Teorema sinusurilor: distanțe peste râu, tehnologic

Inspectorul de mediu nu poate trece pe malul opus al pârâului, dar trebuie să verifice dacă gurile de evacuare ale unei stații de epurare sunt acolo unde le trece autorizația. Măsoară pe malul lui o bază de 38,8 m și două unghiuri, iar teorema sinusurilor îi dă distanțele fără să treacă apa. La clasa a X-a, pentru liceul tehnologic, drumul are doi pași: al treilea unghi, apoi o proporție. Teorema sinusurilor este în programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Pe un pârâu de câmpie, o stație de epurare evacuează apa tratată prin trei conducte, cu gurile pe malul opus. Autorizația de gospodărire a apelor trece debitul și poziția fiecărei guri pe planul de situație, prin distanța față de borna P, de pe malul celălalt. Inspectorul agenției de mediu verifică dacă gurile sunt unde scrie: o gură mutată fără aviz înseamnă o evacuare neautorizată de poluanți. Malul opus e o mlaștină cu stuf, fără drum de acces, iar pârâul e prea adânc ca să fie trecut. Ruleta nu ajunge peste apă, iar telemetrul laser nu dă o citire sigură prin stuf. Inspectorul înfige, la 38,8 m de borna P, un țăruș Q și măsoară cu teodolitul, din P și din Q, unghiul dintre direcția spre celălalt punct și direcția spre fiecare gură. Abaterea admisă față de autorizație este de 1 m (valoare din exemplu).

Întrebare: ce distanță este de la borna P la fiecare gură și care gură nu e unde o trece autorizația?

De la situație la model

Borna, țărușul și gura sunt vârfurile unui triunghi, iar singurele lui elemente pe care le ai sunt o latură și două unghiuri. Tabelul traduce situația.

Teorema sinusurilor spune că, oricare ar fi triunghiul, o latură împărțită la sinusul unghiului din fața ei dă același număr pentru toate cele trei laturi:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

Aici $R$ este raza cercului care trece prin cele trei vârfuri, cercul circumscris triunghiului, iar $2R$ este diametrul lui. Teorema se folosește fără demonstrație.

Ce este o „pereche completă”?

O pereche completă este o latură împreună cu unghiul din fața ei. Teorema leagă între ele perechile complete: dacă ai una, restul triunghiului se află din ea. La triunghiul $PQD$ baza $PQ$ stă în fața lui $D$, dar unghiul $D$ nu se măsoară; îl afli din suma unghiurilor, iar abia apoi ai perechea completă formată din $PQ$ și $D$.

De ce afli al treilea unghi scăzând din 180°?

Cele trei unghiuri ale unui triunghi adunate dau 180°. De aceea două măsurători ajung. Dacă unghiurile de la P și de la Q adunate trec de 180°, una dintre măsurători este greșită, fiindcă un astfel de triunghi nu există.

Cum iei sinusul unui unghi obtuz?

La gura D3, unghiul de la Q are $95,5^{\circ }$, deci este obtuz. Tabelul trigonometric se oprește la 90°, dar $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$, după regulile de la reducerea la primul cadran. Așa, $\sin 95,5^{\circ }=\sin 84,5^{\circ }$. Pe calculator, trecut pe grade (DEG), valoarea apare direct. Sinusul unui unghi dintr-un triunghi este mereu pozitiv.

Ce faci când cauți un unghi, nu o lungime?

Din proporție scoți sinusul unghiului și cauți unghiul cu tasta ${\sin }^{-1}$ sau în tabel. Același sinus aparține însă la două unghiuri, $x$ și $180^{\circ }-x$, iar calculatorul îl arată doar pe cel ascuțit. Dacă latura din fața unghiului cunoscut este cea mai lungă dintre cele două laturi date, unghiul căutat este ascuțit și soluția e una singură. Dacă este mai scurtă, pot exista două triunghiuri, iar figura sau o condiție din problemă o alege pe cea bună.

Metoda pas cu pas

1. Desenează triunghiul și scrie fiecare latură în fața unghiului ei. Subliniază perechile complete, adică o latură și unghiul din fața ei, apoi ce cauți. Unghiurile date în grade și minute le treci în grade zecimale, împărțind minutele la 60, pentru ca tabelul și calculatorul să le citească la fel.
2. Dacă ai două unghiuri, află-l pe al treilea: 180° minus suma lor. Dacă suma celor două trece de 180°, măsurătorile sunt greșite și te oprești, fiindcă un astfel de triunghi nu există.
3. Scrie proporția dintre perechea completă și raportul cu necunoscuta. O latură necunoscută este latura cunoscută, înmulțită cu sinusul unghiului din fața necunoscutei și împărțită la sinusul unghiului din fața celei cunoscute. Sinusurile le citești în tabel sau pe calculatorul setat pe grade (DEG); la un unghi obtuz iei sinusul lui, care este pozitiv.
4. Dacă cauți un unghi, calculează mai întâi sinusul lui, apoi apasă tasta ${\sin }^{-1}$. Calculatorul arată unghiul ascuțit; dacă figura sau problema cere unul obtuz, ia 180° minus valoarea de pe ecran. Rotunjește numai la sfârșit, unghiurile cu o zecimală, iar lungimile cu atâtea zecimale câte arată instrumentul de măsură.
5. Verifică pe alt drum: calculează o latură a aceluiași triunghi cu teorema cosinusului, pornind de la ce ai găsit, și compar-o cu cea din proporție. Latura cea mai lungă trebuie să stea în fața celui mai mare unghi, iar rezultatul trebuie să aibă ordinul de mărime al datelor: o distanță peste un pârâu de 40 m nu iese de 4 km.

Dacă ai două laturi și unghiul dintre ele, folosești teorema cosinusului. Ordinea întrebărilor după care alegi teorema o găsești la cosinus sau sinus.

Fișa de buzunar

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

$$A+B+C=180^{\circ }$$

Condiții de aplicare: ai cel puțin o pereche completă, adică o latură și unghiul din fața ei, iar unghiurile sunt în grade. Sinusul unui unghi obtuz este pozitiv. Latura mai lungă are în față unghiul mai mare. Verificare rapidă: o latură aflată din proporție trebuie să dea același rezultat și cu teorema cosinusului.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Gurile de evacuare de pe malul opus

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia cele trei guri din situația de pornire: baza $PQ$ are 38,8 m, iar unghiurile la P și la Q sunt de 59,5° și 76,5° pentru D1, de 69,5° și 48,5° pentru D2, de 41,5° și 95,5° pentru D3. a) Calculează distanța de la P la fiecare gură, cu o zecimală. b) Autorizația dă 54 m, 33 m și 49 m. Care gură nu e la locul ei, la o abatere admisă de 1 m?

Rezolvare. Pentru D1, unghiul de la gură este $D=180^{\circ }-59,5^{\circ }-76,5^{\circ }=44,0^{\circ }$. Baza $PQ$ stă în fața lui $D$, iar $P{D}_1$ stă în fața lui $Q$:

$$P{D}_1=\frac{PQ\cdot \sin Q}{\sin D}=\frac{38,8\cdot \sin 76,5^{\circ }}{\sin 44,0^{\circ }}\approx \frac{38,8\cdot 0,9724}{0,6947}\approx \frac{37,73}{0,6947}\approx 54,31$$

deci $P{D}_1\approx 54,3$ m. La D2, $D=62,0^{\circ }$ și $P{D}_2\approx \frac{38,8\cdot 0,7490}{0,8829}\approx 32,9$ m. La D3, $D=43,0^{\circ }$, iar unghiul de la Q este obtuz: $\sin 95,5^{\circ }=\sin 84,5^{\circ }\approx 0,9954$, deci $P{D}_3\approx \frac{38,8\cdot 0,9954}{0,6820}\approx 56,6$ m.

b) Abaterile față de autorizație sunt 0,3 m la D1, 0,1 m la D2 și 7,6 m la D3. Gura D3 nu e la locul ei: unghiul obtuz de la Q arată că ea stă dincolo de țărușul Q, față de P, mult mai departe decât trece planul.

Capcană. Cine pune baza lângă unghiul de la capătul ei, P, nu lângă cel din fața ei, D, scrie $\frac{P{D}_1}{\sin 76,5^{\circ }}=\frac{38,8}{\sin 59,5^{\circ }}$ și obține $P{D}_1\approx 43,8$ m, cu 10,5 m mai puțin decât cei 54,3 m.

Verificare. Pe alt drum, cu teorema cosinusului în triunghiul $PQ{D}_1$: $Q{D}_1^2=38,8^2+54,31^2-2\cdot 38,8\cdot 54,31\cdot \cos 59,5^{\circ }\approx 1505,44+2949,58-4214,46\cdot 0,5075\approx 2316,2$, deci $Q{D}_1\approx 48,1$ m. Teorema sinusurilor dă aceeași distanță: $Q{D}_1=\frac{38,8\cdot \sin 59,5^{\circ }}{\sin 44,0^{\circ }}\approx \frac{38,8\cdot 0,8616}{0,6947}\approx 48,1$ m.

Exemplul 2 — Unghiul de tăiere al unei contrafișe

Domeniu: lemn.

Enunț. O fermă de acoperiș din lemn are talpa orizontală, iar căpriorul face cu ea, la streașină, un unghi de 38,5°. O contrafișă de 1,55 m pornește dintr-un punct al căpriorului aflat la 1,91 m de streașină și se sprijină pe talpă. Fișa de execuție cere ca piciorul ei să fie la cel puțin 1,5 m de streașină, măsurat pe talpă. Ce unghi face contrafișa cu talpa, la picior, spre streașină, și unde stă piciorul?

Rezolvare. Fie $A$ colțul de la streașină, $B$ piciorul contrafișei și $C$ capătul ei de sus. Cunoști $AC=1,91$ m, $BC=1,55$ m și $A=38,5^{\circ }$. Perechea completă este $BC$ cu unghiul $A$, iar $AC$ stă în fața lui $B$:

$$\sin B=\frac{AC\cdot \sin A}{BC}=\frac{1,91\cdot 0,6225}{1,55}\approx \frac{1,1890}{1,55}\approx 0,7671$$

Tasta ${\sin }^{-1}$ dă $B\approx 50,1^{\circ }$, dar și $180^{\circ }-50,1^{\circ }=129,9^{\circ }$ are același sinus. Latura din fața unghiului dat, $BC=1,55$ m, este mai scurtă decât $AC=1,91$ m, deci există două triunghiuri. Pentru fiecare afli $C=180^{\circ }-A-B$ și piciorul $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}$. Cu $B=50,1^{\circ }$ iese $C=91,4^{\circ }$ și $AB\approx 2,49$ m. Cu $B=129,9^{\circ }$ iese $C=11,6^{\circ }$ și $AB\approx 0,50$ m. Fișa cere cel puțin 1,5 m, deci rămâne prima soluție: unghiul de la picior este de $50,1^{\circ }$, iar piciorul stă la 2,49 m de streașină.

Capcană. Cine se oprește la 50,1°, cum arată calculatorul, nu vede a doua poziție a piciorului, la 0,50 m de streașină. La o fișă care ar cere piciorul aproape de zidărie, aceea ar fi poziția cerută, iar contrafișa ar fi tăiată la un unghi greșit.

Verificare. Pune piciorul înapoi în datele fermei. Cu $AB=2,49$ m, $B{C}^2=2,49^2+1,91^2-2\cdot 2,49\cdot 1,91\cdot \cos 38,5^{\circ }\approx 6,20+3,65-9,51\cdot 0,7826\approx 2,40$, deci $BC\approx 1,55$ m, lungimea contrafișei.

Exemplul 3 — Diametrul unui inel cu centrul acoperit

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un inel de oțel are diametrul nominal exterior de 146,5 mm, cu abatere admisă de ±0,2 mm. Centrul lui este acoperit de un ax, deci diametrul nu se poate măsura direct. Pe marginea inelului, o mașină de măsurat în coordonate găsește trei puncte, A, B și C: coarda $BC$ are 119,1 mm, iar unghiul $\angle BAC$ măsoară $54^{\circ }20^{\prime }$. Se încadrează inelul în abaterea admisă?

Rezolvare. Cercul care trece prin A, B și C este chiar marginea inelului, deci raportul din teorema sinusurilor este diametrul lui. Perechea completă este coarda $BC$ cu unghiul $A$ din fața ei. Minutele se împart la 60: $54^{\circ }20^{\prime }=54^{\circ }+\frac{20^{\circ }}{60}\approx 54,3333^{\circ }$. Apoi:

$$2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{119,1}{\sin 54,3333^{\circ }}\approx \frac{119,1}{0,8124}\approx 146,6$$

adică 146,6 mm. Limitele sunt $146,5-0,2=146,3$ mm și $146,5+0,2=146,7$ mm, iar 146,6 mm stă între ele: inelul se încadrează.

Capcană. Cine citește $54^{\circ }20^{\prime }$ ca $54,20^{\circ }$, cu minutele drept zecimi de grad, obține $\sin 54,2^{\circ }\approx 0,8111$ și $2R\approx 146,8$ mm, peste limita de 146,7 mm. Respinge astfel un inel bun. Minutele se împart la 60, nu la 100.

Verificare. Pe alt drum, prin centrul $O$ al inelului: unghiul la centru care vede coarda $BC$ este dublul unghiului înscris, $2\cdot 54^{\circ }20^{\prime }=108^{\circ }40^{\prime }$, cu $\cos 108,6667^{\circ }\approx -0,3201$. Triunghiul $OBC$ are două laturi egale cu raza, deci teorema cosinusului dă $R^2=\frac{119,1^2}{2\cdot (1+0,3201)}\approx 5372,8$, adică $R\approx 73,3$ mm și diametrul tot 146,6 mm.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: sinusul unui unghi

Domeniu: electric.

Enunț. Cerința din iunie 2021 a avut forma de mai jos; aici numerele sunt distanțele, în metri, dintre trei doze de derivație de pe planul instalației electrice a unui atelier: „Se consideră triunghiul $ABC$, în care $AC=9$, $BC=14$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Arătați că $\sin B=\frac{9\sqrt{3}}{28}$.”

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare. Perechea completă este $BC$ cu unghiul $A$ din fața ei, iar $AC$ stă în fața lui $B$, deci raportul lui $AC$ cu $\sin B$ este egal cu al lui $BC$ cu $\sin A$:

$$\frac{9}{\sin B}=\frac{14}{\sin 60^{\circ }}=\frac{14}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Rezultă $\sin B=\frac{9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{14}=\frac{9\sqrt{3}}{28}$. Cerința cere valoarea sinusului, nu unghiul $B$, așa că nu ai nevoie de tabel sau de calculator.

Capcană. Cine pune latura $AC$ lângă $\sin A$ scrie $\sin B=\frac{14\cdot \sin 60^{\circ }}{9}\approx 1,35$. Un sinus mai mare decât 1 arată imediat că perechea a fost greșită.

Verificare. Cu $\sin B\approx 0,5567$ rezultă $B\approx 33,83^{\circ }$, deci $C\approx 86,17^{\circ }$ și, din aceeași proporție, $AB\approx 16,13$. Teorema cosinusului pentru latura $BC$ dă $16,13^2+9^2-16,13\cdot 9\approx 260,2+81-145,2=196$, adică exact $14^2$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. În triunghiul $ABC$, $m(\angle A)=47^{\circ }$, $m(\angle B)=68^{\circ }$ și $AB=52$ cm. Calculează $BC$, cu o zecimală.

2. În triunghiul $MNP$, $MN=28$ cm, $NP=41$ cm și $m(\angle M)=74^{\circ }$. Calculează $\sin P$ și măsura unghiului $P$, cu o zecimală.

3. Într-un triunghi, latura de 17 cm stă în fața unui unghi de 36°. Calculează raza cercului circumscris, cu o zecimală.

4. Un triunghi are unghiurile de 41° și 104° și latura dintre ele de 23 m. Calculează celelalte două laturi, cu o zecimală.

Nivelul 2 — situații

5. Un fermier vrea să pună o punte oblică peste canalul de irigații, de la țărușul S, de pe malul lui, până la stâlpul T, de pe malul opus. La 8,4 m de S înfige țărușul U și măsoară unghiurile $\angle TSU=62,5^{\circ }$ și $\angle TUS=71,5^{\circ }$. Ce lungime are puntea, dacă pe fiecare mal se adaugă 0,5 m pentru sprijin? Rotunjește la zecimi de metru.

6. La un târg, un magazin de mobilă își montează standul pentru produsele lui pe un loc triunghiular: latura dinspre culoar are 7,4 m, iar pereții laterali pornesc din capetele ei sub unghiurile de 47° și de 58° și se întâlnesc în spate. Calculează lungimile celor doi pereți, cu o zecimală.

7. De la depozitul D al unei firme de transport pleacă două drumuri drepte, care fac între ele un unghi de 52°. Pe primul, la 153 m de depozit, e o barieră B. Pe al doilea e cântarul C, aflat la 219 m de barieră, în linie dreaptă. Calculează unghiul $\angle DCB$, cu o zecimală, și distanța de la depozit la cântar, la metru.

8. Rezervorul circular de apă potabilă al unei comune e plin, așa că centrul lui nu se poate marca. Pe margine sunt trei puncte, A, B și C; coarda $BC$ are 41,5 m, iar din A se vede sub un unghi de 62°. Calculează raza rezervorului, cu o zecimală.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În triunghiul $ABC$, $BC=18$, $AC=12$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$. Arătați că $\sin B=\frac{1}{3}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=10$, $BC=12$ și $m(\angle C)=45^{\circ }$. Arătați că $\sin A=\frac{3\sqrt{2}}{5}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) În triunghiul $ABC$, $AB=9$, $AC=12$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$. Calculați $\sin C$.

12. (Sinteză.) În triunghiul $ABC$, $AB=7$, $AC=33$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați $BC$. b) Arătați că $\sin B=\frac{33\sqrt{3}}{74}$. c) Calculați raza cercului circumscris triunghiului.

Răspunsuri și verificări

1. Al treilea unghi este $C=180^{\circ }-47^{\circ }-68^{\circ }=65^{\circ }$, iar $AB$ stă în fața lui $C$. Rezultă $BC=\frac{52\cdot \sin 47^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx \frac{52\cdot 0,7314}{0,9063}\approx \frac{38,03}{0,9063}\approx 41,96$, adică 42,0 cm. Verificare: cu $AC\approx 53,20$ cm, înălțimea din C taie AB în $41,96\cdot \cos 68^{\circ }+53,20\cdot \cos 47^{\circ }\approx 15,72+36,28=52,00$ cm.

2. $\sin P=\frac{MN\cdot \sin M}{NP}=\frac{28\cdot \sin 74^{\circ }}{41}\approx \frac{28\cdot 0,9613}{41}\approx 0,6565$, deci $P\approx 41,0^{\circ }$. Verificare: $NP=41$ cm e mai lungă decât $MN=28$ cm, deci $P$ e mai mic decât $M=74^{\circ }$.

3. $2R=\frac{17}{\sin 36^{\circ }}\approx \frac{17}{0,5878}\approx 28,92$, deci $R\approx 14,5$ cm. Verificare: latura e văzută din centru sub $72^{\circ }$, iar în triunghiul isoscel cu vârful în centru, $R^2=\frac{17^2}{2(1-\cos 72^{\circ })}\approx \frac{289}{1,382}\approx 209,1$, deci tot $R\approx 14,5$ cm.

4. Al treilea unghi are $35^{\circ }$, iar latura de 23 m stă în fața lui. Latura din fața lui 41° este $\frac{23\cdot \sin 41^{\circ }}{\sin 35^{\circ }}\approx \frac{23\cdot 0,6561}{0,5736}\approx 26,3$ m, iar cea din fața lui 104° este $\frac{23\cdot \sin 104^{\circ }}{\sin 35^{\circ }}\approx \frac{23\cdot 0,9703}{0,5736}\approx 38,9$ m. Verificare: cea mai lungă latură, 38,9 m, stă în fața lui 104°.

5. Unghiul de la stâlp are $46,0^{\circ }$, iar $ST$ stă în fața celui de 71,5°: $ST=\frac{8,4\cdot \sin 71,5^{\circ }}{\sin 46,0^{\circ }}\approx \frac{8,4\cdot 0,9483}{0,7193}\approx 11,07$ m. Cu câte 0,5 m pe fiecare mal, puntea are 12,1 m. Verificare: $UT\approx 10,36$ m, iar teorema cosinusului în $SUT$, cu unghiul de 71,5°, dă tot $ST\approx 11,07$ m.

6. Unghiul din spate are $75^{\circ }$ și stă în fața laturii de 7,4 m. Peretele din fața unghiului de 58° are $\frac{7,4\cdot \sin 58^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx \frac{7,4\cdot 0,8480}{0,9659}\approx 6,5$ m, iar cel din fața unghiului de 47° are $\frac{7,4\cdot \sin 47^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx \frac{7,4\cdot 0,7314}{0,9659}\approx 5,6$ m. Verificare: cea mai lungă latură, 7,4 m, stă în fața lui 75°.

7. $\sin C=\frac{DB\cdot \sin D}{BC}=\frac{153\cdot \sin 52^{\circ }}{219}\approx \frac{153\cdot 0,7880}{219}\approx 0,5505$, deci $C\approx 33,4^{\circ }$, ascuțit, fiindcă stă în fața laturii mai scurte. La barieră rămân $94,6^{\circ }$, iar $DC=\frac{219\cdot \sin 94,6^{\circ }}{\sin 52^{\circ }}\approx 277$ m. Verificare: teorema cosinusului cu 153 m, 277 m și 52° dă $BC\approx 219$ m.

8. $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{41,5}{\sin 62^{\circ }}\approx \frac{41,5}{0,8829}\approx 47,0$, deci $R\approx 23,5$ m. Verificare: din centru, coarda se vede sub $124^{\circ }$, iar $R^2=\frac{41,5^2}{2(1-\cos 124^{\circ })}\approx \frac{1722,25}{3,1184}\approx 552,3$, deci tot $R\approx 23,5$ m.

9. Perechea completă este $BC$ cu $A$, iar $AC$ stă în fața lui $B$. Scrii $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, adică $\frac{12}{\sin B}=\frac{18}{\sin 30^{\circ }}=\frac{18}{\frac{1}{2}}=36$. Rezultă $\sin B=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$. Verificare: $B\approx 19,5^{\circ }$ e mai mic decât $A=30^{\circ }$, fiindcă $AC=12$ e mai scurtă decât $BC=18$.

10. Perechea completă este $AB$ cu $C$, iar $BC$ stă în fața lui $A$. Scrii $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, adică $\frac{12}{\sin A}=\frac{10}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}$. Rezultă $\sin A=\frac{12}{10\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{10}=\frac{3\sqrt{2}}{5}$. Verificare: $\frac{3\sqrt{2}}{5}\approx 0,8485<1$; același sinus îl au $58,1^{\circ }$ și $121,9^{\circ }$, dar se cere doar sinusul.

11. Perechea completă este $AC$ cu $B$, iar $AB$ stă în fața lui $C$. Scrii $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, adică $\frac{9}{\sin C}=\frac{12}{\sin 60^{\circ }}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}$. Rezultă $\sin C=\frac{9}{8\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{24}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$. Verificare: $\frac{3\sqrt{3}}{8}\approx 0,6495<1$, iar $C\approx 40,5^{\circ }$ e mai mic decât $B=60^{\circ }$, fiindcă $AB=9<AC=12$.

12. a) $B{C}^2=7^2+33^2-2\cdot 7\cdot 33\cdot \cos 120^{\circ }=49+1089+231=1369$, deci $BC=37$. b) $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, deci $\sin B=\frac{AC\cdot \sin A}{BC}=\frac{33\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{37}=\frac{33\sqrt{3}}{74}$. c) $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{37}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{74}{\sqrt{3}}$, deci $R=\frac{37\sqrt{3}}{3}\approx 21,36$. Verificare: teorema cosinusului dă $\cos B=\frac{49+1369-1089}{2\cdot 7\cdot 37}=\frac{47}{74}$, iar ${\sin }^{2}B=1-\frac{2209}{5476}=\frac{3267}{5476}={\left(\frac{33\sqrt{3}}{74}\right)}^2$, același sinus.

Așa vine la Bac M3

Teorema sinusurilor a fost tema unei singure cerințe din cele 83 de probe oficiale ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) din 2013–2026: cerința 6 din Subiectul I al probei din iunie 2021. Aceasta este singura formă în care teorema a venit la examen, așa că merită s-o ai la îndemână:

• Iunie 2021, Subiectul I, exercițiul 6: se dau două laturi, $AC=2$ și $BC=4$, și unghiul $A$ de 30°, iar cerința este să arăți că $\sin B=\frac{1}{4}$; baremul probei acordă 3 puncte pentru raportul scris cu valorile lui, $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, adică pasul 3 din Metodă, și 2 puncte pentru valoarea lui $\sin B$.

Cerința a cerut numai sinusul unui unghi, nu măsura lui, deci nu a avut nevoie de tabel sau de calculator, iar rezultatul s-a scris ca fracție. Latura din fața unghiului dat, $BC=4$, a fost mai lungă decât cealaltă latură, $AC=2$, așa că unghiul $B$ era ascuțit și unic. Pe foaia de lucru se scrie mai întâi proporția, cu numerele puse în ea, apoi sinusul cerut.

Exercițiile 9–11 au același fel de cerință, cu numere proprii: la două se cere să arăți o valoare a sinusului, la una să o calculezi. Exercițiul 12 leagă teorema de teorema cosinusului și de raza cercului circumscris. Toate lecțiile de clasa a X-a sunt adunate pe pagina clasei, la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Împarți cu sinusul unui unghi care nu este în fața laturii: la exercițiul 1, cu $\sin 68^{\circ }$ în loc de $\sin 65^{\circ }$, iese $\frac{52\cdot 0,7314}{0,9272}\approx 41,0$ cm, nu $42,0$ cm → cum o prinzi: latura de 52 cm stă în fața lui $C$, iar în fiecare raport latura și unghiul trebuie să formeze o pereche completă.
• Iei sinusul unghiului obtuz cu minus, ca pe cosinus: la exercițiul 4, $\sin 104^{\circ }$ ar ieși $-0,9703$ și o latură negativă → cum o prinzi: sinusul unui unghi dintr-un triunghi este pozitiv, $\sin 104^{\circ }=\sin 76^{\circ }\approx 0,9703$, iar o lungime nu poate fi negativă.
• Răspunzi cu unghiul când se cere sinusul: la exercițiul 9 se cere $\sin B=\frac{1}{3}$, iar $B\approx 19,5^{\circ }$ nu este răspunsul → cum o prinzi: recitești verbul și obiectul cerinței înainte de ultimul rând.
• Treci cu vederea al doilea unghi cu același sinus: la exercițiul 7, $\sin C=0,5505$ aparține și lui $146,6^{\circ }$ → cum o prinzi: aduni al doilea unghi cu cel dat; $52+146,6=198,6$ depășește 180, deci nu există un al doilea triunghi.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, teorema sinusurilor face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă.

Întrebări frecvente

Cu cât se schimbă distanța până la D1 dacă baza se măsoară cu 20 cm mai lungă, la 39,0 m? Distanța crește în aceeași proporție cu baza: $P{D}_1\approx \frac{39,0\cdot 0,9724}{0,6947}\approx 54,59$ m, față de 54,31 m. Eroarea relativă de 0,5% a bazei se păstrează în rezultat și înseamnă aproape 0,3 m. De aceea inspectorul măsoară baza de două ori, cu ruleta bine întinsă.

Pot fi 70° la P și 115° la Q pentru aceeași gură? Nu. Cele două unghiuri adunate dau 185°, mai mult de 180°, iar suma unghiurilor unui triunghi este 180°. Înseamnă că o citire de la teodolit este greșită sau că cele două direcții nu vizează aceeași gură. Inspectorul reface citirile înainte să calculeze orice distanță.

Ce greșeală aduce la gura D3 un grad citit greșit la Q, de exemplu 94,5° în loc de 95,5°? Al treilea unghi devine $180^{\circ }-41,5^{\circ }-94,5^{\circ }=44,0^{\circ }$, iar $P{D}_3\approx \frac{38,8\cdot 0,9969}{0,6947}\approx 55,7$ m, față de 56,6 m. Un singur grad greșit la Q mută gura cu aproape un metru, mai mult decât 20 cm la bază, deci unghiurile se citesc de două ori.

La Bacalaureatul M3, ai de aflat măsura unghiului sau doar sinusul lui? În singura cerință cu teorema sinusurilor din cele 83 de probe oficiale, cea din iunie 2021, s-a cerut valoarea lui $\sin B$ ca fracție, nu măsura lui $B$. O singură cerință nu face o statistică, dar forma este limpede: proporția dintre cele două perechi, apoi sinusul.

Ce rază are cercul care trece prin borna P, țărușul Q și gura D1? Perechea completă este baza $PQ$ cu unghiul $D=44,0^{\circ }$ din fața ei, iar raportul lor este diametrul cercului circumscris: $2R=\frac{38,8}{0,6947}\approx 55,85$ m, deci $R\approx 27,9$ m. Practic același diametru iese și din distanța $Q{D}_1\approx 48,13$ m, aflată cu teorema cosinusului la verificarea exemplului 1: $\frac{48,13}{\sin 59,5^{\circ }}\approx 55,86$ m.