O pârghie a schimbătorului de viteze face cu axa mașinii un unghi ascuțit $$a$$, cu $$\sin a=\dfrac{36}{325}$$ și $$\cos a=\dfrac{323}{325}$$. Care expresie dă $$\sin 2a$$?

$$2\cdot\dfrac{36}{325}\cdot\dfrac{323}{325}$$

$$\left(\dfrac{323}{325}\right)^2-\left(\dfrac{36}{325}\right)^2$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Unghiul dublu: sin 2a și cos 2a

Cum aflu unghiul de înfășurare al unei curele?

Unghiul dintre ramurile curelei este dublul unghiului $a$ dintre o ramură și linia axelor, unde $sin a = \frac{R - r}{d}$ : diferența razelor împărțită la distanța dintre axe. Pe roata mică, arcul este de $18 0^{\circ}$ minus unghiul dintre ramuri. Exemplu: raze de 90 mm și 30 mm, axe la 250 mm: $sin a = \frac{60}{250} = 0, 24$ , $cos 2 a = 1 - 2 \cdot 0, 0576 = 0, 8848$ , deci $2 a \approx 27, 8^{\circ}$ , iar arcul este de aproximativ $152, 2^{\circ}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Formulele unghiului dublu dau sinusul și cosinusul lui $2 a$ din cele ale lui $a$ : $sin 2 a = 2 sin a cos a$ și $cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a$ . Ele rezultă din formulele de adunare, luând $b = a$ . Le folosești când două elemente simetrice formează un unghi dublu: două ramuri de curea, două brațe de compas, două chingi.

Cosinusul dublului are trei forme egale: $cos^{2} a - sin^{2} a$ , $1 - 2 sin^{2} a$ și $2 cos^{2} a - 1$ . Ia forma potrivită cu datele pe care le ai, ca să nu calculezi o rădăcină degeaba: dacă ai doar sinusul, iei $1 - 2 sin^{2} a$ ; dacă ai doar cosinusul, iei $2 cos^{2} a - 1$ . Pentru $sin 2 a$ ai nevoie de ambele valori.

Semnul arată cât de mare este unghiul: pentru $a$ ascuțit, $cos 2 a$ este pozitiv cât timp $a < 4 5^{\circ}$ și negativ după aceea, pentru că dublul trece de un unghi drept. De aici ies condiții practice, de pildă arcul curelei pe roata mică, adică $18 0^{\circ}$ minus unghiul dintre ramuri, trebuie să rămână peste o valoare dată.

Verificările: pătratele lui $sin 2 a$ și $cos 2 a$ se adună la 1, iar la $a = 4 5^{\circ}$ obții $sin 2 a = 1$ și $cos 2 a = 0$ . Greșeli: sinusul dublului nu este dublul sinusului, iar la forma $1 - 2 sin^{2} a$ se uită adesea pătratul. Lucrezi cu fracții, nu cu valori rotunjite.

De reținut

$sin 2 a = 2 sin a cos a$
$cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1$
la curea: $sin a = \frac{R - r}{d}$ , iar arcul pe roata mică este $18 0^{\circ}$ minus unghiul dintre ramuri

Greșeala tipică

Se ia $sin 2 a = 2 sin a$ . La $sin a = 0, 3$ ar ieși $0, 6$ , dar corect este $2 \cdot 0, 3 \cdot 1 - 0, 09 \approx 0, 572$ .

Exerciții din această mini-lecție

O pârghie a schimbătorului de viteze face cu axa mașinii un unghi ascuțit $a$ , cu $sin a = \frac{36}{325}$ și $cos a = \frac{323}{325}$ . Care expresie dă $sin 2 a$ ?
- a) $2 \cdot \frac{36}{325} \cdot \frac{323}{325}$
- b) $2 \cdot \frac{36}{325}$
- c) $(\frac{323}{325})^{2} - (\frac{36}{325})^{2}$
- d) $1 - 2 \cdot \frac{36}{325}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 \cdot \frac{36}{325} \cdot \frac{323}{325}$

Sinusul dublului este de două ori produsul sinusului cu cosinusul, deci $2 \cdot \frac{36}{325} \cdot \frac{323}{325} = \frac{23256}{105625}$ . Varianta $2 \cdot \frac{36}{325}$ ia dublul sinusului, ceea ce nu este $sin 2 a$ . Varianta cu diferența pătratelor, $\frac{103033}{105625}$ , este $cos 2 a$ , altă formulă. Varianta $1 - 2 \cdot \frac{36}{325}$ este forma cosinusului cu sinusul, dar fără pătrat, așa că nu dă nici $sin 2 a$ , nici $cos 2 a$ .
O foarfecă de tuns vița are lamele simetrice: fiecare lamă face cu axa foarfecii unghiul $a$ , iar deschiderea totală este $2 a$ . Se știe că $sin a = \frac{19}{181}$ . Cât este $cos 2 a$ ?
- a) $\frac{143}{181}$
- b) $\frac{32039}{32761}$
- c) $\frac{32400}{32761}$
- d) $\frac{6840}{32761}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{32039}{32761}$

Ai doar sinusul, deci folosești $cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a = 1 - \frac{2 \cdot 361}{32761} = \frac{32039}{32761}$ . Varianta $\frac{143}{181}$ uită pătratul, adică $1 - 2 sin a$ . Varianta $\frac{32400}{32761}$ este $1 - sin^{2} a = cos^{2} a$ , fără factorul 2. Varianta $\frac{6840}{32761}$ este $sin 2 a = 2 sin a cos a$ , altă formulă.
Brațele unui compas de tâmplar fac fiecare unghiul $a$ cu axa de simetrie, iar deschiderea totală este $2 a$ . Pentru care dintre valorile de mai jos ale lui $sin a$ deschiderea compasului depășește un unghi drept?
- a) 0,60
- b) 0,66
- c) 0,70
- d) 0,72
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 0,72

Deschiderea depășește un unghi drept când $cos 2 a < 0$ , adică $1 - 2 sin^{2} a < 0$ . Pentru 0,60 iese $1 - 2 \cdot 0, 36 = 0, 28$ , pentru 0,66 iese $0, 1288$ , pentru 0,70 iese $0, 02$ , toate pozitive. Numai 0,72 dă $1 - 2 \cdot 0, 5184 = - 0, 0368 < 0$ . Valoarea 0,70 este cea mai tentantă, pentru că e foarte aproape de $sin 4 5^{\circ} \approx 0, 7071$ , dar încă sub el.

Întrebări conexe

Ce unghi are cureaua pe două roți egale?

Cu raze egale, diferența razelor este zero, deci $sin a = 0$ și $a = 0^{\circ}$ : ramurile sunt paralele. Arcul de pe fiecare roată este de $18 0^{\circ}$ . Pentru două roți de 60 mm și axe la 240 mm, unghiul dintre ramuri este nul, iar cureaua se înfășoară pe fiecare roată pe o semicircumferință.

Cum aflu în grade unghiul dintre ramuri?

Folosești tasta de cosinus invers a calculatorului, cu modul de lucru pus pe grade, nu pe radiani. Dacă $cos 2 a = 0, 9$ , atunci $2 a \approx 25, 8^{\circ}$ , iar arcul de pe roata mică este $18 0^{\circ} - 25, 8^{\circ} = 154, 2^{\circ}$ .

Cum aduc razele și distanța în aceeași unitate?

Le transformi pe toate în milimetri sau în centimetri înainte de raport. Raze de 4,5 cm și 15 mm, cu axe la 0,3 m, devin 45 mm, 15 mm și 300 mm, deci $sin a = \frac{45 - 15}{300} = 0, 1$ . Fără conversie ai obține $\frac{4 , 5 - 15}{0 , 3}$ , un număr negativ, imposibil.

De ce distanța dintre axe este ipotenuza?

Ducând o paralelă la o ramură prin centrul roții mici, se formează un triunghi dreptunghic: ipotenuza este distanța dintre axe, o catetă este diferența razelor, iar cealaltă este lungimea ramurii libere. Pentru 21 mm și 75 mm, ramura liberă are $7 5^{2} - 2 1^{2} = 72$ mm.

Cum aflu cos 2a din lungimea ramurii libere?

Cosinusul lui $a$ este ramura liberă împărțită la distanța dintre axe, iar $cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1$ . Pentru o ramură de 192 mm și axe la 200 mm, $cos a = 0, 96$ și $cos 2 a = 2 \cdot 0, 9216 - 1 = 0, 8432$ .

Oamenii mai întreabă și: unghiul dintre ramurile unei curele · arcul curelei pe roata mică · sinus și cosinus dublu la curea trapezoidală · cum calculez unghiul de înfășurare din raze