să rezolvi un sistem de inecuații de gradul I și să scrii soluția ca un singur interval.
Vei ști să transformi un enunț din chimie sau din economie într-un sistem și să verifici soluția în enunț.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un sistem de două ecuații de gradul I?

Un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute este ansamblul a două ecuații de forma $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ și $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ , cu coeficienți numere reale; a-l rezolva înseamnă a găsi toate perechile $(x, y)$ care verifică simultan ambele ecuații. Se scrie cu acoladă:

${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

O precizare de notație, ca să nu se încurce rolurile. Programa de examen scrie coeficienții cu litere diferite, $a x + b y = c$ și $m x + n y = p$ ; noi îi scriem cu indici, $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ și $a_{2}, b_{2}, c_{2}$ , păstrând litera $m$ pentru parametrul din cerințele de discuție.

Soluția nu este un număr, ci o pereche ordonată: mai întâi valoarea lui $x$ , apoi a lui $y$ ; un răspuns de forma „ $2$ și $3$ " nu spune care e care, așa că se scrie $(x, y) = (2, 3)$ . Verificarea se face în amândouă ecuațiile: o pereche care o verifică doar pe una nu este soluție a sistemului.

2. Cum aleg între metoda substituției și metoda reducerii?

După forma coeficienților. Substituția merge cel mai repede când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $- 1$ într-una dintre ecuații: o scoți de acolo și o duci în cealaltă ecuație. Reducerea e mai bună când aceeași necunoscută are, în cele două ecuații, coeficienți opuși sau ușor de făcut opuși prin înmulțire.

Pentru sistemul ${2 x + 3 y = 12 x - y = 1$ , a doua ecuație dă imediat $x = y + 1$ . Expresia găsită trebuie dusă dincolo, niciodată pusă înapoi de unde a ieșit, așa că o înlocuim în prima ecuație: $2 (y + 1) + 3 y = 12$ , adică $5 y + 2 = 12$ , deci $y = 2$ și apoi $x = 3$ . Verificare în ambele: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ ✓ și $3 - 2 = 1$ ✓, deci $(x, y) = (3, 2)$ .

Pentru ${4 x + 3 y = 18 2 x - 3 y = 0$ termenii în $y$ sunt opuși: adunăm ecuațiile membru cu membru și obținem $6 x = 18$ , deci $x = 3$ ; din a doua, $3 y = 2 \cdot 3$ , deci $y = 2$ . Verificare: $4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 18$ ✓, iar $(x, y) = (3, 2)$ — aceeași pereche ca la sistemul dinainte, deși ecuațiile sunt altele: două drepte diferite se pot tăia în același punct.

3. Ce spune numărul soluțiilor despre cele două drepte?

Fiecare ecuație de gradul I cu două necunoscute descrie o dreaptă în reperul cartezian: mulțimea perechilor care o verifică. Soluțiile sistemului sunt, așadar, punctele comune celor două drepte, iar de aici cele trei cazuri posibile, pe care le-ai văzut la intersecția a două drepte:

dreptele sunt secante — un singur punct comun, deci sistemul are soluție unică;
dreptele sunt paralele distincte — niciun punct comun, deci sistemul nu are soluții;
dreptele sunt confundate — orice punct al lor e comun, deci sistemul are o infinitate de soluții.

Nu există alt caz: două drepte din plan sunt ori secante, ori paralele, ori confundate. De aceea un sistem de gradul I nu poate avea, de pildă, exact două soluții.

4. Cum recunosc din coeficienți câte soluții are sistemul?

Se calculează numărul $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ , adică diferența produselor „în cruce" ale coeficienților necunoscutelor. Aplicând metoda reducerii cu litere, se ajunge la $(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) x = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}$ , și de aici:

dacă $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ , coeficientul lui $x$ nu se anulează, deci sistemul are soluție unică — exact cazul dreptelor secante;
dacă $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , unicitatea s-a pierdut și rămâne de văzut membrul drept: când $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} \neq = 0$ se ajunge la o egalitate imposibilă, deci nicio soluție. Când și acesta este $0$ , verdictul se citește comparând cele două ecuații între ele: dacă una este cealaltă înmulțită cu un număr nenul — coeficienți și termen liber — dreptele sunt confundate și sistemul are o infinitate de soluții; dacă nu, dreptele sunt paralele distincte și sistemul nu are nicio soluție.

Pe un exemplu: pentru ${2 x - y = 5 4 x - 2 y = 7$ avem $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , iar $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} = 5 \cdot (- 2) - 7 \cdot (- 1) = - 3$ , nenul: sistemul nu are soluții. Se vede și direct — a doua ecuație ar cere $2 x - y = 3, 5$ , iar aceeași expresie nu poate lua două valori deodată. Pentru ${x + 2 y = 4 3 x + 6 y = 12$ amândouă numerele sunt nule, iar a doua ecuație este prima înmulțită cu $3$ : dreptele sunt confundate și sistemul are o infinitate de soluții.

Atenție la ordinea verificărilor: anularea lui $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ nu înseamnă „o infinitate de soluții", ci doar că unicitatea s-a pierdut. Al doilea calcul hotărăște între „nicio soluție" și „o infinitate" — iar aici se încurcă cei mai mulți.

Iar comparația finală a ecuațiilor nu e o formalitate, ci chiar cazul de margine. La sistemul ${x = 1 2 x = 3$ , în care necunoscuta $y$ lipsește din amândouă ecuațiile, avem $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ și $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} = 0$ , pentru că $b_{1} = b_{2} = 0$ ; și totuși sistemul nu are nicio soluție, fiindcă dreptele $x = 1$ și $x = \frac{3}{2}$ sunt verticale și distincte. A doua ecuație nu este prima înmulțită cu un număr: coeficienții se potrivesc, termenii liberi nu.

5. Cum se discută un sistem cu parametru?

Punem parametrul acolo unde schimbă natura sistemului, adică într-un coeficient al unei necunoscute, și urmăm exact pașii de mai sus. Fie

${m x + 3 y = 6 2 x + y = 4$

Calculăm $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = m \cdot 1 - 2 \cdot 3 = m - 6$ . Pentru $m \neq = 6$ numărul e nenul, deci sistemul are soluție unică; din a doua ecuație scoatem $y = 4 - 2 x$ și, înlocuind în prima, $m x + 12 - 6 x = 6$ , adică $(m - 6) x = - 6$ , de unde $x = \frac{6}{6 - m}$ și apoi $y = 4 - 2 x$ . Pentru $m = 6$ prima ecuație devine $6 x + 3 y = 6$ , adică $2 x + y = 2$ , în timp ce a doua cere $2 x + y = 4$ : dreptele sunt paralele distincte, deci sistemul nu are soluții. Nu există nicio valoare a lui $m$ pentru care sistemul să aibă o infinitate de soluții.

Verificare pe un caz particular: pentru $m = 0$ formula dă $x = 1$ și $y = 2$ , iar înlocuirea în sistem confirmă: $0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 6$ ✓ și $2 \cdot 1 + 2 = 4$ ✓.

6. Ce este un sistem de inecuații de gradul I?

Este o pereche (sau un grup) de inecuații care trebuie satisfăcute simultan de același număr $x$ . Se rezolvă fiecare inecuație separat, cu unealta din lecția anterioară, apoi se intersectează mulțimile de soluții: soluția sistemului este mulțimea numerelor care se află în toate intervalele găsite. Cuvântul-cheie este „și", nu „sau" — o valoare care verifică doar una dintre inecuații nu intră în răspuns.

Pentru ${3 x - 1 > 5 7 - x \geq 2$ : prima dă $3 x > 6$ , deci $x > 2$ ; a doua dă $- x \geq - 5$ și, prin împărțire la $- 1$ cu schimbarea sensului, $x \leq 5$ . Intersecția intervalelor $(2, + \infty)$ și $(- \infty, 5]$ este $S = (2, 5]$ — capătul $2$ rămâne deschis, fiindcă prima inegalitate e strictă, iar $5$ intră, fiindcă a doua nu este.

Se poate întâmpla ca intersecția să fie mulțimea vidă. Pentru ${2 x + 1 \geq 9 5 - x > 1$ obținem $x \geq 4$ și $x < 4$ : niciun număr nu poate fi, în același timp, cel puțin $4$ și strict mai mic decât $4$ , deci $S = \emptyset$ . Răspunsul „mulțimea vidă" este un răspuns complet și corect, nu semnul că ai greșit undeva.

7. Cum scriu intersecția ca un singur interval?

Cel mai sigur, desenând. Reprezinți fiecare mulțime de soluții pe aceeași axă, una sub alta, și citești porțiunea acoperită de amândouă — exact procedeul de la intersecția intervalelor, din clasa a VIII-a. Regula, în cuvinte: dintre marginile de jos o păstrezi pe cea mai mare, iar dintre marginile de sus, pe cea mai mică; dacă marginea de jos urcă peste cea de sus, nu mai rămâne niciun număr, deci răspunsul este mulțimea vidă.

Când același capăt apare în ambele intervale, el intră în intersecție numai dacă intră în fiecare dintre ele. Metoda funcționează neschimbată la trei sau mai multe inecuații: pentru $x > - 2$ , $x \leq 3$ și $x < 4$ , marginea de jos rămâne $- 2$ (exclusă), iar dintre marginile de sus, $3$ și $4$ , se păstrează $3$ (inclus), deci $S = (- 2, 3]$ .

8. Ce rămâne vecinilor din traseu?

Sistemele în care apare o ecuație de gradul al doilea — cele de forma sumă și produs, sau intersecția unei drepte cu o parabolă — se rezolvă tot prin substituție, dar cu alte unelte, și sunt tratate în sisteme cu ecuații de gradul al doilea. Inecuațiile de gradul al doilea aparțin lecției despre semnul funcției de gradul al doilea. Iar numărul $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ , pe care aici îl calculăm ca atare, primește un nume și o teorie proprie mai târziu, la determinanți: în clasa a XI-a, lecția de supliment despre metoda lui Cramer îl numește determinantul principal al sistemului și extinde rețeta la trei necunoscute, iar în clasa a XII-a sistemele de ecuații liniare au o unitate proprie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Metoda substituției

Rezolvați sistemul ${3 x - 2 y = 4 x + 4 y = 6$

Rezolvare. În a doua ecuație coeficientul lui $x$ este $1$ , deci scoatem $x = 6 - 4 y$ și înlocuim în prima: $3 (6 - 4 y) - 2 y = 4$ , adică $18 - 14 y = 4$ , deci $- 14 y = - 14$ și $y = 1$ . Atunci $x = 6 - 4 = 2$ .

Verificare în ambele ecuații: $3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4$ ✓ și $2 + 4 \cdot 1 = 6$ ✓. Soluția este $(x, y) = (2, 1)$ .

Exemplul 2 — Metoda reducerii

Rezolvați sistemul ${2 x + y = 11 3 x - y = 9$

Rezolvare. Termenii în $y$ sunt deja opuși, așa că adunăm ecuațiile membru cu membru: $5 x = 20$ , deci $x = 4$ . Înlocuim în prima ecuație: $8 + y = 11$ , deci $y = 3$ .

Verificare: $2 \cdot 4 + 3 = 11$ ✓ și $3 \cdot 4 - 3 = 9$ ✓, deci $(x, y) = (4, 3)$ . Geometric, dreptele $2 x + y = 11$ și $3 x - y = 9$ se taie în punctul de coordonate $(4, 3)$ .

Exemplul 3 — Câte soluții are sistemul?

Determinați numărul soluțiilor sistemului ${2 x - 3 y = 5 4 x - 6 y = 11$

Rezolvare. Calculăm mai întâi $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 2 \cdot (- 6) - 4 \cdot (- 3) = - 12 + 12 = 0$ , deci sistemul nu are soluție unică. Trecem la al doilea calcul: $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} = 5 \cdot (- 6) - 11 \cdot (- 3) = - 30 + 33 = 3$ , nenul.

Prin urmare sistemul nu are soluții, iar dreptele sunt paralele distincte. Se vede și altfel: a doua ecuație, împărțită la $2$ , ar cere $2 x - 3 y = 5, 5$ , în timp ce prima cere $2 x - 3 y = 5$ .

Exemplul 4 — Sistem de inecuații

Rezolvați sistemul de inecuații ${2 x - 1 > 3 9 - 2 x \geq 1$

Rezolvare. Prima inecuație: $2 x > 4$ , deci $x > 2$ , adică $x \in (2, + \infty)$ . A doua: $- 2 x \geq - 8$ și, împărțind la $- 2 < 0$ cu schimbarea sensului, $x \leq 4$ , adică $x \in (- \infty, 4]$ .

Intersectăm: capătul din stânga este $2$ , exclus, iar cel din dreapta este $4$ , inclus, deci $S = (2, 4]$ .

Control numeric: $x = 3$ dă $5 > 3$ ✓ și $3 \geq 1$ ✓; $x = 4$ dă $7 > 3$ ✓ și $1 \geq 1$ ✓, deci $4$ este corect inclus; $x = 2$ dă $3 > 3$ , fals, deci $2$ este corect exclus.

Exemplul 5 — Amestecul din laborator

Un laborant amestecă o soluție cu concentrația de $10%$ cu una cu concentrația de $30%$ și obține $200$ de grame de soluție cu concentrația de $16%$ . Determinați ce cantitate a luat din fiecare.

Rezolvare. Notăm cu $x$ masa luată din prima soluție și cu $y$ masa luată din a doua, ambele în grame. Masa totală dă o ecuație, iar masa de substanță dizolvată dă a doua, pentru că substanța din amestec vine din cele două soluții:

${x + y = 200 0, 1 x + 0, 3 y = 32$

Termenul liber al celei de-a doua ecuații este $16%$ din $200$ , adică $32$ de grame. Înmulțim a doua ecuație cu $10$ : $x + 3 y = 320$ . Scădem din ea prima ecuație și obținem $2 y = 120$ , deci $y = 60$ și apoi $x = 140$ , adică $(x, y) = (140, 60)$ .

Verificare în enunț: $140 + 60 = 200$ de grame ✓, iar substanța dizolvată este $14 + 18 = 32$ de grame, adică $16%$ din $200$ de grame ✓. Laborantul ia $140$ de grame din soluția slabă și $60$ de grame din cea concentrată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră sistemul ${m x + y = 3 2 x + y = 5$ , unde $m$ este număr real. a) Pentru $m = 4$ , determinați soluția sistemului. b) Determinați numărul real $m$ pentru care sistemul nu are soluții.

Rezolvare. a) Pentru $m = 4$ sistemul devine ${4 x + y = 3 2 x + y = 5$ . Scădem a doua ecuație din prima: $2 x = - 2$ , deci $x = - 1$ , iar din a doua $y = 5 + 2 = 7$ . Verificare: $- 4 + 7 = 3$ ✓ și $- 2 + 7 = 5$ ✓, deci $(x, y) = (- 1, 7)$ .

b) Sistemul nu are soluție unică atunci când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = m \cdot 1 - 2 \cdot 1 = m - 2$ se anulează, adică pentru $m = 2$ . Verificăm ce se întâmplă acolo: ecuațiile devin $2 x + y = 3$ și $2 x + y = 5$ , iar aceeași expresie nu poate fi deodată $3$ și $5$ , deci sistemul nu are soluții. Așadar $m = 2$ .

Să exersăm

La fiecare sistem de ecuații, înlocuiește perechea găsită în amândouă ecuațiile înainte de a scrie răspunsul. La fiecare sistem de inecuații, desenează cele două mulțimi pe aceeași axă: intersecția se vede, nu se ghicește.

1. Rezolvă sistemul ${x + y = 7 x - y = 3$

2. Rezolvă sistemul ${2 x + 3 y = 14 5 x - 3 y = - 7$ prin metoda reducerii și spune în ce punct se taie cele două drepte.

3. Rezolvă sistemul ${5 x - 2 y = 16 x + 2 y = 8$

4. Determină câte soluții are sistemul ${3 x - y = 4 6 x - 2 y = 9$ , fără să-l rezolvi.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute are întotdeauna exact o soluție."

6. Arată că sistemul ${x + 3 y = 9 2 x + 6 y = 18$ are o infinitate de soluții și scrie trei dintre ele.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x + 2 y = 8$ și $x - y = 5$ .

8. Rezolvă sistemul de inecuații ${4 x + 1 \geq 9 12 - 3 x > 0$ și scrie soluția ca interval.

9. Rezolvă sistemul de inecuații ${x + 4 \geq 0 3 - x > 0$

10. (Problemă aplicată.) Într-un experiment de biologie s-au folosit $30$ de vase de cultură, unele cu câte $4$ probe, celelalte cu câte $6$ probe, în total $148$ de probe. Determină câte vase sunt de fiecare fel.

11. Arată că sistemul de inecuații ${x - 3 \geq 2 2 x < 8$ nu are soluții.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $m$ pentru care sistemul ${m x - 3 y = 12 2 x + y = - 4$ nu are soluție unică și precizează câte soluții are atunci.

13. Determină coordonatele punctului în care se taie dreptele de ecuații $y = 2 x + 1$ și $y = - x + 10$ .

14. Determină numerele întregi $x$ care verifică sistemul ${3 x + 2 > - 7 x - 1 \leq 2$

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul ${x + y = 5 2 x - y = 1$ . Determină soluția sistemului și calculează apoi valoarea expresiei $x^{2} + y^{2}$ .

16. Rezolvă sistemul $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x + y}{2} = 5 \frac{x - y}{4} = 1$

17. Rezolvă sistemul de trei inecuații $⎩ ⎨ ⎧ x + 5 > 0 2 x - 1 \leq 9 10 - 2 x > 0$

18. (Provocare.) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care sistemul ${2 x + m y = 4 x + 2 y = 3$ are o infinitate de soluții.

Răspunsuri și explicații

1. Adunăm ecuațiile: $2 x = 10$ , deci $x = 5$ , iar din prima $y = 2$ . Verificare: $5 + 2 = 7$ ✓ și $5 - 2 = 3$ ✓, deci $(x, y) = (5, 2)$ .

2. Adunând ecuațiile, termenii în $y$ dispar: $7 x = 7$ , deci $x = 1$ , iar din prima $3 y = 12$ , deci $y = 4$ . Verificare: $2 + 12 = 14$ ✓ și $5 - 12 = - 7$ ✓. Perechea $(x, y) = (1, 4)$ este chiar punctul în care se taie cele două drepte.

3. Adunăm ecuațiile, fiindcă termenii în $y$ sunt opuși: $6 x = 24$ , deci $x = 4$ ; din a doua, $2 y = 8 - 4$ , deci $y = 2$ . Verificare: $20 - 4 = 16$ ✓ și $4 + 4 = 8$ ✓, deci $(x, y) = (4, 2)$ .

4. $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 3 \cdot (- 2) - 6 \cdot (- 1) = 0$ , deci nu are soluție unică. Al doilea calcul: $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} = 4 \cdot (- 2) - 9 \cdot (- 1) = 1$ , nenul, deci sistemul nu are nicio soluție; dreptele sunt paralele distincte.

5. Fals. Un sistem de gradul I poate să nu aibă nicio soluție (drepte paralele distincte) sau să aibă o infinitate (drepte confundate). Contraexemplu pentru prima situație: $x + y = 1$ și $x + y = 2$ nu pot fi adevărate în același timp, pentru că aceeași sumă ar trebui să ia două valori diferite.

6. A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$ , deci amândouă descriu aceeași dreaptă: $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 6 - 6 = 0$ și $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1} = 9 \cdot 6 - 18 \cdot 3 = 0$ . Sistemul are o infinitate de soluții, toate perechile cu $x = 9 - 3 y$ ; de pildă $(9, 0)$ , $(6, 1)$ și $(3, 2)$ , fiecare verificând ambele ecuații.

7. Din a doua ecuație, $x = y + 5$ ; înlocuim în prima: $y + 5 + 2 y = 8$ , deci $3 y = 3$ și $y = 1$ , apoi $x = 6$ . Verificare: $6 + 2 = 8$ ✓ și $6 - 1 = 5$ ✓, deci $(x, y) = (6, 1)$ .

8. Prima inecuație dă $4 x \geq 8$ , deci $x \geq 2$ ; a doua dă $- 3 x > - 12$ și, prin împărțire la $- 3 < 0$ cu schimbarea sensului, $x < 4$ . Intersectând $[2, + \infty)$ cu $(- \infty, 4)$ obținem $S = [2, 4)$ . Control: $x = 2$ verifică ambele inecuații ✓, iar $x = 4$ o încalcă pe a doua, fiindcă $12 - 12 = 0$ nu este strict pozitiv ✓.

9. Prima dă $x \geq - 4$ , a doua dă $x < 3$ . Intersecția lor este $S = [- 4, 3)$ . Control: $x = - 4$ verifică ambele inecuații ✓, iar $x = 3$ o încalcă pe a doua, fiindcă $3 - 3 = 0$ nu este strict pozitiv ✓.

10. Cu $x$ numărul vaselor cu $4$ probe și $y$ numărul celor cu $6$ probe, sistemul este ${x + y = 30 4 x + 6 y = 148$ : prima ecuație numără vasele, a doua probele. Din prima, $x = 30 - y$ ; înlocuim în a doua: $120 - 4 y + 6 y = 148$ , deci $2 y = 28$ și $y = 14$ , apoi $x = 16$ , adică $(x, y) = (16, 14)$ . Verificare: $16 + 14 = 30$ de vase ✓ și $64 + 84 = 148$ de probe ✓. Ambele valori sunt numere naturale, cum cere contextul.

11. Prima inecuație dă $x \geq 5$ , a doua dă $x < 4$ . Cum niciun număr nu poate fi în același timp cel puțin $5$ și mai mic decât $4$ , intersecția intervalelor $[5, + \infty)$ și $(- \infty, 4)$ este vidă, deci $S = \emptyset$ .

12. Sistemul nu are soluție unică exact când $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = m \cdot 1 - 2 \cdot (- 3) = m + 6$ se anulează, adică pentru $m = - 6$ . Pentru această valoare prima ecuație devine $- 6 x - 3 y = 12$ , adică, împărțind la $- 3$ , $2 x + y = - 4$ — exact a doua ecuație. Cele două drepte coincid, deci sistemul are o infinitate de soluții: toate perechile de forma $(x, - 4 - 2 x)$ , cu $x$ număr real.

13. Punctul comun are coordonatele care verifică ambele ecuații, deci $2 x + 1 = - x + 10$ , de unde $3 x = 9$ și $x = 3$ ; atunci $y = 7$ . Verificare în a doua dreaptă: $- 3 + 10 = 7$ ✓. Punctul căutat are coordonatele $(x, y) = (3, 7)$ .

14. Prima inecuație dă $3 x > - 9$ , deci $x > - 3$ ; a doua dă $x \leq 3$ . Intersecția este intervalul $(- 3, 3]$ , iar numerele întregi din el sunt $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ și $3$ — șase valori. Marginea de jos rămâne pe dinafară, cea de sus intră.

15. Adunăm ecuațiile: $3 x = 6$ , deci $x = 2$ , iar din prima $y = 3$ , adică $(x, y) = (2, 3)$ . Verificare: $2 + 3 = 5$ ✓ și $4 - 3 = 1$ ✓. Atunci $x^{2} + y^{2} = 4 + 9 = 13$ .

16. Înmulțim prima ecuație cu $2$ și a doua cu $4$ , scăpând de numitori: $x + y = 10$ și $x - y = 4$ . Adunând, $2 x = 14$ , deci $x = 7$ și $y = 3$ , adică $(x, y) = (7, 3)$ . Verificare în enunțul inițial: $\frac{7 + 3}{2} = 5$ ✓ și $\frac{7 - 3}{4} = 1$ ✓.

17. Rezolvăm pe rând: $x > - 5$ ; $2 x \leq 10$ dă $x \leq 5$ ; $- 2 x > - 10$ dă $x < 5$ . Marginea de jos este $- 5$ , exclusă; sus avem două condiții în același punct, $x \leq 5$ și $x < 5$ , iar cea strictă câștigă, deci $5$ rămâne afară: $S = (- 5, 5)$ . Aici a treia inecuație chiar a schimbat răspunsul, transformând un capăt închis într-unul deschis.

18. Pentru o infinitate de soluții e nevoie ca amândouă condițiile să fie îndeplinite. Din $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot m = 4 - m$ obținem prima condiție, $m = 4$ . Verificăm a doua: pentru $m = 4$ prima ecuație devine $2 x + 4 y = 4$ , adică $x + 2 y = 2$ , în timp ce a doua cere $x + 2 y = 3$ — dreptele sunt paralele distincte, deci sistemul nu are nicio soluție. Așadar nu există niciun $m$ pentru care sistemul să aibă o infinitate de soluții: anularea primului număr e necesară, dar nu și suficientă.

De reținut

Soluția unui sistem de două ecuații de gradul I este o pereche ordonată $(x, y)$ care verifică simultan ambele ecuații; verificarea se face întotdeauna în amândouă.
Alegerea metodei ține de coeficienți: substituția când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $- 1$ , reducerea când o necunoscută are coeficienți opuși sau ușor de făcut opuși.
Dacă $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ , sistemul are soluție unică, iar dreptele sunt secante; dacă acest număr este $0$ , sistemul ori nu are soluții (drepte paralele distincte), ori are o infinitate (drepte confundate) — iar o infinitate de soluții apare numai când o ecuație este cealaltă înmulțită cu un număr nenul, termen liber cu tot.
Un sistem de inecuații se rezolvă inecuație cu inecuație, apoi se intersectează mulțimile de soluții; din marginile de jos rămâne cea mai mare, iar din cele de sus, cea mai mică.
Mulțimea vidă este un răspuns corect: două condiții pot fi imposibil de îndeplinit în același timp, atât la ecuații, cât și la inecuații.

Greșeli frecvente

Necunoscuta înlocuită în ecuația din care a fost scoasă. Dacă din $x - y = 1$ scoți $x = y + 1$ și îl pui înapoi tot acolo, obții $y + 1 - y = 1$ , adică $1 = 1$ — adevărat, dar fără nicio informație. Substituția funcționează numai dacă expresia găsită merge în cealaltă ecuație.
Concluzia trasă după un singur calcul. Din $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ elevii scriu direct „o infinitate de soluții". Anularea lui spune doar că dreptele nu sunt secante; abia al doilea calcul, cu termenii liberi, și apoi comparația ecuațiilor între ele aleg între paralele distincte și confundate. Ultima verificare contează chiar și când amândouă numerele ies nule, cum se vede la ${x = 1 2 x = 3$ .
Soluția unui sistem de inecuații scrisă ca reuniune. Pentru $x > 2$ și $x \leq 5$ răspunsul este $(2, 5]$ , nu $(2, + \infty) \cup (- \infty, 5]$ , care ar însemna toată axa. Sistemul cere „și", deci intersecție; reuniunea apare la cazurile unei inecuații cu modul, unde condițiile sunt alternative.
Perechea scrisă în ordine greșită. La un sistem rezolvat prin reducere se află de multe ori întâi $y$ , iar în graba de a scrie răspunsul valorile se așază în ordinea în care au fost găsite. Scrie mereu $(x, y) = (\dots, \dots)$ și verifică prima poziție: la examen, o pereche inversată este un răspuns greșit.
Împărțirea la un parametru fără discuție. Din $(m - 6) x = - 6$ nu ai voie să scrii direct $x = \frac{- 6}{m - 6}$ : pentru $m = 6$ ai împărțit la zero. Cazul în care coeficientul se anulează se tratează separat, iar acolo se află, de obicei, răspunsul cerut.

Aplică acasă

Rețeta amestecului. Alege din manualul de chimie două soluții cu concentrații diferite și propune-ți o masă și o concentrație finală. Scrie sistemul cu masele necunoscute, rezolvă-l și verifică rezultatul în enunț, cu unitățile de măsură la vedere. Încearcă apoi o concentrație finală din afara intervalului dintre cele două concentrații și vezi ce iese: vei obține o masă negativă, adică semnul matematic al unei rețete imposibile.
Trei sisteme, trei desene. Ia sistemele ${x + y = 4 x - y = 2$ , ${x + y = 4 x + y = 1$ și ${x + y = 4 2 x + 2 y = 8$ și desenează, pentru fiecare, cele două drepte într-un instrument digital (GeoGebra, Desmos). Notează sub fiecare desen numărul soluțiilor și valoarea lui $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ : vei vedea cele trei cazuri unul lângă altul.
Din enunț în interval. Caută în manualul de fizică sau de biologie o mărime care trebuie să rămână între două praguri (o temperatură de păstrare, un pH, un interval de siguranță). Scrie condiția ca sistem de două inecuații de gradul I, rezolvă-l și scrie răspunsul ca un singur interval, cu unitatea de măsură. Verifică apoi o valoare din interior și una din exterior.

Pentru părinți și profesori

Metodele de rezolvare sunt cunoscute din clasa a VII-a, așa că lecția nu se joacă acolo: partea nouă e discuția. Un elev care rezolvă corect zece sisteme se poate bloca la întrebarea „câte soluții are", fiindcă ea cere altceva — o judecată asupra coeficienților, nu un calcul. De aceea cele două numere, $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ și $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}$ , merită scrise de fiecare dată separat, cu concluzia lor în cuvinte. La profilul științe ale naturii, sistemele apar firesc în problemele de amestec și de bilanț, unde cele două ecuații au sens fizic diferit — una numără masa totală, cealaltă masa de substanță — iar verificarea în enunț devine o verificare a experimentului, nu o formalitate.

De urmărit în caiet: dacă substituția s-a făcut în cealaltă ecuație; dacă perechea a fost verificată în amândouă ecuațiile și scrisă în ordinea $(x, y)$ ; dacă la un sistem cu parametru s-a discutat cazul în care coeficientul se anulează; dacă soluția unui sistem de inecuații e scrisă ca intersecție, nu ca reuniune. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Ce poziție au cele două drepte?"; „Ce se întâmplă dacă primul număr se anulează, dar al doilea nu?"; „De ce nu poate un sistem de gradul I să aibă exact două soluții?"; „Ce număr ai încercat ca să te convingi că intervalul e corect?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a rezolva, se uită la coeficienți și spune ce fel de răspuns așteaptă.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a IX-a, „poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de tipul $a x + b y = c$ , $m x + n y = p$ " și „sisteme de inecuații de gradul I", în timp ce programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu mai are acest capitol. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde sistemele de gradul I apar la Subiectul I, ca unealtă a cerințelor scurte: în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, a cincea cerință cere două coordonate necunoscute ale unui punct, care se află din două condiții de gradul I. Pentru generația care va da Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2), sistemele de ecuații liniare apar în domeniul Algebră abia la clasa a XII-a, rezolvate cu metode algoritmice. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute? Prin substituție sau prin reducere. La substituție scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă; la reducere aduci coeficienții unei necunoscute la valori opuse și aduni ecuațiile. Alegi metoda după coeficienți și verifici perechea găsită în amândouă ecuațiile.

Cum știu câte soluții are un sistem fără să-l rezolv? Calculezi $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ . Dacă e nenul, sistemul are soluție unică. Dacă e zero, calculezi și $c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}$ : nenul înseamnă că sistemul nu are soluții. Dacă și el este zero, compari ecuațiile: o infinitate de soluții apare numai când una este cealaltă înmulțită cu un număr nenul, coeficienți și termen liber deopotrivă; altfel, dreptele sunt paralele distincte.

Se dau sistemele și la M1, și la M2? Ce diferă? La științe ale naturii sistemele de gradul I se cer în clasa a IX-a, rezolvate elementar și interpretate geometric. Revin prin determinanți: în suplimentul de clasa a XI-a, cu metoda lui Cramer și în clasa a XII-a, cu sistemele liniare. Sistemele de tip Cramer la mate-info (M1) țin, în clasa a XI-a, de teoria matricelor.

La ce subiect apar sistemele de gradul I la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care are șase cerințe scurte din materia claselor a IX-a și a X-a. Sistemele apar ca unealtă: în modelul oficial al probei M_șt-nat pentru 2026, cerința a cincea cere coordonatele unui punct care se află din două condiții de gradul I, scrise din enunțul geometric.

Cum scriu soluția unui sistem de inecuații? Ca un singur interval, obținut prin intersecția mulțimilor de soluții ale inecuațiilor. Din marginile de jos păstrezi cea mai mare, din cele de sus cea mai mică, iar un capăt intră în răspuns numai dacă intră în toate intervalele. Când marginea de jos o depășește pe cea de sus, soluția este mulțimea vidă.

De ce nu poate un sistem de gradul I să aibă exact două soluții? Pentru că fiecare ecuație descrie o dreaptă, iar două drepte din plan au ori un punct comun, ori niciunul, ori o infinitate, când sunt confundate. Nu există configurație cu exact două puncte comune, deci nici sistem de gradul I cu exact două soluții.

Ce fac dacă în sistem apar fracții? Înmulțești fiecare ecuație cu numitorul ei comun, ca să obții coeficienți întregi, și abia apoi alegi metoda. Fiind vorba de ecuații, înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă mulțimea soluțiilor. La final verifici perechea în forma inițială a sistemului, cu fracții cu tot.