Variabile aleatoare: repartiția și valoarea medie (M2, științe ale naturii)

Un agronom seamănă trei semințe de fasole într-un ghiveci. Din experiența lui, fiecare sămânță încolțește cu probabilitatea $0,9$, independent de celelalte. Nu știe dinainte câte vor răsări: zero, una, două sau toate trei. Știe însă cât de probabil e fiecare număr și, mai ales, câte plante poate aștepta „în medie” la un ghiveci. Un număr care depinde de rezultatul unui experiment aleator se numește variabilă aleatoare, iar lecția de față, din programa clasei a X-a la profilul științe ale naturii (M2), arată cum se descrie printr-un tabel și cum i se calculează valoarea medie. Tema e în programa școlară în vigoare, dar nu și în programa bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029.

Lecția vine după probabilitățile condiționate și evenimentele independente și folosește tot ce ai învățat despre probabilitatea unui eveniment. Valoarea medie seamănă cu media ponderată a unui set de date: în locul frecvențelor relative stau probabilitățile.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o variabilă aleatoare și cum o recunoști într-o situație din laborator, din genetică sau dintr-un joc.
• Vei ști să scrii tabelul de repartiție: valorile pe un rând, probabilitățile lor pe rândul de dedesubt.
• Vei ști de ce suma probabilităților din tabel este $1$ și cum folosești condiția aceasta ca să afli un parametru necunoscut.
• Vei ști să calculezi valoarea medie $M(X)$ și să o interpretezi ca medie a rezultatelor pe un număr mare de repetări.
• Vei ști să decizi dacă un joc este corect și să calculezi prețul corect al unui bilet sau al unei asigurări.
• Vei ști să transformi o variabilă prin $aX+b$ și să afli valoarea medie nouă fără un tabel nou.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o variabilă aleatoare?

Aruncă două monede. Rezultatele posibile sunt patru, egal probabile: $SS$, $SB$, $BS$, $BB$, unde $S$ înseamnă stemă și $B$ ban. Pe tine nu te interesează, poate, rezultatul complet, ci doar câte steme au ieșit. Fiecărui rezultat îi corespunde un număr: lui $SS$ îi corespunde $2$, lui $SB$ și $BS$ le corespunde $1$, iar lui $BB$ îi corespunde $0$.

O variabilă aleatoare este o funcție care asociază fiecărui rezultat al unui experiment aleator un număr real. Se notează de obicei cu litere mari, $X$, $Y$, $Z$. În clasa a X-a lucrăm numai cu variabile care iau un număr finit de valori.

Pentru numărul de steme, $X$ ia valorile $0$, $1$, $2$. Evenimentul „$X=1$” este format din rezultatele $SB$ și $BS$, deci are probabilitatea $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. La fel, $P(X=0)=\frac{1}{4}$ și $P(X=2)=\frac{1}{4}$. Nu mai e nevoie de lista celor patru rezultate: tot ce contează despre $X$ încape în trei perechi „valoare – probabilitate”.

Variabila aleatoare nu e „aleatoare” în sensul că ar fi o funcție ciudată. Regula după care primește valoarea e fixă; aleator e doar rezultatul experimentului pe care îl citește.

2. Cum se scrie tabelul de repartiție?

Valorile variabilei se scriu pe primul rând, în ordine crescătoare, iar sub fiecare valoare se scrie probabilitatea ca variabila să o ia. Tabelul se numește repartiția variabilei:

$$X:\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\\ p_1& p_2& \dots & p_n\end{array}\right),p_i=P(X=x_i).$$

Pentru numărul de steme, $X:\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)$.

Un exemplu din genetică. Doi părinți au amândoi genotipul $Aa$, iar caracterul recesiv apare numai la urmașii $aa$, cu probabilitatea $\frac{1}{4}$ pentru fiecare urmaș, independent de ceilalți. Familia are doi copii, iar $X$ este numărul copiilor cu fenotip recesiv. Cu un arbore cu două niveluri și regula înmulțirii pentru evenimente independente obții:

$$P(X=0)=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16},P(X=1)=2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{16},P(X=2)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}.$$

Factorul $2$ din mijloc vine din cele două ordini posibile: primul copil recesiv și al doilea nu, sau invers. Repartiția este $X:\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{9}{16}& \frac{6}{16}& \frac{1}{16}\end{array}\right)$.

3. De ce suma probabilităților din tabel este 1?

Evenimentele „$X=x_1$”, „$X=x_2$”, …, „$X=x_n$” nu au rezultate comune, fiindcă variabila nu poate lua două valori deodată, iar împreună acoperă toate rezultatele experimentului. Probabilitățile lor se adună deci la probabilitatea evenimentului sigur:

$$p_1+p_2+\cdots +p_n=1,0\le p_i\le 1.$$

Condiția e un test de corectitudine: dacă suma din tabelul tău iese $\frac{15}{16}$, ai uitat un caz. În genetica de mai sus, $9+6+1=16$, deci tabelul e complet.

Tot ea servește la aflarea unui parametru. Fie $X:\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 4\\ p^2& 3p& 0,36\end{array}\right)$. Condiția dă $p^2+3p+0,36=1$, adică $p^2+3p-0,64=0$. Discriminantul este $9+2,56=11,56=3,4^2$, iar rădăcinile sunt $p=0,2$ și $p=-3,2$. A doua cade, pentru că $3p$ ar fi negativ. Pentru $p=0,2$ probabilitățile sunt $0,04$, $0,6$ și $0,36$, toate între $0$ și $1$. Ambele condiții, suma $1$ și fiecare probabilitate în $[0,1]$, se verifică la sfârșit.

4. Cum citești din tabel probabilitatea unui eveniment?

Tabelul de repartiție răspunde direct la orice întrebare de forma „cât de probabil este ca variabila să ia o valoare dintr-o anumită zonă?”. Evenimentul „$X\ge 1$” pentru numărul de copii recesivi înseamnă „$X=1$ sau $X=2$”, iar cele două cazuri nu se suprapun, deci probabilitățile lor se adună: $P(X\ge 1)=\frac{6}{16}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}$. La fel de bine poți folosi evenimentul contrar: „$X\ge 1$” este contrarul lui „$X=0$”, deci $P(X\ge 1)=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$. Cele două drumuri trebuie să dea același rezultat, iar compararea lor e o verificare gratuită.

Atenție la semnele stricte și nestricte. „$X>1$” nu conține valoarea $1$, în timp ce „$X\ge 1$” o conține; la o variabilă cu valorile $0$, $1$, $2$, primul eveniment este „$X=2$”, iar al doilea este „$X=1$ sau $X=2$”. Când valorile nu sunt numere consecutive, scrie explicit lista valorilor care îndeplinesc condiția și abia apoi adună probabilitățile din dreptul lor. Un eveniment care nu conține nicio valoare din tabel, cum ar fi „$X=5$” pentru numărul de copii, are probabilitatea $0$.

5. Ce este valoarea medie și cum se interpretează?

Imaginează-ți că arunci un zar de $600$ de ori. Fiecare față apare de aproximativ $100$ de ori, iar media punctelor obținute este aproape de

$$\frac{1\cdot 100+2\cdot 100+\cdots +6\cdot 100}{600}=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3,5.$$

Calculul este o medie ponderată în care ponderile sunt probabilitățile. Valoarea medie a variabilei $X$ cu repartiția de mai sus este

$$M(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n.$$

Pentru numărul de steme, $M(X)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}=1$: la două monede ies, în medie, o stemă. Pentru genetică, $M(X)=0\cdot \frac{9}{16}+1\cdot \frac{6}{16}+2\cdot \frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$, adică la multe familii de acest fel apare, în medie, un copil recesiv la două familii. Pentru variabila cu parametru, $M(X)=-1\cdot 0,04+1\cdot 0,6+4\cdot 0,36=2$.

Legătura cu statistica este directă. Dacă repeți experimentul de $N$ ori și valoarea $x_i$ apare de $n_i$ ori, media rezultatelor este media ponderată cu frecvențele relative $\frac{n_i}{N}$. Pe un număr mare de repetări, frecvențele relative se apropie de probabilități, iar media rezultatelor se apropie de valoarea medie. De aceea un laborator care repetă un experiment de sute de ori poate compara media măsurată cu valoarea medie calculată și poate observa dacă modelul se potrivește.

Valoarea medie nu este obligatoriu una dintre valorile variabilei: niciun zar nu arată $3,5$. Ea este centrul în jurul căruia se adună media rezultatelor când experimentul se repetă de foarte multe ori. Valoarea medie se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare a variabilei și se măsoară în aceeași unitate ca valorile: semințe, lei, puncte.

6. Cum se schimbă valoarea medie când transformi variabila?

Un joc cu zarul plătește $10$ lei pentru fiecare punct, dar intrarea costă $30$ de lei. Câștigul net este $Y=10X-30$, unde $X$ este numărul de puncte. Nu trebuie construit un tabel nou. Fiecare valoare se transformă la fel, iar probabilitățile rămân aceleași, deci

$$M(aX+b)=a\cdot M(X)+b.$$

Aici $M(Y)=10\cdot 3,5-30=5$ lei: jucătorul câștigă, în medie, $5$ lei pe partidă. Verificarea pe tabel: valorile lui $Y$ sunt $-20$, $-10$, $0$, $10$, $20$, $30$, fiecare cu probabilitatea $\frac{1}{6}$, iar media lor este $\frac{30}{6}=5$.

Regula e utilă și la schimbarea unităților de măsură. Dacă $X$ e o masă în grame, aceeași masă în kilograme este $\frac{X}{1000}$, iar valoarea medie se împarte și ea la $1000$.

7. Ce înseamnă că un joc este corect?

Un joc în care plătești o taxă și primești un premiu aleator este corect (sau echitabil) dacă valoarea medie a câștigului net este $0$: pe termen lung, nici jucătorul, nici organizatorul nu câștigă. Echivalent, taxa este egală cu valoarea medie a premiului.

O tombolă are $400$ de bilete: un premiu de $1000$ de lei, cinci premii de $100$ de lei și douăzeci de premii de $10$ lei; restul de $374$ de bilete nu câștigă nimic. Pentru un bilet luat la întâmplare, premiul $X$ are repartiția

$$X:\left(\begin{array}{cccc}0& 10& 100& 1000\\ \frac{374}{400}& \frac{20}{400}& \frac{5}{400}& \frac{1}{400}\end{array}\right),M(X)=\frac{200+500+1000}{400}=4,25\text{ lei}.$$

Prețul corect al biletului este $4,25$ lei. Dacă biletul costă $5$ lei, câștigul net mediu este $4,25-5=-0,75$ lei: la $400$ de bilete, organizatorul păstrează $300$ de lei, exact diferența dintre încasări și premii.

8. Cum se calculează prima corectă a unei asigurări?

Un fermier asigură o seră împotriva grindinei pentru un an. Din datele ultimilor ani, o grindină care distruge sera are probabilitatea $0,05$, una care produce pagube parțiale are probabilitatea $0,10$, iar în restul cazurilor nu se întâmplă nimic. Asigurătorul plătește $12000$ de lei pentru distrugere și $4000$ de lei pentru pagube parțiale. Plata $X$ are repartiția

$$X:\left(\begin{array}{ccc}0& 4000& 12000\\ 0,85& 0,10& 0,05\end{array}\right),M(X)=400+600=1000\text{ de lei}.$$

Prima corectă, cea care acoperă exact plățile pe termen lung, este $1000$ de lei pe an. Asigurătorul real cere mai mult, ca să-și plătească angajații și să facă profit, iar diferența se numește adaos. Modelul are o ipoteză importantă: probabilitățile estimate din anii trecuți rămân valabile și anul acesta. Valoarea medie protejează asigurătorul numai pe multe contracte: la un singur fermier, plata reală este fie $0$, fie $4000$, fie $12000$ de lei, niciodată $1000$. Abia la sute de sere asigurate, plățile adunate se apropie de $1000$ de lei pe seră.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Semințele din ghiveci

Fiecare dintre cele trei semințe încolțește cu probabilitatea $0,9$, independent de celelalte. Scrie repartiția numărului $X$ de semințe încolțite și calculează $M(X)$.

Rezolvare. O sămânță nu încolțește cu probabilitatea $0,1$. Toate trei încolțesc cu probabilitatea $0,9^3=0,729$. Exact două încolțesc în trei feluri, după cum se alege sămânța care nu încolțește, deci $P(X=2)=3\cdot 0,9^2\cdot 0,1=0,243$. La fel, $P(X=1)=3\cdot 0,9\cdot 0,1^2=0,027$ și $P(X=0)=0,1^3=0,001$.

$$X:\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0,001& 0,027& 0,243& 0,729\end{array}\right).$$

Suma este $1$. Valoarea medie: $M(X)=0,027+0,486+2,187=2,7$ semințe, adică $3\cdot 0,9$. La $100$ de ghivece, agronomul poate aștepta în jur de $270$ de plante.

Exemplul 2 — Parametrul din tabel

Se consideră $X:\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0,1& a& 2a& 0,3\end{array}\right)$. Determină $a$, calculează $P(X\ge 2)$ și $M(X)$.

Rezolvare. Din condiția sumei: $0,1+a+2a+0,3=1$, deci $3a=0,6$ și $a=0,2$. Toate probabilitățile, $0,1$, $0,2$, $0,4$, $0,3$, sunt în $[0,1]$. Evenimentul „$X\ge 2$” înseamnă „$X=2$ sau $X=3$”, deci $P(X\ge 2)=0,4+0,3=0,7$. Valoarea medie: $M(X)=0+0,2+0,8+0,9=1,9$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: media valorilor

Un elev are variabila $X:\left(\begin{array}{ccc}0& 10& 100\\ 0,7& 0,25& 0,05\end{array}\right)$ și scrie: „$M(X)=\frac{0+10+100}{3}\approx 36,67$”. Unde greșește?

Rezolvare. Elevul a făcut media aritmetică simplă a valorilor, ca și cum fiecare ar avea probabilitatea $\frac{1}{3}$. Valoarea $100$ apare însă rar, doar în $5\%$ dintre cazuri, iar $0$ apare în $70\%$. Corect, $M(X)=0\cdot 0,7+10\cdot 0,25+100\cdot 0,05=2,5+5=7,5$. Media simplă a valorilor coincide cu valoarea medie numai când toate probabilitățile sunt egale.

Exemplul 4 — Un joc cu zarul: este corect?

Plătești $4$ lei și arunci un zar. Dacă iese $6$, primești $15$ lei; dacă iese $5$, primești $6$ lei; altfel nu primești nimic. Este jocul corect? Ce taxă l-ar face corect?

Rezolvare. Câștigul net $C$ ia valorile $15-4=11$, $6-4=2$ și $-4$, cu probabilitățile $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$ și $\frac{4}{6}$:

$$C:\left(\begin{array}{ccc}-4& 2& 11\\ \frac{4}{6}& \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right),M(C)=\frac{-16+2+11}{6}=-\frac{3}{6}=-0,5\text{ lei}.$$

Jocul nu este corect: jucătorul pierde, în medie, $50$ de bani pe partidă. Premiul mediu este $\frac{15+6}{6}=3,5$ lei, deci taxa corectă ar fi $3,5$ lei.

Exemplul 5 — Câte încercări face laboratorul?

Un laborant încearcă să pornească o cultură de bacterii. Fiecare încercare reușește cu probabilitatea $\frac{1}{2}$, independent de celelalte, iar el se oprește la prima reușită, dar face cel mult trei încercări. Fie $X$ numărul de încercări făcute. Scrie repartiția lui $X$ și calculează $M(X)$.

Rezolvare. $X=1$ dacă prima încercare reușește: probabilitatea $\frac{1}{2}$. $X=2$ dacă prima eșuează și a doua reușește: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. $X=3$ dacă primele două eșuează, oricare ar fi rezultatul celei de-a treia: $\frac{1}{4}$.

$$X:\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right),M(X)=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}=1,75.$$

Suma probabilităților este $1$. Dacă fiecare încercare consumă un mediu de cultură de $30$ de lei, costul mediu pe cultură este $30\cdot 1,75=52,5$ lei, după regula $M(aX)=a\cdot M(X)$.

Exemplul 6 — O problemă cu trei cerințe

Se consideră variabila aleatoare $X:\left(\begin{array}{cccc}-2& 0& 1& 3\\ 0,1& a& b& 0,2\end{array}\right)$, cu $M(X)=0,7$.

a) Determină $a$ și $b$.

b) Calculează $P(X\le 0)$.

c) Calculează $M(5X-1)$.

Rezolvare. a) Din suma probabilităților, $0,1+a+b+0,2=1$, deci $a+b=0,7$. Din valoarea medie, $-2\cdot 0,1+0\cdot a+1\cdot b+3\cdot 0,2=0,7$, adică $-0,2+b+0,6=0,7$, deci $b=0,3$ și $a=0,4$.

b) $P(X\le 0)=P(X=-2)+P(X=0)=0,1+0,4=0,5$.

c) $M(5X-1)=5\cdot 0,7-1=2,5$. Verificare pe tabel: valorile lui $5X-1$ sunt $-11$, $-1$, $4$, $14$, iar $-11\cdot 0,1-1\cdot 0,4+4\cdot 0,3+14\cdot 0,2=-1,1-0,4+1,2+2,8=2,5$.

Problema are forma unei probleme cu trei cerințe legate între ele, dar variabilele aleatoare nu sunt în programa de examen M2, deci e un antrenament pentru clasă și pentru lucrările scrise.

Să exersăm

Verifică la fiecare tabel că suma probabilităților este $1$ și că toate sunt între $0$ și $1$. La valoarea medie, înmulțește fiecare valoare cu probabilitatea ei.

1. Stabilește care dintre tabele este repartiția unei variabile aleatoare: a) $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0,2& 0,5& 0,3\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0,7& 0,4\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1,2& -0,2\end{array}\right)$.

2. Un zar în formă de tetraedru are fețele numerotate de la $1$ la $4$, egal probabile. Scrie repartiția numărului $X$ de pe fața de jos și calculează $M(X)$.

3. Determină $a$ astfel încât $X:\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ a& 2a& 3a& 4a\end{array}\right)$ să fie o variabilă aleatoare, apoi calculează $M(X)$.

4. Calculează valoarea medie a variabilei $X:\left(\begin{array}{ccc}-3& 0& 5\\ 0,2& 0,5& 0,3\end{array}\right)$.

5. Arunci două monede. Fie $Y$ diferența dintre numărul de bani și numărul de steme. Scrie repartiția lui $Y$ și calculează $M(Y)$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Valoarea medie a unei variabile aleatoare este întotdeauna una dintre valorile ei.

7. (Problemă aplicată.) O tombolă are $200$ de bilete: un premiu de $500$ de lei, patru premii de $50$ de lei și zece premii de $10$ lei. Calculează valoarea medie a premiului unui bilet și spune care este prețul corect al biletului.

8. Plătești $2$ lei și arunci două monede. Dacă ies două steme, primești $5$ lei; altfel nu primești nimic. Calculează valoarea medie a câștigului net și taxa care ar face jocul corect.

9. (Problemă aplicată.) Un telefon se strică într-un an cu probabilitatea $0,08$, iar reparația costă $1500$ de lei. Calculează prima corectă a unei asigurări pentru un an, apoi prima cu un adaos de $25\%$.

10. Știind că $M(X)=4$, calculează $M(3X-2)$.

11. Determină $p$ astfel încât $X:\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ p^2& p& 0,44\end{array}\right)$ să fie o variabilă aleatoare și calculează $M(X)$.

12. (Problemă aplicată.) Din încrucișarea $Aa\times aa$, fiecare urmaș are fenotip dominant cu probabilitatea $\frac{1}{2}$, independent de ceilalți. Pentru trei urmași, scrie repartiția numărului $X$ de urmași cu fenotip dominant și calculează $M(X)$.

13. Două semințe încolțesc fiecare cu probabilitatea $0,7$, independent. Scrie repartiția numărului de semințe încolțite și calculează valoarea medie.

14. (Găsește greșeala.) Pentru $X:\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0,5& 0,3& 0,2\end{array}\right)$, un elev scrie $M(X)=2$, „fiindcă $2$ e la mijloc”. Corectează.

15. Determină $a$ și $b$ știind că $X:\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 0,3& a& b\end{array}\right)$ are $M(X)=2,6$.

16. Pentru $X:\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 2& 5\\ 0,15& 0,35& 0,3& 0,2\end{array}\right)$ calculează $P(X>0)$ și $M(X)$.

17. (Problemă cu trei cerințe.) O urnă conține $3$ bile roșii și $2$ bile albe. Se extrag simultan două bile, iar $X$ este numărul de bile roșii extrase. a) Scrie repartiția lui $X$. b) Verifică suma probabilităților. c) Calculează $M(X)$.

18. (Provocare.) Arată că, dacă toate valorile unei variabile aleatoare sunt cuprinse între $m$ și $n$, atunci $m\le M(X)\le n$.

Răspunsuri și explicații

1. a) Da: probabilitățile sunt în $[0,1]$, iar suma lor este $1$. b) Nu: suma este $1,1$. c) Nu: o probabilitate este negativă, iar alta depășește $1$, deși suma este $1$.

2. $X:\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right)$, iar $M(X)=\frac{1+2+3+4}{4}=2,5$.

3. $a+2a+3a+4a=10a=1$, deci $a=0,1$. Atunci $M(X)=0,1+0,4+0,9+1,6=3$.

4. $M(X)=-0,6+0+1,5=0,9$.

5. $Y=-2$ la două steme, $Y=0$ la o stemă și un ban, $Y=2$ la doi bani: $Y:\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)$, cu $M(Y)=0$, cum era de așteptat prin simetrie.

6. Fals. La un zar, $M(X)=3,5$, dar zarul nu arată niciodată $3,5$.

7. $M(X)=\frac{500+4\cdot 50+10\cdot 10}{200}=\frac{800}{200}=4$ lei. Prețul corect al biletului este $4$ lei.

8. Câștigul net este $3$ lei cu probabilitatea $\frac{1}{4}$ și $-2$ lei cu probabilitatea $\frac{3}{4}$, deci valoarea medie este $0,75-1,5=-0,75$ lei. Premiul mediu este $\frac{5}{4}=1,25$ lei, deci taxa corectă este $1,25$ lei.

9. Prima corectă: $0,08\cdot 1500=120$ de lei. Cu adaos de $25\%$: $120\cdot 1,25=150$ de lei.

10. $M(3X-2)=3\cdot 4-2=10$.

11. $p^2+p+0,44=1$, adică $p^2+p-0,56=0$, cu discriminantul $1+2,24=3,24=1,8^2$. Rădăcinile sunt $0,4$ și $-1,4$; a doua nu convine. Pentru $p=0,4$: probabilitățile $0,16$, $0,4$, $0,44$, iar $M(X)=0,4+0,88=1,28$.

12. $X:\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ \frac{1}{8}& \frac{3}{8}& \frac{3}{8}& \frac{1}{8}\end{array}\right)$, fiindcă exact $k$ urmași dominanți se pot așeza în $1$, $3$, $3$, respectiv $1$ feluri printre cele $8$ variante egal probabile. $M(X)=\frac{3+6+3}{8}=1,5$.

13. $P(0)=0,3^2=0,09$, $P(1)=2\cdot 0,7\cdot 0,3=0,42$, $P(2)=0,7^2=0,49$; suma este $1$. Valoarea medie: $0,42+0,98=1,4$.

14. Valoarea din mijloc nu ține cont de probabilități. Corect: $M(X)=0,5+0,6+0,6=1,7$. Valoarea $1$, cea mai probabilă, trage media sub $2$.

15. Din sumă, $a+b=0,7$. Din valoarea medie, $0,3+2a+4b=2,6$, deci $a+2b=1,15$. Scăzând, $b=0,45$ și $a=0,25$. Verificare: $0,3+0,5+1,8=2,6$.

16. $P(X>0)=0,3+0,2=0,5$. $M(X)=-0,15+0+0,6+1=1,45$.

17. a) Sunt $C_5^2=10$ perechi egal probabile. Două albe: $1$ pereche; o roșie și o albă: $3\cdot 2=6$ perechi; două roșii: $C_3^2=3$ perechi. Deci $X:\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0,1& 0,6& 0,3\end{array}\right)$. b) $0,1+0,6+0,3=1$. c) $M(X)=0,6+0,6=1,2$.

18. Din $m\le x_i\le n$ și $p_i\ge 0$ rezultă $m{p}_i\le x_i{p}_i\le n{p}_i$ pentru fiecare $i$. Adunând, $m(p_1+\cdots +p_n)\le M(X)\le n(p_1+\cdots +p_n)$, iar suma probabilităților este $1$.

De reținut

• O variabilă aleatoare asociază fiecărui rezultat al unui experiment aleator un număr real; la clasa a X-a ea ia un număr finit de valori.
• Repartiția se scrie ca tabel cu două rânduri, valorile și probabilitățile lor; probabilitățile sunt între $0$ și $1$, iar suma lor este $1$.
• Valoarea medie este $M(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$: media ponderată a valorilor, cu probabilitățile drept ponderi.
• $M(aX+b)=a\cdot M(X)+b$, deci o schimbare de unitate sau o taxă fixă nu cere un tabel nou.
• Un joc este corect când valoarea medie a câștigului net este $0$; prima corectă a unei asigurări este valoarea medie a plății.

Greșeli frecvente

• Media simplă a valorilor. Se adună valorile și se împarte la numărul lor. Corect: fiecare valoare se înmulțește cu probabilitatea ei; media simplă e bună numai când probabilitățile sunt egale.
• Tabel incomplet. Se uită un caz, de exemplu ordinea inversă la „un copil recesiv din doi”. Controlul: suma probabilităților trebuie să dea exact $1$.
• Parametrul acceptat fără verificare. Se păstrează și rădăcina negativă a ecuației din condiția sumei. Corect: fiecare probabilitate din tabel trebuie să fie între $0$ și $1$.
• Valoarea medie citită ca valoare sigură. „Media e $2,7$, deci vor răsări $2,7$ semințe.” Corect: valoarea medie descrie media pe multe repetări, nu rezultatul unei singure încercări.
• Taxa uitată la câștigul net. Se calculează media premiului și se numește „câștig mediu”. Corect: câștigul net este premiul minus taxa, iar jocul se judecă după media lui.

Aplică acasă

1. Experimentul cu zarul. Aruncă un zar de $60$ de ori, notează rezultatele și calculează media lor. Compară cu $3,5$, apoi adună rezultatele de la trei colegi și vezi dacă media se apropie de valoarea medie.

2. Tombola clasei. Proiectează o tombolă cu $100$ de bilete și trei categorii de premii, astfel încât prețul corect al unui bilet să fie exact $2$ lei. Scrie repartiția premiului și verifică suma probabilităților.

3. Asigurarea bicicletei. Caută pe un site de asigurări prima pentru o bicicletă și estimează, pentru o valoare a bicicletei aleasă de tine, ce probabilitate de furt ar face prima corectă egală cu cea afișată. Discută cu familia de ce prima reală e mai mare.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce o noțiune nouă, variabila aleatoare, pornind de la probabilitatea unui eveniment, pe care elevul o știe deja. Pragul real nu e formula valorii medii, ci trecerea de la „rezultatele experimentului” la „valorile unui număr care depinde de ele”. Un elev care scrie singur repartiția, verifică suma $1$ și explică ce înseamnă $M(X)=2,7$ pentru o sută de ghivece a înțeles lecția.

De urmărit în caiet: tabelul cu două rânduri, cu valorile în ordine crescătoare; suma probabilităților calculată explicit; la parametri, verificarea că fiecare probabilitate e în $[0,1]$; la jocuri, câștigul net, nu premiul. Întrebări bune de control: „Ce valori poate lua variabila?”, „De unde știi că tabelul e complet?”, „Ce se întâmplă cu valoarea medie dacă dublezi toate premiile?”.

Lecția următoare de pe traseu, schema bilei revenite, de la mate-info (M1), calculează probabilitatea a $k$ reușite din $n$ încercări independente, exact tipul de calcul din exemplul cu semințele. Aceleași întrebări, jocul de noroc și prima de asigurare, apar și în lecția de probabilități în situații practice de la mate-info (M1), rezolvate pe un număr mare de partide, fără noțiunea de valoare medie.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară în vigoare la clasa a X-a în anul școlar 2026–2027 (OMEC 4598/2004, trunchi comun și curriculum diferențiat, varianta de 4 ore, aplicată la științe ale naturii), domeniul „Matematici financiare”, care conține rândul „Variabile aleatoare. Probabilități condiționate. Dependența și independența evenimentelor, scheme clasice de probabilitate”. Același rând apare în varianta de 3 ore. Programa de examen după care se dă Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) se oprește, la probabilități, la evenimentele egal probabile, deci nu conține variabilele aleatoare; de aceea niciun exercițiu din lecție nu e marcat ca exercițiu de bacalaureat. Noțiunea lipsește și din programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) și din programa probei MAT_P2 din 2030. Dispersia unei variabile aleatoare nu e cerută; dispersia din programă se referă la seturile de date statistice.

Întrebări frecvente

Ce este o variabilă aleatoare, pe scurt?

Este un număr care depinde de rezultatul unui experiment aleator: numărul de steme la două monede, numărul de semințe încolțite, premiul unui bilet de tombolă. Regula după care se calculează numărul este fixă, doar experimentul e întâmplător. La clasa a X-a, variabila ia un număr finit de valori, iar totul despre ea se scrie într-un tabel de repartiție.

De ce trebuie ca suma probabilităților din tabel să fie 1?

Pentru că evenimentele „variabila ia valoarea $x_1$”, „ia valoarea $x_2$” și așa mai departe nu se suprapun și acoperă împreună toate rezultatele experimentului. Probabilitatea lor totală este deci probabilitatea evenimentului sigur, adică $1$. Dacă suma iese altfel, tabelul are o greșeală sau un caz uitat.

Ce înseamnă concret valoarea medie?

Este numărul în jurul căruia se adună media rezultatelor când experimentul se repetă de foarte multe ori. La un zar, media punctelor pe sute de aruncări se apropie de $3,5$, deși zarul nu arată niciodată $3,5$. Valoarea medie nu prezice rezultatul unei singure încercări, ci comportarea pe termen lung.

Cum îmi dau seama dacă un joc de noroc este corect?

Calculezi câștigul net, adică premiul minus taxa, pentru fiecare rezultat posibil, scrii repartiția lui și îi afli valoarea medie. Dacă iese $0$, jocul este corect; dacă iese negativă, jucătorul pierde în medie, iar organizatorul câștigă. La tombolele și loteriile organizate pentru profit, valoarea medie a câștigului net este negativă: altfel organizatorul ar pierde bani.

La ce subiect apar variabilele aleatoare la bacalaureatul M2?

La sesiunile 2027–2029 nu apar: programa de examen M2 din 2014 se oprește, la probabilități, la evenimentele egal probabile. Nici programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține variabilele aleatoare. Tema este materie de clasă, din programa școlară în vigoare la clasa a X-a, și pregătește schemele lui Bernoulli și Poisson.

Există o lecție despre variabile aleatoare și la mate-info (M1)?

O lecție separată nu există. La mate-info, lecția de probabilități în situații practice judecă jocuri de noroc și prime de asigurare pe un număr mare de partide, fără tabel de repartiție și fără noțiunea de valoare medie. Lecția M2 construiește noțiunea de la capăt, cu tabelul, condiția sumei și regula $M(aX+b)=a\cdot M(X)+b$.

Se calculează și dispersia unei variabile aleatoare?

Nu la clasa a X-a. Programa școlară numește doar variabilele aleatoare, fără dispersia lor. Dispersia și abaterea standard din programă se referă la seturile de date statistice, unde măsoară cât de împrăștiate sunt valorile în jurul mediei. Ideea e aceeași, dar calculul ei pentru variabile aleatoare nu face parte din programa clasei a X-a.