Care sunt coordonatele punctului $$M(\frac{\pi}{6})$$ de pe cercul trigonometric?

$$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$$

$$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$$

$$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$$

De ce sin π/3 nu este dublul lui sin π/6?

Sinusul nu este proporțional cu argumentul. Deși π/3 este dublul lui π/6, avem sin π/3= √3/2≈0,866, iar 2sin π/6=1. Pe cerc, ordonata crește tot mai încet când unghiul se apropie de π/2.

Cum verific valorile lui sin și cos pentru π/3?

Punctul se află pe cercul de rază 1, deci suma pătratelor coordonatelor trebuie să fie 1: (1/2)²+(√3/2)²= 1/4+ 3/4=1. În plus, pe primul sfert ordonata crește, deci sinusul lui π/3 trebuie să fie mai mare decât al lui π/6.

Cum descompun o forță cu sinus și cosinus?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Valorile sin și cos de bază

O forță $F$ care face unghiul $α$ cu orizontala are componenta orizontală $F cos α$ și componenta verticală $F sin α$ . Exemplu: pentru $F = 40$ N și $α = \frac{π}{6}$ , $F_{x} = 40 \cdot \frac{3}{2} = 203 \approx 34, 64$ N și $F_{y} = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ N. Verificare: $F_{x}^{2} + F_{y}^{2} = 1200 + 400 = 1600 = 4 0^{2}$ , cum trebuie, fiindcă cele două componente sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $F$ .

Programa de științe cere opt valori speciale ale variabilei: $0$ , $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ și $2 π$ . Pentru fiecare, cosinusul este abscisa punctului de pe cercul unitate, iar sinusul este ordonata lui.

Cinci puncte stau pe axe și se citesc direct. Celelalte trei se obțin din figuri simetrice: jumătatea unui pătrat, cu diagonala egală cu raza, dă coordonate egale pentru $\frac{π}{4}$ ; triunghiul echilateral construit pe raza orizontală dă punctul pentru $\frac{π}{3}$ ; oglindirea acestuia față de prima bisectoare dă punctul pentru $\frac{π}{6}$ , cu coordonatele schimbate între ele.

Două controale prind aproape orice confuzie. Suma pătratelor celor două coordonate trebuie să fie $1$ , fiindcă punctul se află pe cerc. Apoi, pe primul sfert de cerc, ordonata crește odată cu unghiul, deci un unghi mai mic are sinusul mai mic.

În fizică, o forță $F$ înclinată cu $α$ față de orizontală se descompune în $F cos α$ pe orizontală și $F sin α$ pe verticală. Se păstrează forma cu radicali până la final, apoi se rotunjește o singură dată, cu unitatea scrisă. Nu aduna și nu dubla valorile împreună cu unghiurile: sinusul nu este proporțional cu argumentul. Pentru unghiuri din afara listei, cum sunt cele din cadranul al doilea, vei folosi reducerea la primul cadran.

De reținut

$sin \frac{π}{6} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , $sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ , $sin \frac{π}{3} = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
componentele forței: $F cos α$ și $F sin α$ , cu $α$ față de orizontală
$sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ controlează orice pereche de valori

Greșeala tipică

Se ia componenta orizontală a forței $F sin α$ când unghiul este măsurat față de orizontală; corect, orizontala primește cosinusul, iar verticala sinusul.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $cos \frac{π}{3} + sin \frac{3 π}{2}$ ?
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $- \frac{1}{2}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $- \frac{3}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{1}{2}$

Abscisa punctului pentru $\frac{π}{3}$ este $\frac{1}{2}$ , iar ordonata punctului de jos al cercului este $- 1$ . Suma este $- \frac{1}{2}$ .
Care sunt coordonatele punctului $M (\frac{π}{6})$ de pe cercul trigonometric?
- a) $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$
- b) $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$
- c) $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$
- d) $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

Unghiul este mic, deci punctul e aproape de axa orizontală: abscisa mare, $\frac{3}{2}$ , și ordonata mică, $\frac{1}{2}$ .
Cât este $2 cos^{2} \frac{π}{6} - sin \frac{π}{2}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $3 - 1$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{2}$

Pătratul lui $\frac{3}{2}$ este $\frac{3}{4}$ , dublul lui este $\frac{3}{2}$ , iar din el scădem $1$ .

Întrebări conexe

De ce $sin \frac{π}{3}$ nu este dublul lui $sin \frac{π}{6}$ ?

Sinusul nu este proporțional cu argumentul. Deși $\frac{π}{3}$ este dublul lui $\frac{π}{6}$ , avem $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ , iar $2 sin \frac{π}{6} = 1$ . Pe cerc, ordonata crește tot mai încet când unghiul se apropie de $\frac{π}{2}$ .

Cum verific valorile lui $sin$ și $cos$ pentru $\frac{π}{3}$ ?

Punctul se află pe cercul de rază $1$ , deci suma pătratelor coordonatelor trebuie să fie $1$ : $(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ . În plus, pe primul sfert ordonata crește, deci sinusul lui $\frac{π}{3}$ trebuie să fie mai mare decât al lui $\frac{π}{6}$ .

Cât face $sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} + sin \frac{π}{2}$ ?

Înlocuiești valorile exacte: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 2$ . Primele două sunt egale fiindcă $\frac{π}{6}$ și $\frac{π}{3}$ au suma $\frac{π}{2}$ , iar sinusul unuia este cosinusul celuilalt. Valorile de bază se folosesc la cerința de trigonometrie de la Subiectul I din bacalaureatul M2, unde un unghi poate fi dat ca $\frac{π}{6}$ .

Cu ce forță apasă un corp de $100$ N pe un plan înclinat cu $\frac{π}{6}$ ?

Greutatea se descompune după plan: componenta perpendiculară pe plan este $G cos α = 100 \cdot \frac{3}{2} \approx 86, 6$ N, iar cea paralelă cu planul este $G sin α = 50$ N. Corpul apasă pe plan cu aproximativ $86, 6$ N.

Ce valori zecimale au $\frac{3}{2}$ și $\frac{2}{2}$ ?

Aproximativ $\frac{3}{2} \approx 0, 866$ și $\frac{2}{2} \approx 0, 707$ . În calcule se păstrează forma cu radical până la rezultatul final, apoi se rotunjește o singură dată. Rotunjirea timpurie poate strica ultimele zecimale ale răspunsului.

Oamenii mai întreabă și: componentele unei forțe · descompunerea forței pe axe · F cos alfa și F sin alfa · proiecția unei forțe pe orizontală

Cum descompun o forță cu sinus și cosinus?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce sin3π​ nu este dublul lui sin6π​?

Cum verific valorile lui sin și cos pentru 3π​?

Cât face sin6π​+cos3π​+sin2π​?

Cu ce forță apasă un corp de 100 N pe un plan înclinat cu 6π​?

Ce valori zecimale au 23​​ și 22​​?

Continuă cu

De ce $sin \frac{π}{3}$ nu este dublul lui $sin \frac{π}{6}$ ?

Cum verific valorile lui $sin$ și $cos$ pentru $\frac{π}{3}$ ?

Cât face $sin \frac{π}{6} + cos \frac{π}{3} + sin \frac{π}{2}$ ?

Cu ce forță apasă un corp de $100$ N pe un plan înclinat cu $\frac{π}{6}$ ?

Ce valori zecimale au $\frac{3}{2}$ și $\frac{2}{2}$ ?