Un teren de pășunat are forma triunghiului $$ABC$$, cu $$AB = 70$$ m, $$BC = 45$$ m și $$m(\angle C) = 52^\circ$$. Care expresie dă $$\sin A$$?

$$\dfrac{45 \cdot \sin 52^\circ}{70}$$

$$\dfrac{70 \cdot \sin 52^\circ}{45}$$

$$\dfrac{45}{70 \cdot \sin 52^\circ}$$

$$\dfrac{45 \cdot \cos 52^\circ}{70}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Sinusuri: latură din unghiuri

Cum aflu distanța peste un râu cu sinusurile?

Fixezi pe malul tău două puncte, P și Q, la 64 m unul de altul, și măsori din fiecare unghiul spre un copac T de pe malul opus: $4 6^{\circ}$ în P și $7 4^{\circ}$ în Q. Unghiul din T are $6 0^{\circ}$ și stă în fața bazei PQ, deci $P T = \frac{64 \cdot sin 7 4 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} \approx 71, 04$ m. Ai distanța fără să traversezi apa; baza trebuie să fie de același ordin de mărime cu distanța.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Teorema sinusurilor spune că, în orice triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului din fața ei are aceeași valoare pentru toate trei laturile, egală cu diametrul cercului circumscris: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ . Pornești de la o pereche completă, adică de la o latură și unghiul opus ei; din ea afli restul triunghiului.

Dacă ai două unghiuri, îl afli pe al treilea scăzându-le din $18 0^{\circ}$ , apoi pui fiecare latură lângă sinusul unghiului ei. O latură necunoscută $x$ se scoate din proporție: iei latura cunoscută, o înmulțești cu sinusul unghiului opus lui $x$ și o împarți la sinusul unghiului opus ei. Pentru un unghi scoți sinusul din proporție și apeși $sin^{- 1}$ , cu aparatul pe grade.

Unghiul obtuz are un sinus pozitiv, egal cu al suplementului: $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ . Calculatorul arată numai unghiul ascuțit. Când latura din fața unghiului căutat este mai lungă decât cea din fața unghiului dat, soluția este una singură; altfel verifici și valoarea $18 0^{\circ} - x$ , în limita sumei de $18 0^{\circ}$ . Minutele de unghi se împart la 60 înainte de calcul.

Controlul: unghiul mai mare se opune laturii mai mari, un sinus nu depășește 1, iar o latură aflată din proporție iese la fel și cu teorema cosinusului. Folosești teorema la distanțe peste ape, la terenuri cu un colț greu de atins și la piese al căror centru e acoperit.

De reținut

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ , fiecare latură cu unghiul din fața ei
al treilea unghi se scade din 180 de grade
sinusul unghiului obtuz este pozitiv

Greșeala tipică

Se împarte la sinusul unui unghi care nu se opune laturii date, iar proporția pare corectă. Corect, fiecare latură merge numai cu sinusul unghiului ei opus.

Exerciții din această mini-lecție

Un teren de pășunat are forma triunghiului $A B C$ , cu $A B = 70$ m, $B C = 45$ m și $m (∠ C) = 5 2^{\circ}$ . Care expresie dă $sin A$ ?
- a) $\frac{70 \cdot sin 5 2 ^{\circ}}{45}$
- b) $\frac{45 \cdot sin 5 2 ^{\circ}}{70}$
- c) $\frac{45}{70 \cdot sin 5 2 ^{\circ}}$
- d) $\frac{45 \cdot cos 5 2 ^{\circ}}{70}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{45 \cdot sin 5 2 ^{\circ}}{70}$

Latura $A B$ stă în fața lui $C$ , iar $B C$ în fața lui $A$ , deci $\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ și $sin A = \frac{45 \cdot sin 5 2 ^{\circ}}{70} \approx 0, 507$ : varianta b. Varianta a inversează raportul și dă 1,23, o valoare imposibilă pentru un sinus. Varianta c împarte la sinus în loc să-l înmulțească și dă 0,82, iar varianta d ia cosinusul și dă 0,40.
Pe planul unui depozit, un coridor are forma unui triunghi cu unghiurile de $4 0^{\circ}$ și de $6 5^{\circ}$ la capetele unei laturi de 26 m ( $sin 4 0^{\circ} \approx 0, 6428$ ; $sin 7 5^{\circ} \approx 0, 9659$ ). Ce lungime are latura din fața unghiului de $4 0^{\circ}$ ?
- a) 17,3 m
- b) 18,4 m
- c) 16,1 m
- d) 24,4 m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 17,3 m

Al treilea unghi este $18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ și stă în fața laturii de 26 m, deci latura căutată este $\frac{26 \cdot 0 , 6428}{0 , 9659} \approx 17, 3$ m. Varianta 18,4 m împarte la $sin 6 5^{\circ}$ , unghi care nu e în fața laturii date. Varianta 16,1 m înmulțește cu al doilea sinus în loc să împartă, iar 24,4 m este lungimea celeilalte laturi, din fața unghiului de $6 5^{\circ}$ .
Parcela triunghiulară $A B C$ a unui solar are $B C = 58$ m, în fața unghiului $A = 7 0^{\circ}$ ( $sin 7 0^{\circ} \approx 0, 9397$ ), și $A C = 40$ m, în fața unghiului $B$ . Ce măsură are unghiul $B$ ?
- a) $48, 3^{\circ}$
- b) $49, 6^{\circ}$
- c) $40, 4^{\circ}$
- d) $139, 6^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $40, 4^{\circ}$

$sin B = \frac{40 \cdot 0 , 9397}{58} \approx 0, 648$ , deci $B \approx 40, 4^{\circ}$ . Latura din fața lui $B$ este mai scurtă decât $B C$ , deci $B < 7 0^{\circ}$ și suplementul $139, 6^{\circ}$ (varianta d) nu se poate. Varianta b folosește $cos^{- 1}$ în loc de $sin^{- 1}$ , iar varianta a presupune că unghiurile sunt proporționale cu laturile: $\frac{40}{58} \cdot 7 0^{\circ}$ .

Întrebări conexe

De ce o bază scurtă strică măsurătoarea peste apă?

Unghiul din punctul îndepărtat devine foarte mic, iar o eroare de $1^{\circ}$ se vede mult în rezultat. Cu baza de 6 m și unghiurile de $8 5^{\circ}$ și $8 6^{\circ}$ , distanța iese $\frac{6 \cdot sin 8 6 ^{\circ}}{sin 9 ^{\circ}} \approx 38, 3$ m; cu $8 4^{\circ}$ în loc de $8 5^{\circ}$ iese $34, 5$ m, cu aproape 4 m mai puțin.

Cum aflu lățimea râului, nu doar distanța oblică?

Înmulțești distanța oblică cu sinusul unghiului de la baza ei, fiindcă lățimea este înălțimea triunghiului. Pentru $P T \approx 71, 04$ m și unghiul de $4 6^{\circ}$ din P, lățimea este $71, 04 \cdot sin 4 6^{\circ} \approx 51, 1$ m. Din Q ajungi la același număr: $53, 16 \cdot sin 7 4^{\circ} \approx 51, 1$ m.

Cum verific distanța cu teorema cosinusului?

Calculezi altă latură din aceleași date și vezi dacă se potrivește. La baza $P Q = 80$ m, cu unghiurile de $5 2^{\circ}$ în P și $6 8^{\circ}$ în Q, sinusurile dau $P T \approx 85, 65$ m și $QT \approx 72, 79$ m. Cosinusul în P dă $Q T^{2} = 8 0^{2} + 85, 6 5^{2} - 2 \cdot 80 \cdot 85, 65 \cdot cos 5 2^{\circ} \approx 5299$ , deci același $QT$ .

Ce fac dacă unghiul măsurat la un capăt al bazei e obtuz?

Folosești direct sinusul lui, fiindcă $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ . Pentru unghiurile de $4 8^{\circ}$ și $10 5^{\circ}$ la o bază de 60 m, al treilea unghi are $2 7^{\circ}$ , iar distanța din primul punct este $\frac{60 \cdot sin 10 5 ^{\circ}}{sin 2 7 ^{\circ}} \approx 127, 7$ m, cu $sin 10 5^{\circ} = sin 7 5^{\circ} \approx 0, 9659$ .

Cum a apărut teorema sinusurilor în probele oficiale?

Teorema sinusurilor a apărut în 1 probă M_tehnologic din 2013–2026. Cerința dă două laturi și un unghi și cere sinusul altui unghi: scrii raportul dintre fiecare latură și sinusul unghiului ei, apoi scoți sinusul căutat.

Oamenii mai întreabă și: măsurarea distanței peste apă cu două unghiuri · distanța până la un punct de pe malul opus · teorema sinusurilor la distanțe inaccesibile · cum aflu lățimea unui râu din unghiuri