Injectivitatea: coduri unice de produs, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

La casa de marcat, un produs se recunoaște după cod, dar numai dacă niciun alt produs nu are același cod. La fel stau lucrurile când o reducere sau un cântar îți dă un rezultat și vrei să te întorci de la el la datele de pornire. Cu testele funcțiilor injective, surjective și bijective decizi când se poate; le înveți în clasa a X-a, la filiera tehnologică. Le găsești împreună și în programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un magazin de articole sanitare a primit de la furnizor șase produse noi, iar gestionarul vrea ca la casă produsul să se recunoască din cod. A încercat trei feluri de coduri: codul raionului (raioanele 1, 2 și 3), un cod intern din lista 41–46 și codul tipărit pe etichetă, de o imprimantă care poate scoate orice număr de trei cifre. Tabelul arată ce cod primește fiecare produs în fiecare variantă.

Produsul	Prețul (lei)	Cod raion	Cod intern	Cod etichetă
Sifon de chiuvetă	38	2	44	612
Robinet monocomandă	142	1	41	618
Garnitură de cadă	27	2	46	618
Pară de duș	54	3	42	605
Furtun flexibil	33	1	45	631
Sifon de pardoseală	61	3	43	640

La casă, codul scanat trebuie să dea înapoi un singur produs. Pentru inventar, gestionarul mai vrea ca fiecare cod din lista unui sistem să fie folosit.

Întrebare: care dintre cele trei coloane de coduri permite casei să recunoască produsul și care folosește toate codurile din lista ei?

De la situație la model

Fiecare coloană din tabel este o regulă care trimite fiecare produs într-un cod. Dicționarul traduce cuvintele din magazin în cuvinte din matematică; despre definiția funcției vezi lecția despre tabelul de tarife.

În situație	În matematică
mulțimea celor șase produse	mulțimea de plecare $A$ , domeniul funcției
lista codurilor permise	mulțimea de sosire $B$ , codomeniul
regula care dă fiecărui produs un cod	funcția $f : A \to B$
„două produse au același cod”	$a_{1} \neq = a_{2}$ și $f (a_{1}) = f (a_{2})$
„un cod din listă nu e folosit”	un element din $B$ care nu este valoare a lui $f$

O funcție este injectivă dacă produse diferite primesc coduri diferite: din $f (a_{1}) = f (a_{2})$ rezultă $a_{1} = a_{2}$ . Este surjectivă dacă fiecare cod din $B$ este valoarea unui produs din $A$ . Este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă; atunci fiecărui cod îi corespunde exact un produs.

Cum afli dacă un cod recunoaște produsul?

Cauți în coloană două produse cu aceeași valoare. Un singur cod repetat ajunge ca să strici injectivitatea: în coloana cu etichete, codul 618 stă la robinet și la garnitură, deci casa nu poate spune care dintre ele a fost scanat. Dacă nu găsești nicio repetiție, funcția este injectivă. Pe un grafic, repetiția se vede ca o orizontală care taie curba în cel puțin două puncte; dacă orice orizontală taie curba în cel mult un punct, funcția este injectivă. Cum citești un grafic, vezi la citirea graficului.

De ce nu ajunge să verifici că toate codurile sunt folosite?

Coloana de raioane folosește toate cele trei coduri, 1, 2 și 3, deci este surjectivă. Totuși nu recunoaște produsul: raionul 2 ține sifonul de chiuvetă și garnitura de cadă. Un cod care se repetă strică injectivitatea, iar un cod din listă care lipsește strică surjectivitatea.

Ce spune numărătoarea și ce spune monotonia?

La mulțimi finite poți număra. Dacă $A$ are mai multe elemente decât $B$ , nicio funcție de la $A$ la $B$ nu este injectivă, fiindcă nu sunt destule coduri. Dacă $A$ are mai puține elemente decât $B$ , nu poate fi surjectivă, fiindcă rămân coduri libere. Dacă $A$ și $B$ au același număr de elemente, injectivă, surjectivă și bijectivă înseamnă același lucru, deci verifici numai una dintre ele. La funcții pe numere reale, o funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare este injectivă, ca la cubul din lecția despre funcția putere. Invers nu merge: o funcție injectivă nu trebuie să fie monotonă. După numărul rândului din tabel, codurile interne sunt 44, 41, 46, 42, 45 și 43: urcă și coboară, dar sunt diferite, deci regula e injectivă fără să fie monotonă. O funcție bijectivă are inversă; vezi funcția inversă.

Metoda pas cu pas

Scrie mulțimea de plecare $A$ , lista de sosire $B$ și regula. Spune câte elemente au $A$ și $B$ , dacă sunt finite.
Numără mai întâi: dacă $A$ are mai multe elemente decât $B$ , răspunsul pentru injectivitate este „nu”, fără alte calcule; dacă are mai puține, răspunsul pentru surjectivitate este „nu”.
Caută în tabel sau pe grafic două valori ale lui $x$ cu aceeași imagine, adică o repetiție în coloană sau o orizontală care taie curba de două ori. Dacă funcția este strict monotonă, ea este injectivă; dacă e dată prin formulă, încearcă și o pereche $x_{1} \neq = x_{2}$ cu $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .
Verifică surjectivitatea: vezi dacă fiecare element din $B$ apare ca valoare, adică dacă niciun cod din listă nu rămâne liber.
Verifică rezultatul prin numărătoare: dacă ai găsit o regulă injectivă, numărul de produse nu poate fi mai mare decât numărul de coduri din listă.

Dacă …	atunci …
două produse au același cod	regula nu e injectivă: din cod nu se recunoaște produsul
toate codurile din coloană sunt diferite	regula e injectivă
un cod din lista permisă nu apare	regula nu e surjectivă
mulțimile au același număr de elemente și codurile sunt diferite	regula e bijectivă: fiecare cod permis e folosit o singură dată
sunt mai multe produse decât coduri	nicio regulă nu poate fi injectivă, oricâte coduri ai alege
o orizontală taie graficul în cel puțin două puncte	funcția nu e injectivă

Fișa de buzunar

$f (a_{1}) = f (a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$

$∣ A ∣ = ∣ B ∣ (mul ț imi finite) : injectiv \overset{a}{˘} ⟺ surjectiv \overset{a}{˘} ⟺ bijectiv \overset{a}{˘}$

Prima regulă definește injectivitatea; contraexemplul ei este o pereche de produse diferite cu același cod. Condiții: a doua merge numai la mulțimi finite, cu același număr de elemente; la numere reale nu mai ține. Verificare rapidă: șase produse și șase coduri, toate diferite, înseamnă că ai folosit toate codurile.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele trei coloane de coduri

Domeniu: comert.

Enunț. Reia tabelul din situația de pornire. Pentru fiecare coloană, spune dacă regula este injectivă, surjectivă sau bijectivă și ce poate face casa cu ea. Lista codurilor de etichetă nu e fixată, deci la coloana de etichete nu se întreabă de surjectivitate.

Rezolvare. Coloana de raioane are valorile 2, 1, 2, 3, 1, 3. Codul 2 apare de două ori, la sifonul de chiuvetă și la garnitura de cadă, deci nu e injectivă. Folosește toate codurile din lista {1, 2, 3}, deci e surjectivă. Casa află raionul, dar nu produsul. Coloana internă are valorile 44, 41, 46, 42, 45, 43, toate diferite: e injectivă. Sunt șase produse și șase coduri în lista 41–46, deci e și surjectivă, adică bijectivă: casa recunoaște produsul și fiecare cod e folosit o dată. Coloana de etichete are valorile 612, 618, 618, 605, 631, 640. Codul 618 se repetă, deci nu e injectivă și nu merge la casă până nu se corectează eticheta.

Capcană. Cine se oprește la raioane și vede că toate cele trei coduri apar scrie „regula e bună, fiindcă folosește tot ce are”. A verificat surjectivitatea, nu injectivitatea: din cod 2 nu afli dacă a fost scanat sifonul sau garnitura.

Verificare. Pe alt drum, prin numărare: șase produse nu încap, fără repetiții, în trei raioane, deci la raioane injectivitatea cade oricum. Cu șase produse și șase coduri, coloana internă poate fi bijectivă și chiar este.

Exemplul 2 — Bonul de reducere la restaurant

Domeniu: turism.

Enunț. Un restaurant dă un bon de 25 lei la nota de plată de cel puțin 120 lei, adică plata finală este $N (c) = c$ pentru $c < 120$ și $N (c) = c - 25$ pentru $c \geq 120$ , unde $c$ este nota, în lei. a) Găsește două note diferite cu aceeași plată finală. b) Pentru ce plăți există două note diferite? c) Regula $M (c) = c$ pentru $c \leq 120$ și $M (c) = 120 + 0, 75 (c - 120)$ pentru $c > 120$ este injectivă?

Rezolvare. a) Nota de 118 lei plătește 118 lei. Nota de 143 lei are $143 \geq 120$ , deci plătește $143 - 25 = 118$ lei. Două note diferite, aceeași plată: $N$ nu este injectivă. b) La $c = 120$ plata scade brusc la $120 - 25 = 95$ lei. Plățile din intervalul $[95; 120)$ apar de două ori, o dată de la note din $[95; 120)$ și o dată de la note din $[120; 145)$ . c) Panta este 1 pe prima ramură și $0, 75$ pe a doua, ambele pozitive, iar ramurile se leagă în $c = 120$ (ambele dau 120). Plata crește strict, deci $M$ este injectivă: din plată se află nota.

Capcană. Cine verifică regula $N$ doar pe note sub 120 lei vede o funcție strict crescătoare și o declară injectivă; contraexemplul stă după prag.

Verificare. $M (143) = 120 + 0, 75 \cdot 23 = 137, 25$ lei, iar $M (118) = 118$ lei: plăți diferite pentru aceleași două note, cum cere injectivitatea.

Exemplul 3 — Prețul rotunjit la ban pe cântarul fermei

Domeniu: agricol.

Enunț. La poarta unei ferme de legume, cântarul calculează prețul rotunjit la cel mai apropiat ban. Pentru o masă de $g$ grame, număr întreg, prețul este $c \cdot g : 1000$ lei, rotunjit, unde $c$ este prețul pe kilogram. Cartofii costă 4,30 lei/kg, iar cireșele 18,40 lei/kg. a) Cât costă 100 g de cartofi? b) Ce mase de cartofi dau prețul de 0,43 lei? c) Poate cântarul să dea două mase diferite de cireșe cu același preț?

Rezolvare. a) $4, 30 \cdot 100 : 1000 = 0, 43$ lei. b) Pentru 99 g: $4, 30 \cdot 99 : 1000 = 0, 4257$ , care se rotunjește la 0,43. Pentru 101 g: $0, 4343$ , tot 0,43. Pentru 98 g ies 0,4214, adică 0,42, iar pentru 102 g ies 0,4386, adică 0,44. Deci prețul de 0,43 lei vine de la trei mase, 99, 100 și 101 g, iar prețul pe cartofi nu este o funcție injectivă. c) Un gram de cireșe costă $18, 40 : 1000 = 0, 0184$ lei, adică 1,84 bani. Două mase întregi diferite diferă cu cel puțin 1 g, deci prețurile lor nerotunjite diferă cu cel puțin 1,84 bani. Rotunjirea la ban nu poate lipi două valori care diferă cu mai mult de un ban, deci prețul de cireșe este injectiv și masa se află din preț.

Capcană. Cine calculează prețul nerotunjit al fiecărei mase vede valori diferite și crede că funcția este injectivă. Cântarul afișează însă numai bani întregi, iar la cartofi un gram valorează mai puțin de un ban.

Verificare. Pe alt drum, calculezi masele vecine la cireșe: 99 g dau 1,8216 lei, afișat 1,82; 100 g dau 1,84 lei; 101 g dau 1,8584 lei, afișat 1,86. Prețurile diferă din doi în doi bani, pe când la cartofi aceleași trei mase dau toate 0,43 lei.

Exemplul 4 — Problema inversă: câte cifre trebuie să aibă codul

Domeniu: auto.

Enunț. Acum mergi invers: din numărul de produse afli lungimea codului. Un magazin de piese auto vrea ca fiecare reper să aibă un cod numeric diferit, de $d$ cifre, cu zerouri la început permise, deci $1 0^{d}$ coduri posibile. Azi are 860 de repere în stoc, iar planul de extindere estimează 3 200 peste cinci ani. Codurile se lipesc pe rafturi și nu se mai schimbă. Care este cea mai mică valoare a lui $d$ pentru care regula rămâne injectivă și peste cinci ani? Câte coduri rămân libere atunci?

Rezolvare. O regulă injectivă cere cel puțin tot atâtea coduri câte repere: $1 0^{d} \geq 3200$ . Pentru $d = 3$ sunt $1 0^{3} = 1000$ coduri: ajung pentru cele 860 de repere de azi, dar nu și pentru 3 200. Pentru $d = 4$ sunt $1 0^{4} = 10000$ coduri, destule. Deci $d = 4$ . Peste cinci ani rămân libere $10000 - 3200 = 6800$ de coduri, deci regula nu poate fi surjectivă.

Capcană. Cine alege $d = 3$ după stocul de azi, fiindcă 1 000 de coduri depășesc 860 de repere, rămâne fără coduri după al 1 000-lea reper: din cele 3 200 estimate, cel puțin $3200 - 1000 = 2200$ ar primi un cod deja folosit, iar rafturile ar trebui reetichetate.

Verificare. Pe alt drum, scrii codurile: cu patru cifre, 0000–3199 ajung exact pentru 3 200 de repere, iar cu trei cifre cel mai mare cod este 999, deci sunt doar 1 000 de coduri.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un depozit codifică șase repere (filtrul, bujia, cureaua, lanțul, rulmentul și fusul) cu literele B, D, B, E, C, D. Lista codurilor permise este {B, C, D, E}. Este regula injectivă? Dar surjectivă?

2. Un grafic unește, în ordine, punctele $(0; 12)$ , $(3; 4)$ , $(6; 10)$ , $(9; 4)$ și $(12; 16)$ . Arată că orizontala $y = 7$ îl taie în patru puncte, scrie abscisele lor și spune dacă funcția este injectivă.

3. Spune dacă fiecare regulă este injectivă pe $R$ ; dacă nu, dă două numere diferite cu aceeași valoare: a) $x \mapsto 7 x - 18$ ; b) $x \mapsto x^{2} - 6 x$ ; c) $x \mapsto ∣ x - 9 ∣$ ; d) $x \mapsto x^{3}$ .

4. Un magazin are 9 produse noi și o listă de 7 coduri. Poate exista o regulă injectivă? Dar una surjectivă? Justifică numărând.

Nivelul 2 — situații

5. O fermă pune la fiecare animal, pe lângă crotalia oficială, o crotalie de management cu număr de trei cifre, de la 000 la 999, după care ține fișa de furajare. Ferma are 640 de animale și mai cumpără 450. a) Se poate atribui acum fiecărui animal un număr diferit? b) Dar după achiziție? c) La cel puțin câte animale va ajunge un număr dat deja altuia?

6. Un service auto face un test de descărcare cu farurile aprinse și notează tensiunea bateriei unei autoutilitare la fiecare sfert de oră. Graficul, cu tensiunea în volți și timpul $x$ în sferturi de oră, unește punctele $(0; 12, 6)$ , $(1; 12, 2)$ , $(2; 11, 9)$ , $(3; 11, 9)$ și $(4; 11, 5)$ . a) Pentru ce tensiuni nu poți afla momentul? b) Pe care dintre intervalele $[0; 2]$ , $[1; 3]$ și $[2; 4]$ este funcția injectivă?

7. Un magazin reduce toate prețurile cu 35 % și afișează prețul redus rotunjit la ban, egal cu $0, 65 p$ rotunjit, unde $p$ este prețul de listă, în bani, număr întreg. a) Găsește două prețuri de listă diferite, între 100 și 120 de bani, cu același preț redus. b) Câte prețuri reduse diferite pot apărea pentru cele 21 de prețuri de listă de la 100 la 120 de bani?

8. O firmă de închirieri dă o schelă metalică cu 240 lei pe zi pentru primele 5 zile și cu 190 lei pe zi de la a șasea. Costul pentru $n$ zile este $S (n)$ . Este $S$ injectivă? Poate un client să plătească pentru 7 zile cât alt client pentru 6?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Temperatura unui reactor de laborator cu manta de răcire, în grade Celsius, la $x$ minute după pornire este $T (x) = - 2 x^{2} + 24 x + 20$ , pentru $x \in [0; 12]$ . a) Arată că $T$ nu este injectivă. b) Care este cel mai mare interval $[0; a]$ pe care $T$ este injectivă? Indicație: $T (x_{1}) - T (x_{2}) = (x_{1} - x_{2}) (24 - 2 (x_{1} + x_{2}))$ .

10. (Sinteză.) Un depozit are 12 produse și o listă de $k$ coduri. Spune pentru ce valori ale lui $k$ o regulă poate fi injectivă, surjectivă sau bijectivă. Arată că, la $k = 12$ , orice regulă injectivă folosește toate codurile.

11. (Sinteză.) Șase produse au codurile permise 1, 2, 3, 4, 5, 6, iar regula este bijectivă. Patru produse au codurile 3, 6, 1 și 4; celelalte două, $P$ și $Q$ , nu au încă cod. Ce coduri pot primi $P$ și $Q$ și în câte moduri?

12. (Sinteză.) Un cântar afișează prețul rotunjit la ban, pentru mase întregi, în grame. La 9,70 lei/kg arată că masele de 16 g și 17 g au același preț. Cântarul cântărește de la 1 g la 1 000 g. De la ce preț întreg pe kilogram, în lei, nu se mai repetă niciun preț?

Răspunsuri și verificări

1. Codurile B și D se repetă, deci regula nu este injectivă; toate cele patru coduri apar, deci este surjectivă. Verificare: șase repere nu pot avea patru coduri diferite.

2. Abscisele sunt $\frac{15}{8}$ , $\frac{9}{2}$ , $\frac{15}{2}$ și $\frac{39}{4}$ : patru puncte, deci funcția nu este injectivă. Verificare: de la $(3; 4)$ la $(6; 10)$ valoarea crește cu 2 pe unitate, deci 7 se atinge în $x = 4, 5$ .

3. a) Injectivă. b) Nu: $f (0) = 0 = f (6)$ . c) Nu: $∣ 5 - 9 ∣ = 4 = ∣ 13 - 9 ∣$ . d) Injectivă. Verificare: la a) și d) funcția crește strict.

4. Injectivă nu, fiindcă $9 > 7$ ; surjectivă poate fi. Verificare: 9 produse nu încap în 7 coduri diferite.

5. a) Da. b) Nu: $640 + 450 = 1090 > 1000$ . c) La cel puțin $1090 - 1000 = 90$ de animale. Verificare: $640 \leq 1000$ .

6. a) Pentru 11,9 V, valoare luată pe tot intervalul $[2; 3]$ . b) Numai pe $[0; 2]$ , fiindcă celelalte două conțin $[2; 3]$ . Verificare: $12, 6 > 12, 2 > 11, 9$ .

7. a) 101 și 102: $0, 65 \cdot 101 = 65, 65$ bani, deci 66 de bani, iar $0, 65 \cdot 102 = 66, 3$ bani, tot 66. b) Prețurile reduse sunt numere întregi de bani între 65 și 78, deci cel mult 14; calculate, apar toate cele 14. Verificare: $21 > 14$ .

8. Ambele ramuri cresc strict și se leagă în $n = 5$ , deci $S$ este injectivă. Pentru 7 zile plătești $1200 + 2 \cdot 190 = 1580$ lei, iar pentru 6 zile $1390$ lei: nu. Verificare: $1580 > 1390 > 1200$ .

9. a) $T (2) = 60 = T (10)$ , deci $T$ nu este injectivă. b) $T (x_{1}) = T (x_{2})$ cu $x_{1} \neq = x_{2}$ cere $24 - 2 (x_{1} + x_{2}) = 0$ , adică $x_{1} + x_{2} = 12$ . Pe $[0; a]$ cu $a \leq 6$ nu există astfel de perechi, iar la $6 < a \leq 12$ apare perechea $12 - a$ și $a$ : intervalul cerut este $[0; 6]$ . Verificare: $T (0) = 20 < T (2) = 60 < T (4) = 84 < T (6) = 92$ .

10. Injectivă numai pentru $k \geq 12$ , surjectivă numai pentru $k \leq 12$ , bijectivă numai pentru $k = 12$ . La $k = 12$ , o regulă injectivă dă 12 coduri diferite din 12 existente, deci le folosește pe toate. Verificare: la $k = 13$ rămâne un cod liber, iar la $k = 11$ un cod se repetă.

11. După 3, 6, 1 și 4 rămân codurile 2 și 5. Fie $P = 2$ și $Q = 5$ , fie $P = 5$ și $Q = 2$ : două moduri. Verificare: în fiecare variantă apar toate codurile 1–6.

12. La 16 g: $9, 70 \cdot 16 : 1000 = 0, 1552$ lei, adică 15,52 bani, deci 16 bani; la 17 g, 16,49 bani, tot 16 bani. La 10 lei/kg un gram costă exact un ban, deci cele 1 000 de mase dau 1 000 de prețuri diferite; mai sus prețurile rămân diferite. Sub 10 lei/kg, la un preț întreg $c \leq 9$ , prețurile sunt numere întregi de bani între 0 și $100 c \leq 900$ , adică cel mult 901 valori pentru 1 000 de mase, deci unele se repetă. Răspuns: de la 10 lei/kg în sus. Verificare: la 9 lei/kg sunt cel mult 901 prețuri.

Așa vine la Bac M3

Recunoașterea funcțiilor injective, surjective și bijective nu a apărut în probele 2013–2026. Programa de examen M_tehnologic numește injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea la clasa a X-a: blocul „Funcții și ecuații” le are pe rândul funcțiilor inversabile. În indexul cerințelor, construit din cele 83 de probe oficiale, nu există nicio cerință cu această temă, nici principală, nici secundară, iar cuvintele „injectivă”, „surjectivă” și „bijectivă” nu se găsesc în niciun enunț. Funcțiile intră în probe pe un drum vecin: în 48 de probe, cerința 2 din Subiectul I s-a sprijinit pe funcția de gradul I.

Fiindcă nicio cerință reală nu poate fi pusă aici, antrenamentul stă în exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.). Ele nu copiază vreun format de examen: pui testele pe un reactor care se încălzește și se răcește, numeri codurile pentru douăsprezece produse, completezi un registru cu două coduri lipsă și cauți de la ce preț pe kilogram un cântar nu mai repetă niciun preț. Traseul clasei îl găsești în hubul clasei a X-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Declari regula bună fiindcă folosește toate cele trei raioane → raionul 2 ține două produse și casa nu află care a fost scanat; cum o prinzi: cauți întâi un cod care se repetă, nu un cod care lipsește.
Verifici plata $N (c)$ numai pentru note sub 120 lei și o crezi injectivă → notele de 118 și de 143 lei plătesc la fel; cum o prinzi: cauți contraexemple de ambele părți ale pragului.
Calculezi prețul cartofilor fără rotunjire și vezi valori diferite pentru 99, 100 și 101 g → cântarul afișează trei mase cu același preț; cum o prinzi: la 4,30 lei/kg un gram face sub un ban, deci rotunjești înainte să compari.
Alegi coduri de trei cifre după stocul de azi, de 860 de repere → peste cinci ani cel puțin 2 200 de repere ar primi un cod deja dat; cum o prinzi: numeri codurile pentru stocul final, $1 0^{3} = 1000 < 3200$ , înainte să lipești etichetele.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: recunoașterea funcțiilor injective, surjective și bijective face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă imprimanta corectează eticheta garniturii de cadă și îi dă codul 620?

Coloana de etichete devine 612, 618, 620, 605, 631, 640, toate diferite, deci regula devine injectivă și casa poate recunoaște fiecare produs din cod. Lista etichetelor nu e fixată, așa că nu mai întrebi dacă sunt folosite toate codurile.

Mai poate coloana internă să rămână injectivă dacă sosește un al șaptelea produs?

Numai dacă lista crește: cu codurile 41–46 sunt șase locuri, iar șapte produse nu încap fără repetiții. Cu lista 41–47 regula poate fi din nou injectivă, iar dacă al șaptelea produs primește codul 47, ea redevine bijectivă.

Poate prețul în lei să fie folosit drept cod?

În tabel cele șase prețuri sunt diferite: 38, 142, 27, 54, 33 și 61. Deci regula produs → preț este injectivă acum. Un produs nou de 38 lei sau o reducere o strică, iar un cod trebuie să reziste schimbărilor de preț.

Are rost un cod care nu recunoaște produsul, ca cel de raion?

Da, dar pentru alt scop: totalurile pe raioane. Fiecare raion are două produse, deci codul grupează produsele câte două, iar casa adună vânzările pe raion. Pentru a recunoaște produsul ai nevoie de coloana internă, care este injectivă.

A cerut Bacalaureatul M3 vreodată să arăți că o funcție este bijectivă?

Programa de examen M_tehnologic trece bijectivitatea la clasa a X-a, în blocul despre funcții și ecuații, deci o asemenea cerință este posibilă. În probele 2013–2026, după indexul celor 83 de probe, nicio cerință nu are injectivitatea sau bijectivitatea ca temă.