Cum aflu rația dacă știu a₃=10 și a₈=35?

Între rangurile 3 și 8 sunt 5 treceri, iar valoarea a crescut cu 25, deci r= 25/5=5. Primul termen iese din a₃=a₁+2r: a₁=10-10=0. Verificare: a₈=0+7· 5=35, exact valoarea dată, deci rația și primul termen sunt corecte.

Cum aflu a₁ și r dacă a₂+a₅=24 și a₄=15?

Scrii totul cu a₁ și r: 2a₁+5r=24 și a₁+3r=15. Din a doua, a₁=15-3r; înlocuind, 30-r=24, deci r=6 și a₁=-3. Verificare: a₂=3, a₅=21, suma 24, iar a₄=15.

De la ce rang depășește o progresie un prag?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Termenul general al PA

Scrii inecuația $a_{1} + (n - 1) r > P$ , o rezolvi și iei primul rang natural care o verifică. Exemplu: $a_{1} = 12$ , $r = 7$ , prag $100$ . Obții $7 (n - 1) > 88$ , adică $n - 1 > 12, 57 \dots$ , deci $n \geq 14$ . Verificare: $a_{13} = 12 + 84 = 96$ , sub prag, iar $a_{14} = 103$ , peste. Inegalitatea strictă contează: dacă un termen este exact egal cu pragul, el nu îl depășește.

Între rangul unu și rangul $n$ sunt $n - 1$ treceri. Într-o progresie aritmetică, fiecare trecere adaugă rația, deci termenul general este $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ . Verificarea la începutul domeniului trebuie să reproducă valoarea de pornire.

Dacă pornești de la un alt termen cunoscut, folosești $a_{n} = a_{m} + (n - m) r$ . Diferența rangurilor este semnată și descrie atât mersul înainte, cât și întoarcerea. Doi termeni situați la ranguri distincte determină rația prin împărțirea schimbării valorilor la diferența rangurilor. Reconstruiește apoi un termen de referință și controlează toate datele.

Pentru a afla rangul unei valori, rezolvă ecuația corespunzătoare și verifică dacă soluția este întreagă și aparține domeniului. O egalitate exactă nu permite rotunjirea indicelui. Dacă rația este zero, valoarea comună apare la toate rangurile admise, iar celelalte valori nu apar deloc.

La numerotarea de la zero, formula devine $b_{k} = b_{0} + k r$ . Un domeniu finit limitează utilizarea formulei, chiar dacă expresia algebrică poate fi calculată mai departe. Pentru primul rang care trece un prag, păstrează strictitudinea inegalității, folosește sensul variației și verifică valoarea candidatului împreună cu cea de la rangul precedent.

De reținut

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $a_{n} = a_{m} + (n - m) r$
pragul se trece rezolvând o inecuație și luând primul rang natural
numărul termenilor de la $a_{1}$ la $a_{n}$ este $n$ , nu numărul trecerilor

Greșeala tipică

Se rotunjește rangul la cel mai apropiat întreg, de exemplu $13, 57$ la $14$ fără verificare; se verifică termenii vecini, pentru că rotunjirea în jos ar da un termen sub prag.

Exerciții din această mini-lecție

O PA are $a_{1} = - 4$ și $r = 9$ . Cât este $a_{16}$ ?
- a) $122$
- b) $140$
- c) $131$
- d) $135$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $131$

Sunt cincisprezece treceri: $a_{16} = - 4 + 15 \cdot 9 = 131$ .
O stare inițială este $p_{0} = 18$ , iar fiecare operație scade două unități. Ce formulă descrie starea după $k$ operații?
- a) $p_{k} = 18 - 2 (k - 1)$
- b) $p_{k} = 18 - 2 k$
- c) $p_{k} = 16 - 2 k$
- d) $p_{k} = 18 + 2 k$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $p_{k} = 18 - 2 k$

La indice zero trebuie să obținem 18. După fiecare operație se scad încă două unități, deci $p_{k} = 18 - 2 k$ .
Într-o PA, $a_{5} = 2$ și $a_{9} = - 10$ . Care calcul dă rația?
- a) $(- 10 - 2) /9$
- b) $(2 + 10) /4$
- c) $(- 10 - 2) /5$
- d) $(- 10 - 2) / (9 - 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(- 10 - 2) / (9 - 5)$

Schimbarea de $- 12$ are loc pe patru treceri, deci $r = - 3$ . Numitorul este diferența rangurilor.

Întrebări conexe

Cum aflu rația dacă știu $a_{3} = 10$ și $a_{8} = 35$ ?

Între rangurile $3$ și $8$ sunt $5$ treceri, iar valoarea a crescut cu $25$ , deci $r = \frac{25}{5} = 5$ . Primul termen iese din $a_{3} = a_{1} + 2 r$ : $a_{1} = 10 - 10 = 0$ . Verificare: $a_{8} = 0 + 7 \cdot 5 = 35$ , exact valoarea dată, deci rația și primul termen sunt corecte.

Câți termeni are progresia $7, 12, 17, \dots, 97$ ?

Pui ultimul termen în formula termenului general: $7 + 5 (n - 1) = 97$ , deci $5 (n - 1) = 90$ și $n = 19$ . Progresia are $19$ termeni, cu primul și ultimul incluși. Numărul nu este $\frac{97 - 7}{5} = 18$ : la treceri se adaugă primul termen.

Ce nivel are apa dintr-un rezervor care scade cu $4$ cm pe oră?

Dacă nivelul inițial este $50$ cm, după $k$ ore el este $50 - 4 k$ cm, o progresie aritmetică cu rația $- 4$ . După $6$ ore rămân $50 - 24 = 26$ cm. Modelul are sens doar cât timp rezultatul rămâne nenegativ, adică pentru $k \leq 12, 5$ .

Este $200$ un termen al progresiei $5, 11, 17, \dots$ ?

Rezolvi $5 + 6 (n - 1) = 200$ , adică $6 (n - 1) = 195$ și $n - 1 = 32, 5$ . Rangul nu este natural, deci $200$ nu apare în progresie. Numărul $200$ cade între doi termeni vecini, $a_{33} = 197$ și $a_{34} = 203$ , fără să coincidă cu vreunul.

Cum aflu $a_{1}$ și $r$ dacă $a_{2} + a_{5} = 24$ și $a_{4} = 15$ ?

Scrii totul cu $a_{1}$ și $r$ : $2 a_{1} + 5 r = 24$ și $a_{1} + 3 r = 15$ . Din a doua, $a_{1} = 15 - 3 r$ ; înlocuind, $30 - r = 24$ , deci $r = 6$ și $a_{1} = - 3$ . Verificare: $a_{2} = 3$ , $a_{5} = 21$ , suma $24$ , iar $a_{4} = 15$ .

Oamenii mai întreabă și: primul rang care depășește un prag · de la ce termen progresia trece de o valoare · primul termen mai mare decât un număr · rangul la care se depășește o valoare

De la ce rang depășește o progresie un prag?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aflu rația dacă știu a3​=10 și a8​=35?

Câți termeni are progresia 7,12,17,…,97?

Ce nivel are apa dintr-un rezervor care scade cu 4 cm pe oră?

Este 200 un termen al progresiei 5,11,17,…?

Cum aflu a1​ și r dacă a2​+a5​=24 și a4​=15?

Continuă cu

Cum aflu rația dacă știu $a_{3} = 10$ și $a_{8} = 35$ ?

Câți termeni are progresia $7, 12, 17, \dots, 97$ ?

Ce nivel are apa dintr-un rezervor care scade cu $4$ cm pe oră?

Este $200$ un termen al progresiei $5, 11, 17, \dots$ ?

Cum aflu $a_{1}$ și $r$ dacă $a_{2} + a_{5} = 24$ și $a_{4} = 15$ ?