Un cărucior de depozit face mai multe mutări între rafturile unei hale; fiecare mutare e dată prin lungime și unghi față de axa $$Ox$$ a planului. În care dintre perechile de mai jos mutările sunt opuse?

18 m la $$34^\circ$$ și 18 m la $$214^\circ$$

18 m la $$34^\circ$$ și 18 m la $$146^\circ$$

18 m la $$34^\circ$$ și 27 m la $$214^\circ$$

18 m la $$34^\circ$$ și 18 m la $$34^\circ$$

Un ferăstrău mobil face pe o masă trei mutări consecutive, date prin lungime și unghi față de $$Ox$$: $$P_1$$ de 80 mm la $$36^\circ$$, $$P_2$$ de 140 mm la $$216^\circ$$ și $$P_3$$ de 80 mm la $$126^\circ$$. Care afirmație este adevărată?

$$P_1$$ și $$P_2$$ sunt coliniare, dar nu opuse

$$P_2$$ și $$P_3$$ sunt coliniare

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vectori: egali, opuși, coliniari

Cum compar două mutări după lungime și unghi?

Compari întâi unghiurile, apoi lungimile. Unghiuri egale înseamnă aceeași direcție și același sens; unghiuri care diferă cu $18 0^{\circ}$ înseamnă aceeași direcție, dar sensuri contrare. Dacă și lungimile coincid, vectorii sunt egali, respectiv opuși; altfel sunt doar coliniari. Exemplu: 34 mm la $5 0^{\circ}$ și 34 mm la $23 0^{\circ}$ sunt opuși, fiindcă $23 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , iar 34 mm la $5 0^{\circ}$ și 51 mm la $23 0^{\circ}$ sunt doar coliniari.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Dintr-o săgeată, un vector păstrează numai trei însușiri: lungimea (modulul), dreapta pe care se află (direcția) și încotro arată (sensul). Locul în care e desenată nu contează, deci două săgeți din locuri diferite pot fi același vector. O mutare de utilaj și o forță desenată la scară se tratează la fel.

Doi vectori sunt egali când au toate cele trei însușiri identice. Sunt opuși când au aceeași direcție și același modul, dar sensuri contrare; opusul lui $A B$ este $B A$ . Sunt coliniari când au doar aceeași direcție, indiferent de sens și de lungime. Dacă mutările sunt date prin lungime și unghi față de axa $O x$ , unghiurile egale sau care diferă cu $18 0^{\circ}$ arată aceeași direcție: la unghiuri egale sensul e același, la diferență de $18 0^{\circ}$ e contrar.

Ordinea de lucru: scrii pentru fiecare vector modulul cu unitatea și unghiul, compari unghiurile, apoi sensul, iar lungimile le lași la urmă, în aceeași unitate. Prima capcană este să compari doar lungimile: șase mutări de aceeași lungime pot fi patru vectori diferiți. A doua este să crezi că vectorii coliniari merg în același sens.

Control: muți mental o săgeată paralel cu ea însăși peste cealaltă. Dacă se suprapun, sunt egale; dacă ajung pe aceeași dreaptă, dar cu vârfurile îndreptate în direcții contrare, sunt opuse.

De reținut

egali: aceeași direcție, același sens, același modul
opuși: aceeași direcție și același modul, sens contrar (unghi plus $18 0^{\circ}$ )
coliniari: unghiuri egale sau care diferă cu $18 0^{\circ}$

Greșeala tipică

Se declară egale mutările de aceeași lungime. Egalitatea cere și unghiul: 34 mm la $5 0^{\circ}$ și 34 mm la $14 0^{\circ}$ au același modul, dar direcții perpendiculare, deci nu sunt egale.

Exerciții din această mini-lecție

Un cărucior de depozit face mai multe mutări între rafturile unei hale; fiecare mutare e dată prin lungime și unghi față de axa $O x$ a planului. În care dintre perechile de mai jos mutările sunt opuse?
- a) 18 m la $3 4^{\circ}$ și 18 m la $14 6^{\circ}$
- b) 18 m la $3 4^{\circ}$ și 27 m la $21 4^{\circ}$
- c) 18 m la $3 4^{\circ}$ și 18 m la $21 4^{\circ}$
- d) 18 m la $3 4^{\circ}$ și 18 m la $3 4^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 18 m la $3 4^{\circ}$ și 18 m la $21 4^{\circ}$

Opuse înseamnă același modul și unghiuri care diferă cu $18 0^{\circ}$ : $21 4^{\circ} - 3 4^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , iar ambele mutări au 18 m. Perechea cu $14 6^{\circ}$ pare tentantă, dar $14 6^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ}$ dă o oglindire, nu aceeași direcție. Perechea cu 27 m are direcția și sensul contrar potrivite, dar modulele diferă, 18 m și 27 m, deci vectorii sunt doar coliniari. Perechea cu două unghiuri de $3 4^{\circ}$ conține vectori egali, nu opuși.
Un ferăstrău mobil face pe o masă trei mutări consecutive, date prin lungime și unghi față de $O x$ : $P_{1}$ de 80 mm la $3 6^{\circ}$ , $P_{2}$ de 140 mm la $21 6^{\circ}$ și $P_{3}$ de 80 mm la $12 6^{\circ}$ . Care afirmație este adevărată?
- a) $P_{1}$ și $P_{2}$ sunt opuse
- b) $P_{2}$ și $P_{3}$ sunt coliniare
- c) $P_{1}$ și $P_{3}$ sunt egale
- d) $P_{1}$ și $P_{2}$ sunt coliniare, dar nu opuse
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $P_{1}$ și $P_{2}$ sunt coliniare, dar nu opuse

Unghiurile $3 6^{\circ}$ și $21 6^{\circ}$ diferă cu $18 0^{\circ}$ , deci $P_{1}$ și $P_{2}$ au aceeași direcție și sensuri contrare; modulele sunt 80 mm și 140 mm, deci vectorii sunt doar coliniari, nu opuși. $P_{2}$ și $P_{3}$ au unghiurile $21 6^{\circ}$ și $12 6^{\circ}$ , cu diferența $9 0^{\circ}$ , deci nu sunt coliniare. $P_{1}$ și $P_{3}$ au același modul, 80 mm, dar unghiuri diferite, deci nu sunt egale.
O macara mută pe rând șase pachete de cărămidă, iar fiecare mutare e dată prin lungime și unghi față de $O x$ : 15 m la $4 0^{\circ}$ ; 15 m la $4 0^{\circ}$ ; 15 m la $22 0^{\circ}$ ; 9 m la $4 0^{\circ}$ ; 15 m la $13 0^{\circ}$ ; 15 m la $4 0^{\circ}$ . Câți vectori diferiți apar în acest program?
- a) 2
- b) 4
- c) 3
- d) 6
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 4

Un vector e dat de perechea (lungime; unghi): apar (15; 40) de trei ori, apoi (15; 220), (9; 40) și (15; 130), deci 4 vectori diferiți. Răspunsul 2 numără doar lungimile (15 m și 9 m), iar 3 numără doar unghiurile ( $4 0^{\circ}$ , $22 0^{\circ}$ , $13 0^{\circ}$ ). Răspunsul 6 numără mutările, nu vectorii, deși trei dintre ele coincid.

Întrebări conexe

Ce arată o diferență de 90° între unghiuri?

Vectorii nu sunt coliniari, deci nu pot fi nici egali, nici opuși. Exemplu: o mutare de 40 mm la $1 5^{\circ}$ și una de 40 mm la $10 5^{\circ}$ au direcții perpendiculare, iar modulele identice nu ajută, pentru că egalitatea cere direcție și sens identice.

Cum aflu forța dintr-o săgeată desenată la scară?

Înmulțești lungimea săgeții cu valoarea unui centimetru de pe scară. La scara 1 cm pentru 250 N, o săgeată de 5,6 cm reprezintă $5, 6 \cdot 250 = 1400$ N, adică 1,4 kN. Direcția și sensul se citesc din unghiul săgeții.

De ce două forțe egale pot răsuci diferit o piesă?

Vectorul păstrează numai modulul, direcția și sensul, nu și punctul de aplicare. Două forțe de 200 N la $9 0^{\circ}$ , aplicate la capete diferite ale unei bare, sunt egale ca vectori, dar cea mai îndepărtată de articulație răsucește bara mai tare. Comparația săgeților spune doar dacă forțele sunt egale.

Ce vector are modulul zero?

Vectorul nul, notat $0$ , are lungimea 0 și nu poate fi desenat cu o direcție a lui. Îl obții când o mutare pornește și se termină în același punct, de pildă un tur complet de 300 m al unei mașini care revine la start. Prin convenție, este coliniar cu orice vector.

Ce fac dacă lungimile sunt în unități diferite?

Le aduci în aceeași unitate înainte de comparare. O mutare de 4,5 cm și una de 45 mm au aceeași lungime, deci, la același unghi, sunt vectori egali. Dacă lași cm lângă mm, ai declara 4,5 mai mic decât 45, deși mutările coincid.

Oamenii mai întreabă și: mutări egale și mutări opuse după unghi · cum recunosc vectori egali din lungime și unghi · două linii de program cu același unghi · cum văd dacă două săgeți sunt la fel