Ce spune teorema lui Pitagora?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii celei mai lungi este egal cu suma pătratelor celorlalte două. Latura lungă, așezată în fața unghiului drept, poartă numele de ipotenuză, iar celelalte două se cheamă catete: $i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ . La catete de 6 cm și 8 cm ies $36 + 64 = 100$ , deci ipotenuza măsoară 10 cm. Relația merge numai dacă triunghiul are un unghi drept, așa că unghiul acela se caută întâi.

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul de $90°$ se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept, cea mai lungă, se numește ipotenuză.

Teorema lui Pitagora spune: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

$i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$

Când cauți ipotenuza, aduni pătratele catetelor. Când cauți o catetă, scazi pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei.

Exemplu: catete $6$ cm și $8$ cm. $i^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $i = 10$ cm.

Trei numere naturale $a, b, c$ pentru care $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ formează un triplet pitagoreic (ex: $3, 4, 5$ sau $5, 12, 13$ ). Teorema se aplică doar în triunghiul dreptunghic.

De reținut

$i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ , doar în triunghiul dreptunghic
cauți ipotenuza → aduni pătratele; cauți o catetă → scazi
triplete: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) și multiplii lor

Greșeala tipică

Se adună laturile ca atare și se scrie 7 pentru catetele de 3 și 4. Se adună pătratele: $9 + 16 = 25$ , iar ipotenuza este 5.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are $29$ cm, iar o catetă are $21$ cm. Cât măsoară cealaltă catetă?
- a) $8$ cm
- b) $20$ cm
- c) $22$ cm
- d) $25$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $20$ cm

Caut o catetă, deci scad pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei: $c^{2} = 2 9^{2} - 2 1^{2} = 841 - 441 = 400$ . Cum $2 0^{2} = 400$ , rezultă $c = 20$ cm. (Tripletul pitagoreic $(20, 21, 29)$ .)
Care dintre următoarele triplete de numere naturale nu este un triplet pitagoreic (adică nu verifică $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ )?
- a) $(12, 35, 37)$
- b) $(9, 12, 16)$
- c) $(10, 24, 26)$
- d) $(7, 24, 25)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(9, 12, 16)$

Verificăm $(9, 12, 16)$ : cel mai mare este $16$ , iar $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ , în timp ce $1 6^{2} = 256$ . Cum $225 \neq = 256$ , nu este triplet pitagoreic. Celelalte sunt corecte: $1 2^{2} + 3 5^{2} = 3 7^{2}$ , $1 0^{2} + 2 4^{2} = 2 6^{2}$ , $7^{2} + 2 4^{2} = 2 5^{2}$ .
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are $17$ cm, iar o catetă are $8$ cm. Cât măsoară cealaltă catetă?
- a) $9$ cm
- b) $15$ cm
- c) $25$ cm
- d) $5$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $15$ cm

Caut o catetă, deci scad pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei: $c^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$ . Cum $1 5^{2} = 225$ , rezultă $c = 15$ cm. (Tripletul pitagoreic $(8, 15, 17)$ .)

Întrebări conexe

Cum aflu o catetă dacă știu ipotenuza și cealaltă catetă?

Ridici la pătrat ipotenuza, ridici la pătrat cateta știută și le scazi. Rezultatul este pătratul catetei căutate, din care afli latura. La ipotenuză de 13 cm și catetă de 5 cm: $169 - 25 = 144$ , iar $1 2^{2} = 144$ , deci cateta are 12 cm.

Cât măsoară diagonala unui dreptunghi cu laturile de 9 cm și 12 cm?

Diagonala taie dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice, în care ea este ipotenuza, iar laturile dreptunghiului sunt catetele. Calculezi $81 + 144 = 225$ , iar $1 5^{2} = 225$ , deci diagonala are 15 cm. Același drum merge la orice dreptunghi căruia îi știi laturile.

De ce ipotenuza este mereu cea mai lungă latură?

Pentru că pătratul ei se obține adunând două numere pozitive, deci depășește fiecare pătrat de catetă luat separat. Cum numerele mai mari au pătrate mai mari, ipotenuza întrece amândouă catetele. Dacă îți iese ipotenuza mai scurtă decât o catetă, sigur ai adunat unde trebuia scăzut.

De ce (6, 8, 10) este tot un triplet pitagoreic?

Fiindcă se obține din (3, 4, 5) înmulțind fiecare număr cu 2, iar înmulțirea cu același număr mărește toate pătratele de tot atâtea ori la pătrat. Verificare directă: $36 + 64 = 100$ . Orice multiplu al unui triplet rămâne triplet, așa că din (3, 4, 5) ies (9, 12, 15), (12, 16, 20) și tot așa.

Cum apare teorema lui Pitagora la Evaluarea Națională?

Apare la lungimi cerute într-o figură: înălțimea unui perete, diagonala unei plăci, distanța dintre două puncte sau latura necunoscută dintr-un triunghi desenat. Rezolvarea cere identificarea unghiului drept, apoi o singură aplicare a relației. De multe ori numerele sunt alese dintr-un triplet, ca rezultatul să iasă întreg.

Ce legătură are teorema lui Pitagora cu ariile a trei pătrate?

Dacă pe fiecare latură a triunghiului dreptunghic construiești câte un pătrat, aria pătratului mare, cel de pe ipotenuză, este cât ariile celor două mici adunate. La catete de 3 și 4 ies pătrate de arie 9 și 16, iar pe ipotenuză stă unul de arie 25.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Pitagora · formula lui Pitagora · cum aflu ipotenuza · teorema ipotenuzei · ce este ipotenuza