Unghiul dublu la tehnologic: sin 2a, cos 2a

La o transmisie prin curea, ramurile curelei nu sunt paralele: ele fac între ele un unghi care e dublul altuia, pe care îl afli din trei cote ale desenului. Cu formulele unghiului dublu calculezi exact sinusul și cosinusul acestui unghi și vezi dacă cureaua se înfășoară destul pe roata mică. Pentru filiera tehnologică, formulele stau în programa de examen a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), ca temă de clasa a IX-a.

Situația de pornire

Atelierul de întreținere al unei fabrici înlocuiește transmisia compresorului de aer cu piston. Motorul electric are pe arbore o roată mică, iar arborele cotit al compresorului, sprijinit pe rulmenți, are o roată mare din oțel, care e și volant; între ele merge o curea trapezoidală. Fișa tehnică a curelei cere ca ea să se înfășoare pe roata mică pe un arc de cel puțin 120°, altfel patinează. Desenul de montaj trece cotele din tabel, iar ramurile curelei sunt tangente la ambele roți.

Mecanicul vrea să afle dacă transmisia respectă condiția, fără să măsoare nimic pe mașină.

Întrebare: care este unghiul dintre ramurile curelei, ce valori au sinusul și cosinusul lui și se înfășoară cureaua pe roata mică cu cel puțin 120°?

De la situație la model

Dacă muți o ramură a curelei, paralel cu ea, în centrul roții mici, obții un triunghi dreptunghic: ipotenuza e distanța dintre axe, iar o catetă e diferența razelor. Unghiul $a$ din fața acestei catete e unghiul dintre o ramură și linia axelor. Cele două ramuri sunt simetrice față de linia axelor, deci între ele e unghiul $2a$.

Formulele unghiului dublu sunt relațiile care dau sinusul și cosinusul lui $2a$ din sinusul și cosinusul lui $a$.

De unde vin și ce spun?

Ele ies din formulele de adunare din lecția despre sinus și cosinus de sumă, luând $b=a$: sinusul dublului e de două ori produsul sinusului cu cosinusul, iar cosinusul dublului e diferența pătratelor cosinusului și sinusului. Nu e nevoie de demonstrație nouă. Un test pe un caz: pentru $a=30^{\circ }$, $2\sin 30^{\circ }\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^{\circ }$ și ${\cos }^{2}30^{\circ }-{\sin }^{2}30^{\circ }=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }$.

Care formă a lui cos 2a o alegi?

Cosinusul dublului are trei forme egale, fiindcă pătratul cosinusului și pătratul sinusului aceluiași unghi se completează până la 1. Alegi forma care folosește ce ai deja, ca să nu scoți o rădăcină degeaba.

Pentru $\sin 2a$ ai nevoie întotdeauna și de sinus, și de cosinus; dacă ai doar sinusul unui unghi ascuțit, afli cosinusul din relația fundamentală, pozitiv.

Ce spune semnul lui cos 2a?

Pentru un unghi ascuțit $a$, cosinusul dublului e pozitiv cât timp $a$ e sub 45° și devine negativ peste 45°, fiindcă dublul trece atunci de 90°. La transmisie, condiția „cel puțin 120°” pentru arcul de pe roata mică înseamnă $2a\le 60^{\circ }$, adică $\cos 2a\ge \frac{1}{2}$.

Metoda pas cu pas

1. Recunoaște dublul. Vezi dacă unghiul cerut e $2a$ sau dacă expresia conține produsul $2\sin a\cos a$ ori diferența ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$, cu același unghi în ambii factori. Hotărăște ce ai despre $a$: sinusul, cosinusul sau amândouă, de pildă din rapoartele unui triunghi dreptunghic cu cotele desenului.
2. Completează ce lipsește. La $\sin 2a$ ai nevoie de ambele valori; dacă îți lipsește una, o afli din relația fundamentală, pozitivă la un unghi ascuțit, sau cu teorema lui Pitagora, dacă ai laturile. La $\cos 2a$ nu cauți ce nu e necesar: o rădăcină calculată degeaba aduce doar riscul unei greșeli.
3. Alege forma și înlocuiește. Pentru sinus, $2\sin a\cos a$. Pentru cosinus, forma din tabelul „Care formă o alegi”, cea care folosește valorile pe care le ai. Scrie formula cu litere, apoi cu valorile, și calculează cu fracții, fără rotunjiri, ca să nu pierzi nimic înainte de capăt.
4. Verifică. Suma pătratelor lui $\sin 2a$ și $\cos 2a$ trebuie să fie 1; $\cos 2a$ trebuie să fie pozitiv sub 45° și negativ peste 45°; compară cu unghiul în grade, aflat cu calculatorul, și scrie unitatea rezultatului, acolo unde problema are una.

Dacă enunțul cere un unghi în grade, calculatorul se folosește abia la sfârșit, ca să transformi valoarea găsită în grade, nu pentru sinusul sau cosinusul de la început. Aceiași pași merg și la o cerință de examen, scrisă fără context de meserie. Dacă ți se dau două unghiuri diferite, nu dublul unuia, vezi lecția despre formulele de adunare. Valorile unghiurilor mari le găsești în lecția unghiuri mari la primul cadran, iar celelalte lecții ale clasei, la hubul clasei a IX-a tehnologic.

Fișa de buzunar

$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$

$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1$$

Se aplică la orice unghi $a$; la $\sin 2a$ ai nevoie de ambele valori, iar la $\cos 2a$ alegi forma după datele pe care le ai, fiindcă cele trei sunt egale. Pentru un unghi ascuțit, $\cos 2a>0$ doar dacă $a<45^{\circ }$. Verificare rapidă: la $a=45^{\circ }$, $\sin 2a=1$ și $\cos 2a=0$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Unghiul de înfășurare al curelei pe roata mică

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia transmisia compresorului: roți cu diametrele de 240 mm și 48 mm, la distanța de 265 mm între axe. a) Calculează $\sin 2a$ și $\cos 2a$, unde $2a$ e unghiul dintre ramurile curelei. b) Se înfășoară cureaua pe roata mică cu cel puțin 120°?

Rezolvare. Razele sunt 120 mm și 24 mm, deci catetele și ipotenuza triunghiului din model sunt 96 mm și 265 mm, iar $\sin a=\frac{96}{265}$. Cosinusul îl afli din Pitagora, fiindcă cealaltă catetă e lungimea unei ramuri libere: $\sqrt{265^2-96^2}=\sqrt{61009}=247$ mm, deci $\cos a=\frac{247}{265}$. a) Cu ambele valori, alegi pentru cosinus diferența pătratelor:

$$\sin 2a=2\cdot \frac{96}{265}\cdot \frac{247}{265}=\frac{47424}{70225},\cos 2a=\frac{247^2-96^2}{265^2}=\frac{61009-9216}{70225}=\frac{51793}{70225}$$

b) Arcul de pe roata mică e de 180° minus $2a$, iar cel puțin 120° înseamnă $\cos 2a\ge \frac{1}{2}$. Cum $2\cdot 51793=103586>70225$, avem $\cos 2a>\frac{1}{2}$, deci $2a<60^{\circ }$ și arcul depășește 120°. Transmisia respectă fișa curelei. Nicio măsurătoare în grade nu a fost necesară: s-a comparat dublul numărătorului cu numitorul. Dacă arcul ar fi ieșit sub 120°, mecanicul ar fi mărit distanța dintre axe sau ar fi pus o roată mică mai mare.

Capcană. Cine uită pătratul sinusului în a doua formă a cosinusului și face $1-2\cdot \frac{96}{265}=\frac{73}{265}\approx 0,275$ obține o valoare sub $\frac{1}{2}$ și ar declara transmisia necorespunzătoare, deși arcul real are mai mult de 120°.

Verificare. Cu cealaltă formă a cosinusului, $1-2{\sin }^{2}a=1-\frac{2\cdot 9216}{70225}=\frac{51793}{70225}$, la fel. Apoi $47424^2+51793^2=4931550625=70225^2$. În grade, $a\approx 21,2^{\circ }$, $2a\approx 42,5^{\circ }$ și arcul de pe roata mică e de 180° − 42,5° = 137,5°, peste 120°.

Exemplul 2 — Corecția de ordinul doi a cursei pistonului

Domeniu: auto.

Enunț. La un motor, manivela are $r=45$ mm, iar biela $l=150$ mm. Deplasarea pistonului față de punctul mort superior, când manivela s-a rotit cu unghiul $\theta$, e aproximativ $x(\theta )=r(1-\cos \theta )+\frac{r^2}{4l}(1-\cos 2\theta )$, formulă din cursul de motoare. La un moment dat, axa manetonului, fusul manivelei pe care se prinde biela, se află la 28,5 mm lateral de axa cilindrului, deci $\sin \theta =\frac{28,5}{45}$. Calculează $x$, rotunjit la sutimi de milimetru.

Rezolvare. Fracția e $\sin \theta =\frac{19}{30}$. Pentru termenul cu $\cos 2\theta$ ai doar sinusul, deci alegi $1-2{\sin }^2\theta$ și nu cauți niciun cosinus: $\cos 2\theta =1-2\cdot \frac{361}{900}=\frac{89}{450}$. Primul termen cere $\cos \theta =\sqrt{1-\frac{361}{900}}\approx 0,7739$, cu calculatorul. Atunci primul termen e aproximativ 10,175 mm, iar al doilea, $\frac{2025}{600}\cdot \left(1-\frac{89}{450}\right)$, aproximativ 2,708 mm:

$$x\approx 10,175+2,708\approx 12,88\text{ mm}$$

Capcană. Cine uită pătratul sinusului și ia $\cos 2\theta =1-2\cdot \frac{19}{30}=-\frac{4}{15}$ obține al doilea termen $3,375\cdot \frac{19}{15}\approx 4,275$ mm și o cursă de 14,45 mm, cu 1,6 mm mai mult decât în realitate.

Verificare. Formula exactă a cinematicii, $x=r(1-\cos \theta )+l-\sqrt{l^2-r^2{\sin }^2\theta }$, dă $10,175+150-\sqrt{21687,75}\approx 10,175+2,732\approx 12,91$ mm. Diferența, de aproximativ 0,025 mm înainte de rotunjiri, arată că aproximarea cu $\cos 2\theta$ ține bine. Al doilea termen e mic față de primul, dar nu poate fi lăsat deoparte: fără el, cursa ar ieși greșită cu aproape 2,7 mm.

Exemplul 3 — Tensiunile pe un plan înclinat al unei armături

Domeniu: constructii.

Enunț. Un laborator de șantier încearcă la tracțiune o armătură de oțel-beton cu diametrul de 12 mm. La limita de curgere, forța e de 40,2 kN. Pe un plan al epruvetei, înclinat cu unghiul $\theta$ față de secțiunea transversală, tensiunea normală e ${\sigma }_{\theta }=\sigma {\cos }^2\theta$ și cea tangențială e ${\tau }_{\theta }=\sigma \sin \theta \cos \theta$, unde $\sigma$ e tensiunea din secțiune. Pentru un plan cu $\sin \theta =\frac{140}{221}$ și $\cos \theta =\frac{171}{221}$, află: a) $\sigma$, în MPa (1 MPa = 1 N/mm²), rotunjită la zecimi; b) $\sin 2\theta$ și $\cos 2\theta$; c) ${\sigma }_{\theta }$ și ${\tau }_{\theta }$, cu formulele dublului unghi; d) unghiul pentru care ${\tau }_{\theta }$ e maximă, și valoarea ei.

Rezolvare. a) Aria secțiunii e $A=\pi \cdot 6^2\approx 113,1$ mm², iar forța e $40,2$ kN $=40200$ N, deci $\sigma =\frac{40200}{113,1}\approx 355,4$ MPa. b) Cu ambele valori:

$$\sin 2\theta =2\cdot \frac{140\cdot 171}{221^2}=\frac{47880}{48841}\approx 0,9803,\cos 2\theta =\frac{171^2-140^2}{221^2}=\frac{9641}{48841}\approx 0,1974$$

c) Din a treia formă a cosinusului dublului rezultă că ${\cos }^2\theta$ e jumătate din $1+\cos 2\theta$, iar din formula sinusului dublului rezultă că $\sin \theta \cos \theta$ e jumătate din $\sin 2\theta$. Deci ${\sigma }_{\theta }=\frac{\sigma }{2}(1+\cos 2\theta )\approx 177,7\cdot 1,1974\approx 212,8$ MPa și ${\tau }_{\theta }=\frac{\sigma }{2}\sin 2\theta \approx 177,7\cdot 0,9803\approx 174,2$ MPa. d) ${\tau }_{\theta }$ e maximă când $\sin 2\theta =1$, adică $2\theta =90^{\circ }$, $\theta =45^{\circ }$; valoarea ei e $\frac{\sigma }{2}\approx 177,7$ MPa. Planul de la 39,3° ajunge la 98% din maxim. Unitățile contează: forța trebuie trecută din kN în N înainte de împărțire, altfel tensiunea ar ieși de o mie de ori mai mică.

Capcană. Cine uită jumătatea și ia tensiunea tangențială egală cu $\sigma \sin 2\theta$ obține $355,4\cdot 0,9803\approx 348,4$ MPa, o valoare mai mare decât $\frac{\sigma }{2}$, care e maximul posibil.

Verificare. Pe alt drum, direct din definiții: $355,4\cdot {\left(\frac{171}{221}\right)}^2\approx 212,8$ MPa și $355,4\cdot \frac{140\cdot 171}{221^2}\approx 174,2$ MPa, aceleași valori. Iar $47880^2+9641^2=2292494400+92948881=2385443281=48841^2$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: expresie numerică și identitate

Domeniu: electric.

Enunț. Două egalități în formatul Subiectului I, pe care un electrician le verifică pe o foaie de calcul. a) Arătați că $4\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }-2{\cos }^{2}30^{\circ }=\frac{1}{2}$. b) Demonstrați că $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$, pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. a) Produsul $4\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }$ e de două ori $2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }$, adică de două ori $\sin 90^{\circ }$ (pasul 1 din Metodă), deci valorează $2\cdot 1=2$. Apoi $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $2{\cos }^{2}30^{\circ }=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$, iar $2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$. b) Identitatea e adevărată pentru orice $x$, deci rezolvarea lucrează cu litere, nu cu numere. Formula sinusului dublului merge pentru orice unghi, deci și pentru unghiul $2x$, al cărui dublu e $4x$ (pasul 3 din Metodă): $\sin 4x=\sin (2\cdot 2x)=2\sin 2x\cos 2x$.

Capcană. La b), cine scrie $\sin 4x=2\sin 2x$, ca și cum dublarea unghiului ar dubla sinusul, nu ajunge la egalitate: la $x=30^{\circ }$, $2\sin 60^{\circ }\approx 1,73$, un sinus mai mare decât 1, deși $\sin 120^{\circ }\approx 0,87$.

Verificare. La a), prin valori: $4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2$ și $2\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}$, la fel. La b), la $x=30^{\circ }$: $2\sin 60^{\circ }\cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 120^{\circ }$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Se știe că $\sin a=\frac{75}{317}$ și $\cos a=\frac{308}{317}$. Calculează $\sin 2a$ și $\cos 2a$, cu toate cele trei forme ale cosinusului, și verifică că ele dau același număr.

2. Scrie fiecare expresie ca $\sin 2a$ sau $\cos 2a$ pentru un anume $a$ și calculează-i valoarea cu patru zecimale: a) $2\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }$; b) ${\cos }^{2}25^{\circ }-{\sin }^{2}25^{\circ }$; c) $1-2{\sin }^{2}20^{\circ }$; d) $2{\cos }^{2}50^{\circ }-1$.

3. Fără calculator, hotărăște semnul lui $\sin 2a$ și al lui $\cos 2a$ pentru $a=25^{\circ }$, $a=38^{\circ }$, $a=52^{\circ }$ și $a=74^{\circ }$, apoi verifică cu calculatorul.

4. Calculează $\cos 2a$ fără să afli $\cos a$: a) $\sin a=\frac{2}{11}$; b) $\sin a=\frac{9}{11}$. Verifică la a) cu forma $2{\cos }^{2}a-1$.

Nivelul 2 — situații

5. Un arc de cărămidă are raza de 2,89 m și deschiderea, între punctele de naștere ale arcului, de 3,22 m. Unghiul la centru dintre razele de capăt e $2a$. a) Calculează $\sin a$, apoi $\sin 2a$ și $\cos 2a$. b) Verifică cu relația $s^2=2R^2(1-\cos 2a)$, unde $s$ e deschiderea și $R$ raza. c) Arcul e mai mic decât un sfert de cerc?

6. Într-un atelier de prelucrări, placa de bază din oțel a unui dispozitiv de prindere e încărcată pe două direcții: tracțiune ${\sigma }_x=108$ MPa și compresiune ${\sigma }_y=-36$ MPa. Pe un plan înclinat cu unghiul $\theta$, tensiunea normală e ${\sigma }_{\theta }=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta$. Calculează ${\sigma }_{\theta }$, în MPa, pentru planele cu $\sin \theta =\frac{1}{3}$ și cu $\sin \theta =\frac{1}{6}$, fără să afli cosinusurile.

7. Puterea instantanee a unui convector electric de 2,0 kW, cu rezistență pură, e $p=P(1-\cos 2\omega t)$, unde $P$ e puterea medie. În ce parte din semiperioada $\omega t\in [0^{\circ };180^{\circ }]$ depășește puterea instantanee valoarea de 1,5 $P$? Care e puterea maximă?

8. La un depozit de cherestea, un pachet de grinzi e ridicat cu macaraua, cu două chingi de câte 3,00 m agățate în același cârlig și prinse pe pachet în două puncte aflate la 4,14 m unul de altul. Fișa de legare cere ca unghiul dintre chingi, la cârlig, să nu depășească 90°. Unghiul dintre o chingă și verticala cârligului e $a$, iar cel dintre chingi e $2a$. a) Calculează $\cos 2a$ fără să afli $\cos a$ și spune dacă fișa e respectată. b) Dar dacă punctele de prindere se mută la 4,38 m unul de altul?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $2\sin 135^{\circ }\cos 135^{\circ }+{\cos }^{2}120^{\circ }+\sin 150^{\circ }=-\frac{1}{4}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Demonstrați că $\sin 4x=4\sin x\cos x\cos 2x$, pentru orice număr real $x$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că $\sin 2a=\frac{122400}{124609}$, știind că $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\sin a=\frac{225}{353}$.

12. (Sinteză.) La un motor cu manivela $r=38$ mm și biela $l=130$ mm, corecția de ordinul doi a deplasării pistonului e $c(\theta )=\frac{r^2}{4l}(1-\cos 2\theta )$, pentru $\theta \in [0^{\circ };180^{\circ }]$. a) Care e valoarea maximă a corecției și pentru ce unghi se atinge? b) Pentru ce valori ale lui $\theta$ depășește corecția jumătate din valoarea maximă? c) Verifică la $\theta =30^{\circ }$ și la $\theta =60^{\circ }$.

Răspunsuri și verificări

1. $\sin 2a=2\cdot \frac{75}{317}\cdot \frac{308}{317}=\frac{46200}{100489}$. Pentru cosinus: ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{94864-5625}{100489}=\frac{89239}{100489}$; $1-2{\sin }^{2}a=1-\frac{11250}{100489}=\frac{89239}{100489}$; $2{\cos }^{2}a-1=\frac{189728}{100489}-1=\frac{89239}{100489}$. Verificare: cele trei forme dau același număr, iar $46200^2+89239^2=100489^2$.

2. a) $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$; b) $\cos 50^{\circ }\approx 0,6428$; c) $\cos 40^{\circ }\approx 0,7660$; d) $\cos 100^{\circ }\approx -0,1736$, negativ, fiindcă 100° trece de 90°. Verificare: calculatorul dă, pentru expresiile din enunț, aceleași patru zecimale.

3. Dublul $2a$ ia valorile 50°, 76°, 104° și 148°, toate între 0° și 180°, deci $\sin 2a$ e pozitiv de fiecare dată. Cosinusul e pozitiv pentru $a=25^{\circ }$ și $a=38^{\circ }$ (dublul sub 90°) și negativ pentru $a=52^{\circ }$ și $a=74^{\circ }$ (dublul peste 90°). Verificare: calculatorul dă $\cos 50^{\circ }\approx 0,643$, $\cos 76^{\circ }\approx 0,242$, $\cos 104^{\circ }\approx -0,242$ și $\cos 148^{\circ }\approx -0,848$.

4. a) $\cos 2a=1-2\cdot \frac{4}{121}=\frac{113}{121}$. b) $\cos 2a=1-2\cdot \frac{81}{121}=-\frac{41}{121}$, negativ, fiindcă $\sin a=\frac{9}{11}$ înseamnă $a$ peste 45°. Verificare: la a), ${\cos }^{2}a=1-\frac{4}{121}=\frac{117}{121}$, iar $2\cdot \frac{117}{121}-1=\frac{113}{121}$.

5. a) $\sin a=\frac{3,22:2}{2,89}=\frac{1,61}{2,89}=\frac{161}{289}$, iar $\cos a=\frac{240}{289}$. Atunci $\sin 2a=2\cdot \frac{161\cdot 240}{289^2}=\frac{77280}{83521}$ și $\cos 2a=\frac{240^2-161^2}{289^2}=\frac{31679}{83521}$. b) $2R^2(1-\cos 2a)=2\cdot 8,3521\cdot \frac{51842}{83521}=10,3684=3,22^2$. c) $\cos 2a>0$, deci $2a<90^{\circ }$: arcul e mai mic decât un sfert de cerc. Verificare: $2a\approx 67,7^{\circ }$, iar $77280^2+31679^2=83521^2$.

6. Semisuma e $\frac{108-36}{2}=36$ MPa, iar semidiferența e $\frac{108+36}{2}=72$ MPa. Pentru $\sin \theta =\frac{1}{3}$: $\cos 2\theta =1-2\cdot \frac{1}{9}=\frac{7}{9}$, deci ${\sigma }_{\theta }=36+72\cdot \frac{7}{9}=92$ MPa. Pentru $\sin \theta =\frac{1}{6}$: $\cos 2\theta =1-2\cdot \frac{1}{36}=\frac{17}{18}$, deci ${\sigma }_{\theta }=36+72\cdot \frac{17}{18}=104$ MPa. Verificare: pentru $\theta =0$, $\cos 2\theta =1$ și ${\sigma }_{\theta }=108$ MPa, adică ${\sigma }_x$; iar pentru $\theta =90^{\circ }$, $\cos 2\theta =-1$ și ${\sigma }_{\theta }=-36$ MPa, adică ${\sigma }_y$, deci valorile de mai sus, 92 și 104 MPa, sunt între aceste două capete.

7. $p>1,5P$ înseamnă $1-\cos 2\omega t>1,5$, adică $\cos 2\omega t<-\frac{1}{2}$. Cum $2\omega t\in [0^{\circ };360^{\circ }]$, asta se întâmplă pentru $2\omega t\in (120^{\circ };240^{\circ })$, deci $\omega t\in (60^{\circ };120^{\circ })$: un interval de 60° din 180°, adică o treime din semiperioadă. Puterea maximă e $2P=4,0$ kW, la $\omega t=90^{\circ }$. Verificare: la $\omega t=60^{\circ }$, $p=2,0\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)=3,0$ kW $=1,5P$, iar la 90°, $p=4,0$ kW.

8. a) Jumătatea distanței dintre prinderi, 2,07 m, e cateta din fața unghiului $a$, iar chinga e ipotenuza: $\sin a=\frac{2,07}{3,00}=\frac{69}{100}$, deci $\cos 2a=1-2\cdot \frac{4761}{10000}=\frac{239}{5000}\approx 0,048$, pozitiv: $2a<90^{\circ }$, fișa e respectată. b) $\sin a=\frac{2,19}{3,00}=\frac{73}{100}$ și $\cos 2a=1-2\cdot \frac{5329}{10000}=-\frac{329}{5000}\approx -0,066$, negativ: $2a>90^{\circ }$, fișa nu mai e respectată. Verificare: cu calculatorul, $a\approx 43,63^{\circ }$ și $2a\approx 87,3^{\circ }$, apoi $a\approx 46,89^{\circ }$ și $2a\approx 93,8^{\circ }$.

9. Produsul $2\sin 135^{\circ }\cos 135^{\circ }$ e $\sin 270^{\circ }=-1$. Apoi $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, deci ${\cos }^{2}120^{\circ }=\frac{1}{4}$, iar $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$. Expresia e $-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$. Verificare: prin valorile directe, $2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1$, la fel.

10. Scrii $4x$ ca dublul lui $2x$: $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$. Apoi înlocuiești $\sin 2x$ cu $2\sin x\cos x$, deci $\sin 4x=2\cdot 2\sin x\cos x\cdot \cos 2x=4\sin x\cos x\cos 2x$. Egalitatea e adevărată pentru orice $x$. Verificare: la $x=30^{\circ }$, $4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 120^{\circ }$.

11. Cosinusul e pozitiv: $\cos a=\sqrt{1-\frac{50625}{124609}}=\sqrt{\frac{73984}{124609}}=\frac{272}{353}$. Atunci $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{225}{353}\cdot \frac{272}{353}=\frac{122400}{124609}$. Verificare: $\cos 2a=\frac{272^2-225^2}{353^2}=\frac{23359}{124609}$, iar $122400^2+23359^2=124609^2$.

12. a) Maximul lui $1-\cos 2\theta$ e 2, la $\cos 2\theta =-1$, adică $\theta =90^{\circ }$; deci $c_{\max }=\frac{r^2}{2l}=\frac{1444}{260}\approx 5,55$ mm. b) $c(\theta )>\frac{c_{\max }}{2}$ înseamnă $1-\cos 2\theta >1$, adică $\cos 2\theta <0$, deci $2\theta \in (90^{\circ };270^{\circ })$ și $\theta \in (45^{\circ };135^{\circ })$. c) La $\theta =30^{\circ }$, $c=\frac{1444}{520}\cdot \frac{1}{2}\approx 1,39$ mm, sub $2,78$ mm; la $\theta =60^{\circ }$, $c=\frac{1444}{520}\cdot \frac{3}{2}\approx 4,17$ mm, peste $2,78$ mm. Verificare: rezultatele concordă cu intervalul $(45^{\circ };135^{\circ })$.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) trece formulele dublului unghi în blocul clasei a IX-a, lângă cele de adunare. În probele oficiale 2013–2026 au apărut în 2 probe, ambele din 2018, la Subiectul I, cerința 6. Mai jos sunt cele două cerințe, cu forma lor și cu pașii din Metodă care le rezolvă.

• August 2018, Subiectul I, exercițiul 6: se cere să arăți o egalitate cu valorile funcțiilor pentru 45° și 60°, iar expresia conține produsul $2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }$, adică $\sin 90^{\circ }$ după pasul 1 din Metodă; baremul probei scrie întâi valorile lui $\sin 45^{\circ }$, $\cos 45^{\circ }$ și $\cos 60^{\circ }$ (3 puncte), apoi calculează expresia (2 puncte).
• Iunie 2018, Subiectul I, exercițiul 6: se cere să demonstrezi o identitate cu $\sin 2x$, valabilă pentru orice număr real $x$; baremul probei dezvoltă pătratul și scrie $\sin 2x$ ca $2\sin x\cos x$, ca la pasul 3 din Metodă (3 puncte), apoi reduce expresia la 1 (2 puncte).

Prima cerință se poate rezolva și direct cu valorile, fără formula dublului unghi; a doua cere formula, fiindcă $x$ e oarecare. Pe foaia de examen lasă vizibile trei rânduri, ca în Exemplul 4: formula folosită, înlocuirea, rezultatul. Exercițiile 9 și 10 repetă cele două forme, cu numere proprii, exercițiul 11 cere $\sin 2a$ dintr-un singur sinus, iar exercițiul 12 e o sinteză: unghiul dublu în corecția deplasării unui piston. Pentru celelalte teme de Subiectul I pornești din traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Iei sinusul dublului egal cu dublul sinusului → cum o prinzi: la $a=45^{\circ }$, $\sin 90^{\circ }=1$, iar dublul lui $\sin 45^{\circ }$ e aproximativ $1,41$, un sinus mai mare decât 1, ceea ce un sinus nu poate fi niciodată.
• Uiți pătratul sinusului în forma $1-2{\sin }^{2}a$ → cum o prinzi: la $a=30^{\circ }$ trebuie să obții $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, iar fără pătrat obții $0$.
• Iei $\cos 2a$ pozitiv la un unghi ascuțit peste 45° → cum o prinzi: la $a=70^{\circ }$, dublul e 140°, iar $\cos 140^{\circ }\approx -0,77$, negativ.
• Amesteci formele și scazi din 1 în loc să scazi 1 din dublul pătratului cosinusului → cum o prinzi: la $a=0^{\circ }$ trebuie să obții $\cos 0^{\circ }=1$, iar forma greșită dă $-1$.
• Pui în formule valori rotunjite, 0,28 în loc de $\frac{7}{25}$ → cum o prinzi: refaci calculul cu fracții și vezi dacă suma pătratelor lui $\sin 2a$ și $\cos 2a$ mai e exact 1; cu valori rotunjite iese puțin altfel.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: calcularea sinusului și a cosinusului unghiului dublu face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

De ce unghiul de înfășurare pe roata mare e $180^{\circ }+2a$? Ramurile curelei se depărtează spre roata mare cu același unghi cu care se apropie spre roata mică. La compresor, arcul de pe roata mică e de aproximativ 137,5°, iar cel de pe roata mare de aproximativ 222,5°. Suma lor, 360°, e un întreg ocol al curelei, ceea ce confirmă calculul.

Ce se schimbă dacă mecanicul apropie axele la 200 mm? Sinusul devine $\frac{96}{200}=0,48$, deci $\cos 2a=1-2\cdot 0,2304\approx 0,539$, încă peste $\frac{1}{2}$. Arcul de pe roata mică scade la aproximativ 122,6°. Condiția de 120° mai e respectată, dar cu o rezervă de numai 2,6°, deci mecanicul nu mai poate apropia roțile prea mult.

De ce la motor termenul cu $\cos 2\theta$ nu a cerut cosinusul lui $\theta$? Pentru $\cos 2\theta$ ai avut deja $\sin \theta =\frac{19}{30}$, iar forma $1-2{\sin }^2\theta$ nu are nevoie de rădăcini: ai obținut direct $\frac{89}{450}$. Cosinusul lui $\theta$ a fost necesar numai la primul termen, $r(1-\cos \theta )$, unde l-ai calculat cu calculatorul. Alegi forma care folosește ce ai deja.

De ce forfecarea maximă din epruvetă e la 45°? Tensiunea tangențială e $\frac{\sigma }{2}\sin 2\theta$, iar sinusul unui unghi nu depășește 1; egalitatea apare la $2\theta =90^{\circ }$, deci la $\theta =45^{\circ }$. La armătura din lecție, maximul e $\frac{355,4}{2}\approx 177,7$ MPa, cam jumătate din tensiunea de tracțiune, iar planul de 45° e cel pe care materialul cedează primul prin forfecare.

Cum recunosc produsul $2\sin a\cos a$ într-o expresie? Cauți doi factori de sinus și de cosinus ai aceluiași unghi, înmulțiți cu 2. De pildă, $2\sin 45^{\circ }\cos 45^{\circ }$ e $\sin 90^{\circ }$, deci 1. Dacă unghiurile din cei doi factori sunt diferite, produsul nu e un dublu: acolo se aplică formulele de adunare.

Cum se cere unghiul dublu la Bacalaureatul M3? Formulele sunt prevăzute în blocul clasei a IX-a al programei de examen, iar în probele oficiale 2013–2026 s-au cerut de două ori, în 2018, la Subiectul I, cerința 6: o expresie numerică cu valori de unghiuri speciale și o identitate cu $\sin 2x$. În ambele, formula sinusului dublului scurtează calculul.