Bisectoarea din $$A$$ a triunghiului $$ABC$$ intersectează latura $$[BC]$$ în $$D$$. Care relație este adevărată?

$$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$$

$$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AC}{AB}$$

$$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BC}{AB}$$

Care formulă dă lungimea medianei din $$A$$ a triunghiului cu laturile $$a=BC$$, $$b=CA$$, $$c=AB$$?

$$AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$$

$$AM^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$$

$$AM^2=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4}$$

$$AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2+a^2}{4}$$

Cum calculez lungimea medianei unui triunghi?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Bisectoare, mediană, înălțime

Mediana din $A$ , dusă spre mijlocul laturii $a$ , verifică $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ . Latura pe care cade mediana intră cu minus, celelalte două cu coeficientul $2$ . Exemplu: pentru $b = 6$ , $c = 8$ și $a = 10$ , $m_{a}^{2} = \frac{72 + 128 - 100}{4} = 25$ , deci $m_{a} = 5$ . Verificare: triunghiul este dreptunghic, iar mediana spre ipotenuză este jumătate din ea.

Bisectoarea unghiului $A$ taie latura opusă într-un punct $D$ ales după o regulă precisă: bucățile $B D$ și $D C$ sunt în același raport ca laturile $A B$ și $A C$ . De aici afli direct segmentele, $B D = \frac{a c}{b + c}$ și $D C = \frac{ab}{b + c}$ , iar controlul este simplu: suma lor dă latura, iar bucata mai lungă stă lângă latura mai lungă.

Lungimea bisectoarei se calculează fără formule noi. Afli cosinusul unghiului $B$ din laturile triunghiului mare și îl folosești în triunghiul mic $A B D$ , cu teorema cosinusului. Același calcul, dus cu litere, dă scurtătura $A D^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C$ , bună pentru verificare.

Mediana are formula $A M^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ , obținută din vectorul $A M$ , jumătatea sumei celor doi vectori care pleacă din $A$ , și din teorema cosinusului. Înălțimea se obține din arie, $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ , iar aria o dau formula lui Heron sau formula cu sinus; locul în care perpendiculara atinge latura nu mai contează. Un control de bun-simț încheie orice calcul: segmentul găsit nu poate depăși latura cea mai mare dintre cele două care îl încadrează.

De reținut

$m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$
$h_{a} = \frac{2 S}{a}$
bisectoarea: $A D^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C$

Greșeala tipică

Se pune în formula medianei latura pe care cade mediana cu coeficientul $2$ , iar una dintre celelalte cu minus; latura opusă vârfului intră o singură dată, cu semnul minus.

Exerciții din această mini-lecție

Bisectoarea din $A$ a triunghiului $A B C$ intersectează latura $[B C]$ în $D$ . Care relație este adevărată?
- a) $\frac{B D}{D C} = \frac{A C}{A B}$
- b) $B D = D C$
- c) $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$
- d) $\frac{B D}{D C} = \frac{B C}{A B}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

Bucata de lângă $B$ merge cu latura care pleacă tot din $B$ : $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ . Egalitatea $B D = D C$ are loc doar când $A B = A C$ .
În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 27$ , $A C = 60$ și $B C = 58$ . Bisectoarea din $A$ intersectează latura $[B C]$ în $D$ . Cât este $B D$ ?
- a) $40$
- b) $18$
- c) $29$
- d) $27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $18$

$B D = \frac{58 \cdot 27}{87} = 18$ și $D C = 40$ . Suma este $58$ , iar bucata mai scurtă stă lângă latura mai scurtă, $A B$ .
Care formulă dă lungimea medianei din $A$ a triunghiului cu laturile $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ ?
- a) $A M^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$
- b) $A M^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4}$
- c) $A M^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} + a ^{2}}{4}$
- d) $A M^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $A M^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$

Latura pe care cade mediana, $a$ , intră cu semnul minus, iar celelalte două cu coeficientul $2$ . A doua variantă este mediana din $C$ .

Întrebări conexe

Cum aflu lungimea bisectoarei cu teorema cosinusului?

Pentru $A B = 6$ , $A C = 9$ , $B C = 10$ , bisectoarea din $A$ taie $B C$ în $D$ cu $B D = \frac{10 \cdot 6}{15} = 4$ . Din triunghiul mare, $cos B = \frac{36 + 100 - 81}{120} = \frac{11}{24}$ . În triunghiul $A B D$ , $A D^{2} = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{11}{24} = 30$ , deci $A D = 30 \approx 5, 48$ . Punctul $D$ este mai aproape de $B$ , fiindcă $A B < A C$ .

Cât este înălțimea pe latura $14$ în triunghiul cu laturile $13$ , $14$ și $15$ ?

Aria, cu formula lui Heron, este $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ . Înălțimea este $h = \frac{2 S}{14} = \frac{168}{14} = 12$ . Metoda nu depinde de locul în care cade piciorul înălțimii. Pentru celelalte laturi, $h_{13} = \frac{168}{13} \approx 12, 92$ și $h_{15} = \frac{168}{15} = 11, 2$ : latura mai scurtă are înălțimea mai lungă.

Cum se obține formula medianei cu ajutorul vectorilor?

Mijlocul $M$ al lui $B C$ dă $A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ . Ridicând la pătrat, $A M^{2} = \frac{1}{4} (c^{2} + b^{2} + 2 b c cos A)$ , iar din teorema cosinusului $2 b c cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ . Înlocuind, rezultă $A M^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ . Semnul minus din formulă vine chiar din această înlocuire.

Ce lungime are mediana unui triunghi echilateral cu latura $6$ ?

Cu formula medianei, $m^{2} = \frac{72 + 72 - 36}{4} = 27$ , deci $m = 33 \approx 5, 2$ . Rezultatul coincide cu înălțimea triunghiului echilateral, $\frac{6 3}{2}$ , fiindcă aici mediana, înălțimea și bisectoarea coincid. Centrul de greutate se află pe ea la $23$ de vârf.

Cum verific lungimea unei ceviene obținute prin calcul?

O ceviană din $A$ nu poate fi mai lungă decât latura mai mare dintre $A B$ și $A C$ . Pentru bisectoarea $A D = 30 \approx 5, 48$ , din triunghiul cu $A B = 6$ și $A C = 9$ , rezultatul este sub $9$ . Scurtătura $A D^{2} = A B \cdot A C - B D \cdot D C = 54 - 24 = 30$ confirmă calculul.

La ce distanță de un vârf se află centrul de masă al unei plăci triunghiulare?

Centrul de masă al unei plăci omogene este centrul de greutate, aflat pe mediană la două treimi de vârf. Pentru placa cu laturile $6$ , $8$ și $10$ , mediana din vârful unghiului drept are $5$ , deci centrul de masă este la $\frac{10}{3} \approx 3, 33$ de acel vârf.

Oamenii mai întreabă și: formula lungimii medianei · lungimea medianei din laturi · mediana unui triunghi oarecare · m a la pătrat formula