Valorile sin și cos pentru unghiurile de bază (M2, științe ale naturii)

La laboratorul de fizică, o forță trasă oblic se împarte în două efecte: unul de-a lungul mesei și unul spre tavan. Mărimea fiecărui efect se scrie cu sinusul și cosinusul unghiului dintre fir și masă, iar dacă unghiul este de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ sau $60^{\circ }$, răspunsul are o formă exactă, cu radicali. Lecția aceasta, din clasa a IX-a, științe ale naturii (M2), arată de unde provin acele forme exacte. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor trigonometrice; modelul oficial al probei M_șt-nat din 2026 are la Subiectul I, cerința 6, un triunghi dreptunghic cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$, rezolvat tocmai cu aceste valori.

Programa de științe cere ca valorile să fie deduse pe cercul trigonometric, cu proprietăți geometrice, nu preluate dintr-o listă. Vom folosi doar două figuri de gimnaziu, pătratul și triunghiul echilateral, plus distanța dintre două puncte în plan, pe care ai studiat-o în unitatea de geometrie analitică. Sinusul și cosinusul ca ordonată și abscisă ale punctului de pe cerc sunt definite în lecția precedentă, sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric; aici le calculăm, le verificăm și le folosim în modele.

Ce vei învăța

• Vei obține singur coordonatele punctelor de pe cerc asociate lui $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{3}$, pornind de la o figură simetrică.
• Vei completa tabelul pentru cele opt valori din programă și vei ști ce valori NU ține această lecție (cele care cer reducerea la primul cadran).
• Vei verifica o pereche de valori prin distanța punctului până la origine și prin ordinea de mărime a zecimalelor.
• Vei descompune o forță după două direcții perpendiculare și vei scrie componentele în newtoni, exact și aproximativ.
• Vei rezolva cerința de tip Subiectul I cu un triunghi dreptunghic dat printr-un unghi de bază și o latură.
• Vei recunoaște două scurtături false: dublarea unghiului nu dublează sinusul, iar suma argumentelor nu dă suma valorilor.

Hai să descoperim împreună

1. De ce doar câteva unghiuri au valori scrise cu radicali?

Pentru aproape orice număr $t$ din $[0,2\pi ]$, punctul $M(t)$ de pe cercul trigonometric are coordonate pe care le putem doar aproxima. Un calculator științific dă zecimale, dar nu o formulă. Există însă câteva măsuri pentru care punctul se află într-o figură cu simetrii complete, iar acolo coordonatele se pot calcula cu teorema lui Pitagora.

Valorile de bază ale sinusului și cosinusului sunt coordonatele exacte ale punctelor $M(t)$ pentru $t$ din mulțimea $\{0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \}$, adică exact lista din programa clasei a IX-a de științe. Pentru fiecare dintre ele, abscisa este cosinusul, iar ordonata este sinusul.

Cinci dintre aceste puncte stau pe axe și le cunoști deja: pornind din $A(1,0)$, sfertul de cerc duce în $(0,1)$, semicercul în $(-1,0)$, trei sferturi în $(0,-1)$, iar tura completă înapoi în $A$. Rămân trei puncte din interiorul primului sfert de cerc, cele pentru $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{3}$. Ele sunt obiectul lecției.

De ce tocmai $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$? Pentru că sunt unghiurile unor figuri pe care le putem tăia în bucăți egale: diagonala pătratului împarte unghiul drept în două, iar înălțimea triunghiului echilateral taie un unghi de $60^{\circ }$ în două unghiuri de $30^{\circ }$. Tot ele apar des în aparatura de laborator: un plan înclinat reglabil poate fi fixat ușor la aceste unghiuri, iar un fir tras „pe jumătate de unghi drept” face $45^{\circ }$ cu masa.

Metoda are trei pași și o vom repeta de trei ori: identificăm figura în care stă punctul, scriem condiția că punctul este la distanța $1$ de origine și folosim o proprietate de simetrie pentru a doua ecuație. Nu memorăm rezultatul înainte să-l obținem.

2. Cum dă pătratul valorile pentru $\frac{\pi }{4}$?

Unghiul de $\frac{\pi }{4}$ este jumătatea unghiului drept dintre semiaxele pozitive. Punctul $M(\frac{\pi }{4})$ stă deci pe bisectoarea primului cadran, dreapta pe care fiecare punct are abscisa egală cu ordonata. Dacă proiectăm punctul pe axa orizontală în $P$, triunghiul $OPM$ este dreptunghic și isoscel: o jumătate de pătrat cu diagonala $OM=1$.

Notăm cu $a$ lungimea comună a catetelor. Condiția de distanță față de origine dă $a^2+a^2=1$, de unde $a^2=\frac{1}{2}$. Latura pozitivă este $\frac{1}{\sqrt{2}}$, iar după amplificarea cu $\sqrt{2}$ obținem forma cu numitor rațional $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Același drum funcționează pentru orice pătrat, nu doar pentru cel înscris: într-un pătrat de latură $\ell$, diagonala este $\ell \sqrt{2}$, deci raportul dintre latură și diagonală este tot $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Cercul trigonometric fixează doar unitatea de lungime.

Rezultatul se citește astfel: ambele coordonate ale punctului sunt egale cu $\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci sinusul și cosinusul lui $\frac{\pi }{4}$ coincid. Ca ordin de mărime, $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$: punctul este mai departe de fiecare axă decât jumătatea razei.

3. Ce ascunde triunghiul echilateral?

Pentru $\frac{\pi }{3}$, unim punctul $M(\frac{\pi }{3})$ cu $O$ și cu $A(1,0)$. Laturile $OA$ și $OM$ sunt raze, deci egale, iar unghiul dintre ele are $60^{\circ }$. Un triunghi isoscel cu unghiul din vârf de $60^{\circ }$ are și celelalte două unghiuri de $60^{\circ }$, deci $OAM$ este echilateral, cu latura $1$.

Într-un triunghi echilateral, înălțimea coboară în mijlocul bazei. Piciorul înălțimii din $M$ este mijlocul segmentului $OA$, adică punctul de abscisă $\frac{1}{2}$. Aceasta este abscisa lui $M$. Ordonata este înălțimea triunghiului, pe care o scoatem din triunghiul dreptunghic format de rază, jumătatea de bază și înălțime: pătratul ei este $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

Așadar punctul $M(\frac{\pi }{3})$ are coordonatele $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Cosinusul lui $\frac{\pi }{3}$ este $\frac{1}{2}$, iar sinusul este $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$.

Observă că n-am folosit nicio valoare memorată: doar faptul că razele sunt egale, că un triunghi cu toate unghiurile de $60^{\circ }$ are laturile egale și că într-un triunghi isoscel înălțimea din vârf este și mediană. Toate trei sunt proprietăți din gimnaziu, pe care le poți justifica pe loc.

Pentru $\frac{\pi }{6}$ nu mai construim o figură nouă. Punctele $M(\frac{\pi }{6})$ și $M(\frac{\pi }{3})$ fac unghiuri egale cu bisectoarea primului cadran, câte $15^{\circ }$ de o parte și de alta, deci sunt simetrice față de ea. Simetria față de dreapta pe care abscisa este egală cu ordonata schimbă între ele cele două coordonate. Prin urmare $M(\frac{\pi }{6})$ are coordonatele $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.

Regula schimbului merge și invers: dacă știi punctul pentru $\frac{\pi }{6}$, îl obții pe cel pentru $\frac{\pi }{3}$ prin aceeași oglindire. Ea explică de ce în tabel sinusul unui unghi apare drept cosinusul unghiului care îl completează până la $\frac{\pi }{2}$; formula generală pentru această legătură are propria lecție, cu argumentul pe cerc.

4. Cum arată tabelul complet și cum îl citești?

Adunăm punctele de pe axe și cele trei puncte obținute mai sus. Pe primul rând stau măsurile în radiani, pe al doilea în grade, apoi coordonatele.

Am pus intenționat rândul cosinusului primul: pe cerc citim întâi abscisa, apoi ordonata, la fel ca la orice punct din plan. Pe măsură ce $t$ crește de la $0$ la $\frac{\pi }{2}$, punctul urcă pe arc, ordonata lui crește, iar abscisa scade. De aceea rândul sinusului crește de la stânga la dreapta în primele cinci coloane, iar rândul cosinusului descrește.

Tabelul se poate citi și invers. Dacă știi că abscisa unui punct din primul cadran este $\frac{1}{2}$, cauți $\frac{1}{2}$ pe rândul cosinusului și găsești o singură coloană, cea pentru $\frac{\pi }{3}$. Unicitatea vine din faptul că, pe primul sfert de cerc, abscisa trece o singură dată prin fiecare valoare dintre $0$ și $1$. În afara primului cadran, aceeași abscisă mai apare o dată, de aceea intervalul trebuie spus în enunț.

Coloanele $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$ conțin câte o valoare negativă, fiindcă punctul este la stânga originii, respectiv sub ea; coloana $2\pi$ repetă coloana $0$, deoarece tura completă readuce punctul în $A$. Printre coloanele tabelului lipsesc multe unghiuri cu valori exacte, de pildă $\frac{2\pi }{3}$, dar ele se obțin prin simetrii ale cercului, în lecția despre reducerea la primul cadran. Aici nu le calculăm.

5. Cum verifici o pereche fără să o compari cu tabelul?

Orice pereche $(\cos t,\sin t)$ din tabel descrie un punct aflat la distanța $1$ de origine. Dacă ai scris pentru un unghi valorile $\frac{1}{2}$ și $\frac{\sqrt{2}}{2}$, suma pătratelor lor este $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$, nu $1$: punctul acesta nu este pe cerc, deci una dintre valori este greșită. Controlul folosește doar formula distanței; relația generală dintre pătratele sinusului și cosinusului o vei demonstra în lecția despre formula fundamentală a trigonometriei.

Al doilea control privește ordinea: $\frac{1}{2}=0,5$, $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$ și $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$. Un unghi mic din primul cadran are ordonata mică. Dacă pentru $\frac{\pi }{6}$ obții un sinus mai mare decât pentru $\frac{\pi }{3}$, ai încurcat rândurile.

Cele două controale se completează. Primul prinde o valoare care nu aparține cercului, al doilea prinde două valori corecte puse în locul greșit. Un rând de tabel poate trece de primul control și cădea la al doilea: perechea $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ este pe cerc, dar atribuită lui $\frac{\pi }{6}$ ar avea abscisa și ordonata inversate.

Al treilea control este unitatea măsurii. Scrierea $\sin 30$, fără simbolul de grad, înseamnă sinusul a treizeci de radiani, un număr cu totul diferit de $\frac{1}{2}$. Calculatorul trebuie pus în modul potrivit înainte de orice comparație cu tabelul.

6. Cum intră valorile într-un model din fizică?

O forță de mărime $F$ care face unghiul $\alpha$ cu direcția orizontală are două componente: $F\cos \alpha$ pe orizontală și $F\sin \alpha$ pe verticală. Motivul este geometric: vectorul forței este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele pe cele două direcții, iar raportul dintre fiecare catetă și ipotenuză este coordonata corespunzătoare de pe cerc.

Drumul are patru pași: identifici unghiul față de direcția orizontală, alegi funcția potrivită pentru fiecare componentă, înlocuiești valoarea exactă din tabel și abia la sfârșit aproximezi, cu unitatea scrisă. Dacă unghiul e dat față de verticală, rolurile celor două funcții se schimbă între ele; de aceea primul pas nu se sare niciodată.

Aceeași descompunere apare la un corp așezat pe un plan înclinat. Greutatea, verticală, se împarte într-o componentă care trage corpul de-a lungul planului și una care îl apasă pe plan. Unghiul dintre greutate și normala la plan este chiar unghiul de înclinare, așa că prima componentă conține sinusul unghiului, iar a doua cosinusul. Pentru un plan cu înclinarea de $\frac{\pi }{6}$, jumătate din greutate trage corpul la vale; pentru $\frac{\pi }{3}$, mai mult de patru cincimi din ea.

Modelul are un interval de valabilitate: unghiul este între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, iar forța este pozitivă. Pentru unghi zero întreaga forță rămâne pe orizontală; pentru unghi drept, întreaga forță este verticală. Cele două cazuri-limită sunt chiar coloanele $0$ și $\frac{\pi }{2}$ din tabel.

7. Ce operații NU sunt permise cu valorile?

Valorile nu se adună odată cu unghiurile. Suma $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}$ este $\frac{\pi }{2}$, al cărei sinus este $1$, pe când suma sinusurilor celor două unghiuri trece de $1,3$. Nici dublarea nu funcționează: unghiul $\frac{\pi }{2}$ este dublul lui $\frac{\pi }{4}$, dar sinusul lui nu este dublul lui $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

O verificare numerică rapidă lămurește orice îndoială de acest fel. Calculează cu zecimalele cunoscute ambele variante și compară-le: dacă diferă deja la prima zecimală, scurtătura este falsă. Un singur contraexemplu ajunge ca să respingi o regulă generală; o regulă adevărată ar trebui să funcționeze pentru toate unghiurile, nu doar pentru cele alese convenabil.

Formulele corecte pentru sume și dubluri de unghiuri nu fac parte din programa clasei a IX-a de științe; ele sunt în suplimentul pentru bacalaureatul M2 2027–2029. În lecțiile de bază, fiecare valoare se ia direct din punctul ei de pe cerc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește figura

Pe cercul trigonometric sunt marcate punctele $P(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$, $Q(0,-1)$ și $R(-1,0)$. Pentru fiecare punct, spune ce număr din lista programei îi este asociat și scrie sinusul și cosinusul acelui număr.

Rezolvare. Punctul $P$ are abscisa mai mare decât ordonata și ambele pozitive, deci este în primul cadran, mai aproape de axa orizontală: $P=M(\frac{\pi }{6})$, cu $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

Nu am calculat nimic: am recunoscut coordonatele. Dacă primeai punctul cu abscisa $\frac{1}{2}$ și ordonata $\frac{\sqrt{3}}{2}$, era celălalt punct al triunghiului echilateral, cel pentru $\frac{\pi }{3}$. Ordinea coordonatelor contează.

Punctul $Q$ este capătul de jos al axei verticale, atins după trei sferturi de tură: $Q=M(\frac{3\pi }{2})$, deci $\cos \frac{3\pi }{2}=0$ și $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$. Punctul $R$ este capătul din stânga, atins după o jumătate de tură: $R=M(\pi )$, cu $\cos \pi =-1$ și $\sin \pi =0$.

Exemplul 2 — O expresie cu valori din tabel

Calculează $E=4\sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{3}-\cos \pi$.

Rezolvare. Înlocuim: $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\cos \pi =-1$. Produsul celor două valori este $\frac{\sqrt{2}}{4}$, deci $4\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$.

Ordinea operațiilor rămâne cea obișnuită: întâi înmulțirile, apoi scăderea. Factorul $4$ înmulțește tot produsul, nu doar primul sinus.

Scăderea lui $-1$ înseamnă adunarea lui $1$: $E=\sqrt{2}+1\approx 2,414$. Semnul lui $\cos \pi$ este cel mai ușor de pierdut; scrie-l între paranteze înainte de calcul.

Exemplul 3 — Model: componentele unei forțe

Un fir trage un cărucior cu o forță de $40$ N, sub un unghi de $\frac{\pi }{6}$ față de masa orizontală. Calculează componenta orizontală și componenta verticală a forței, exact și cu două zecimale.

Rezolvare. Componenta orizontală este $F\cos \frac{\pi }{6}$: $40\cos \frac{\pi }{6}=20\sqrt{3}\approx 34,64$ N. Componenta verticală este $F\sin \frac{\pi }{6}=40\cdot \frac{1}{2}=20$ N.

Controlul prin Pitagora: $(20\sqrt{3}{)}^2+20^2=1200+400=1600=40^2$. Componenta orizontală este mai mare decât cea verticală, așa cum trebuie pentru un fir mai apropiat de orizontală decât de verticală. Modelul presupune firul întins și unghiul constant. Dacă unghiul firului ar crește spre $\frac{\pi }{2}$, componenta orizontală ar scădea spre zero, iar căruciorul n-ar mai fi tras înainte, ci doar ridicat.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev susține că $2\sin \frac{\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{3}$, „pentru că unghiul s-a dublat”. Verifică afirmația.

Rezolvare. Membrul stâng este $2\cdot \frac{1}{2}=1$. Membrul drept este $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$. Numerele diferă, deci afirmația este falsă: $1\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pe cerc se vede de ce: când unghiul crește de la $\frac{\pi }{6}$ la $\frac{\pi }{3}$, punctul urcă, dar nu își dublează înălțimea, fiindcă arcul se curbează spre axa verticală. Sinusul nu este proporțional cu unghiul.

Exemplul 5 — De la valoare la unghi

Determină $t\in [0,\frac{\pi }{2}]$ pentru care $\sin t=1-\sin t$, apoi calculează $\cos t$.

Rezolvare. Trecem $\sin t$ în membrul stâng: $2\sin t=1$, deci $\sin t=\frac{1}{2}$. Pe primul sfert de cerc, ordonata crește de la $0$ la $1$ și trece o singură dată prin fiecare valoare intermediară, deci există un singur $t$. Din rândul sinusului, $t=\frac{\pi }{6}$.

Atunci $\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$, abscisa aceluiași punct. Punctul găsit este cel apropiat de axa orizontală, cu abscisa mai mare decât ordonata; rezultatul se potrivește cu figura. Restricția la intervalul $[0,\frac{\pi }{2}]$ contează: pe tot cercul, ordonata $\frac{1}{2}$ mai apare într-un punct din cadranul al doilea, pe care îl vei găsi după reducerea la primul cadran.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $B=\frac{\pi }{3}$ și $BC=34$. Arătați că $AC=17\sqrt{3}$.

Rezolvare. Ipotenuza este $BC$. Latura $AC$ se opune unghiului $B$, deci $\sin B=\frac{AC}{BC}$. Rezultă $AC=34\sin \frac{\pi }{3}=34\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=17\sqrt{3}$.

Alegerea funcției vine din poziția laturilor: ipotenuza și latura opusă unghiului cunoscut cer sinusul. Dacă se cerea $AB$, latura alăturată unghiului $B$, foloseam cosinusul și obțineam $34\cdot \frac{1}{2}=17$. Controlul prin Pitagora confirmă ambele rezultate: $289+867=1156=34^2$.

Enunțul are forma cerinței 6 de la Subiectul I din modelul oficial 2026, cu alte date; este un antrenament propriu, nu o predicție a subiectului.

Să exersăm

Scrie valorile folosite înainte de calcul și păstrează forma exactă până la sfârșit. La modele, notează unitatea fiecărui rezultat. Unghiurile fără simbolul de grad sunt în radiani.

1. Calculează $\sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{3}+\cos 0$.

2. Calculează $\cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{4}$.

3. Calculează $4{\cos }^2\frac{\pi }{4}-1$.

4. Calculează $\sin \frac{3\pi }{2}\cos \pi -\cos \frac{\pi }{2}$.

5. Parcurge toate cele opt coloane ale tabelului. Pentru care dintre numerele din lista programei are loc $\sin t-\cos t=1$? Pentru care dintre ele produsul $\sin t\cos t$ este negativ?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) $\cos \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{4}<\frac{1}{2}$.

7. Ordonează crescător numerele $\sin \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}$, $\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{4}$ și $\sin \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{3}$.

8. (Problemă aplicată.) O forță $F=18\mathrm{N}$ face unghiul $\frac{\pi }{3}$ cu orizontala. Calculează componentele orizontală și verticală, exact și cu două zecimale.

9. Un corp cu greutatea $G=30\mathrm{N}$ stă pe un plan înclinat cu $\frac{\pi }{4}$ față de orizontală. Componenta greutății de-a lungul planului este $G\sin \alpha$. Calculeaz-o exact și aproximativ.

10. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $B=\frac{\pi }{3}$ și cateta $AC=9\mathrm{cm}$. Calculează ipotenuza $BC$ și cateta $AB$.

11. Scrie numărul $\frac{1}{\cos \frac{\pi }{4}}$ fără radical la numitor.

12. Calculează $\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{6}}$.

13. Calculează $(\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6}{)}^2$ și scrie rezultatul ca o singură fracție.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $C=\frac{\pi }{4}$ și $BC=6\sqrt{2}$. Arătați că $AB=6$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $2\sin \frac{\pi }{6}+\cos \pi =0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculați ${\sin }^2\frac{\pi }{3}+{\cos }^2\frac{\pi }{4}$.

17. Un punct se rotește pe un cerc cu centrul în origine și raza de $6$ cm. Când raza lui face unghiul $\frac{\pi }{4}$ cu semiaxa pozitivă $Ox$, coordonatele lui sunt $6\cos \frac{\pi }{4}$ și $6\sin \frac{\pi }{4}$. Calculează-le.

18. (Provocare.) Calculează lungimea segmentului $[M(\frac{\pi }{6})M(\frac{\pi }{3})]$, cu capetele pe cercul trigonometric. Scrie rezultatul fără radical la numitor și aproximează-l cu trei zecimale.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+1=\frac{5}{4}$. Termenul $\cos 0$ este $1$, nu $0$: punctul pentru unghiul nul este chiar $A(1,0)$.

2. Primii doi termeni sunt egali, ambii $\frac{\sqrt{3}}{2}$, și se reduc: $\cos \frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. ${\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, deci $4\cdot \frac{1}{2}-1=1$.

4. $\sin \frac{3\pi }{2}\cos \pi =(-1)(-1)=1$ și $\cos \frac{\pi }{2}=0$, deci rezultatul este $1$. Două valori negative înmulțite dau un produs pozitiv.

5. În coloanele $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{3}$ ambele valori sunt între $0$ și $1$, deci diferența lor este strict între $-1$ și $1$. În $0$, $2\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$ diferența este $-1$. Rămân $\frac{\pi }{2}$, unde $1-0=1$, și $\pi$, unde $0-(-1)=1$: egalitatea are loc pentru $t=\frac{\pi }{2}$ și $t=\pi$. Produsul nu este negativ pentru niciun număr din listă: pe axe unul dintre factori este $0$, iar în primul cadran ambii sunt pozitivi.

6. Fals. Produsul este $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,612$, mai mare decât $\frac{1}{2}$. Controlul fără zecimale: $\sqrt{6}>2$, deci $\frac{\sqrt{6}}{4}>\frac{2}{4}$.

7. Cele trei diferențe sunt $\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207$, $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}\approx 0,159$ și $\frac{2-\sqrt{3}}{2}\approx 0,134$. Ordinea crescătoare este $\sin \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{3}<\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{4}<\sin \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}$. Diferențele $\sin \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{6}$ și $\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{4}$ corespund unor pași egali, de câte $\frac{\pi }{12}$, și totuși a doua este mai mică: sinusul urcă tot mai încet spre $\frac{\pi }{2}$.

8. Orizontal: $18\cos \frac{\pi }{3}=9$ N. Vertical: $18\sin \frac{\pi }{3}=9\sqrt{3}\approx 15,59$ N. Firul e mai apropiat de verticală, deci componenta verticală este cea mai mare.

9. $30\sin \frac{\pi }{4}=15\sqrt{2}\approx 21,21$ N. La $\frac{\pi }{4}$, componenta de-a lungul planului este egală cu cea perpendiculară pe plan.

10. Cateta $AC$ se opune unghiului $B$, deci $AC=BC\sin B$ și $BC=\frac{9}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\approx 10,39$ cm. Apoi $AB=BC\cos \frac{\pi }{3}=3\sqrt{3}\approx 5,20$ cm. Control: $(3\sqrt{3}{)}^2+9^2=27+81=108=(6\sqrt{3}{)}^2$.

11. $\frac{1}{\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Am amplificat fracția cu $\sqrt{2}$.

12. $\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{2}=\sqrt{3}$. Numitorii egali ai celor două valori se simplifică.

13. $(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}{)}^2=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{4}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$.

14. Latura $AB$ se opune unghiului $C$, deci $AB=BC\sin C$. Obținem $6\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{4}=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$.

15. $2\cdot \frac{1}{2}+(-1)=0$. Egalitatea este adevărată.

16. $\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$. Cele două pătrate provin din unghiuri diferite, deci suma nu are de ce să fie $1$.

17. $6\cos \frac{\pi }{4}=3\sqrt{2}\approx 4,24$ cm, iar ordonata este aceeași. Pe un cerc de rază $r$, coordonatele se înmulțesc cu $r$ față de cercul trigonometric.

18. Diferențele coordonatelor sunt $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ și $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$. Pătratul distanței este $2\cdot \frac{4-2\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$. Distanța $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ se scrie $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\approx 0,518$, fiindcă pătratul acestei fracții este $\frac{8-2\sqrt{12}}{4}=2-\sqrt{3}$.

De reținut

• Cele opt valori ale programei se deduc pe cerc: pătratul dă $\frac{\pi }{4}$, triunghiul echilateral dă $\frac{\pi }{3}$, iar oglindirea față de bisectoare dă $\frac{\pi }{6}$.
• Abscisa punctului este cosinusul, ordonata este sinusul; pe primul sfert de cerc, sinusul crește, iar cosinusul descrește.
• O pereche corectă descrie un punct aflat la distanța $1$ de origine; controlul prin suma pătratelor prinde valorile încurcate.
• Componentele unei forțe $F$ cu unghiul $\alpha$ față de orizontală sunt $F\cos \alpha$ și $F\sin \alpha$, cu unitatea forței.
• Valorile nu se adună și nu se dublează odată cu unghiurile; unghiurile din afara listei cer reducerea la primul cadran.

Greșeli frecvente

• Semnul lui $\cos \pi$ pierdut în scădere. În $3-\cos \pi$ se scade $-1$, deci rezultatul este $4$. Pune valoarea negativă între paranteze.
• Componentele unei forțe inversate. Cosinusul merge cu direcția față de care se măsoară unghiul, sinusul cu direcția perpendiculară; verifică pe cazurile-limită $0$ și $\frac{\pi }{2}$.
• Aproximarea făcută prea devreme. Dacă înlocuiești $\sqrt{3}$ cu $1,7$ la primul pas, erorile se adună; păstrează forma exactă și rotunjește o singură dată.
• Funcția aleasă după poziția greșită a laturii. În triunghiul dreptunghic, cateta opusă unghiului dat merge cu sinusul, iar cea alăturată cu cosinusul; marchează pe desen latura opusă înainte de a înlocui.
• Căutarea în tabel a unui unghi care nu e acolo. Pentru $\frac{2\pi }{3}$ sau $\frac{3\pi }{4}$ nu inventa o coloană: ai nevoie de simetria față de axa verticală, învățată la reducere.

Aplică acasă

1. Descompune tracțiunea unui ghiozdan. Trage un ghiozdan pe podea cu o curea înclinată, o dată aproape orizontal, o dată la aproximativ $45^{\circ }$. Estimează forța cu un dinamometru, dacă ai unul la școală, și calculează cele două componente. Explică de ce la unghi mare ghiozdanul se ridică, dar înaintează mai greu.
2. Construiește punctele cu compasul. Desenează pe hârtie milimetrică un cerc cu raza de $10$ cm și construiește, doar cu rigla și compasul, triunghiul echilateral pe raza orizontală. Măsoară coordonatele vârfului și compară-le cu $5$ cm și $10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ cm.
3. Verifică o listă primită. Cere unui coleg să scrie patru perechi $(\cos t,\sin t)$, dintre care una greșită intenționat. Găsește-o doar prin suma pătratelor, fără să te uiți în tabel.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește valorile, nu le dictează: pătratul și triunghiul echilateral sunt așezate pe cerc, iar coordonatele se obțin cu teorema lui Pitagora și cu o simetrie. Merită cerut elevului să refacă o deducție de la zero, cu figura în față. Contextul de fizică, descompunerea unei forțe, arată de ce aceste valori revin la mecanică. Un semn bun de înțelegere este ca elevul să explice, fără tabel, de ce sinusul lui $\frac{\pi }{6}$ este mai mic decât cosinusul lui, privind doar figura. Un semn de memorare fără înțelegere este inversarea rândurilor imediat ce ordinea coloanelor se schimbă. Exercițiile cu ordonare și cu citirea figurii sunt construite tocmai pentru a separa cele două situații. Pentru recapitularea din gimnaziu poate fi utilă lecția despre valorile trigonometrice pentru 30°, 45° și 60° din clasa a VII-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: la IX.7, programa cere deducerea valorilor funcțiilor trigonometrice pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a căror programă de examen (OMEN 4430/2014) conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor trigonometrice. Modelul oficial 2026 folosește o astfel de valoare la Subiectul I, cerința 6, într-un triunghi dreptunghic; exemplele de aici au date proprii. Numărul de trei ore pe săptămână vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: valorile lui sin și cos pentru unghiurile de bază are alt parcurs și alte exerciții. Continuarea în traseul de științe este funcția tangentă pe intervalul de la 0 la 2π. Pentru antrenament pe toată unitatea există testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la M2 față de lecția de mate-info (M1) despre aceleași valori?

Valorile sunt aceleași, fiindcă sunt fapte de geometrie. La științe ale naturii, programa pune accent pe deducerea lor pe cerc și pe folosirea în modele, de exemplu la componentele unei forțe. Lecția nu anticipează formulele de adunare, care la M2 sunt materie de supliment. Pagina de mate-info rămâne o lectură opțională, nu un pas al traseului tău.

La ce subiect apar aceste valori la bacalaureatul M2?

În modelul oficial M_șt-nat 2026, Subiectul I, cerința 6, dă un triunghi dreptunghic cu un unghi de $\frac{\pi }{6}$ și cere o latură. Calculul se sprijină pe valorile de aici. Ele revin și în alte cerințe de trigonometrie sau de geometrie, dar un singur model publicat nu permite concluzii despre frecvență.

Ce fac cu un unghi care nu este în tabel, de exemplu $\frac{2\pi }{3}$?

Nu inventezi o coloană nouă și nu aproximezi pe ghicite. Unghiurile de acest fel au valori exacte, dar ele se obțin din cele de bază prin simetrii ale cercului, în lecția despre reducerea la primul cadran. Până atunci, poți stabili doar în ce parte a cercului se află punctul și poți verifica rezultatul final cu un instrument digital.

Când folosesc forma exactă și când aproximarea?

Forma exactă se folosește în tot calculul și la răspunsurile cerute exact, cum este „arătați că”. Aproximarea apare la final, în probleme cu măsurători, unde rezultatul are unitate și o precizie firească. Rotunjește o singură dată, la numărul de zecimale cerut, și păstrează rezultatul exact scris alături.

Pot folosi valorile pe un cerc care nu are raza 1?

Da, înmulțind coordonatele cu raza. Pe un cerc cu centrul în origine și raza $r$, punctul la unghiul $t$ are coordonatele $r\cos t$ și $r\sin t$. Așa se descrie poziția unui punct al unei roți sau al unui disc care se rotește, ceea ce programa numește model de mișcare circulară.

Ce se schimbă dacă unghiul forței este dat față de verticală?

Rolurile celor două funcții se schimbă între ele. Dacă o forță face unghiul $\beta$ cu verticala, componenta verticală este $F\cos \beta$, iar cea orizontală $F\sin \beta$. Motivul este că funcția cosinus merge mereu cu direcția față de care se măsoară unghiul. Desenează triunghiul forței înainte de calcul și verifică pe cazul $\beta =0$, când forța este complet verticală.