Vector înmulțit cu un număr, pentru tehnologic

Pe planul unui service, presa de anvelope stă la doi pași și jumătate de primul post de lucru, iar compresorul la doi pași în urma lui. Spui asta cu un singur număr pe utilaj, 2,5 sau −2, înmulțit cu pasul. Înmulțirea cu un număr schimbă lungimea unui vector și, la numerele negative, sensul, dar păstrează dreapta. Cu ea citești planul unei hale și verifici dacă puncte stau pe aceeași dreaptă; filiera tehnologică o studiază în clasa a IX-a. Tema stă în programa examenului de Bacalaureat M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un service auto își mută atelierul într-o hală nouă. Posturile de lucru ale mecanicilor stau pe un singur rând, lângă peretele lung, la distanțe egale: $A_1,A_2,A_3,\dots$. Peretele nu e paralel cu axa $Ox$ a planului, așa că pasul dintre două posturi vecine, vectorul $\overrightarrow{A_1{A}_2}$, are 4,6 m la 20° față de $Ox$. Meșterul așază trei utilaje pe aceeași dreaptă cu posturile, lângă perete, ca să rămână liber culoarul din fața lor. Distanțele de la primul post sunt luate de pe plan.

El vrea să știe de câte ori încape pasul în fiecare distanță, cu tot cu direcție, ca să poată așeza utilajele între posturi și în spatele rândului.

Întrebare: cu ce număr trebuie înmulțit pasul $\overrightarrow{A_1{A}_2}$ ca să obții fiecare dintre cei trei vectori și stau toate cele trei utilaje pe aceeași dreaptă cu posturile?

De la situație la model

Notează $\vec{u}=\overrightarrow{A_1{A}_2}$, adică pasul. Tabelul traduce cuvintele atelierului în cuvinte din matematică.

Produsul dintre un număr real nenul $k$ și un vector $\vec{u}\ne \vec{0}$ este vectorul $k\vec{u}$, care are modulul $|k|\cdot |\vec{u}|$, direcția lui $\vec{u}$ și sensul lui $\vec{u}$ dacă $k>0$, respectiv sensul opus dacă $k<0$. Pentru $k=0$ sau $\vec{u}=\vec{0}$, produsul este $\vec{0}$. Scalarul este numărul real $k$ cu care înmulțești vectorul. Din definiție ies cazurile $1\cdot \vec{u}=\vec{u}$ și $(-1)\cdot \vec{u}=-\vec{u}$, adică opusul.

Numărul $k$ lucrează ca un buton de scară. Dacă $|k|>1$, vectorul se prelungește; dacă $0<|k|<1$, se scurtează, iar $k=\frac{1}{2}$ dă jumătate din pas. Dacă $k<0$, vectorul se întoarce pe aceeași dreaptă. Vectorii $\vec{u}$ și $k\vec{u}$ au deci mereu aceeași direcție, oricât de mare sau de mică ar fi diferența de lungime.

Înmulțirea are patru proprietăți, pe care le folosești ca pe cele de la numere: $k(l\vec{u})=(kl)\vec{u}$; $(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$; $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$; $1\cdot \vec{u}=\vec{u}$. Ele nu se demonstrează aici. Se verifică pe exemple, ca în exemplul 3, și se folosesc la calcul, ca în exemplul 2 și în exercițiul 3. Adunarea vectorilor, folosită în proprietățile a doua și a treia, o afli în lecția despre rezultanta forțelor.

Când sunt doi vectori coliniari?

Un vector $k\vec{u}$ are mereu direcția lui $\vec{u}$, deci este coliniar cu el. Și invers: dacă $\vec{u}\ne \vec{0}$ și $\vec{v}$ are aceeași direcție, atunci există un număr real $k$ cu $\vec{v}=k\vec{u}$. Condiția de coliniaritate spune deci că $\vec{v}$ și $\vec{u}$ sunt coliniari exact când $\vec{v}=k\vec{u}$ pentru un $k$. Numărul se citește din module și din sens: $k=\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|}$ dacă au același sens și $k=-\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|}$ dacă au sensuri contrare.

Când stau trei puncte pe aceeași dreaptă?

Punctele $A$, $B$, $C$, cu $A\ne B$, sunt coliniare exact când $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ pentru un număr $k$. Cei doi vectori pleacă din același punct, $A$, deci dacă sunt coliniari, ambii stau pe una și aceeași dreaptă. Dacă $0<k<1$, punctul $C$ e între $A$ și $B$; dacă $k>1$, e dincolo de $B$; dacă $k<0$, e de cealaltă parte a lui $A$. Pentru $k=\frac{1}{2}$, $C$ este mijlocul lui $[AB]$.

Metoda pas cu pas

1. Pentru fiecare vector notează modulul, cu unitatea lui, și unghiul măsurat de la $Ox$, ca la $\vec{u}$ din situație: 4,6 m la 20°. Dacă vectorii sunt dați prin puncte, scrie-i cu litere, ca $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.
2. Ca să înmulțești cu $k$, înmulțește modulul cu $|k|$. Unghiul rămâne dacă $k>0$ și crește cu 180° dacă $k<0$. Pentru $k=0$ ieși cu $\vec{0}$.
3. Ca să afli $k$ din doi vectori, uită-te întâi la unghiuri: unghiuri egale sau care diferă cu 180° arată vectori coliniari. Împarte apoi modulele, vectorul căutat la cel dat, și pune semnul plus pentru același sens, minus pentru sens contrar. La presă: $11,5:4,6=2,5$, cu plus, fiindcă ambii vectori au 20°.
4. Pentru trei puncte, alege punctul comun și scrie ambii vectori din el, de pildă $\overrightarrow{A_1{A}_2}$ și $\overrightarrow{A_{1}P}$. Punctele sunt coliniare dacă unul dintre vectori e $k$ ori celălalt; dacă unghiurile diferă cu un alt număr de grade decât 0° sau 180°, nu sunt.
5. Pentru un punct de pe un segment, la o fracție $t$ din drum, scrie $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$, cu $0<t<1$. Dacă mai ai nevoie de restul drumului, $\overrightarrow{MB}=(1-t)\overrightarrow{AB}$. La mijloc, $t=\frac{1}{2}$; la puțurile unui aliniament împărțit în șapte intervale, $t$ este un număr de șeptimi.
6. Verifică: înmulțește $|k|$ cu modulul dat și regăsești modulul căutat, iar sensul trebuie să se potrivească cu semnul lui $k$. Un $|k|$ mai mare decât 1 înseamnă un vector mai lung decât cel de plecare, unul între 0 și 1 înseamnă un vector mai scurt.

Fișa de buzunar

$$|k\vec{u}|=|k|\cdot |\vec{u}|,k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v},(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$$

$$\vec{u}\ne \vec{0}:\vec{v}\text{ coliniar cu }\vec{u}⟺\vec{v}=k\vec{u}\text{ pentru un }k\in \mathbb{R}$$

$k>0$ înseamnă același sens, $k<0$ sens contrar. Se aplică numai cu $\vec{u}\ne \vec{0}$, fiindcă $k\vec{0}=\vec{0}$ pentru orice $k$ și relația nu mai spune nimic. Punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare exact când $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$. Verificare rapidă: modulul produsului este $|k|$ ori modulul vectorului, iar semnul lui $k$ dă sensul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Utilajele din hala service-ului

Domeniu: auto.

Enunț. Reia tabelul de la început. a) Scrie $\overrightarrow{A_{1}P}$, $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{A_{1}R}$ ca multipli ai lui $\vec{u}=\overrightarrow{A_1{A}_2}$. b) Stau cele trei utilaje pe aceeași dreaptă cu posturile? c) Ce număr leagă $\overrightarrow{PR}$ de $\vec{u}$?

Rezolvare. a) Comparăm întâi unghiurile: $\overrightarrow{A_{1}P}$ și $\overrightarrow{A_{1}R}$ au 20°, ca $\vec{u}$, deci același sens, iar $\overrightarrow{A_{1}C}$ are 200° = 20° + 180°, deci sens contrar. Împărțim modulele la 4,6 m: $\frac{11,5}{4,6}=2,5$, $\frac{9,2}{4,6}=2$, $\frac{16,1}{4,6}=3,5$. Deci $\overrightarrow{A_{1}P}=2,5\vec{u}$, $\overrightarrow{A_{1}C}=-2\vec{u}$ și $\overrightarrow{A_{1}R}=3,5\vec{u}$. b) Toți trei sunt multipli ai lui $\vec{u}$ și pleacă din $A_1$, deci stau pe dreapta $A_1{A}_2$, adică pe aceeași dreaptă cu posturile. c) $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{A_{1}R}-\overrightarrow{A_{1}P}=3,5\vec{u}-2,5\vec{u}=(3,5-2,5)\vec{u}=\vec{u}$. Utilajele $P$ și $R$ sunt la un pas una de alta, adică la 4,6 m, pe direcția rândului, iar între ele stă postul $A_4$, la jumătate de pas de fiecare.

Capcană. Cine scrie $\overrightarrow{A_{1}C}=2\vec{u}$ ignoră sensul și așază compresorul în dreptul postului $A_3$, la doi pași în fața lui $A_1$, nu în spatele rândului. Semnul minus vine din unghiul de 200°, care diferă cu 180° de 20°.

Verificare. Pe linie, poziția față de $A_1$, în metri, este $-9,2$ pentru $C$, 0 pentru $A_1$, 11,5 pentru $P$ și 16,1 pentru $R$. Ordinea pe dreaptă, $C$, $A_1$, $P$, $R$, se potrivește cu numerele $-2$, 0, 2,5 și 3,5.

Exemplul 2 — Puțurile de observație de lângă un depozit de deșeuri

Domeniu: mediu.

Enunț. Pentru urmărirea apei freatice, între puțul $A$, de lângă un depozit de deșeuri, și puțul $B$, de pe malul râului, aflat la 245 m spre est, se forează încă 6 puțuri de observație, $C_1,\dots ,C_6$, care împart aliniamentul în 7 intervale egale. a) Scrie $\overrightarrow{A{C}_3}$ ca multiplu al lui $\overrightarrow{AB}$ și află modulul. b) Scrie $\overrightarrow{C_2{C}_5}$ ca multiplu al lui $\overrightarrow{AB}$. c) Mijlocul $M$ al aliniamentului cade între două puțuri: care sunt ele și la ce distanță e $M$ de cel din stânga?

Rezolvare. Cele 7 intervale sunt egale, deci un interval este $\frac{1}{7}\overrightarrow{AB}$, de $245:7=35$ m. Fiecare puț $C_k$ se află după $k$ intervale de la $A$. a) $\overrightarrow{A{C}_3}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}$, cu modulul $\frac{3}{7}\cdot 245=105$ m. b) $\overrightarrow{C_2{C}_5}=\overrightarrow{A{C}_5}-\overrightarrow{A{C}_2}=\frac{5}{7}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}$, adică tot 105 m. c) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{3,5}{7}\overrightarrow{AB}$, între $C_3$ (la $\frac{3}{7}$) și $C_4$ (la $\frac{4}{7}$). Vectorul $\overrightarrow{C_{3}M}$ este $\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{7}\right)\overrightarrow{AB}=\frac{1}{14}\overrightarrow{AB}$, adică 17,5 m.

Capcană. Cine scrie $\overrightarrow{A{C}_3}=\frac{3}{6}\overrightarrow{AB}$ împarte la numărul de puțuri intermediare, 6, nu la numărul de intervale, 7, și obține mijlocul aliniamentului. Intervalele sunt cu unul mai multe decât puțurile dintre capete.

Verificare. $\overrightarrow{A{C}_3}+\overrightarrow{C_{3}B}=\overrightarrow{AB}$, deoarece $\frac{3}{7}+\frac{4}{7}=1$, iar în metri $105+140=245$.

Exemplul 3 — Desenul de execuție al unei uși, la scara 1:20

Domeniu: lemn.

Enunț. Pe desenul de execuție al unei uși de magazie, la scara 1:20, lățimea ușii este vectorul $\vec{a}$ de 42 mm, spre dreapta (0°), iar înălțimea ei, vectorul $\vec{b}$ de 100,8 mm, în sus (90°). Bara de rigidizare merge pe diagonală, de la colțul de jos al unei laturi la colțul de sus al celeilalte. a) Ce dimensiuni reale are ușa, în centimetri? b) Ce lungime reală are bara diagonală, în centimetri? c) Arată pe aceste date că $20(\vec{a}+\vec{b})=20\vec{a}+20\vec{b}$.

Rezolvare. Scara 1:20 înseamnă că vectorul real e de 20 de ori vectorul din desen, cu aceeași direcție și același sens: înmulțești modulul cu 20 și păstrezi unghiul. a) $20\cdot 42=840$ mm, adică 84 cm, și $20\cdot 100,8=2016$ mm, adică 201,6 cm. b) Pe desen, bara este $\vec{a}+\vec{b}$, cu modulul $\sqrt{42^2+100,8^2}=\sqrt{11924,64}=109,2$ mm. Real, $20\cdot 109,2=2184$ mm, adică 218,4 cm. c) Membrul stâng are modulul $20\cdot 109,2=2184$ mm. Membrul drept este suma a doi vectori perpendiculari de 840 mm și 2016 mm, cu modulul $\sqrt{840^2+2016^2}=\sqrt{4769856}=2184$ mm. Cele două module coincid, iar direcțiile sunt aceleași.

Capcană. Cine citește 1:20 ca „împarte la 20” obține $42:20=2,1$ mm, o ușă de nerecunoscut. Scara 1:20 spune că realitatea este de 20 de ori mai mare decât desenul.

Verificare. Invers, $2184:20=109,2$ mm, adică exact lungimea din desen, iar $840:20=42$ mm.

Exemplul 4 — Problema inversă: popasul cicloturiștilor

Domeniu: turism.

Enunț. Un grup de cicloturiști merge pe digul unui canal, de la ecluza $A$ la debarcaderul $B$, pe un tronson drept de 13,5 km orientat spre est. Ciclocomputerul arată 5,4 km la popas, în punctul $P$. Mergi invers: din distanța măsurată afli ce parte din drum s-a parcurs. a) Află $k$ din $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$. b) Scrie $\overrightarrow{PB}$ ca multiplu al lui $\overrightarrow{AB}$ și află lungimea lui. c) Ce loc $Q$ este la mijlocul distanței dintre $P$ și $B$ și cât e $|\overrightarrow{AQ}|$?

Rezolvare. Popasul e între $A$ și $B$, deci numărul $k$ trebuie să fie între 0 și 1. a) Vectorii au același sens, deci $k=\frac{5,4}{13,5}=\frac{2}{5}$. b) $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}=\left(1-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{AB}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, adică $\frac{3}{5}\cdot 13,5=8,1$ km. c) $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}$, deci $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\right)\overrightarrow{AB}=\frac{7}{10}\overrightarrow{AB}$, adică $\frac{7}{10}\cdot 13,5=9,45$ km.

Capcană. Cine împarte invers, $13,5:5,4=2,5$, scrie $\overrightarrow{AP}=2,5\overrightarrow{AB}$ și mută popasul dincolo de debarcader. Modulul căutat se împarte la cel dat, iar un $k>1$ ar însemna un punct dincolo de $B$.

Verificare. $5,4+8,1=13,5$ km, iar $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$. În plus, $9,45-5,4=4,05$ km și $13,5-9,45=4,05$ km: $Q$ e la mijloc.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Fie $\vec{u}$ de 28 mm la 52°. Dă, în aceeași formă (modul și unghi), vectorii: a) $3\vec{u}$; b) $-1,5\vec{u}$; c) $\frac{1}{4}\vec{u}$; d) $0\cdot \vec{u}$.

2. Adevărat sau fals, cu motivare: a) $k\vec{u}$ este coliniar cu $\vec{u}$ pentru orice număr real $k$; b) dacă $\vec{u}\ne \vec{0}$ și $k<0$, vectorul $k\vec{u}$ are sens contrar lui $\vec{u}$; c) dacă $|k|<1$, vectorul $k\vec{u}$ este mai lung decât $\vec{u}$; d) vectorii $(-3)\vec{u}$ și $3\vec{u}$ sunt egali.

3. Simplifică: a) $5\vec{p}-2(\vec{p}-\vec{q})+\vec{q}$; b) $\frac{1}{2}\left(8\vec{a}-6\vec{b}\right)+3\vec{b}$.

4. Se dau $\vec{a}$ de 36 mm la 20°, $\vec{b}$ de 50,4 mm la 200° și $\vec{c}$ de 36 mm la 25°. a) Scrie $\vec{b}$ ca multiplu al lui $\vec{a}$. b) Este $\vec{c}$ coliniar cu $\vec{a}$? c) Ce număr $m$ face ca $m\vec{b}$ să fie egal cu $\vec{a}$?

Nivelul 2 — situații

5. Într-o livadă, merii dintr-un rând stau la distanțe egale, iar $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ are 3,8 m la 33°. a) Scrie $\overrightarrow{P_3{P}_{10}}$ ca multiplu al lui $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ și află modulul. b) Care pom $P_k$ are $\overrightarrow{P_1{P}_k}=5\overrightarrow{P_1{P}_2}$?

6. Într-o hală de laminare, bobinele de tablă stau pe un rând, la 1,35 m una de alta, iar vectorul $\vec{p}$ de la o bobină la următoarea are 1,35 m la 0°. Podul rulant se mută 4 poziții spre dreapta, apoi 6 poziții spre stânga. Scrie deplasarea totală ca multiplu al lui $\vec{p}$ și află modulul și sensul.

7. Un cablu electric trebuie tras în linie dreaptă prin pilonii $A$, $B$ și $C$. Pe plan: $\overrightarrow{AB}$ are 24,6 m la 40°, $\overrightarrow{AC}$ are 36,9 m la 40°, iar $\overrightarrow{AD}$ are 41 m la 44°. a) Sunt $A$, $B$, $C$ coliniari? Scrie $\overrightarrow{AC}$ ca multiplu al lui $\overrightarrow{AB}$. b) Poate trece același cablu drept și prin $D$?

8. Două șine de ghidare trebuie să fie paralele. Șina 1 are $\overrightarrow{AB}$ de 1,2 m la 75°, iar șina 2 are $\overrightarrow{CD}$ de 0,9 m la 255°. a) Scrie $\overrightarrow{CD}$ ca multiplu al lui $\overrightarrow{AB}$. b) Sunt șinele paralele și ce relație au sensurile?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pe un tronson drept de autostradă, $AB$, lung de 8,4 km, se amplasează o parcare $M$, cu $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$, unde $0<t<1$. a) Exprimați $|\overrightarrow{AM}|$ în funcție de $t$. b) Parcarea trebuie să fie la cel puțin 2 km de nodul $A$ și la cel puțin 3 km de nodul $B$. Determinați valorile lui $t$ ca interval.

10. (Sinteză.) În reperul $xOy$ al unui plan de șantier, în metri, $A(2;1)$ și $B(14;9)$. Punctul $M$ este mijlocul lui $[AB]$, iar $N$ mijlocul lui $[AM]$. a) Determinați coordonatele lui $M$ și $N$. b) Arătați că $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, comparând modulele, și că $A$, $N$, $B$ sunt coliniare, comparând pantele.

11. (Sinteză.) Vectorul $\vec{u}$ are 12 mm. Pentru ce valori ale lui $k$ are $k\vec{u}$ modulul cuprins între 18 mm și 30 mm, capetele incluse? Scrieți condiția cu un modul, rezolvați-o și precizați ce valori dau același sens cu $\vec{u}$.

12. (Sinteză.) Fie $\vec{a}\ne \vec{0}$ și $\vec{b}=(m^2-20m+96)\vec{a}$. a) Aflați numerele $m$ pentru care $\vec{b}=\vec{0}$. b) Aflați numerele $m$ pentru care $\vec{b}$ are sens contrar lui $\vec{a}$.

Răspunsuri și verificări

1. a) 84 mm la 52°. b) 42 mm la 232°. c) 7 mm la 52°. d) $\vec{0}$. Verificare: 232° − 52° = 180°, iar $42:28=1,5$.

2. a) Adevărat. b) Adevărat. c) Fals: este mai scurt. d) Fals: sunt opuși. Verificare: pentru $k=\frac{1}{2}$, $\vec{u}$ de 28 mm devine de 14 mm.

3. a) $5\vec{p}-2\vec{p}+2\vec{q}+\vec{q}=3\vec{p}+3\vec{q}$. b) $4\vec{a}-3\vec{b}+3\vec{b}=4\vec{a}$. Verificare: pentru $\vec{q}=\vec{p}$ ambele expresii dau $6\vec{p}$.

4. a) Unghiurile diferă cu 180°, deci $\vec{b}=k\vec{a}$ cu $k=-\frac{50,4}{36}=-1,4$. b) Nu: 25° și 20° nu diferă cu 0° sau 180°. c) $m=\frac{1}{-1,4}=-\frac{5}{7}$. Verificare: $-1,4\cdot \left(-\frac{5}{7}\right)=1$.

5. a) $\overrightarrow{P_3{P}_{10}}=7\overrightarrow{P_1{P}_2}$, cu modulul $7\cdot 3,8=26,6$ m, la 33°. b) $k=6$, adică $P_6$. Verificare: de la $P_3$ la $P_{10}$ sunt $10-3=7$ pași.

6. Deplasarea este $4\vec{p}+(-6)\vec{p}=(4-6)\vec{p}=-2\vec{p}$, cu modulul $2\cdot 1,35=2,7$ m, spre stânga (180°). Verificare: 4 poziții spre dreapta și 6 spre stânga lasă 2 poziții spre stânga.

7. a) Unghiurile sunt egale (40°), iar $k=\frac{36,9}{24,6}=1,5$, deci $\overrightarrow{AC}=1,5\overrightarrow{AB}$ și punctele sunt coliniare, cu $C$ dincolo de $B$. b) Nu: $\overrightarrow{AD}$ are 44°, iar 44° nu diferă de 40° cu 0° sau 180°. Verificare: $1,5\cdot 24,6=36,9$.

8. a) Unghiurile diferă cu 180° (255° − 75°), iar $k=-\frac{0,9}{1,2}=-0,75$, deci $\overrightarrow{CD}=-0,75\overrightarrow{AB}$. b) Șinele sunt paralele, cu sensuri contrare. Verificare: $0,75\cdot 1,2=0,9$.

9. a) $|\overrightarrow{AM}|=8,4t$ km, o funcție de gradul I a lui $t$. b) Din $8,4t\ge 2$ rezultă $t\ge \frac{5}{21}$. Din $8,4(1-t)\ge 3$ rezultă $t\le \frac{9}{14}$. Deci $t\in \left[\frac{5}{21};\frac{9}{14}\right]$. Verificare: pentru $t=\frac{5}{21}$ iese 2 km, iar pentru $t=\frac{9}{14}$ iese 5,4 km, la $8,4-5,4=3$ km de $B$.

10. a) $M(8;5)$ și $N(5;3)$. b) $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$, iar $|\overrightarrow{AN}|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$, deci modulul lui $\overrightarrow{AN}$ este $\frac{1}{4}$ din al lui $\overrightarrow{AB}$. Pantele sunt $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ pentru $AB$ și $\frac{2}{3}$ pentru $AN$. Dreptele coincid, iar $N$ e între $A$ și $B$, deci $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$. Verificare: $4\sqrt{13}:4=\sqrt{13}$.

11. Condiția este $18\le 12|k|\le 30$, adică $\frac{3}{2}\le |k|\le \frac{5}{2}$. Rezultă $k\in \left[-\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right]\cup \left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]$. Același sens cu $\vec{u}$ dau valorile pozitive. Verificare: la $k=\frac{3}{2}$ iese 18 mm, iar la $k=-\frac{5}{2}$ iese 30 mm, cu sens contrar.

12. a) $m^2-20m+96=0$ are $\Delta =400-384=16$ și rădăcinile $m=\frac{20\pm 4}{2}$, adică $m=8$ și $m=12$. b) Sens contrar cere $m^2-20m+96<0$, adică $m$ între rădăcini: $m\in (8;12)$. Verificare: la $m=10$ coeficientul este $100-200+96=-4<0$, iar la $m=13$ este $169-260+96=5>0$.

Așa vine la Bac M3

În programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), înmulțirea cu un scalar, proprietățile ei și condiția de coliniaritate sunt așezate în al șaptelea bloc al clasei a IX-a. Totuși, înmulțirea unui vector cu un număr nu a apărut în probele 2013–2026. Printre cele 83 de probe oficiale, indexul cerințelor nu găsește nicio cerință cu această temă, iar cuvântul «scalar» lipsește din textul subiectelor. Cuvântul «coliniare» se găsește într-o singură probă, din 2018, la o cerință despre trei puncte într-un reper cartezian, pe care indexul o leagă de lecția despre reperul cartezian. Secțiunea rămâne, așadar, fără trimiteri la probe și fără cerințe imitate.

În exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), produsul cu un număr se întâlnește cu funcția de gradul I și cu inegalitățile, cu reperul cartezian, cu modulul unui număr real și cu semnul funcției de gradul al II-lea. Adunarea vectorilor, folosită aici, e în lecția despre rezultanta forțelor, iar condiția de coliniaritate îți trebuie la descompunerea unui vector după două direcții, unde cei doi vectori de bază sunt necoliniari; celelalte lecții ale acestei clase sunt adunate în hubul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Ignori semnul lui $k$ și scrii $\overrightarrow{A_{1}C}=2\vec{u}$ în loc de $-2\vec{u}$ → compresorul ajunge în fața rândului; cum o prinzi: unghiurile 200° și 20° diferă cu 180°, deci sensurile sunt contrare.
• Împarți invers, $13,5:5,4$ în loc de $5,4:13,5$ → popasul ajunge dincolo de destinație; cum o prinzi: $k$ este mai mic decât 1 pentru un punct dintre $A$ și $B$.
• Scrii $|k\vec{u}|=k|\vec{u}|$ la un $k$ negativ → modulul iese negativ; cum o prinzi: un modul nu e negativ, deci folosești $|k|$.
• Aplici scara invers, împarți la 20 în loc să înmulțești → piesa iese de 400 de ori prea mică; cum o prinzi: la scara 1:20 lungimile reale trebuie să fie mai mari decât cele din desen.
• Împarți la numărul de puțuri intermediare, 6, nu la cel de intervale, 7 → toate pozițiile intermediare ies greșit; cum o prinzi: $\overrightarrow{A{C}_3}+\overrightarrow{C_{3}B}$ trebuie să dea $\overrightarrow{AB}$, adică fracțiile să se adune la 1.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: înmulțirea unui vector cu un număr real face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Unde ajunge presa dacă meșterul o mută cu 3,45 m spre $A_1$? Cei 3,45 m înseamnă $3,45:4,6=0,75$ pași, în sens contrar pasului, deci mutarea este $-0,75\vec{u}$. Atunci $\overrightarrow{A_{1}P}$ devine $2,5\vec{u}-0,75\vec{u}=1,75\vec{u}$, adică 8,05 m de $A_1$, între $A_2$ și $A_3$, tot pe dreapta posturilor. Proprietatea $(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$ face calculul pe numere, nu pe desen.

De ce are compresorul $k=-2$, nu $2$? Compresorul e în spatele primului post, deci în sens contrar pasului. Unghiul lui, 200°, diferă cu 180° de 20°, iar distanța de 9,2 m înseamnă 2 pași. Numărul trebuie să poarte și semnul, nu doar mărimea: $\overrightarrow{A_{1}C}=-2\overrightarrow{A_1{A}_2}$.

Ce se schimbă dacă aliniamentul puțurilor are 5 intervale în loc de 7? Un interval devine $\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$, adică $245:5=49$ m, iar puțurile intermediare ar fi $C_1,\dots ,C_4$. Vectorul $\overrightarrow{A{C}_3}$ ar fi $\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, de 147 m, iar $\overrightarrow{C_2{C}_4}$ ar fi $\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$. Se schimbă numitorul fracției, nu regula: numărul de intervale, aici 5 în loc de 7, dă numitorul.

Pot măsura $k$ direct pe plan, cu rigla? Da, pe un desen la scară. Măsori modulul vectorului din desen și îl împarți la modulul pasului, cu semn după sens. Dacă desenul e la scara 1:20, aceeași fracție rămâne valabilă și pe teren, fiindcă scara înmulțește ambii vectori cu același număr, 20.

Ce spune programa pentru Bacalaureatul M3 despre condiția de coliniaritate? Programa de examen o trece în blocul al șaptelea al clasei a IX-a, împreună cu înmulțirea cu un scalar. În cele 83 de probe oficiale 2013–2026, indexul cerințelor nu are nicio cerință cu această temă. Fiind în programă, condiția poate fi cerută.