Cinci reactivi dintr-un laborator au codurile $$C$$, $$F$$, $$K$$, $$F$$, $$M$$, iar lista codurilor permise este $$C$$, $$F$$, $$K$$, $$M$$. Ce fel de regulă (reactiv $$\to$$ cod) este aceasta?

nici injectivă, nici surjectivă

La o clinică veterinară, plata finală $$P$$ se calculează din suma de pe deviz $$d$$ (lei) printr-una dintre regulile de mai jos. La care regulă poți afla $$d$$ din $$P$$, pentru orice $$d \ge 0$$?

$$P$$ este devizul rotunjit la cel mai apropiat multiplu de $$10$$ lei

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcții injective, surjective, bijective

Cum recunosc un cod care identifică produsul?

Cauți în coloana de coduri două produse cu același cod: dacă există, regula nu este injectivă și din cod nu afli produsul. Exemplu: codurile $21$ , $35$ , $14$ , $35$ , $28$ au pe $35$ de două ori, deci scanarea lui $35$ nu spune care produs a trecut. Dacă toate codurile sunt diferite, fiecare cod duce la un singur produs.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

O regulă care trimite fiecare element al unei mulțimi $A$ într-un element al lui $B$ este o funcție $f : A \to B$ . Ea este injectivă dacă elemente diferite au imagini diferite, surjectivă dacă fiecare element din $B$ este imaginea cuiva și bijectivă dacă are ambele proprietăți.

Pentru injectivitate cauți o repetiție: două intrări diferite cu aceeași ieșire o strică, iar pe grafic aceeași problemă se vede când o dreaptă orizontală intersectează curba în două puncte. Pentru surjectivitate cauți un element din $B$ care rămâne nefolosit.

La mulțimi finite poți număra. Cu mai multe elemente în $A$ decât în $B$ nu există regulă injectivă, iar cu mai puține nu există regulă surjectivă. Pe numere reale, o funcție strict monotonă este injectivă; invers nu merge întotdeauna.

Rotunjirile, plafoanele și pragurile de reducere produc des repetiții: aparatul pare să dea valori diferite, dar le lipește într-una. Verifici de ambele părți ale pragului, nu numai pe una.

De reținut

$f (a_{1}) = f (a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$
o repetiție în coloana de coduri strică injectivitatea
un cod din listă nefolosit strică surjectivitatea

Greșeala tipică

Se verifică numai dacă toate codurile din listă sunt folosite și regula pare bună. Corect, întâi se caută un cod care apare de două ori; un astfel de cod împiedică recunoașterea produsului.

Exerciții din această mini-lecție

Cinci reactivi dintr-un laborator au codurile $C$ , $F$ , $K$ , $F$ , $M$ , iar lista codurilor permise este $C$ , $F$ , $K$ , $M$ . Ce fel de regulă (reactiv $\to$ cod) este aceasta?
- a) injectivă și surjectivă
- b) injectivă, dar nu surjectivă
- c) surjectivă, dar nu injectivă
- d) nici injectivă, nici surjectivă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) surjectivă, dar nu injectivă

Codul $F$ apare de două ori, deci doi reactivi diferiți au același cod și regula nu este injectivă. Toate cele patru coduri din listă sunt folosite, deci regula este surjectivă. Prima variantă ar cere coduri toate diferite. A doua pretinde că un cod rămâne liber, dar $C$ , $F$ , $K$ și $M$ apar. A patra neagă surjectivitatea, deși nu lipsește niciun cod.
La o clinică veterinară, plata finală $P$ se calculează din suma de pe deviz $d$ (lei) printr-una dintre regulile de mai jos. La care regulă poți afla $d$ din $P$ , pentru orice $d \geq 0$ ?
- a) $P = ∣ d - 100 ∣$
- b) $P = 0, 9 d$
- c) $P$ este devizul rotunjit la cel mai apropiat multiplu de $10$ lei
- d) $P = min (d; 150)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $P = 0, 9 d$

Regula $P = 0, 9 d$ crește strict, deci două devize diferite dau plăți diferite și $d = \frac{P}{0 , 9}$ . La $∣ d - 100 ∣$ devizele $80$ și $120$ dau aceeași plată, $20$ . La rotunjire, $41$ și $44$ dau amândouă $40$ . La plafon, $150$ și $200$ dau amândouă $150$ .
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (m - 4) x + 9$ , cu $m$ număr real. Pentru ce valori ale lui $m$ funcția este injectivă?
- a) $m \neq = 4$
- b) $m > 4$
- c) $m = 4$
- d) $m \neq = 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m \neq = 4$

Funcția are panta $m - 4$ . Dacă panta este nenulă, funcția este strict monotonă, crescătoare sau descrescătoare, deci injectivă; asta înseamnă $m \neq = 4$ . Varianta $m > 4$ acceptă doar panta pozitivă și uită funcțiile descrescătoare. La $m = 4$ funcția este constantă, $f (x) = 9$ , deci nu e injectivă. Varianta $m \neq = 9$ confundă panta cu termenul liber.

Întrebări conexe

Cum găsesc un contraexemplu pentru injectivitate?

Alegi două intrări diferite care dau aceeași ieșire. La $g (x) = x^{2} - 10 x$ perechile simetrice față de vârful din $5$ au aceeași valoare: $g (1) = - 9$ și $g (9) = - 9$ . Deci $g$ nu este injectivă, deși fiecare calcul în parte pare în regulă.

Poate fi injectivă o funcție constantă?

Numai dacă mulțimea de plecare are un singur element. Când toate produsele au același preț, de exemplu $24$ de lei, două produse diferite dau aceeași valoare și regula nu poate fi inversată. Pentru un singur produs cu prețul $24$ de lei nu există nicio pereche de produse diferite, deci regula este injectivă.

Ce formulă de cod nu repetă niciodată un cod?

Una strict crescătoare în numărul produsului, de exemplu codul $3 n + 100$ : produsele 7 și 8 primesc 121 și 124, iar două numere diferite nu pot da același cod. Ultima cifră a lui $n$ nu merge ca regulă de cod: produsele 12 și 22 primesc amândouă codul 2.

Câte cifre trebuie să aibă un cod pentru 1200 de produse?

Cu $d$ cifre ai $1 0^{d}$ coduri, cu zerouri la început permise. Pentru $d = 3$ sunt $1000$ de coduri, prea puține pentru $1200$ de produse. Pentru $d = 4$ sunt $10000$ , deci ajung patru cifre și rămân libere $8800$ de coduri.

Trebuie să fie monotonă o funcție injectivă?

Nu. O funcție care crește mereu sau scade mereu păstrează valorile distincte, deci este injectivă, dar reciproca nu este adevărată. Regula cu $f (1) = 5$ , $f (2) = 9$ , $f (3) = 3$ are trei valori diferite, deci este injectivă, deși nu crește mereu și nu scade mereu.

Oamenii mai întreabă și: cod diferit pentru fiecare produs · funcție injectivă la un tabel de coduri · cum aflu dacă două produse au același cod · când un cod permite să recunosc produsul