Două rânduri de vie pornesc din același stâlp $$S$$: unul are 42 m, celălalt 56 m, iar între ele unghiul este de $$70^\circ$$. Care expresie dă distanța dintre capetele celor două rânduri?

$$\sqrt{42^2 + 56^2 - 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot \cos 70^\circ}$$

$$\sqrt{42^2 + 56^2 + 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot \cos 70^\circ}$$

$$42^2 + 56^2 - 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot \cos 70^\circ$$

$$\sqrt{42^2 + 56^2 - 42 \cdot 56 \cdot \cos 70^\circ}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Cosinus: latură și unghi

Cum controlez un colț trasat cu cosinusul?

Calculezi unghiul din cele trei distanțe măsurate și îl compari cu cel citit pe aparat. Pentru un colț aflat la 30 m și la 25 m de două borne situate la 40 m una de alta, $cos A = \frac{4 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 40 \cdot 30} = \frac{1875}{2400} \approx 0, 7813$ , deci unghiul de la prima bornă are $38, 6^{\circ}$ . Dacă teodolitul arată $38, 3^{\circ}$ și toleranța este $0, 1^{\circ}$ , colțul se trasează din nou.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Teorema cosinusului leagă cele trei laturi ale unui triunghi de unul dintre unghiuri. Pentru unghiul $C$ , aflat între laturile $a$ și $b$ , latura $c$ din fața lui respectă $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ . O folosești în două situații: cunoști două laturi și unghiul dintre ele și cauți a treia latură, sau cunoști toate trei laturile și cauți un unghi, din $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .

Începi cu desenul: numești laturile după vârful din față și treci toate lungimile în aceeași unitate. Scrii singură în stânga formulei latura opusă unghiului pe care îl ai sau îl cauți. Un unghi dat în grade și minute se transformă înainte de calcul, împărțind minutele la 60. Sumele se calculează întregi, iar rotunjirea vine abia la rezultatul final, cu cosinusul păstrat cu patru zecimale.

Capcana cea mai frecventă este semnul. La un unghi obtuz cosinusul este negativ, deci minusul din formulă devine plus, iar latura găsită iese mai lungă decât $a^{2} + b^{2}$ . La $9 0^{\circ}$ termenul cu cosinus dispare și rămâne teorema lui Pitagora. Cu aparatul trecut pe radiani, valorile ies absurde, așa că îl verifici pe grade.

Controlul se face în trei feluri: latura găsită stă între $∣ a - b ∣$ și $a + b$ , cel mai mare unghi se opune celei mai lungi laturi, iar cele trei unghiuri adunate dau $18 0^{\circ}$ . În meserii o întâlnești la trasarea colțurilor, la distanțe peste obstacole și la piese cu găuri cotate.

De reținut

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ , cu $c$ în fața lui $C$
la unghi obtuz cosinusul este negativ
toate lungimile în aceeași unitate, unghiul pe grade

Greșeala tipică

Se trece în partea stângă o latură oarecare, nu cea opusă unghiului căutat, și rezultatul iese pentru alt unghi. Latura opusă stă singură în stânga, iar celelalte două cuprind unghiul între ele.

Exerciții din această mini-lecție

Două rânduri de vie pornesc din același stâlp $S$ : unul are 42 m, celălalt 56 m, iar între ele unghiul este de $7 0^{\circ}$ . Care expresie dă distanța dintre capetele celor două rânduri?
- a) $4 2^{2} + 5 6^{2} + 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot cos 7 0^{\circ}$
- b) $4 2^{2} + 5 6^{2} - 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot cos 7 0^{\circ}$
- c) $4 2^{2} + 5 6^{2} - 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot cos 7 0^{\circ}$
- d) $4 2^{2} + 5 6^{2} - 42 \cdot 56 \cdot cos 7 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4 2^{2} + 5 6^{2} - 2 \cdot 42 \cdot 56 \cdot cos 7 0^{\circ}$

Latura din fața unghiului de $7 0^{\circ}$ se află din $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ , iar la final se extrage rădăcina, deci distanța este de aproximativ 57,4 m, varianta c. Varianta a pune plus în loc de minus, ca la un unghi obtuz, și dă 80,7 m. Varianta b se oprește la pătratul distanței, 3291, care nu este o lungime. Varianta d uită factorul 2 și dă 64,0 m.
La o stație de epurare, două conducte de 8 m și de 15 m pornesc dintr-un cămin sub un unghi de $6 0^{\circ}$ . Ce lungime are conducta dreaptă care leagă capetele lor?
- a) 13 m
- b) 17 m
- c) 20,2 m
- d) 169 m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 13 m

Pentru $6 0^{\circ}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , deci $2 ab cos C = ab$ și $c^{2} = 64 + 225 - 120 = 169$ , adică $c = 13$ m. Varianta 17 m este teorema lui Pitagora, bună numai la unghi drept. Varianta 20,2 m adună termenul de 120 în loc să-l scadă, iar 169 m este pătratul lungimii, fără rădăcină.
Două garduri ale unui țarc de oi pornesc din același colț, unul de 13 m și altul de 35 m, sub un unghi de $12 0^{\circ}$ . Ce lungime are al treilea gard, care închide triunghiul?
- a) 30,6 m
- b) 37,3 m
- c) 48 m
- d) 43 m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 43 m

Cosinusul lui $12 0^{\circ}$ este $- \frac{1}{2}$ , deci minusul din formulă devine plus: $c^{2} = 169 + 1225 + 455 = 1849$ și $c = 43$ m. Varianta 30,6 m păstrează minusul, ca la un unghi ascuțit. Varianta 37,3 m este Pitagora, valabilă la $9 0^{\circ}$ , iar 48 m adună cele două garduri, adică ar corespunde unui colț întins la $18 0^{\circ}$ .

Întrebări conexe

Cum recunosc un colț drept din trei distanțe, fără echer?

Verifici dacă pătratul distanței celei mai mari este suma pătratelor celorlalte două. Pentru 24 m, 32 m și 40 m, $2 4^{2} + 3 2^{2} = 576 + 1024 = 1600 = 4 0^{2}$ , deci numărătorul cosinusului este 0 și unghiul este $9 0^{\circ}$ . Dacă egalitatea nu iese, colțul nu este drept.

Cum aflu și unghiul din colț, nu doar cel de la bornă?

Aplici aceeași formulă a doua oară, cu laturile schimbate. Pentru bornele la 40 m și distanțele de 30 m și 25 m, unghiurile de la borne sunt $38, 6^{\circ}$ și $48, 5^{\circ}$ , iar în colț rămân $18 0^{\circ} - 38, 6^{\circ} - 48, 5^{\circ} = 92, 9^{\circ}$ . Direct, $cos C = \frac{3 0 ^{2} + 2 5 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 30 \cdot 25} = - 0, 05$ , tot $92, 9^{\circ}$ .

Cum aflu care ruletă a greșit, dacă știu unghiul citit?

Cu unghiul citit recalculezi una dintre distanțe și o compari cu ruleta. Dacă bornele sunt la 52 m una de alta, colțul e la 36 m de prima și aparatul arată la ea $41, 7^{\circ}$ , distanța de la a doua bornă iese $5 2^{2} + 3 6^{2} - 2 \cdot 52 \cdot 36 \cdot cos 41, 7^{\circ} \approx 34, 71$ m, nu 35 m: ruleta arată 29 cm în plus.

Se schimbă unghiul dacă triplez toate distanțele?

Nu. În $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ numărătorul și numitorul se înmulțesc cu același număr, deci cosinusul rămâne neschimbat. Colțul cu distanțele 36 m, 27 m și 22 m are $37, 6^{\circ}$ , iar cel cu 108 m, 81 m și 66 m are tot $37, 6^{\circ}$ , la triplul scării.

Ce unghi iese când colțul stă pe prelungirea bazei?

Iese $18 0^{\circ}$ . Dacă bornele sunt la 45 m, iar colțul se află la 30 m de prima și la 75 m de a doua, $cos A = \frac{4 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 7 5 ^{2}}{2 \cdot 45 \cdot 30} = \frac{- 2700}{2700} = - 1$ . Distanțele se adună în linie dreaptă și triunghiul dispare, deci planul de trasare nu mai fixează un colț.

Oamenii mai întreabă și: controlul unui colț trasat cu distanțe · verificarea unui colț cu rulete și teodolit · unghi din trei distanțe măsurate pe teren · abaterea dintre unghiul calculat și cel citit