Teorema bisectoarei și lungimi în triunghi (M2, științe ale naturii)

Un tehnician montează un router cu antenă direcțională în colțul unei săli de laborator cu podeaua triunghiulară și îl orientează astfel încât semnalul cel mai puternic să acopere simetric cei doi pereți care pleacă din colț. Axa antenei este atunci bisectoarea unghiului, iar două întrebări apar imediat: în ce punct al peretelui opus ajunge axa și cât de departe este acel punct de antenă. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această lecție răspunde la ambele și adaugă lungimea medianei și a înălțimii. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 teorema bisectoarei nu este numită în programă, dar calculul lungimilor în triunghi cu teorema cosinusului aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere explicit „calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi”; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o asemenea cerință.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: calculul lungimilor unor segmente importante din triunghi (bisectoare, mediană, înălțime) e cerut de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28); acolo rămâne doar activitatea generală de determinare a unor lungimi în configurații practice. Folosim teorema cosinusului, aria triunghiului cu formula lui Heron și produsul scalar a doi vectori, toate din traseul tău M2.

Ce vei învăța

• Vei enunța teorema bisectoarei și vei ști s-o justifici cu distanțe egale și arii, fără alte instrumente.
• Vei calcula exact unde cade piciorul bisectoarei pe latura opusă și vei verifica rezultatul în două feluri.
• Vei calcula lungimea bisectoarei cu teorema cosinusului, apoi cu o formulă scurtă care rezultă din același calcul.
• Vei calcula lungimea medianei cu o formulă obținută din vectori și din teorema cosinusului.
• Vei afla înălțimea unui triunghi din arie, fără să cauți unde cade piciorul ei.
• Vei alege metoda potrivită după segmentul cerut, ca într-o cerință de la Subiectul I.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune teorema bisectoarei?

Notăm laturile triunghiului $ABC$ ca în lecțiile despre teorema cosinusului: $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Bisectoarea din $A$ a triunghiului $ABC$ este segmentul $[AD]$, cu punctul $D$ pe latura $[BC]$, pentru care unghiurile $\widehat{BAD}$ și $\widehat{DAC}$ au aceeași măsură. Punctul $D$ se numește piciorul bisectoarei.

Teorema bisectoarei. Piciorul bisectoarei din $A$ taie latura $[BC]$ în două bucăți ale căror lungimi sunt în același raport ca laturile $AB$ și $AC$:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Segmentul $BD$, care se sprijină pe vârful $B$, merge cu latura $AB$, care pleacă tot din $B$. De aici rezultă o regulă de control pe care o folosești la fiecare calcul: segmentul mai lung stă lângă latura mai lungă. Bisectoarea trece prin mijlocul lui $[BC]$ numai când $AB=AC$, deci numai când cele două laturi care pleacă din $A$ sunt egale.

2. De ce este adevărată teorema?

Din gimnaziu știi că orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului; proprietatea apare în lecția despre bisectoarele triunghiului și cercul înscris. Punctul $D$ se află deci la aceeași distanță $d$ de dreptele $AB$ și $AC$.

Comparăm ariile triunghiurilor $ABD$ și $ADC$ în două feluri. Dacă luăm drept baze segmentele $AB$ și $AC$, înălțimile corespunzătoare sunt chiar distanța comună $d$, deci raportul ariilor este $\frac{AB}{AC}$. Dacă luăm drept baze segmentele $BD$ și $DC$, ambele triunghiuri au aceeași înălțime, cea dusă din $A$ pe dreapta $BC$, deci raportul ariilor este $\frac{BD}{DC}$. Același raport de arii, scris în două feluri, dă exact egalitatea din teoremă.

Raționamentul spune ceva util și în afara teoremei: bisectoarea împarte triunghiul în două bucăți ale căror arii sunt în raportul laturilor alăturate. Dacă o latură este de două ori mai lungă decât cealaltă, triunghiul de lângă ea are aria de două ori mai mare. Observația are și o citire fizică: dacă tai o placă triunghiulară omogenă de-a lungul bisectoarei unui colț, cele două bucăți au masele proporționale cu laturile care pleacă din acel colț, iar o tăietură în două bucăți de masă egală ar trebui să treacă prin mijlocul laturii opuse.

3. Unde cade piciorul bisectoarei?

Teorema dă un raport, iar în probleme ți se cere, de cele mai multe ori, chiar lungimea fiecărui segment. Știi că $BD+DC=a$ și că $\frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}$. Împarți latura $a$ în $b+c$ părți egale: $BD$ primește $c$ părți, iar $DC$ primește $b$ părți. Rezultă

$$BD=\frac{ac}{b+c},DC=\frac{ab}{b+c}.$$

Pentru triunghiul din figură, cu $AB=15$, $AC=27$ și $BC=28$, latura se împarte în $42$ de părți a câte $\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$, deci $BD=15\cdot \frac{2}{3}=10$ și $DC=27\cdot \frac{2}{3}=18$. Două verificări nu costă nimic: suma $10+18$ dă latura $28$, iar raportul $\frac{10}{18}$ se simplifică la $\frac{5}{9}$, la fel ca $\frac{15}{27}$.

4. Cum afli lungimea bisectoarei?

Cunoști cele trei laturi și acum știi și unde cade $D$. În triunghiul $ABD$ ai două laturi, $AB$ și $BD$, iar unghiul dintre ele este chiar unghiul $B$ al triunghiului mare. Drumul are, prin urmare, doi pași, amândoi cu teorema cosinusului pentru aflarea unghiurilor:

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos B.$$

Unghiul $B$ este comun triunghiului mare și triunghiului mic, de aceea cosinusul lui se calculează o singură dată, din laturile cunoscute, și se folosește în triunghiul mic.

Să vedem drumul pe un triunghi cu $BC=21$, $CA=22$ și $AB=11$. Piciorul bisectoarei: $BD=\frac{21\cdot 11}{33}=7$ și $DC=14$. Cosinusul unghiului $B$: $\cos B=\frac{441+121-484}{2\cdot 21\cdot 11}=\frac{78}{462}=\frac{13}{77}$. În triunghiul $ABD$:

$$A{D}^2=121+49-2\cdot 11\cdot 7\cdot \frac{13}{77}=170-26=144,$$

deci bisectoarea are lungimea $12$. Ai putea lucra la fel în triunghiul $ADC$, cu unghiul $C$; rezultatul este același, și e o verificare bună.

5. Există o formulă scurtă pentru bisectoare?

Dacă repeți calculul din secțiunea precedentă cu litere, înlocuind $BD=\frac{ac}{b+c}$ și $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ și aducând totul la numitorul $(b+c{)}^2$, numărătorul se strânge în $bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]$. Cum produsul segmentelor este $BD\cdot DC=\frac{a^{2}bc}{(b+c{)}^2}$, rezultatul se scrie compact:

$$A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC.$$

Citește-o așa: pătratul bisectoarei este produsul laturilor care o încadrează, minus produsul segmentelor de pe latura opusă. Pe triunghiul din secțiunea 4: $22\cdot 11-7\cdot 14=242-98=144$, același $12$ la pătrat. Formula scurtă este valabilă numai pentru bisectoare, pentru că în deducerea ei am folosit raportul din teoremă. Pentru un segment oarecare dus din vârf, cu alt raport pe latură, ea dă un rezultat greșit.

Ce folosești la examen? Oricare dintre drumuri este corect, dacă îl scrii complet. Drumul cu cosinusul are avantajul că nu cere nicio formulă nouă, doar teorema cosinusului aplicată de două ori; formula scurtă economisește un calcul și e bună ca verificare.

6. Cum afli lungimea medianei?

Mediana din $A$ este segmentul $[AM]$, cu $M$ mijlocul laturii $[BC]$. Din lecția despre vectorul de poziție și raportul dat știi că $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Ridicăm la pătrat scalar, ca în lecția despre produsul scalar:

$$4A{M}^2=A{B}^2+A{C}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=c^2+b^2+2bc\cos A.$$

Teorema cosinusului pentru latura $a$ dă $2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$. Înlocuind, unghiul dispare și rămâne o formulă numai cu laturi:

$$A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$

În formulă, latura pe care cade mediana intră cu semnul minus, iar celelalte două intră cu coeficientul $2$. Formula trece un test pe care îl cunoști: dacă unghiul din $A$ este drept, atunci $a^2=b^2+c^2$, iar rezultatul devine $A{M}^2=\frac{a^2}{4}$, adică mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză, exact ce ai arătat cu produsul scalar în lecția despre perpendicularitate. Pentru triunghiul cu $BC=14$, $CA=11$ și $AB=7$: $A{M}^2=\frac{2\cdot 121+2\cdot 49-196}{4}=\frac{144}{4}=36$, deci $AM=6$. Dacă în enunț se dă unghiul $A$ în locul laturii $a$, te oprești la prima formulă, cea cu cosinus, și nu mai treci prin a doua.

7. Cum afli înălțimea fără să cauți piciorul ei?

Aria triunghiului se scrie ca jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei: $\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}$. Dacă afli aria pe alt drum, înălțimea urmează imediat: $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$. Aria o obții din trei laturi cu formula lui Heron sau, dacă știi un unghi, cu formula ariei cu sinus.

Pentru triunghiul cu laturile $35$, $52$ și $73$: semiperimetrul este $80$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{80\cdot 45\cdot 28\cdot 7}=\sqrt{705600}=840$. Înălțimea dusă pe latura de $35$ este $\frac{2\cdot 840}{35}=48$. Unghiul opus laturii de $73$ este obtuz, deci piciorul acestei înălțimi cade pe prelungirea laturii de $35$, nu pe ea; calculul prin arie nici nu observă diferența. Metoda nu cere să știi unde cade piciorul înălțimii. Cele trei înălțimi ale aceluiași triunghi sunt invers proporționale cu laturile: cea mai scurtă înălțime cade pe latura cea mai lungă.

Înălțimea are și o interpretare practică directă: este cea mai scurtă distanță de la un punct la o dreaptă, de exemplu de la o stație de măsură la un drum sau la o conductă dreaptă. Pe teren nu mai trebuie să cauți punctul în care perpendiculara atinge dreapta; măsori trei distanțe, calculezi aria și împarți.

8. Cum alegi metoda după segmentul cerut?

Toate trei calculele pornesc de la laturi și se termină cu o lungime, dar au intrări diferite. Pentru bisectoare, primul pas este raportul din teoremă, fără de care nu știi unde cade $D$. Pentru mediană, punctul este dat din start, mijlocul laturii, iar formula medianei face totul într-un singur rând. Pentru înălțime, drumul trece prin arie.

Când o problemă cere mai multe segmente din același vârf, păstrează aceleași notații pentru toate și compară rezultatele la final. Într-un triunghi care nu este isoscel, piciorul înălțimii, piciorul bisectoarei și mijlocul laturii sunt trei puncte diferite ale dreptei $BC$, deci și cele trei lungimi ies diferite.

O verificare de plauzibilitate e bine să devină reflex. Orice segment dus dintr-un vârf până pe latura opusă este mai scurt decât cea mai lungă dintre cele două laturi care pleacă din acel vârf. Dacă o bisectoare îți iese mai lungă decât ambele laturi care o încadrează, ai greșit un semn sau ai inversat segmentele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unde cade bisectoarea

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=9$, $AC=18$ și $BC=21$. Bisectoarea din $A$ intersectează latura $[BC]$ în $D$. Calculați $BD$ și $DC$.

Rezolvare. Cu $a=21$, $b=18$ și $c=9$:

$$BD=\frac{21\cdot 9}{27}=7,DC=\frac{21\cdot 18}{27}=14.$$

Verificare: $7+14=21$, iar $\frac{7}{14}=\frac{1}{2}=\frac{9}{18}$. Latura $AC$ este dublul laturii $AB$, deci și bucata $DC$ este dublul bucății $BD$: bisectoarea „ascultă” de raportul laturilor, nu de mijloc.

Exemplul 2 — Lungimea bisectoarei prin cosinus

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=22$, $AC=33$ și $BC=25$. Calculați lungimea bisectoarei din $A$.

Rezolvare. Piciorul bisectoarei: $BD=\frac{25\cdot 22}{55}=10$ și $DC=15$. Unghiul comun $B$:

$$\cos B=\frac{25^2+22^2-33^2}{2\cdot 25\cdot 22}=\frac{20}{1100}=\frac{1}{55}.$$

În triunghiul $ABD$: $A{D}^2=484+100-2\cdot 22\cdot 10\cdot \frac{1}{55}=584-8=576$, deci $AD=24$. Verificare cu formula scurtă: $22\cdot 33-10\cdot 15=726-150=576$. Cosinusul foarte mic spune că unghiul $B$ e aproape drept, iar bisectoarea, de $24$, iese mai scurtă decât $AC$, cea mai lungă latură din $A$.

Exemplul 3 — Mediana dintr-o singură formulă

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=8$, $AC=14$ și $BC=18$. Calculați lungimea medianei din $A$.

Rezolvare. Mediana cade pe latura $BC$, deci $a=18$ intră cu semnul minus:

$$A{M}^2=\frac{2\cdot 14^2+2\cdot 8^2-18^2}{4}=\frac{392+128-324}{4}=\frac{196}{4}=49,$$

deci $AM=7$. Rezultatul este plauzibil: mai mic decât $14$, cea mai lungă dintre laturile care pleacă din $A$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$ cu $AB=15$, $AC=25$ și $BC=16$, un elev scrie: „Bisectoarea din $A$ împarte latura $BC$ în două, deci $BD=8$.” Unde greșește și care este valoarea corectă?

Rezolvare. Elevul a confundat bisectoarea cu mediana. Piciorul bisectoarei se află din raportul laturilor, $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$, nu din mijlocul segmentului. Corect: $BD=\frac{16\cdot 15}{40}=6$ și $DC=\frac{16\cdot 25}{40}=10$. Cele două puncte, piciorul bisectoarei și mijlocul laturii, coincid numai dacă $AB=AC$; aici laturile diferă mult, iar punctele sunt la $2$ unități unul de altul.

Exemplul 5 — Antena din colțul laboratorului

Podeaua unei săli de laborator are forma triunghiului $ABC$, cu $AB=24$ m, $AC=27$ m și $BC=17$ m. Un router cu antenă direcțională, montat în colțul $A$, are axa pe bisectoarea unghiului $A$, iar axa atinge peretele $[BC]$ în punctul $D$. La ce distanță de $B$ se află $D$ și ce lungime are segmentul $AD$?

Rezolvare. Piciorul bisectoarei: $BD=\frac{17\cdot 24}{51}=8$ m și $DC=9$ m. Unghiul $B$: $\cos B=\frac{17^2+24^2-27^2}{2\cdot 17\cdot 24}=\frac{136}{816}=\frac{1}{6}$. În triunghiul $ABD$:

$$A{D}^2=24^2+8^2-2\cdot 24\cdot 8\cdot \frac{1}{6}=576+64-64=576,$$

deci $AD=24$ m. Axa are exact lungimea peretelui $AB$, iar triunghiul $ABD$ este isoscel. Modelul privește podeaua ca pe un triunghi plan și antena ca pe un punct. În practică semnalul slăbește cu distanța și prin obstacole, așa că, la $24$ m, tehnicianul verifică intensitatea chiar în punctul $D$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=20$, $AC=45$ și $BC=52$, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$, cu $D\in (BC)$. a) Arătați că $BD=16$. b) Arătați că $\cos B=\frac{83}{160}$. c) Calculați lungimea segmentului $AD$.

Rezolvare. a) Din teorema bisectoarei, $\frac{BD}{DC}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$, iar $BD+DC=52$, deci $BD=\frac{4}{13}\cdot 52=16$.

b) Din teorema cosinusului în triunghiul $ABC$: $\cos B=\frac{52^2+20^2-45^2}{2\cdot 52\cdot 20}=\frac{2704+400-2025}{2080}=\frac{1079}{2080}=\frac{83}{160}$.

c) În triunghiul $ABD$: $A{D}^2=20^2+16^2-2\cdot 20\cdot 16\cdot \frac{83}{160}=400+256-332=324$, deci $AD=18$. Verificare: $20\cdot 45-16\cdot 36=900-576=324$.

Să exersăm

Desenează triunghiul și notează pe el laturile $a$, $b$, $c$ înainte de a înlocui în formule. La bisectoare, calculează întâi segmentele de pe latura opusă. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, iar la problemele cu context scrie unitatea de măsură.

1. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=14$, $AC=26$ și $BC=20$. Bisectoarea din $A$ intersectează latura $[BC]$ în $D$. Calculează $BD$ și $DC$.

2. Bisectoarea din $A$ a triunghiului $ABC$ determină pe latura $[BC]$ segmentele $BD=7$ și $DC=12$. Se știe că $AB=14$. Calculează $AC$.

3. În triunghiul $ABC$, $AB=6$ și $AC=16$, iar bisectoarea din $A$ intersectează latura $[BC]$ în $D$, cu $BD=3$. Calculează $DC$ și perimetrul triunghiului.

4. Calculează lungimea medianei din $A$ în triunghiul cu $BC=20$, $CA=13$ și $AB=9$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Bisectoarea din $A$ a unui triunghi $ABC$ este mai scurtă decât fiecare dintre laturile $AB$ și $AC$.” Verifică pe triunghiul cu $AB=12$, $AC=6$ și $BC=7$.

6. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=13$, $AC=52$ și $BC=60$. Calculează $\cos B$ și lungimea bisectoarei din $A$, folosind teorema cosinusului în triunghiul $ABD$.

7. Triunghiul $ABC$ are laturile $BC=32$, $CA=53$ și $AB=75$. Calculează aria lui, apoi cea mai lungă și cea mai scurtă dintre cele trei înălțimi.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=13$, $AC=39$ și $BC=44$, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$, cu $D\in (BC)$. a) Arătați că $BD=11$. b) Arătați că $AD=12$.

9. Triunghiul $ABC$ are $AB=AC=25$ și $BC=14$. Calculează segmentele determinate de bisectoarea din $A$ pe latura $[BC]$ și lungimea bisectoarei.

10. (Problemă aplicată.) Un puț de observație a apei freatice se află în punctul $A$, la $61$ m de punctul $B$ și la $87$ m de punctul $C$ ale unui canal de drenaj drept, cu $BC=74$ m. Care este lungimea celei mai scurte conducte care leagă puțul de canal?

11. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=16$ și $m(\widehat{BAC})=60^{\circ }$. Calculează lungimea medianei din $A$, fără să afli latura $BC$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=11$, $AC=17$ și $BC=12$. Arătați că mediana din $A$ are lungimea $13$.

13. În triunghiul cu $BC=14$, $CA=12$ și $AB=6$, calculează segmentele determinate de bisectoarea din $A$ pe latura $[BC]$ și lungimea bisectoarei, folosind formula scurtă.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=60$, $AC=85$ și $BC=29$. Arătați că distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ este egală cu $36$.

15. În triunghiul $ABC$, $AB=9$, $AC=17$, iar mediana din $A$ are lungimea $11$. Calculează $BC$.

16. În triunghiul $ABC$, $AB=8$, $AC=12$, iar aria triunghiului este $36$. Bisectoarea din $A$ intersectează latura $[BC]$ în $D$. Calculează ariile triunghiurilor $ABD$ și $ADC$, apoi distanța de la $D$ la dreapta $AB$.

17. În reperul cartezian se dau punctele $A(4,5)$, $B(1,1)$ și $C(10,-3)$. Calculează lungimile $AB$ și $AC$, determină coordonatele piciorului $D$ al bisectoarei din $A$ și lungimea $AD$.

18. (Provocare.) Bisectoarea din $A$ a triunghiului $ABC$ determină pe latura $[BC]$ segmentele $BD=4$ și $DC=6$, iar lungimea ei este $AD=6$. Calculează $AB$ și $AC$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu $a=20$, $b=26$ și $c=14$: $BD=\frac{20\cdot 14}{40}=7$ și $DC=\frac{20\cdot 26}{40}=13$. Suma este $20$, iar segmentul mai lung stă lângă latura mai lungă.

2. $\frac{7}{12}=\frac{14}{AC}$, deci $AC=\frac{14\cdot 12}{7}=24$. Triunghiul cu laturile $14$, $24$ și $19$ există, pentru că $14+19>24$.

3. $\frac{3}{DC}=\frac{6}{16}$, deci $DC=8$. Atunci $BC=11$, iar perimetrul este $6+16+11=33$.

4. $A{M}^2=\frac{2\cdot 169+2\cdot 81-400}{4}=\frac{100}{4}=25$, deci $AM=5$.

5. Fals. $BD=\frac{7\cdot 12}{18}=\frac{14}{3}$ și $DC=\frac{7}{3}$, iar formula scurtă dă $A{D}^2=12\cdot 6-\frac{14}{3}\cdot \frac{7}{3}=72-\frac{98}{9}=\frac{550}{9}$, deci $AD\approx 7,82$, mai mult decât $AC=6$. Bisectoarea este mai scurtă doar decât cea mai lungă dintre cele două laturi, $AB=12$.

6. $\cos B=\frac{60^2+13^2-52^2}{2\cdot 60\cdot 13}=\frac{3600+169-2704}{1560}=\frac{1065}{1560}=\frac{71}{104}$. Piciorul: $BD=\frac{60\cdot 13}{65}=12$ și $DC=48$. În triunghiul $ABD$: $A{D}^2=169+144-2\cdot 13\cdot 12\cdot \frac{71}{104}=313-213=100$, deci $AD=10$, mai puțin decât latura $AB=13$.

7. Semiperimetrul este $80$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{80\cdot 48\cdot 27\cdot 5}=\sqrt{518400}=720$. Înălțimile sunt $\frac{2\mathcal{S}}{a}$, deci invers proporționale cu laturile: cea mai lungă cade pe latura cea mai scurtă, $\frac{2\cdot 720}{32}=45$, iar cea mai scurtă pe latura cea mai lungă, $\frac{2\cdot 720}{75}=19,2$. A treia, pe latura de $53$, este $\frac{1440}{53}\approx 27,17$, între ele.

8. a) $\frac{BD}{DC}=\frac{13}{39}=\frac{1}{3}$ și $BD+DC=44$, deci $BD=11$ și $DC=33$. b) $\cos B=\frac{44^2+13^2-39^2}{2\cdot 44\cdot 13}=\frac{1936+169-1521}{1144}=\frac{584}{1144}=\frac{73}{143}$, iar $A{D}^2=169+121-2\cdot 13\cdot 11\cdot \frac{73}{143}=290-146=144$, deci $AD=12$. Verificare: $13\cdot 39-11\cdot 33=507-363=144$.

9. Raportul din teoremă este $\frac{25}{25}=1$, deci $BD=DC=7$. Formula scurtă dă $A{D}^2=25\cdot 25-7\cdot 7=625-49=576$, deci $AD=24$.

10. Cea mai scurtă conductă este perpendiculara din $A$ pe dreapta $BC$, adică înălțimea. Semiperimetrul este $111$, iar aria este $\sqrt{111\cdot 50\cdot 37\cdot 24}=\sqrt{4928400}=2220$ m². Înălțimea este $\frac{2\cdot 2220}{74}=60$ m. Ambele unghiuri de la bază sunt ascuțite, pentru că $87^2<61^2+74^2$, deci piciorul cade chiar pe canal, între $B$ și $C$.

11. $4A{M}^2=5^2+16^2+2\cdot 5\cdot 16\cdot \cos 60^{\circ }=25+256+80=361$, deci $A{M}^2=\frac{361}{4}$ și $AM=\frac{19}{2}$. Nu a fost nevoie de latura $BC$.

12. $A{M}^2=\frac{2\cdot 289+2\cdot 121-144}{4}=\frac{578+242-144}{4}=\frac{676}{4}=169$, deci $AM=13$.

13. $BD=\frac{14\cdot 6}{18}=\frac{14}{3}$ și $DC=\frac{14\cdot 12}{18}=\frac{28}{3}$. Formula scurtă: $A{D}^2=12\cdot 6-\frac{14}{3}\cdot \frac{28}{3}=72-\frac{392}{9}=\frac{256}{9}$, deci $AD=\frac{16}{3}$.

14. Semiperimetrul este $87$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{87\cdot 58\cdot 27\cdot 2}=\sqrt{272484}=522$. Distanța de la $A$ la dreapta $BC$ este înălțimea: $\frac{2\cdot 522}{29}=36$.

15. Din formula medianei, $a^2=2b^2+2c^2-4A{M}^2=2\cdot 289+2\cdot 81-4\cdot 121=578+162-484=256$, deci $BC=16$.

16. Datele sunt posibile, fiindcă $36\le \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12=48$. Ariile triunghiurilor $ABD$ și $ADC$ sunt în raportul $\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$, iar suma lor este $36$, deci ele sunt $\frac{2}{5}\cdot 36=14,4$ și $21,6$. Distanța de la $D$ la $AB$ este înălțimea triunghiului $ABD$: $\frac{2\cdot 14,4}{8}=3,6$. Control: față de $AC$ se obține $\frac{2\cdot 21,6}{12}=3,6$, aceeași distanță, cum cere bisectoarea.

17. $AB=\sqrt{9+16}=5$ și $AC=\sqrt{36+64}=10$. Raportul $\frac{BD}{DC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ spune că $D$ este la o treime din drumul de la $B$ la $C$: $D\left(1+\frac{9}{3},1-\frac{4}{3}\right)=D\left(4,-\frac{1}{3}\right)$. Punctele $A$ și $D$ au aceeași abscisă, deci $AD=5+\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$.

18. Din teoremă, $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, deci $AB=2k$ și $AC=3k$. Formula scurtă dă $36=6k^2-24$, adică $k^2=10$. Rezultă $AB=2\sqrt{10}$ și $AC=3\sqrt{10}$. Triunghiul există: $2\sqrt{10}+3\sqrt{10}=5\sqrt{10}\approx 15,81>10$.

De reținut

• Bisectoarea din $A$ împarte latura opusă în raportul laturilor alăturate, $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, iar segmentele sunt $BD=\frac{ac}{b+c}$ și $DC=\frac{ab}{b+c}$.
• Lungimea bisectoarei se află din cosinusul unghiului $B$, calculat în triunghiul mare, aplicat apoi în triunghiul $ABD$; scurtătura este $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$, valabilă numai pentru bisectoare.
• Mediana se calculează cu $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$, formulă care vine din $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ și din teorema cosinusului.
• Înălțimea se află din arie, $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$, fără să cauți piciorul ei.
• Controlul de plauzibilitate: un segment dus dintr-un vârf pe latura opusă este mai scurt decât cea mai lungă dintre laturile care pleacă din acel vârf.

Greșeli frecvente

• Raportul întors. Se scrie „$\frac{BD}{DC}=\frac{AC}{AB}$” și segmentul mai lung ajunge lângă latura mai scurtă. Controlul „segment lung lângă latură lungă” prinde greșeala înainte de orice alt calcul.
• Unghiul greșit în triunghiul mic. În triunghiul $ABD$ se folosește cosinusul unghiului $A$ în locul unghiului $B$. Unghiul dintre laturile $AB$ și $BD$ este unghiul din $B$, comun cu triunghiul mare; unghiul $A$ al triunghiului $ABD$ este doar jumătate din unghiul $A$ al triunghiului $ABC$.
• Formula scurtă aplicată unui segment oarecare. Pentru un punct de pe latură care nu este piciorul bisectoarei, $AB\cdot AC-BD\cdot DC$ nu dă pătratul segmentului. Formula a folosit raportul din teoremă.
• Mediana luată drept media laturilor. Pentru $AB=8$ și $AC=14$ se scrie $AM=\frac{8+14}{2}=11$, fără să se folosească latura $BC$. Mediana depinde de toate trei laturile: în triunghiul din Exemplul 3 ea are $7$, nu $11$. Mijlocul laturii opuse nu are nicio legătură cu media aritmetică a celorlalte două laturi.
• Înălțimea căutată cu Pitagora într-un triunghi obtuzunghic. Elevul presupune că piciorul înălțimii cade pe latură și împarte latura în două bucăți care nu există. Drumul prin arie evită complet problema.

Aplică acasă

1. Placa tăiată pe bisectoare. Decupează dintr-un carton gros un triunghi cu laturile de $6$ cm, $9$ cm și $10$ cm și taie-l de-a lungul bisectoarei unghiului dintre laturile de $6$ cm și $9$ cm, construite cu raportorul. Cântărește cele două bucăți pe un cântar de bucătărie precis și compară raportul maselor cu raportul $6:9$. Explică de ce masele urmează ariile.

2. Raportul urmărit în GeoGebra. Construiește un triunghi, bisectoarea din $A$ și piciorul ei $D$. Afișează pe ecran rapoartele $\frac{BD}{DC}$ și $\frac{AB}{AC}$, apoi trage de vârful $A$ în mai multe poziții și notează cele două rapoarte într-un tabel. Ce observi și în ce poziție a lui $A$ punctul $D$ ajunge chiar la mijlocul lui $[BC]$?

3. Înălțimea unui acoperiș din laturi. Măsoară pe un desen tehnic sau pe o machetă un triunghi de acoperiș, doar laturile. Calculează înălțimea lui din arie, cu formula lui Heron, apoi măsoară înălțimea direct și compară. Explică de ce metoda prin arie funcționează și când acoperișul nu este simetric.

Pentru părinți și profesori

Lecția adună trei calcule de lungimi pe care programa de examen le grupează sub formularea „segmente importante din triunghi”: bisectoarea, mediana și înălțimea. Am ales pentru fiecare un drum care folosește numai unelte deja existente în traseul M2 al clasei a IX-a. Bisectoarea se calculează cu teorema cosinusului aplicată de două ori, iar formula scurtă este prezentată ca rezumat al acestui calcul, nu ca teoremă nouă. Mediana vine din produsul scalar, iar înălțimea din arie. Elevul de științe nu trebuie să memoreze formule izolate; trebuie să recunoască ce segment i se cere și ce informație îi lipsește pentru el.

De urmărit în caiet: triunghiul este desenat și are laturile notate înainte de calcul; la bisectoare, segmentele de pe latură sunt calculate primele și verificate prin sumă; fiecare rezultat trece controlul de plauzibilitate. Întrebări de control: „De ce bisectoarea nu trece, în general, prin mijlocul laturii?”; „Ce unghi folosești în triunghiul $ABD$ și de ce?”; „Cum afli înălțimea când nu știi unde cade piciorul ei?”; „Când coincid bisectoarea, mediana și înălțimea din același vârf?”. Semn că elevul a înțeles: alege singur metoda după segmentul cerut și își verifică rezultatul cu un al doilea drum.

O sugestie de lucru în clasă: dați același triunghi, cu laturi întregi, la trei grupe, și cereți fiecărei grupe alt segment din același vârf. Comparând rezultatele pe tablă, elevii văd concret că bisectoarea, mediana și înălțimea sunt segmente diferite, iar verificările încrucișate (suma segmentelor de pe latură, formula scurtă, aria calculată pe două căi) devin obișnuință, nu obligație.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru examen: programa de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) cuprinde, la capitolul „Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană” al clasei a IX-a, „calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi”. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu numește teorema bisectoarei și nici lungimile bisectoarei sau medianei; ea păstrează, la competența IX.CS.4.7, doar activitatea generală „determinarea unor lungimi de segmente în configurații geometrice extrase din contexte practice”, pe care o acoperă lecțiile de bază despre teorema cosinusului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 calculul de lungimi cu teorema cosinusului aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, fără teorema bisectoarei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de geometrie a triunghiului, despre un triunghi dreptunghic și raza cercului circumscris, așa că exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial. Programa de examen din 2014 prevede patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru noi (OMEC 4350/2025) prevăd trei ore.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema bisectoarei și lungimi în triunghi are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția anterioară este cea despre razele cercurilor înscris și circumscris, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de supliment despre produsul scalar și formulele trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce diferă la lungimile în triunghi între varianta M2 și cea M1?

La științe ale naturii, lecția acoperă exact cele trei segmente cerute de programa de examen, bisectoarea, mediana și înălțimea, cu drumuri prin teorema cosinusului, produsul scalar și arie. Lecția de matematică-informatică merge mai departe, spre o relație generală pentru orice segment dus dintr-un vârf și spre forme trigonometrice cu jumătăți de unghi, care nu se cer la M2.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea aceste calcule?

Programa pentru 2027–2029 cuprinde calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană, iar cerințele scurte de geometrie stau la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 are acolo o cerință despre un triunghi dreptunghic, fără bisectoare. Exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect.

Trebuie să rețin formula scurtă pentru bisectoare?

Nu este obligatoriu. Drumul sigur este teorema cosinusului aplicată de două ori: întâi afli cosinusul unghiului $B$ din laturi, apoi îl folosești în triunghiul $ABD$. Formula $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$ rezumă același calcul și e utilă ca verificare rapidă, dar se aplică doar bisectoarei.

De ce formula medianei are un semn minus?

Semnul minus vine din teorema cosinusului: produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ se înlocuiește cu $\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$, iar latura $a$, cea pe care cade mediana, rămâne cu minus. Intuitiv, cu cât latura opusă e mai lungă, cu atât unghiul din $A$ e mai deschis și mediana mai scurtă.

Ce fac dacă știu unghiul din A, nu latura BC, și mi se cere bisectoarea?

Afli întâi latura $BC$ cu teorema cosinusului, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, apoi segmentele $BD$ și $DC$ din teorema bisectoarei și, la final, $AD$ cu formula scurtă sau prin $\cos B$. Drumul are trei pași, dar folosește numai formule din traseul M2. O formulă a bisectoarei cu jumătatea unghiului $A$ nu este cerută la științe ale naturii.

Ce fac dacă piciorul înălțimii cade în afara laturii?

Nimic special, dacă lucrezi prin arie. Formula $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$ dă distanța de la vârf la dreapta pe care stă latura, indiferent unde cade piciorul. Situația apare când unul dintre unghiurile alăturate laturii este obtuz; o recunoști din teorema cosinusului, care dă atunci un cosinus negativ.