Un fermier montează aspersoare pe un rând de irigat. Față de aspersorul $$A$$, vectorul $$\overrightarrow{AB}$$ are 15 m la $$48^\circ$$, iar $$\overrightarrow{AC}$$ are 33 m la $$228^\circ$$. Care egalitate este adevărată?

$$\overrightarrow{AC}=-2{,}2\,\overrightarrow{AB}$$

$$\overrightarrow{AC}=2{,}2\,\overrightarrow{AB}$$

$$\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{11}\,\overrightarrow{AB}$$

$$\overrightarrow{AC}=-18\,\overrightarrow{AB}$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vector înmulțit cu un număr

Cum scriu o mutare ca număr de pași, cu semn?

Alegi pasul ca vector de referință și împarți lungimea mutării la lungimea pasului. Semnul vine din sens: plus dacă unghiurile sunt egale, minus dacă diferă cu $18 0^{\circ}$ . Exemplu: pasul are 4,2 m la $4 0^{\circ}$ , iar un utilaj stă la 10,5 m la $22 0^{\circ}$ față de primul post: $10, 5 : 4, 2 = 2, 5$ , deci mutarea este $- 2, 5$ ori pasul.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Înmulțirea unui vector cu un număr real $k$ dă un vector care rămâne pe aceeași dreaptă. Modulul se înmulțește cu $∣ k ∣$ . Dacă $k$ este pozitiv, sensul rămâne; dacă $k$ este negativ, vectorul se întoarce; dacă $k$ este zero, rezultatul este vectorul nul. Astfel exprimi locul unui utilaj prin numărul de pași, luat cu semn, față de un punct de referință.

De aici vine condiția de coliniaritate: doi vectori nenuli sunt coliniari exact când unul este multiplu al celuilalt. Numărul $k$ se citește din date: împarți modulul vectorului căutat la modulul celui de plecare și pui plus sau minus după sens. Trei puncte $A$ , $B$ , $C$ stau pe o dreaptă când $A C = k A B$ .

Un punct aflat la o fracție $t$ din drumul $A B$ verifică $A M = t A B$ , cu $t$ între 0 și 1, iar restul drumului este $(1 - t) A B$ . Înmulțirea se distribuie față de adunare, deci $(k + l) u = k u + l u$ .

Trei greșeli apar des: ignorarea semnului lui $k$ , împărțirea invers a modulelor (un punct dintre $A$ și $B$ cere un $k$ subunitar) și folosirea scării pe dos: pe un desen la scara $1 : 20$ , lungimea reală se obține înmulțind cu 20.

De reținut

$k = \pm \frac{modulul c a ˘ utat}{modulul pasului}$ , cu minus dacă sensul e contrar
coliniar înseamnă multiplu: $v = k u$
la scara $1 : n$ lungimea reală este de $n$ ori cea din desen

Greșeala tipică

Se împarte invers, pasul la distanță. Pentru un pas de 6,4 m și o distanță de 16 m, corect este $k = 16 : 6, 4 = 2, 5$ ; rezultatul $0, 4$ ar muta utilajul în interiorul pasului.

Exerciții din această mini-lecție

Pe un raft al unui magazin, produsele stau pe un singur rând. Vectorul $u$ de la primul produs la al doilea are 36 mm la $7 0^{\circ}$ , iar produsul $P$ stă pe același rând, în același sens, la 81 mm de primul. Cu ce număr trebuie înmulțit $u$ ca să obții vectorul de la primul produs la $P$ ?
- a) $\frac{4}{9}$
- b) $\frac{9}{4}$
- c) $- \frac{9}{4}$
- d) $45$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{9}{4}$

Vectorii au același sens, deci $k$ e pozitiv, iar modulul căutat se împarte la modulul pasului: $81 : 36 = \frac{9}{4}$ . Varianta $\frac{4}{9}$ împarte invers și ar așeza produsul $P$ înaintea celui de-al doilea. Varianta $- \frac{9}{4}$ ar întoarce vectorul, deși sensul e același. Varianta 45 scade modulele, $81 - 36$ , dar se cere un raport, nu o diferență.
Un fermier montează aspersoare pe un rând de irigat. Față de aspersorul $A$ , vectorul $A B$ are 15 m la $4 8^{\circ}$ , iar $A C$ are 33 m la $22 8^{\circ}$ . Care egalitate este adevărată?
- a) $A C = 2, 2 A B$
- b) $A C = - \frac{5}{11} A B$
- c) $A C = - 2, 2 A B$
- d) $A C = - 18 A B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A C = - 2, 2 A B$

Unghiurile diferă cu $22 8^{\circ} - 4 8^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , deci vectorii au sensuri contrare și $k$ e negativ. Modulele dau $∣ k ∣ = 33 : 15 = 2, 2$ , deci $k = - 2, 2$ . Varianta cu $2, 2$ ignoră sensul contrar. Varianta $- \frac{5}{11}$ împarte invers, $15 : 33$ . Varianta $- 18$ folosește diferența modulelor, $33 - 15$ .
O conductă de apă pleacă din stația de pompare $S$ și ajunge în rezervorul $R$ , la 2160 m spre est. Vana $V$ stă pe conductă și verifică $S V = \frac{5}{12} S R$ . Ce lungime are tronsonul dintre vană și rezervor, $∣ V R ∣$ ?
- a) 1260 m
- b) 900 m
- c) 1080 m
- d) 5184 m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 1260 m

Restul drumului este $V R = S R - S V = (1 - \frac{5}{12}) S R = \frac{7}{12} S R$ , adică $\frac{7}{12} \cdot 2160 = 1260$ m. Varianta 900 m este tronsonul $S V$ , nu $V R$ . Varianta 1080 m ar fi jumătatea drumului, adică vana la mijloc. Varianta 5184 m împarte 2160 la $\frac{5}{12}$ în loc să înmulțească.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu vectorul dacă numărul este subunitar?

Vectorul se scurtează și își păstrează sensul. Pentru un pas de 4,8 m la $2 5^{\circ}$ și $k = 0, 75$ , mutarea are $0, 75 \cdot 4, 8 = 3, 6$ m, tot la $2 5^{\circ}$ . Un număr între 0 și 1 așază punctul între capetele pasului, iar un număr peste 1 îl duce dincolo de capăt.

Cum adun mai multe mutări pe aceeași dreaptă?

Aduni numerele cu semn, apoi înmulțești suma cu pasul. Un cărucior face $+ 5$ pași înainte, $- 8$ înapoi și $+ 2$ înainte, la 1,2 m pasul: suma este $5 - 8 + 2 = - 1$ , deci deplasarea este $- 1 \cdot 1, 2 = - 1, 2$ m, adică 1,2 m în sens contrar pasului.

De ce modulul produsului folosește valoarea absolută?

Un modul este o lungime și nu poate fi negativ, iar semnul lui $k$ ține doar de sens. Pentru $k = - 3$ și un vector de 7 mm, modulul produsului este $∣ - 3 ∣ \cdot 7 = 21$ mm, nu $- 21$ mm, iar vectorul se întoarce pe aceeași dreaptă.

Cum aflu pasul dintre posturi din două poziții cunoscute?

Împarți distanța dintre cele două utilaje la diferența numerelor lor de pași. Dacă un utilaj e la 7,5 pași de primul post, altul la 11 pași, iar ele sunt la 12,6 m unul de altul, pasul este $12, 6 : (11 - 7, 5) = 3, 6$ m.

Ce se întâmplă cu numărul dacă pasul se înjumătățește?

Numărul se dublează, pentru că aceeași distanță cuprinde de două ori mai mulți pași mici. Un obiect la 7,2 m înseamnă $7, 2 : 2, 4 = 3$ pași de 2,4 m, dar $7, 2 : 1, 2 = 6$ pași de 1,2 m. Distanța și sensul rămân aceleași.

Oamenii mai întreabă și: câți pași are o mutare față de pasul dintre posturi · vector ca multiplu al altui vector · cum aflu k din modul și sens · poziția pe o dreaptă față de un punct de referință