Care dintre tabelele de mai jos este repartiția unei variabile aleatoare?

$$\begin{pmatrix}0&1&2\\0{,}3&0{,}3&0{,}4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}0&1&2\\0{,}5&0{,}4&0{,}2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}0&1\\0{,}6&0{,}6\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2\\1{,}3&-0{,}3\end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Variabile aleatoare

Cum se calculează valoarea medie M(X)?

Înmulțești fiecare valoare a variabilei cu probabilitatea ei și aduni rezultatele. Pentru o variabilă cu valorile $0$ , $2$ , $5$ și probabilitățile $0, 5$ , $0, 3$ , $0, 2$ , valoarea medie este $0 + 0, 6 + 1 = 1, 6$ . Înainte de calcul verifici că probabilitățile se adună la $1$ . Numărul obținut descrie media rezultatelor pe foarte multe repetări ale experimentului și nu trebuie să fie o valoare pe care variabila o poate lua.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a X-a → ·

O variabilă aleatoare transformă rezultatul unui experiment întâmplător într-un număr: câte semințe răsar, ce premiu aduce un bilet, câte steme apar când arunci mai multe monede. Tot ce trebuie știut despre ea încape într-un tabel cu două rânduri, valorile sus și probabilitatea fiecăreia jos.

Un asemenea tabel e corect numai dacă probabilitățile sunt numere între $0$ și $1$ care, adunate, dau exact $1$ . Când în tabel apare un parametru, condiția sumei produce o ecuație, iar soluțiile care duc la probabilități negative sau mai mari decât $1$ se elimină.

Valoarea medie se obține înmulțind fiecare valoare cu probabilitatea ei și adunând produsele: $M (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}$ . Ea arată spre ce număr tinde media rezultatelor dacă experimentul e reluat de un număr mare de ori, chiar dacă variabila nu ia niciodată exact acel număr. Dacă toate valorile se înmulțesc cu $a$ și apoi li se adaugă $b$ , media devine $a \cdot M (X) + b$ .

În aplicații, un joc este echitabil atunci când câștigul net are media zero, iar prima corectă a unei asigurări este media sumei pe care asigurătorul o plătește într-un an.

De reținut

repartiția: valorile pe un rând, probabilitățile dedesubt, cu suma $1$
$M (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}$
$M (a X + b) = a \cdot M (X) + b$

Greșeala tipică

Se calculează valoarea medie ca media simplă a valorilor, ignorând probabilitățile; corect, fiecare valoare intră în sumă ponderată de șansa ei.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre tabelele de mai jos este repartiția unei variabile aleatoare?
- a) $(0 0, 5 1 0, 4 2 0, 2)$
- b) $(0 0, 3 1 0, 3 2 0, 4)$
- c) $(0 0, 6 1 0, 6)$
- d) $(1 1, 3 2 - 0, 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0 0, 3 1 0, 3 2 0, 4)$

Numai la varianta b) probabilitățile sunt toate între $0$ și $1$ și au suma $0, 3 + 0, 3 + 0, 4 = 1$ . La a) suma este $1, 1$ , la c) este $1, 2$ , iar la d) suma e $1$ , dar apare o probabilitate negativă.
Valoarea medie a variabilei $X : (2 0, 5 4 0, 25 6 0, 25)$ este:
- a) $4$
- b) $12$
- c) $3, 5$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $3, 5$

$M (X) = 2 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 25 + 6 \cdot 0, 25 = 1 + 1 + 1, 5 = 3, 5$ . Varianta $4$ este media simplă a valorilor, care ignoră probabilitățile.
În repartiția $X : (- 1 a 0 0, 5 3 2 a)$ , numărul $a$ este:
- a) $0, 5$
- b) $\frac{1}{3}$
- c) $0, 25$
- d) $\frac{1}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{6}$

Suma probabilităților este $1$ : $a + 0, 5 + 2 a = 1$ , deci $3 a = 0, 5$ și $a = \frac{1}{6}$ . Probabilitățile sunt atunci $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ , toate între $0$ și $1$ .

Întrebări conexe

Cum se scrie tabelul de repartiție al unei variabile aleatoare?

Pe primul rând treci valorile pe care le poate lua variabila, în ordine crescătoare, iar dedesubt probabilitatea fiecăreia. Pentru numărul de fete dintr-o familie cu doi copii, cu șanse egale la fiecare naștere, valorile sunt $0$ , $1$ , $2$ , iar probabilitățile sunt $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ .

Cum aflu un parametru dintr-un tabel de repartiție?

Pui condiția ca suma probabilităților să fie $1$ și rezolvi ecuația. Pentru probabilitățile $0, 2$ , $3 a$ și $a$ obții $0, 2 + 4 a = 1$ , deci $a = 0, 2$ . Verifici apoi că fiecare probabilitate rezultată, aici $0, 2$ , $0, 6$ și $0, 2$ , este între $0$ și $1$ ; o soluție care dă o probabilitate negativă se respinge.

Cum se schimbă valoarea medie dacă dublez toate valorile variabilei?

Se dublează și ea, pentru că $M (a X + b) = a \cdot M (X) + b$ . Dacă premiile unui joc au media de $3$ lei și toate premiile se dublează, media devine $6$ lei. Dacă, în plus, se scade o taxă fixă de $4$ lei, câștigul net mediu devine $6 - 4 = 2$ lei.

Ce înseamnă că un joc de noroc este echitabil?

Înseamnă că valoarea medie a câștigului net este zero, adică taxa plătită este egală cu premiul mediu. Dacă un joc dă $10$ lei cu probabilitatea $\frac{1}{5}$ și nimic altfel, premiul mediu este $2$ lei, deci taxa echitabilă este de $2$ lei. O taxă mai mare îl avantajează pe organizator.

Cum folosesc valoarea medie pentru prima unei asigurări?

Calculezi media sumei plătite de asigurător într-un an: fiecare despăgubire posibilă înmulțită cu probabilitatea ei. Pentru o despăgubire de $8000$ de lei cu probabilitatea $0, 02$ , media este $160$ de lei; aceasta este prima corectă, iar prima reală adaugă cheltuielile și profitul.

Oamenii mai întreabă și: formula valorii medii a unei variabile aleatoare · media unei variabile aleatoare discrete · speranța matematică la clasa a X-a · cum aflu M(X) dintr-un tabel de repartiție