Care dintre șirurile de mai jos NU este o linie a triunghiului lui Pascal?

$$1, 12, 66, 220, 495, 790, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1$$

$$1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1$$

$$1, 13, 78, 286, 715, 1287, 1716, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Pascal: linii și dezvoltări

Cum calculez cu binomul stratul de pe un cub?

Volumul stratului este volumul cubului acoperit minus volumul nucleului. Muchia crește de două ori cât grosimea, apoi dezvolți $(a + c)^{3}$ cu coeficienții 1, 3, 3, 1. Pentru un nucleu de 15 mm și un strat de 0,5 mm pe fiecare față, $c = 1$ , iar stratul are $3 \cdot 1 5^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 15 \cdot 1^{2} + 1^{3} = 721$ mm³. Proba: $1 6^{3} - 1 5^{3} = 4096 - 3375 = 721$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Binomul lui Newton transformă puterea naturală a unei sume cu doi termeni într-o sumă de termeni simpli, iar triunghiul lui Pascal este tabelul coeficienților. Pe linia $n$ stau $n + 1$ numere, anume combinările $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ . Aici ajungi până la puterea a cincea: liniile 4 și 5 sunt 1, 4, 6, 4, 1 și 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Ca să dezvolți, numești cei doi termeni cu tot cu semn, de pildă $2 x$ și $- 3$ , apoi iei coeficienții liniei egale cu exponentul. Termenii au forma $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ : puterea primului scade, a celui de-al doilea crește. Termenul întreg se ridică la putere împreună cu coeficientul și cu semnul lui. Un număr din tablou se obține adunând cele două vecine de deasupra, iar simetria $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ scurtează calculul când $k$ e aproape de $n$ .

Capcanele sunt două. Prima: ridici la putere doar litera, nu și coeficientul, sau uiți că un minus în paranteză dă semne alternate. A doua: amesteci exponentul variabilei cu numărul alegerilor, deși pentru $x^{3}$ dintr-o putere a cincea ai nevoie de $k = 2$ .

Verifici cu suma coeficienților: pentru $x = 1$ paranteza dă valoarea sumei, iar o linie întreagă adună $2^{n}$ . Aceleași numere numără și alegeri: într-un șir de $n$ elemente cu două stări posibile, $C_{n}^{k}$ spune în câte șiruri una dintre stări apare de $k$ ori.

De reținut

$(a + c)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} c + 3 a c^{2} + c^{3}$
stratul = cubul acoperit − nucleul
al doilea termen $c$ este dublul grosimii de pe o față

Greșeala tipică

Se ia al doilea termen egal cu grosimea, nu cu dublul ei, deși stratul stă pe ambele capete ale muchiei. Pentru grosimea de 0,5 mm, $c = 1$ , nu 0,5; altfel muchia ar ieși 15,5 mm în loc de 16 mm.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre șirurile de mai jos NU este o linie a triunghiului lui Pascal?
- a) $1, 4, 6, 4, 1$
- b) $1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1$
- c) $1, 12, 66, 220, 495, 790, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1$
- d) $1, 13, 78, 286, 715, 1287, 1716, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1, 12, 66, 220, 495, 790, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1$

O linie a triunghiului este simetrică și fiecare număr este suma celor două de deasupra lui. Pe linia 12, numărul de după 495 se obține din linia 11, $330 + 462 = 792$ , nu 790, iar linia trebuie să fie simetrică, deci și simetricul lui este 792. Șirul c se strică și la simetrie, și la regula sumei. Celelalte trei șiruri sunt liniile 4, 11 și 13.
O pizzerie are 9 toppinguri la dispoziție. O pizza specială se face cu exact 7 toppinguri diferite, iar ordinea în care sunt puse nu contează. În câte moduri poate fi alcătuită?
- a) 36
- b) 72
- c) 84
- d) 63
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 36

A alege 7 toppinguri înseamnă a le alege pe cele 2 lăsate deoparte: $C_{9}^{7} = C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ . Varianta 72 este $9 \cdot 8$ și numără ordinea, care aici nu contează. Varianta 84 este $C_{9}^{3}$ , un număr de pe altă poziție a liniei 9. Varianta 63 înmulțește 9 cu 7.
Dezvoltarea lui $(3 x - 7)^{4}$ are cinci termeni. Cât este suma coeficienților lor, cu tot cu semne?
- a) $- 256$
- b) $256$
- c) $10000$
- d) $2401$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $256$

Suma coeficienților se obține pentru $x = 1$ : $(3 \cdot 1 - 7)^{4} = (- 4)^{4} = 256$ . Varianta $10000$ vine din $(3 + 7)^{4}$ , cu minusul uitat. Varianta $- 256$ uită că exponentul 4 este par. Varianta 2401 este doar $7^{4}$ , adică ultimul termen.

Întrebări conexe

De ce nu adun la cub un cub mic cât grosimea stratului?

Pentru că stratul nu are doar colțuri: sunt și plăci pe fețe, și bare pe muchii, adică termenii din mijloc ai binomului. La nucleul de 20 mm și grosimea de 1 mm, $c = 2$ , cubul mic are 8 mm³, dar stratul are $2 2^{3} - 2 0^{3} = 2648$ mm³, deci ar lipsi 2640 mm³ din calcul.

Cum verific o dezvoltare de cub cu numere mici?

Alegi $a = 10$ și $c = 1$ . Atunci $(10 + 1)^{3} = 1331$ , iar termenii $1000 + 300 + 30 + 1$ dau tot 1331. Coeficienții 1, 3, 3, 1 adună 8, adică $2^{3}$ , ceea ce se întâmplă la orice dezvoltare de gradul 3 pentru $a = c = 1$ .

Cât crește muchia când adaug un strat?

Aduni nucleul cu dublul grosimii, fiindcă stratul stă pe ambele capete ale muchiei. Pentru nucleul de 40 mm și stratul de 0,75 mm, muchia este $40 + 2 \cdot 0, 75 = 41, 5$ mm. Cu grosimea simplă ai obține 40,75 mm, deci un strat prea subțire.

Cum scot grosimea din volumul total al piesei?

Aduni volumul stratului la cel al nucleului și extragi rădăcina cubică. Nucleul de 30 mm are 27000 mm³; împreună cu 2791 mm³ de strat fac 29791 mm³, iar $329791 = 31$ . Muchia a crescut cu 1 mm, deci stratul are 0,5 mm pe fiecare față.

Cum calculez lacul pentru mai multe cuburi la fel?

Înmulțești volumul stratului unui cub cu numărul de cuburi. Pentru nucleul de 12 mm și grosimea de 0,5 mm, stratul are $1 3^{3} - 1 2^{3} = 469$ mm³, iar 25 de cuburi cer $25 \cdot 469 = 11725$ mm³, adică 11,725 cm³, fiindcă un centimetru cub are 1000 mm³.

Oamenii mai întreabă și: rășină pe toate fețele unui cub, cât material · cub acoperit cu strat, volum cu binomul · câți mm cubi de strat intră pe o piesă cubică · strat uniform pe toate fețele unui cub