Teorema cosinusului la tehnologic: pe teren

Colțurile unei hale se fixează pe teren cu două rulete întinse de la două borne, iar inginerul de șantier le controlează apoi cu teodolitul. Unghiul pe care trebuie să-l găsească pe aparat iese din trei lungimi, cu teorema cosinusului. Aceeași formulă dă o distanță atunci când știi două laturi și unghiul dintre ele. Pe asemenea măsurători lucrează clasa a X-a, la filiera tehnologică; teorema face parte din programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Pe șantierul unei hale de depozitare, înainte de cofraje și de turnarea betonului, colțurile fundației se marchează pe teren cu țăruși. Topograful a lăsat două borne, R1 și R2, la 26,40 m una de alta, iar planul de trasare dă, pentru fiecare colț, distanța până la R1 și distanța până la R2. Doi muncitori întind câte o ruletă de la fiecare bornă, iar colțul e punctul în care se întâlnesc. Apoi inginerul pune teodolitul pe R1, vizează borna R2 și citește unghiul până la fiecare țăruș. Fișa de control a firmei cere ca unghiul citit să nu se abată cu mai mult de 0,1° de cel calculat din distanțe (valoare din exemplu); altfel, colțul se trasează din nou.

Întrebare: ce unghi trebuia să citească inginerul la fiecare colț și care colț trebuie trasat din nou?

De la situație la model

Cele două borne și un colț sunt vârfurile unui triunghi. Tabelul traduce cuvintele de pe șantier în cuvinte din geometrie.

Teorema cosinusului spune că pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, minus dublul produsului lor, înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

Unghiul $C$ este cuprins între laturile $a$ și $b$, iar latura $c$ stă în fața lui. Formula se scrie la fel pentru oricare dintre cele trei laturi, cu unghiul din fața ei. Teorema se folosește fără demonstrație; mai jos o încerci pe cazuri cunoscute.

Ce se întâmplă cu ruleta de la R2 când colțul se rotește în jurul lui R1?

Ține ruleta de la R1 la aceeași lungime și rotește-o, ca pe acul unui ceas, pornind din direcția spre R2. La 0°, colțul ar sta pe bază, iar până la R2 ar rămâne diferența celor două lungimi. La 90°, cosinusul este 0 și rămâne $c^2=a^2+b^2$, adică teorema lui Pitagora. La 180°, colțul ar ajunge în spatele lui R1, în prelungirea bazei, iar distanța ar fi suma lungimilor. Între aceste poziții, ruleta de la R2 se lungește odată cu unghiul.

La un unghi obtuz cosinusul este negativ, iar minusul din formulă se transformă în plus: latura din fața unghiului obtuz iese cea mai lungă. Așa e la colțul C3, aflat în spatele bornei R1. Cosinusul unui unghi obtuz se citește cu formulele de la reducerea la primul cadran: $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$.

De ce nu se întâlnesc întotdeauna cele două rulete?

Distanța de la R2 rămâne între $|a-b|$ și $a+b$. Dacă planul dă o distanță în afara acestui interval, de exemplu două distanțe care adunate nu ajung la lungimea bazei, ruletele nu se întâlnesc: colțul nu există, iar planul are o greșeală.

Cum afli unghiul când ai cele trei laturi?

Din formulă scoți cosinusul:

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Apoi cauți unghiul cu acest cosinus, în tabel sau cu un instrument digital, cum îngăduie programa. Pe calculator apeși tasta ${\cos }^{-1}$, cu aparatul trecut pe grade (DEG), nu pe radiani. În tabel cauți cele două unghiuri vecine ale căror cosinusuri încadrează valoarea ta și apreciezi unghiul după cât de aproape e valoarea de fiecare; un exemplu cu C1 e la întrebările frecvente.

Metoda pas cu pas

1. Desenează triunghiul și numește laturile după vârful din față: $a$ în fața lui $A$, $b$ în fața lui $B$, $c$ în fața lui $C$. Treci toate lungimile în aceeași unitate, de exemplu în metri, și scrie lângă desen ce ai măsurat și ce cauți.
2. Alege formula după ce ai: dacă știi două laturi și unghiul dintre ele, cauți a treia latură; dacă știi toate trei laturile, cauți un unghi. Latura din fața unghiului folosit stă singură în partea stângă a formulei, iar celelalte două îl cuprind între ele.
3. Înlocuiește datele. Dacă unghiul vine în grade și minute, ca 116°45', împarte minutele la 60 și lucrează cu 116,75°. Cosinusul îl iei din tabel sau de pe calculator, trecut pe grade (DEG), cu semnul lui: la un unghi obtuz iese negativ, iar semnul din formulă îl lași așa cum e.
4. Calculează mai întâi suma de sub radical sau fracția cosinusului, apoi scoate radicalul sau apasă tasta ${\cos }^{-1}$. Rotunjește numai rezultatul final: lungimile cu atâtea zecimale câte arată ruleta, iar unghiurile cu una sau două zecimale, după abaterea cu care le compari.
5. Verifică pe alt drum: află și celelalte unghiuri, fiecare din cele trei laturi, și adună-le, sau calculează distanța din coordonate, într-un reper. Apoi controlează că cel mai mare unghi stă în fața celei mai lungi laturi și că latura găsită e între diferența și suma celorlalte două.

Dacă ai o latură și două unghiuri, nu cosinusul te ajută, ci teorema sinusurilor. Când nu ești sigur ce teoremă alegi, vezi cosinus sau sinus.

Fișa de buzunar

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Condiții de aplicare: latura din stânga stă în fața unghiului din dreapta, iar celelalte două laturi îl cuprind între ele; unitatea de măsură e aceeași la toate. La $C=90^{\circ }$ termenul cu cosinus dispare. Latura $c$ stă între $|a-b|$ și $a+b$. Verificare rapidă: cele trei unghiuri, aflate fiecare din laturi, adunate dau 180°.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele trei colțuri ale halei

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia cele trei colțuri din situația de pornire: baza R1R2 are 26,40 m, iar distanțele de la R1 și de la R2 sunt 18,70 m și 21,35 m la C1, 31,25 m și 14,80 m la C2, 12,40 m și 34,15 m la C3. a) Calculează unghiul de la R1 pentru fiecare colț, cu două zecimale. b) Pe teodolit s-au citit 53,2°, 28,7° și 118,8°. Care colț se trasează din nou, la o abatere admisă de 0,1°? c) La colțul respins, distanța de la R1 a fost măsurată încă o dată și e bună. Ce distanță de la R2 ar corespunde unghiului citit?

Rezolvare. Unghiul de la R1 e cuprins între bază și ruleta de la R1, iar ruleta de la R2 stă în fața lui. Pentru C1:

$$\cos R_1=\frac{26,40^2+18,70^2-21,35^2}{2\cdot 26,40\cdot 18,70}=\frac{696,96+349,69-455,8225}{987,36}=\frac{590,8275}{987,36}\approx 0,5984$$

Cu tasta ${\cos }^{-1}$ iese $53,25^{\circ }$. La C2, $\cos R_1=\frac{1454,4825}{1650}\approx 0,8815$, deci $28,18^{\circ }$, iar la C3, $\cos R_1=\frac{-315,5025}{654,72}\approx -0,4819$, deci $118,81^{\circ }$, un unghi obtuz.

b) Față de citiri, diferențele sunt 0,05° la C1, 0,52° la C2 și 0,01° la C3. Doar C2 trece de 0,1°, deci el se trasează din nou.

c) Cu unghiul citit, 28,7°, $c^2=26,40^2+31,25^2-2\cdot 26,40\cdot 31,25\cdot \cos 28,7^{\circ }\approx 1673,5225-1650\cdot 0,8771\approx 226,2$, deci $c\approx 15,04$ m. Ruleta de la R2 arăta 14,80 m: lipsesc 24 cm, deci ea e greșită.

Capcană. Cine scrie numărătorul invers la C3, $34,15^2-26,40^2-12,40^2=315,5025$, obține $\cos R_1\approx +0,4819$ și $61,19^{\circ }$. Ar trimite echipa să traseze din nou un colț bun, citit corect la 118,8°.

Verificare. Pe alt drum, la C1 afli din aceleași trei distanțe și celelalte două unghiuri. La R2, $\cos R_2=\frac{26,40^2+21,35^2-18,70^2}{2\cdot 26,40\cdot 21,35}=\frac{803,0925}{1127,28}\approx 0,7124$, adică $44,57^{\circ }$, iar la colț $\cos C_1=\frac{108,5525}{798,49}\approx 0,1359$, adică $82,19^{\circ }$. Suma $53,25+44,57+82,19=180,01$ este 180° în limita rotunjirilor.

Exemplul 2 — Găurile unei plăci de bază

Domeniu: mecanica.

Enunț. Pe desenul plăcii de oțel a unui reductor, găurile B și C sunt cotate față de gaura de referință A: $AB=96$ mm, $AC=74$ mm, iar unghiul $\angle BAC$ are 108°. Înainte de montaj, controlorul din atelier verifică distanța dintre centrele găurilor B și C. Ce valoare trebuie să găsească, cu o zecimală?

Rezolvare. Ai două laturi și unghiul dintre ele, iar latura căutată, $BC$, stă în fața unghiului de 108°. Cosinusul lui 108° este negativ, $\cos 108^{\circ }\approx -0,3090$:

$$B{C}^2=96^2+74^2-2\cdot 96\cdot 74\cdot \cos 108^{\circ }\approx 9216+5476+14208\cdot 0,3090\approx 19082,5$$

Rezultă $BC\approx 138,1$ mm.

Capcană. Cine ia cosinusul lui 108° cu plus scade în loc să adune: $14692-4390,5=10301,5$, deci $BC\approx 101,5$ mm. La un unghi obtuz, latura din față trebuie să fie mai lungă decât $\sqrt{96^2+74^2}\approx 121,2$ mm, cât ar avea la un unghi drept, așa că 101,5 mm nu poate fi răspunsul.

Verificare. Pune gaura A în originea unui reper, cu latura AB pe axa orizontală: B are coordonatele $(96;0)$, iar C are $(74\cos 108^{\circ };74\sin 108^{\circ })\approx (-22,87;70,38)$. Distanța dintre B și C este $\sqrt{118,87^2+70,38^2}\approx \sqrt{19083}\approx 138,1$ mm, același rezultat.

Exemplul 3 — Perdeaua de arbori de lângă drum

Domeniu: mediu.

Enunț. Ca să nu troienească zăpada drumul județean, ocolul silvic plantează o perdea de arbori în linie dreaptă, între punctele M și N. Între ele e un lan de porumb încă nerecoltat, așa că pădurarul nu poate întinde ruleta. Din punctul O, de pe marginea drumului, măsoară cu telemetrul $OM=0,264$ km și $ON=187$ m, iar cu teodolitul unghiul $\angle MON=116^{\circ }45^{\prime }$. Puieții se pun pe dreapta MN, câte unul la fiecare capăt, la cel mult 2,5 m unul de altul. Câți puieți trebuie?

Rezolvare. Aduci datele la aceeași unitate: $0,264$ km înseamnă 264 m, iar $116^{\circ }45^{\prime }=116^{\circ }+\frac{45^{\circ }}{60}=116,75^{\circ }$, cu $\cos 116,75^{\circ }\approx -0,4501$:

$$M{N}^2=264^2+187^2-2\cdot 264\cdot 187\cdot \cos 116,75^{\circ }\approx 69696+34969+98736\cdot 0,4501\approx 149105,9$$

deci $MN\approx 386,14$ m. Intervalele dintre puieți au cel mult 2,5 m, iar $386,14:2,5\approx 154,46$, deci trebuie cel puțin 155 de intervale. Cu un puiet la fiecare capăt, puieții sunt cu unul mai mulți decât intervalele: 156.

Capcană. Cine rotunjește 154,46 în jos, la 154 de intervale, pune 155 de puieți la $386,14:154\approx 2,51$ m unul de altul, peste limita de 2,5 m. Distanța dintre doi puieți vecini se rotunjește aici în sus, nu la cel mai apropiat număr întreg.

Verificare. Unghiul de la O este obtuz, deci MN trebuie să fie între $\sqrt{264^2+187^2}\approx 323,5$ m și $264+187=451$ m, iar 386,14 m stă între ele. Apoi, 155 de intervale de câte 2,5 m acoperă 387,5 m, cât ajunge, pe când 154 acoperă doar 385 m.

Exemplul 4 — Problema inversă: cât deviază linia la un stâlp

Domeniu: electric.

Enunț. O linie electrică aeriană de joasă tensiune trece prin stâlpii A, P și B, iar la P își schimbă direcția. Proiectul firmei cere ca, dacă devierea, adică unghiul cu care linia se abate de la dreapta pe care venea, trece de 10°, stâlpul P să fie un stâlp de colț, ancorat (valoare din exemplu). Echipa nu are teodolit, ci doar un telemetru laser, și măsoară $AP=38,40$ m, $PB=41,20$ m și $AB=78,90$ m. Cât deviază linia la P și ce stâlp trebuie? Ce distanță AB ar fi arătat telemetrul la o deviere de exact 10°?

Rezolvare. Pornești de la lungimile măsurate și afli unghiul pe care linia l-a făcut de fapt la P. Laturile $AP$ și $PB$ îl cuprind, iar $AB$ stă în fața lui:

$$\cos P=\frac{38,40^2+41,20^2-78,90^2}{2\cdot 38,40\cdot 41,20}=\frac{1474,56+1697,44-6225,21}{3164,16}=\frac{-3053,21}{3164,16}\approx -0,9649$$

Cu tasta ${\cos }^{-1}$ iese $P\approx 164,78^{\circ }$. O linie care ar merge drept ar avea la P 180°, deci devierea este $180^{\circ }-164,78^{\circ }\approx 15,2^{\circ }$, peste 10°: stâlpul P trebuie să fie de colț, ancorat. La o deviere de exact 10°, unghiul de la P ar fi 170°, iar $A{B}^2=38,40^2+41,20^2-2\cdot 38,40\cdot 41,20\cdot \cos 170^{\circ }\approx 3172+3164,16\cdot 0,9848\approx 6288,1$, adică $AB\approx 79,30$ m.

Capcană. Cine compară 78,90 m cu suma $38,40+41,20=79,60$ m vede doar 70 cm lipsă și socotește linia aproape dreaptă, deși devierea e de 15,2°. Lângă 180°, distanța AB se schimbă foarte puțin, așa că 40 de centimetri despart aici un stâlp obișnuit de unul de colț.

Verificare. Pe alt drum, cu triunghiuri dreptunghice: după P, linia înaintează pe direcția veche $41,20\cdot \cos 15,2^{\circ }\approx 39,76$ m și se abate de la ea $41,20\cdot \sin 15,2^{\circ }\approx 10,80$ m. Cu Pitagora, $AB\approx \sqrt{(38,40+39,76{)}^2+10,80^2}\approx \sqrt{6225,6}\approx 78,90$ m, exact distanța măsurată.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. În triunghiul $ABC$, $AB=34$ cm, $BC=58$ cm și $m(\angle B)=60^{\circ }$. Calculează $AC$, scris ca radical simplificat și ca zecimal cu o zecimală.

2. Laturile unui triunghi au 46 cm, 58 cm și 67 cm. Calculează cosinusul celui mai mare unghi și măsura lui, cu o zecimală.

3. În triunghiul $ABC$, $AB=22$ mm, $AC=38$ mm și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculează $BC$, cu o zecimală.

4. Din tabel, $\cos 38^{\circ }\approx 0,7880$. În triunghiul $MNP$, $MN=41$ m, $MP=53$ m și $m(\angle M)=38^{\circ }$. Calculează $NP$, cu o zecimală.

Nivelul 2 — situații

5. Pe terasa unui restaurant, doi pereți de sticlă pornesc din colțul clădirii, unul de 7,8 m și altul de 6,4 m, iar între ei unghiul este de 104°. Pe a treia latură a terasei se montează o balustradă în linie dreaptă. Ce lungime are balustrada, rotunjită în sus la 10 cm?

6. Un tâmplar face o ramă triunghiulară pentru un panou decorativ, cu laturile de 52 cm, 64 cm și 71 cm. La fiecare colț, cele două șipci se taie la jumătatea unghiului colțului. Calculează unghiurile ramei, cu o zecimală, și unghiul tăieturii față de muchia șipcii.

7. Două puncte de colectare a deșeurilor, C1 și C2, sunt la 1,35 km și la 1,80 km de stația de sortare S, iar unghiul $\angle C_{1}S{C}_2$ măsoară $112^{\circ }20^{\prime }$. Ce distanță, în kilometri, este între cele două puncte? Rotunjește la sutimi.

8. Un laborant îndoaie la flacără un tub de sticlă pentru un aparat de distilare. După îndoire, brațele cotului au 14,5 cm și 9,5 cm, iar capetele lor sunt la 20,2 cm unul de altul. Fișa lucrării cere un cot de $120^{\circ }\pm 3^{\circ }$ (valoare din exemplu). Este bun tubul?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) a) Arată că, pentru $A=180^{\circ }-x$, teorema cosinusului se scrie $a^2=b^2+c^2+2bc\cos x$. b) Calculează $a$, cu o zecimală, pentru $b=36$ m, $c=47$ m și $A=128^{\circ }$; din tabel, $\cos 52^{\circ }\approx 0,6157$.

10. (Sinteză.) Laturile unui triunghi măsoară 11 cm, 24 cm și 31 cm. a) Arată că unghiul din fața laturii de 31 cm are 120°. b) Calculează măsura unghiului din fața laturii de 24 cm, cu o zecimală.

11. (Sinteză.) Pe planul unui atelier, cu reperul în colțul sălii și unitatea de 1 m, trei mașini au centrele în $A(1;2)$, $B(7;5)$ și $C(4;9)$. a) Calculează distanțele dintre ele. b) Calculează unghiul $\angle ABC$, cu o zecimală.

12. (Sinteză.) Un limitator de deschidere al unei ferestre are o articulație la 58 cm de balama, pe cercevea, și un capăt fixat pe toc, la 36 cm de balama. Limitatorul întins are 64 cm. a) La ce unghi se deschide fereastra? b) Ce lungime minimă trebuie să aibă limitatorul, ca fereastra să se deschidă cel puțin 90°? c) La ce unghi se deschide cu un limitator de 72 cm?

Răspunsuri și verificări

1. $A{C}^2=34^2+58^2-34\cdot 58=1156+3364-1972=2548$, deci $AC=\sqrt{2548}=14\sqrt{13}\approx 50,5$ cm. Verificare: $14^2\cdot 13=196\cdot 13=2548$, iar $50,5$ cm stă între $58-34=24$ cm și $58+34=92$ cm.

2. $\cos C=\frac{46^2+58^2-67^2}{2\cdot 46\cdot 58}=\frac{991}{5336}\approx 0,1857$, deci unghiul din fața laturii de 67 cm are $79,3^{\circ }$. Verificare: celelalte două unghiuri, aflate tot din laturi, au $42,4^{\circ }$ și $58,3^{\circ }$, iar $79,3+42,4+58,3=180,0$.

3. Cosinusul lui 120° este $-\frac{1}{2}$, deci $B{C}^2=22^2+38^2+22\cdot 38=484+1444+836=2764$ și $BC\approx 52,6$ mm. Verificare: în fața unghiului obtuz stă latura cea mai lungă, iar $52,6$ mm întrece cei 38 mm ai celeilalte laturi.

4. $N{P}^2\approx 41^2+53^2-4346\cdot 0,7880\approx 1681+2809-3424,6\approx 1065,4$, deci $NP\approx 32,6$ m. Verificare: cu cosinusul fără rotunjire iese tot $32,6$ m, iar $32,6$ m stă între $53-41=12$ m și $53+41=94$ m.

5. $\cos 104^{\circ }=-\cos 76^{\circ }\approx -0,2419$, deci $c^2\approx 60,84+40,96+99,84\cdot 0,2419\approx 125,95$ și $c\approx 11,22$ m. Rotunjită în sus, balustrada are 11,3 m. Verificare: la un unghi obtuz ea e mai lungă decât $\sqrt{60,84+40,96}\approx 10,09$ m, cât ar avea la un colț drept.

6. În fața laturii de 52 cm: $\cos =\frac{6433}{9088}\approx 0,7079$, deci $44,9^{\circ }$; de 64 cm: $\cos =\frac{3649}{7384}\approx 0,4942$, deci $60,4^{\circ }$; de 71 cm: $\cos =\frac{1759}{6656}\approx 0,2643$, deci $74,7^{\circ }$. Tăietura face cu muchia $22,5^{\circ }$, $30,2^{\circ }$ și $37,3^{\circ }$. Verificare: $44,9+60,4+74,7=180,0$.

7. $112^{\circ }20^{\prime }=112^{\circ }+\frac{20^{\circ }}{60}\approx 112,3333^{\circ }$ și $\cos 112,3333^{\circ }\approx -0,3800$. Rezultă $C_1{C}_2^2\approx 1,35^2+1,8^2+4,86\cdot 0,3800\approx 1,8225+3,24+1,8468\approx 6,9093$, deci $C_1{C}_2\approx 2,63$ km. Verificare: unghiul este obtuz, iar 2,63 km este mai mult decât cei 1,80 km ai celei mai lungi laturi date.

8. $\cos \alpha =\frac{14,5^2+9,5^2-20,2^2}{2\cdot 14,5\cdot 9,5}=\frac{210,25+90,25-408,04}{275,5}=\frac{-107,54}{275,5}\approx -0,3903$, deci $\alpha \approx 113,0^{\circ }$, sub limita de jos, de 117°: tubul nu e bun și se îndoaie din nou. Verificare: la un cot de exact 120°, capetele ar fi la $\sqrt{210,25+90,25+137,75}\approx 20,93$ cm, mai mult decât cei 20,2 cm măsurați, deci cotul e mai strâns de 120°.

9. a) $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$, deci $-2bc\cos A=+2bc\cos x$ și $a^2=b^2+c^2+2bc\cos x$. b) $a^2=36^2+47^2+2\cdot 36\cdot 47\cdot \cos 52^{\circ }\approx 1296+2209+3384\cdot 0,6157\approx 5588,5$. Rezultă $a\approx 74,8$ m. Verificare: unghiul de 128° este obtuz, iar 74,8 m este mai mult decât cei 47 m ai celei mai lungi laturi date.

10. a) $\cos =\frac{11^2+24^2-31^2}{2\cdot 11\cdot 24}=\frac{121+576-961}{528}=\frac{-264}{528}=-\frac{1}{2}$, deci unghiul are $120^{\circ }$. b) $\cos =\frac{11^2+31^2-24^2}{2\cdot 11\cdot 31}=\frac{506}{682}=\frac{23}{31}\approx 0,7419$, deci unghiul are $42,1^{\circ }$. Verificare: al treilea unghi are $\cos =\frac{1416}{1488}=\frac{59}{62}\approx 0,9516$, adică $17,9^{\circ }$, iar $120+42,1+17,9=180,0$.

11. a) $AB=\sqrt{(7-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{(4-7{)}^2+(9-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$ și $CA=\sqrt{(4-1{)}^2+(9-2{)}^2}=\sqrt{58}$. b) $\cos B=\frac{45+25-58}{2\cdot 3\sqrt{5}\cdot 5}=\frac{12}{30\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}\approx 0,1789$, deci $B\approx 79,7^{\circ }$. Verificare: celelalte unghiuri au $40,2^{\circ }$ și $60,1^{\circ }$, iar $79,7+40,2+60,1=180,0$.

12. a) $\cos \phi =\frac{58^2+36^2-64^2}{2\cdot 58\cdot 36}=\frac{564}{4176}\approx 0,1351$, deci $\phi \approx 82,2^{\circ }$. b) La 90° formula devine Pitagora: ${\ell }^2=58^2+36^2=4660$, deci $\ell \approx 68,3$ cm. c) $\cos \phi =\frac{3364+1296-72^2}{4176}=\frac{-524}{4176}\approx -0,1255$, deci $\phi \approx 97,2^{\circ }$. Verificare: 68,3 cm este între 64 cm și 72 cm, iar unghiurile cresc de la 82,2° la 97,2°, deci 90° se atinge între cele două lungimi.

Așa vine la Bac M3

Tema este în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Teorema închide, în programa Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), blocul „Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie” din clasa a IX-a: după rezolvarea triunghiului dreptunghic și formulele trigonometrice vine rândul „modalități de calcul a lungimii unui segment și a măsurii unui unghi”. Indexul celor 83 de probe oficiale, care trece fiecare cerință la temele cerute de rezolvarea ei, nu are nicio cerință cu teorema cosinusului ca temă, nici principală, nici secundară. Pagina nu are, așadar, trimiteri la cerințe reale și nici modele de cerință.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), nu sunt luate din probe și nu încearcă să ghicească forma unei cerințe viitoare. Ele leagă teorema de reducerea la primul cadran, de distanța dintre două puncte în plan, pe care o recapitulezi din reperul cartezian, și de deschiderea unei ferestre ținute de un limitator. Restul temelor sunt pe pagina clasei a X-a de la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Pui în stânga formulei altă latură decât cea din fața unghiului căutat: la exercițiul 2, cu 58 cm în stânga, ai calcula unghiul de $58,3^{\circ }$, nu pe cel mare, de $79,3^{\circ }$ → cum o prinzi: latura din fața unghiului căutat stă singură în stânga, iar latura cea mai lungă stă în fața unghiului cel mare.
• Uiți că la 120° cosinusul este negativ: la exercițiul 3 scrii $22^2+38^2-22\cdot 38=1092$ și ajungi la $33,0$ mm, în loc de $52,6$ mm → cum o prinzi: latura din fața unghiului obtuz trebuie să fie mai lungă decât celelalte două, iar 33,0 mm este mai scurt decât 38 mm.
• Rotunjești cosinusul la două zecimale: la colțul C3, $-0,4819$ devine $-0,48$, iar unghiul iese $118,69^{\circ }$, la 0,11° de citire, așa că respingi un colț bun → cum o prinzi: păstrezi cosinusul cu patru zecimale și rotunjești abia unghiul.
• Lași calculatorul în radiani: la exercițiul 8, ${\cos }^{-1}(-0,3903)$ afișează $1,97$, nu $113,0$ → cum o prinzi: un cot de două grade ar aduce capetele tubului aproape unul lângă altul, nu la 20 cm, deci treci aparatul pe DEG și repeți.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, teorema cosinusului face parte din programa de examen (programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută.

Întrebări frecvente

Ce unghi iese la C1 dacă ruleta de la R2 a fost citită cu 5 cm mai mult, la 21,40 m? Cosinusul devine $\frac{696,96+349,69-457,96}{987,36}=\frac{588,69}{987,36}\approx 0,5962$, adică $53,40^{\circ }$. Cinci centimetri la o singură ruletă mută unghiul cu 0,15°, mai mult decât abaterea admisă de 0,1°. De aceea echipa întinde ruletele bine, fără să atârne, și citește distanțele de două ori.

Se poate fixa un colț la 9,85 m de R1 și la 15,90 m de R2? Nu. Cele două rulete întinse în linie dreaptă au împreună 25,75 m, mai puțin decât cei 26,40 m dintre borne, deci nu se întâlnesc nicăieri. Un triunghi există numai dacă fiecare latură e mai mică decât suma celorlalte două. Planul de trasare are o greșeală și se întoarce la proiectant.

Cum afli unghiul de la C1 din tabel, fără calculator științific? La C1, $\cos R_1\approx 0,5984$. În tabel, $\cos 53^{\circ }\approx 0,6018$ și $\cos 54^{\circ }\approx 0,5878$, deci unghiul e între 53° și 54°. Diferența față de prima valoare e 0,0034, din cei 0,0140 dintre cele două valori, adică aproximativ un sfert de grad. Unghiul are deci aproximativ 53,24°, la o sutime de valoarea dată de calculator.

Ce spune indexul probelor Bacalaureatului M3 despre teorema cosinusului? Teorema e în programa de examen, în blocul de trigonometrie al clasei a IX-a, dar niciuna dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026 nu a avut-o ca temă, după indexul cerințelor. Fiind în programă, poate fi cerută. Exercițiile de sinteză de pe pagină o exersează fără să imite o probă.

Ce înseamnă dacă unghiul calculat și cel citit diferă la toate colțurile cu aceeași valoare? Atunci greșeala nu e la rulete, ci la teodolit: aparatul a fost orientat greșit pe borna R2, iar toate citirile sunt rotite cu același unghi. O ruletă greșită strică un singur colț, ca la C2; o orientare greșită le strică pe toate la fel. Inginerul vizează din nou R2 și repetă citirile.

Ce distanță este între colțurile C1 și C3, ca să fie comparată cu latura din plan? Ambele colțuri sunt de aceeași parte a bazei, deci unghiul dintre ruletele lor, la R1, este diferența unghiurilor calculate: $118,81^{\circ }-53,25^{\circ }=65,56^{\circ }$. Atunci $C_1{C}_3^2=18,70^2+12,40^2-2\cdot 18,70\cdot 12,40\cdot \cos 65,56^{\circ }\approx 503,45-463,76\cdot 0,4137\approx 311,6$, deci $C_1{C}_3\approx 17,65$ m. Dacă latura din plan diferă cu mai mult de câțiva centimetri, unul dintre cele două colțuri e trasat greșit.