Binomul până la puterea 5: liceu tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a X-a → ·

Volumul unui cub de probă acoperit cu un strat subțire nu se află adunând la volumul cubului un cub mic, cu latura cât grosimea stratului. Volumul se descompune în patru părți, cu coeficienți luați dintr-un tablou de numere: formula este binomul lui Newton, iar tabloul, triunghiul lui Pascal. La clasa a X-a, în filiera tehnologică, binomul se învață până la puterea a cincea și servește la straturi de material, la probe dintr-un lot și la marcajul cablurilor. Binomul figurează în programa Bacalaureatului din 2030.

Situația de pornire

Un laborator de materiale acoperă cuburi de probă din oțel cu un strat protector de rășină epoxidică, ca să le încerce apoi la coroziune, în ceață salină. Rășina este un amestec din două componente, iar cuburile se scufundă în el, așa că stratul se depune pe toate cele șase fețe, cu aceeași grosime. Chimistul trebuie să comande destul material de acoperire și vrea să știe câți milimetri cubi de strat intră într-un cub și din ce părți se compune volumul cubului acoperit. Stratul acoperă și muchiile, și colțurile, nu doar fețele, așa că volumul lui nu se socotește doar ca arie înmulțită cu grosimea.

Cub de probă	Muchia nucleului (mm)	Grosimea stratului pe fiecare față (mm)
tip A	12	0,75
tip B	18	0,75
tip C	21	1,25

Calculul se face pentru cubul de tip A.

Întrebare: ce volum are stratul unui cub de tip A și din ce părți se compune volumul cubului acoperit?

De la situație la model

Muchia cubului acoperit crește cu grosimea stratului de două ori, o dată pe fiecare parte. Tabelul traduce situația.

În situație	În matematică
muchia nucleului, 12 mm	primul termen al binomului, $a = 12$
creșterea muchiei prin strat, $2 \cdot 0, 75$ mm	al doilea termen, $c = 1, 5$
cubul acoperit, cu muchia $12 + 1, 5$ mm	binomul ridicat la puterea a treia, $(a + c)^{3}$
nucleul, fețele, muchiile și colțurile stratului	cei patru termeni ai dezvoltării
volumul stratului	$(a + c)^{3} - a^{3}$

Binomul lui Newton dă dezvoltarea unei sume de doi termeni ridicată la o putere naturală: $(a + b)^{n}$ este suma termenilor $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , pentru $k$ de la 0 la $n$ . Triunghiul lui Pascal este tabloul coeficienților $C_{n}^{k}$ : linia $n$ are $n + 1$ numere, iar primul și ultimul sunt 1. Lecția merge până la exponentul 5, cel din programa clasei, iar pentru exponenți mai mari se construiesc liniile următoare cu aceeași regulă.

Cum se construiește triunghiul lui Pascal?

Fiecare număr este suma celor două numere de deasupra lui, adică $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ . Din linia 3, $1, 3, 3, 1$ , rezultă linia 4: $1, 1 + 3, 3 + 3, 3 + 1, 1$ , adică $1, 4, 6, 4, 1$ , iar din ea linia 5, $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . Fiecare linie se începe și se încheie cu 1, pentru că există o singură alegere a niciunui element și o singură alegere a tuturor. Liniile și pozițiile se numără de la zero, așa că $C_{5}^{2}$ este al treilea număr de pe linia a șasea a tabloului, adică de pe linia notată 5.

De ce coeficienții sunt combinări?

La $(a + b)^{n}$ ai $n$ paranteze, iar din fiecare alegi $a$ sau $b$ . Un termen cu $b$ de $k$ ori se obține alegând, din cele $n$ paranteze, cele $k$ în care iei $b$ . Numărul acestor alegeri este $C_{n}^{k}$ , așa că el devine coeficientul lui $a^{n - k} b^{k}$ . La $(a + b)^{3}$ , termenul $a b^{2}$ cere $b$ din două dintre cele trei paranteze, în $C_{3}^{2} = 3$ moduri, de aceea se scrie $3 a b^{2}$ .

Ce sunt combinările complementare?

A alege $k$ elemente din $n$ este tot una cu a alege cele $n - k$ care rămân în afară, deci $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ . Pe fiecare linie a triunghiului numerele sunt simetrice față de mijloc, iar un calcul cu $k$ mare se scurtează: $C_{12}^{10} = C_{12}^{2}$ . La laborator, a alege 6 reactivi dintr-un set de 8 pentru un amestec înseamnă a-i alege pe cei 2 lăsați deoparte, deci $C_{8}^{6} = C_{8}^{2} = 28$ .

Metoda pas cu pas

Metoda are patru pași și merge la fel pentru dezvoltări și pentru numărări.

Hotărăște ce numeri sau ce dezvolți. La un binom, numește cei doi termeni $a$ și $b$ cu tot cu semn și coeficient, de pildă $a = 2 x$ și $b = - 3$ . La o numărare, spune câte elemente alegi și din câte. Scrie exponentul $n$ , adică numărul parantezelor sau al pașilor.
Citește linia $n$ a triunghiului, construită prin recurență din linia de dinainte, sau scrie $C_{n}^{k}$ și folosește combinările complementare când $k$ e aproape de $n$ . Coeficienții sunt $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ , deci sunt $n + 1$ , și se citesc de la stânga la dreapta.
Scrie termenii $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , cu exponentul lui $a$ scăzând și al lui $b$ crescând, și calculează fiecare termen. Ridică la putere termenul întreg, cu coeficient și semn, nu doar litera. La $(a - b)^{n}$ semnele alternează, iar termenii cu $b$ la putere impară sunt negativi.
Verifică: suma numerelor de pe linia $n$ a triunghiului este $2^{n}$ , linia e simetrică, iar valoarea dezvoltării coincide cu cea a binomului calculat direct pe un număr, de exemplu pe $a = b = 1$ sau pe o valoare simplă a lui $x$ .

La o dezvoltare, scrie termenii în ordine și numerotează-i, ca să găsești repede termenul cerut. La o numărare, spune în cuvinte ce alegere reprezintă fiecare coeficient, de pildă „cele două aplicări cu produsul A”, apoi compară rezultatul cu totalul $2^{n}$ al tuturor alegerilor. Un coeficient mai mare decât acest total arată că ai citit greșit linia sau poziția din tablou.

Legătura cu celelalte metode de numărare o găsești în lecțiile despre arborele de variante, permutări și aranjamente și combinări și submulțimi, iar traseul clasei a X-a, filiera tehnologică cuprinde toată unitatea.

Fișa de buzunar

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$

$C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}, C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Linia $n$	Coeficienții	Dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$
0	1	$1$
1	1, 1	$a + b$
2	1, 2, 1	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$
3	1, 3, 3, 1	$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
4	1, 4, 6, 4, 1	$a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
5	1, 5, 10, 10, 5, 1	$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

Linia $n$ se obține din linia $n - 1$ adunând numerele vecine, iar primul și ultimul număr rămân 1. Tabloul se aplică numai pentru exponenți naturali, aici cel mult 5. Termenul de rang $k + 1$ este $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , iar la $(a - b)^{n}$ termenii cu $b$ la putere impară sunt negativi. Verificare rapidă: suma numerelor de pe linia $n$ este $2^{n}$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cubul acoperit

Domeniu: chimie.

Enunț. Cubul de tip A are muchia nucleului de 12 mm și un strat de 0,75 mm pe fiecare față. a) Ce muchie are cubul acoperit? b) Dezvoltați volumul cubului acoperit cu binomul lui Newton și spuneți ce piese sunt cei patru termeni. c) Ce volum are stratul?

Rezolvare. a) Stratul se adaugă pe două părți opuse, deci muchia este $12 + 2 \cdot 0, 75 = 13, 5$ mm. b) Notăm $a = 12$ și $c = 1, 5$ . Linia 3 are coeficienții 1, 3, 3, 1, deci volumul este $(a + c)^{3} = 1 2^{3} + 3 \cdot 1 2^{2} \cdot 1, 5 + 3 \cdot 12 \cdot 1, 5^{2} + 1, 5^{3} = 1728 + 648 + 81 + 3, 375 = 2460, 375$ mm³. Primul termen, 1728 mm³, este nucleul. Termenul 648 mm³ înseamnă 6 plăci, câte una pe față, de $12 \cdot 12 \cdot 0, 75 = 108$ mm³ fiecare. Termenul 81 mm³ înseamnă 12 bare pe muchii, de $12 \cdot 0, 75 \cdot 0, 75 = 6, 75$ mm³. Ultimul, 3,375 mm³, înseamnă 8 cubulețe în colțuri, de $0, 7 5^{3} = 0, 421875$ mm³. c) Stratul este tot ce depășește nucleul: $648 + 81 + 3, 375 = 732, 375$ mm³.

Capcană. Cine socotește volumul cubului acoperit ca $1 2^{3} + 1, 5^{3} = 1728 + 3, 375 = 1731, 375$ mm³ obține un strat de doar 3,375 mm³, în loc de 732,375 mm³. Din cei patru termeni ai binomului lipsesc cei doi din mijloc, tocmai cei mari.

Verificare. Cubul cu muchia de 13,5 mm are $13, 5^{3} = 2460, 375$ mm³, la fel ca suma termenilor, iar $2460, 375 - 1728 = 732, 375$ mm³. Plăcile, barele și cubulețele sunt $6 \cdot 108 = 648$ , $12 \cdot 6, 75 = 81$ și $8 \cdot 0, 421875 = 3, 375$ mm³.

Exemplul 2 — Bucșele trimise la încercări

Domeniu: mecanica.

Enunț. O turnătorie livrează bucșe de bronz în loturi de câte 12. Din fiecare lot, 3 bucșe se taie pentru încercări de laborator, iar celelalte 9 se livrează. Planul de control cere ca prima bucșă turnată din lot să fie mereu printre cele încercate. a) În câte moduri s-ar putea alege bucșele de încercat fără această regulă? b) Câte alegeri respectă regula? c) Câte nu o respectă? Leagă cele trei numere prin formula de recurență.

Rezolvare. a) Alegi 3 bucșe din 12, fără ordine: $C_{12}^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220$ de moduri. Tot atâtea alegeri are și lotul livrat, fiindcă $C_{12}^{9} = C_{12}^{3}$ . b) Prima bucșă e printre cele încercate, deci mai alegi 2 dintre celelalte 11: $C_{11}^{2} = 55$ . c) Prima bucșă se livrează, iar toate cele 3 bucșe încercate vin din celelalte 11: $C_{11}^{3} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{6} = 165$ . Orice alegere fie conține prima bucșă, fie nu, deci $C_{12}^{3} = C_{11}^{2} + C_{11}^{3}$ , adică $220 = 55 + 165$ : chiar regula după care se construiește triunghiul lui Pascal.

Capcană. Cine pune prima bucșă printre cele încercate și alege apoi tot 3 bucșe dintre celelalte 11 obține $C_{11}^{3} = 165$ de alegeri, dar ar tăia 4 bucșe, nu 3.

Verificare. Fiecare dintre cele 12 bucșe e încercată în același număr de alegeri, iar cele 220 de alegeri au împreună $220 \cdot 3 = 660$ de bucșe încercate. Prima bucșă apare deci în $660 : 12 = 55$ de alegeri, la fel ca la b).

Exemplul 3 — Planul de tratamente

Domeniu: agricol.

Enunț. Un fermier tratează un lan de 17,3 ha în 4 aplicări una după alta. La fiecare aplicare folosește unul dintre două produse, A, cu 1,9 L/ha, sau B, cu 2,7 L/ha. Un șir de 4 aplicări este un plan. a) Câte planuri există? b) Câte au exact două aplicări cu A? c) Ce cantități de A și de B se comandă pentru un astfel de plan, dacă produsele se vând în bidoane de 20 L?

Rezolvare. a) Fiecare aplicare are 2 variante, deci $2^{4} = 16$ planuri. b) Planurile cu exact două aplicări cu A se numără prin coeficientul lui $A^{2} B^{2}$ din $(A + B)^{4}$ , a cărui linie are coeficienții 1, 4, 6, 4, 1. Acest coeficient este 6, adică $C_{4}^{2}$ : se aleg cele 2 aplicări cu A din 4. c) Planul are 2 aplicări cu A, pe 17,3 ha: $2 \cdot 1, 9 \cdot 17, 3 = 65, 74$ L. Are și 2 aplicări cu B: $2 \cdot 2, 7 \cdot 17, 3 = 93, 42$ L. Bidoanele sunt de 20 L: $65, 74 : 20 = 3, 287$ și $93, 42 : 20 = 4, 671$ . Cantitatea întreagă de bidoane se rotunjește în sus, deci se comandă 4 bidoane de A și 5 de B.

Capcană. Cine rotunjește 3,287 la cel mai apropiat număr întreg comandă 3 bidoane de A, adică 60 L, și rămâne fără $65, 74 - 60 = 5, 74$ L.

Verificare. Planurile după numărul aplicărilor cu A sunt $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ , suma liniei 4. Bidoanele de A au $4 \cdot 20 = 80$ L, mai mult de 65,74 L, iar cele de B au $5 \cdot 20 = 100$ L, mai mult de 93,42 L.

Exemplul 4 — Problema inversă: câte culori pentru marcaj

Domeniu: electric.

Enunț. O fabrică de cabluri marchează conductoarele unui cablu de comandă cu culori: un conductor are fie o singură culoare, fie două benzi de culori diferite, înfășurate în spirală. Pe conductor nu se vede care bandă e prima, deci roșu–albastru este același marcaj cu albastru–roșu. Un cablu nou are 24 de conductoare, fiecare cu alt marcaj. De câte culori are nevoie fabrica, cel puțin?

Rezolvare. Aici se cunoaște numărul marcajelor necesare și se caută numărul culorilor, $n$ . Cu $n$ culori, marcajele simple sunt $C_{n}^{1} = n$ , iar cele cu două benzi $C_{n}^{2}$ . După formula de recurență, suma lor este $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = C_{n + 1}^{2}$ , un număr de pe a treia diagonală a triunghiului: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … Primul care ajunge la 24 este $28 = C_{8}^{2}$ , deci $n + 1 = 8$ și fabrica are nevoie de 7 culori: 7 marcaje simple și 21 cu două benzi.

Capcană. Cine numără numai marcajele cu două benzi caută $C_{n}^{2} \geq 24$ , găsește $C_{8}^{2} = 28$ și comandă 8 culori, una în plus, fiindcă uită marcajele simple.

Verificare. Cu 7 culori sunt $7 + C_{7}^{2} = 7 + 21 = 28$ de marcaje, cel puțin 24. Cu 6 culori ar fi doar $6 + C_{6}^{2} = 6 + 15 = 21$ , prea puține pentru 24 de conductoare.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie linia 6 a triunghiului lui Pascal, pornind de la linia 5, apoi calculează suma numerelor ei și spune ce număr ar trebui să iasă.

2. Dezvoltă $(5 t + 2)^{4}$ cu coeficienții din linia 4, apoi probează rezultatul pentru $t = 1$ .

3. Dezvoltă $(4 u - 3)^{3}$ , având grijă la semnele termenilor și la puterea lui $4 u$ .

4. Calculează $C_{14}^{12}$ și $C_{25}^{23}$ cu ajutorul combinărilor complementare, fără să scrii factorialele întregi.

Nivelul 2 — situații

5. La curgerea laminară, debitul unui ulei printr-un tub subțire este proporțional cu puterea a patra a razei tubului, la aceeași presiune. Tubul de ungere al unei mașini se înlocuiește cu unul cu raza cu 20% mai mare. Dezvoltă $(1 + 0, 2)^{4}$ și spune de câte ori crește debitul.

6. Rigiditatea la încovoiere a unei plăci de lemn este proporțională cu cubul grosimii. Grosimea crește de la 20 mm la 22 mm. Dezvoltă $(1 + 0, 1)^{3}$ și spune de câte ori crește rigiditatea.

7. Un depozit are 13 rafturi libere, iar un lot nou de marfă ocupă 11 dintre ele. În câte moduri pot fi alese rafturile ocupate? Folosește combinările complementare.

8. O fabrică de lactate are 16 sortimente de brânză, iar o cutie-cadou conține 2 sortimente diferite. a) Câte cutii conțin sortimentul afumat? b) Câte nu îl conțin? c) Câte cutii sunt în total?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Un cub de tip B are muchia nucleului de 18 mm și un strat de 0,75 mm pe fiecare față. a) Calculează cei trei termeni ai volumului stratului. b) Ce procent din volumul stratului este termenul fețelor? c) Cât rămâne nesocotit dacă stratul se socotește numai ca arie înmulțită cu grosimea?

10. (Sinteză.) În dezvoltarea lui $(3 x + 2)^{5}$ află termenul în $x^{3}$ și suma tuturor coeficienților.

11. (Sinteză.) Un laborator are 5 aditivi pentru un lac de protecție și încearcă toate amestecurile care conțin cel puțin 2 aditivi, fiecare o singură dată. a) Câte amestecuri încearcă? b) Câte au exact 3 aditivi și de ce sunt tot atâtea câte au exact 2? c) O încercare durează 45 de minute. Câte ore de laborator sunt necesare?

12. (Sinteză.) a) Dezvoltă $(x - 4)^{5}$ , cu semnele corecte. b) Care este termenul în $x^{2}$ ? c) Verifică dezvoltarea pentru $x = 5$ , comparând-o cu valoarea binomului calculat direct.

Răspunsuri și verificări

1. Linia 5 este 1, 5, 10, 10, 5, 1, deci linia 6 este 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Suma ei este $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$ . Verificare: $2^{6} = 64$ .

2. Linia 4 dă coeficienții 1, 4, 6, 4, 1: $(5 t + 2)^{4} = (5 t)^{4} + 4 (5 t)^{3} \cdot 2 + 6 (5 t)^{2} \cdot 4 + 4 (5 t) \cdot 8 + 16 = 625 t^{4} + 1000 t^{3} + 600 t^{2} + 160 t + 16$ . Verificare: pentru $t = 1$ , $7^{4} = 2401 = 625 + 1000 + 600 + 160 + 16$ .

3. Primul termen este $4 u$ , al doilea $- 3$ : $(4 u - 3)^{3} = (4 u)^{3} - 3 (4 u)^{2} \cdot 3 + 3 (4 u) \cdot 9 - 27 = 64 u^{3} - 144 u^{2} + 108 u - 27$ . Verificare: pentru $u = 1$ , $1^{3} = 1 = 64 - 144 + 108 - 27$ .

4. $C_{14}^{12} = C_{14}^{2} = \frac{14 \cdot 13}{2} = 91$ și $C_{25}^{23} = C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$ . Verificare: după formula de recurență, $C_{14}^{2} = C_{13}^{1} + C_{13}^{2} = 13 + 78 = 91$ .

5. Raportul razelor este $1 + 0, 2 = 1, 2$ . Cu linia 4: $(1 + 0, 2)^{4} = 1 + 4 \cdot 0, 2 + 6 \cdot 0, 04 + 4 \cdot 0, 008 + 0, 0016 = 1 + 0, 8 + 0, 24 + 0, 032 + 0, 0016 = 2, 0736$ . Debitul crește de aproximativ 2,07 ori, adică cu peste 107%. Verificare: $1, 2^{2} = 1, 44$ , iar $1, 4 4^{2} = 2, 0736$ .

6. Raportul grosimilor este $22 : 20 = 1 + 0, 1$ . Cu linia 3: $(1 + 0, 1)^{3} = 1 + 3 \cdot 0, 1 + 3 \cdot 0, 01 + 0, 001 = 1 + 0, 3 + 0, 03 + 0, 001 = 1, 331$ . Rigiditatea crește de 1,331 ori, adică cu 33,1%. Verificare: $1, 1^{3} = 1, 21 \cdot 1, 1 = 1, 331$ .

7. Alegerea celor 11 rafturi ocupate este alegerea celor 2 rămase libere: $C_{13}^{11} = C_{13}^{2} = \frac{13 \cdot 12}{2} = 78$ de moduri. Verificare: după formula de recurență, $C_{13}^{2} = C_{12}^{1} + C_{12}^{2} = 12 + 66 = 78$ .

8. a) Sortimentul afumat e în cutie, iar al doilea se alege din celelalte 15: $C_{15}^{1} = 15$ cutii. b) Cutia fără el are 2 sortimente din 15: $C_{15}^{2} = 105$ cutii. c) În total $15 + 105 = 120$ de cutii. Verificare: direct, $C_{16}^{2} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120$ .

9. a) Cu $a = 18$ și $c = 1, 5$ , termenii stratului sunt $3 a^{2} c = 3 \cdot 324 \cdot 1, 5 = 1458$ mm³, $3 a c^{2} = 3 \cdot 18 \cdot 2, 25 = 121, 5$ mm³ și $c^{3} = 3, 375$ mm³. Volumul stratului este $1458 + 121, 5 + 3, 375 = 1582, 875$ mm³. b) Fețele reprezintă $\frac{1458}{1582 , 875} \approx 0, 921$ , adică 92,1% din volumul stratului. c) Arie înmulțită cu grosimea: $6 \cdot 324 \cdot 0, 75 = 1458$ mm³. Rămân nesocotite $1582, 875 - 1458 = 124, 875$ mm³, adică 7,9%. Verificare: $19, 5^{3} - 1 8^{3} = 7414, 875 - 5832 = 1582, 875$ mm³.

10. Termenul în $x^{3}$ are $n - k = 3$ , deci $k = 2$ , cu $a = 3 x$ , $b = 2$ și $C_{5}^{2} = 10$ : $10 \cdot (3 x)^{3} \cdot 2^{2} = 10 \cdot 27 x^{3} \cdot 4 = 1080 x^{3}$ . Suma coeficienților se obține pentru $x = 1$ : $(3 + 2)^{5} = 5^{5} = 3125$ . Verificare: dezvoltarea completă este $243 x^{5} + 810 x^{4} + 1080 x^{3} + 720 x^{2} + 240 x + 32$ , cu suma coeficienților $243 + 810 + 1080 + 720 + 240 + 32 = 3125$ .

11. a) Linia 5 a triunghiului, 1, 5, 10, 10, 5, 1, numără alegerile cu 0, 1, 2, 3, 4 și 5 aditivi. Amestecurile cu cel puțin 2 aditivi sunt $10 + 10 + 5 + 1 = 26$ . b) Cu exact 3 aditivi sunt $C_{5}^{3} = 10$ , la fel ca $C_{5}^{2} = 10$ : a alege cei 3 aditivi folosiți înseamnă a-i alege pe cei 2 lăsați deoparte. c) $26 \cdot 45 = 1170$ de minute, adică 19,5 ore. Verificare: din toate cele $2^{5} = 32$ de alegeri se scad alegerea fără aditiv și cele 5 cu un singur aditiv: $32 - 1 - 5 = 26$ .

12. a) Cu $a = x$ și $b = - 4$ : $(x - 4)^{5} = x^{5} - 5 \cdot 4 x^{4} + 10 \cdot 16 x^{3} - 10 \cdot 64 x^{2} + 5 \cdot 256 x - 1024 = x^{5} - 20 x^{4} + 160 x^{3} - 640 x^{2} + 1280 x - 1024$ . b) Termenul în $x^{2}$ are $k = 3$ : $C_{5}^{3} \cdot x^{2} \cdot (- 4)^{3} = 10 \cdot (- 64) x^{2} = - 640 x^{2}$ . c) Pentru $x = 5$ binomul dă $(5 - 4)^{5} = 1$ , iar dezvoltarea dă $3125 - 12500 + 20000 - 16000 + 6400 - 1024 = 1$ . Verificare: la $x = 4$ binomul este 0, iar dezvoltarea dă $1024 - 5120 + 10240 - 10240 + 5120 - 1024 = 0$ .

Așa vine la Bac M3

În programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), capitolul de numărare din clasa a X-a se oprește la mulțimile finite: permutări, aranjamente, combinări și numărul submulțimilor. Binomul lui Newton și triunghiul lui Pascal nu apar acolo, iar în lista cerințelor celor 83 de probe oficiale nicio cerință nu le are drept temă. Pe aceeași temă te pregătește programa Bacalaureatului din 2030: cele patru programe MAT_P3–MAT_P6 așază dezvoltarea binomului, cu exponent cel mult 5, în unitatea de numărare X.2.

Greșeli care costă puncte

Iei al doilea termen egal cu grosimea, $c = 0, 75$ , deși stratul se adaugă pe ambele părți ale muchiei: muchia iese 12,75 mm, iar stratul doar 344,671875 mm³ → măsori cubul acoperit, care are muchia de 13,5 mm.
Socotești stratul ca arie înmulțită cu grosimea, $6 \cdot 144 \cdot 0, 75 = 648$ mm³, și pierzi barele și colțurile, 84,375 mm³ → compari cu $(a + c)^{3} - a^{3} = 732, 375$ mm³.
La termenul în $x^{3}$ din $(3 x + 2)^{5}$ iei $k = 3$ și obții $C_{5}^{3} (3 x)^{2} \cdot 2^{3} = 720 x^{2}$ , adică termenul în $x^{2}$ → exponentul lui $x$ este $n - k$ , deci pentru $x^{3}$ iei $k = 2$ .
Numeri numai marcajele cu două benzi și comanzi 8 culori în loc de 7 → aduni și marcajele simple: cu 7 culori ai deja $7 + 21 = 28$ .
Pui prima bucșă printre cele încercate, dar alegi tot 3 dintre celelalte 11 și ajungi la 4 bucșe tăiate → după ce impui un element, mai alegi $k - 1 = 2$ , deci $C_{11}^{2} = 55$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); dezvoltarea binomului lui Newton, cu triunghiul lui Pascal, nu se cere la acel examen, fiindcă programa de examen din 2014 nu o conține. Tema intră în programa Bacalaureatului din 2030, în unitatea «X.2. Metode de numărare» din MAT_P3–MAT_P6.

Întrebări frecvente

Apare binomul lui Newton în programa Bacalaureatului din 2030?

Da. Dezvoltarea binomului lui Newton, cu exponent cel mult egal cu 5, stă în unitatea de numărare X.2 din toate cele patru programe MAT_P3–MAT_P6 (OMEC 5077/2026). Cum subiectele din 2030 nu s-au dat încă, nu se poate spune cum va fi cerută; lecția te pregătește pentru calculul însuși.

De ce în stratul cubului apar 6 plăci, 12 bare și 8 cubulețe, nu 3, 3 și 1?

Pentru că al doilea termen al binomului este $c = 2 \cdot 0, 75$ , adică de două ori grosimea stratului: stratul se adaugă pe ambele părți ale fiecărei muchii. Coeficienții 3, 3 și 1 se înmulțesc cu $2$ , $2^{2}$ și $2^{3}$ , deci $3 \cdot 2 = 6$ plăci, $3 \cdot 4 = 12$ bare și $1 \cdot 8 = 8$ cubulețe.

Ce se schimbă dacă planul cere ca prima și ultima bucșă turnată să fie amândouă încercate?

Atunci două dintre cele 3 bucșe încercate sunt fixate, iar a treia se alege dintre celelalte 10: $C_{10}^{1} = 10$ alegeri. Din cele 55 de alegeri cu prima bucșă, 10 o conțin și pe ultima, iar 45 nu, fiindcă $C_{11}^{2} = C_{10}^{1} + C_{10}^{2} = 10 + 45$ .

Câte planuri ar avea fermierul cu 5 aplicări, dintre care exact 2 cu produsul A?

Ar avea $C_{5}^{2} = 10$ planuri, adică al treilea număr de pe linia 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Din cele $2^{5} = 32$ de planuri posibile, 10 au exact două aplicări cu A, iar alte 10 au exact trei, fiindcă $C_{5}^{2} = C_{5}^{3}$ .

Câte marcaje ar avea fabrica dacă ar folosi și benzi de trei culori?

Cu aceleași 7 culori, marcajele cu trei benzi diferite sunt $C_{7}^{3} = 35$ , deci în total $7 + 21 + 35 = 63$ de marcaje. Suma liniei 7 a triunghiului este $2^{7} = 128$ ; din ea lipsesc alegerea fără nicio culoare și cele cu 4–7 culori, $1 + 35 + 21 + 7 + 1 = 65$ , iar $128 - 65 = 63$ .

Cum verifică laboratorul că stratul are volumul calculat?

Măsoară muchia cubului acoperit cu șublerul: trebuie să fie 13,5 mm. Volumul de 732,375 mm³ presupune muchii și colțuri drepte. Un strat depus prin imersie le rotunjește puțin, deci barele și colțurile au în realitate ceva mai puțin decât 81 și 3,375 mm³, iar volumul real al stratului iese ușor sub cel calculat.