Vectori: forțe și deplasări, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Pe schițele de atelier, mutarea unui cap de găurit și forța unui clește se desenează la fel: cu o săgeată. Săgeata are o lungime, o direcție și un sens, iar două săgeți cu aceleași trei însușiri reprezintă același vector, oriunde ar fi desenate. La filiera tehnologică, vectorii sunt materie de clasa a IX-a: citești cele trei însușiri și grupezi vectorii după ele. Vectorii în plan intră în programa probei de matematică a Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un atelier de prelucrări mecanice găurește plăci de îmbinare pe o mașină cu portal. Piesele se fixează într-un dispozitiv pe masa mașinii, iar capul cu burghiu se mută de la o gaură la alta după un program. Fiecare linie de program, L1–L7, dă o mutare: lungimea ei, în milimetri, și unghiul față de axa $O x$ a mesei, măsurat în sens invers acelor de ceasornic, de la 0° la 360°. Găurile G1–G5 ale unei plăci stau în zigzag, pe două rânduri, la 70 mm una de alta.

Linia	De la gaura	La gaura	Lungimea (mm)	Unghiul față de $O x$ (°)
L1	G1	G2	70	0
L2	G4	G5	70	0
L3	G1	G4	70	60
L4	G3	G1	140	180
L5	G5	G4	70	180
L6	G3	G5	70	120
L7	G2	G4	70	120

Dacă două mutări sunt la fel, programatorul scrie o singură linie și o repetă.

Întrebare: care dintre cele șapte mutări sunt la fel, care sunt întoarceri una a alteia și care se fac pe aceeași direcție, adică pe aceeași dreaptă sau pe drepte paralele?

De la situație la model

Notează cu $A$ gaura de plecare și cu $B$ cea de sosire a unei mutări. Tabelul traduce cuvintele atelierului în cuvinte din matematică.

În situație	În matematică
mutarea capului de la gaura $A$ la gaura $B$	segmentul orientat $A B$ , cu originea în $A$ și extremitatea în $B$
lungimea mutării, în mm	modulul $∣ A B ∣$
axa mesei pe care se face mutarea	direcția: dreapta $A B$ și paralelele ei
încotro merge capul pe acea axă	sensul: de la $A$ spre $B$
două mutări scrise cu aceeași linie	vectori egali
mutarea care readuce capul în gaura de plecare	vectorul opus

Segmentul orientat $A B$ este segmentul $[A B]$ cu un sens ales, de la originea $A$ spre extremitatea $B$ ; $B A$ merge invers. El are trei însușiri: modulul, adică lungimea $A B$ , scrisă $∣ A B ∣$ ; direcția, adică dreapta $A B$ împreună cu paralelele ei; și sensul, adică încotro arată săgeata pe acea direcție.

Un vector este o săgeată din care păstrezi doar aceste trei însușiri, nu și locul: o poți muta paralel cu ea însăși, iar vectorul rămâne același. Segmentele orientate $A B$ și $C D$ aparțin aceluiași vector când au aceeași direcție, același sens și același modul. Atunci scrii $A B = C D$ și spui că vectorii sunt egali. Un vector se mai notează $u$ .

Opusul lui $A B$ este $B A$ , notat și $- A B$ . Vectorul nul $0 = AA$ are modulul 0 și nu are direcție proprie. Doi vectori sunt coliniari când au aceeași direcție; sensul și modulul pot fi oricare. Prin convenție, vectorul nul este coliniar cu orice vector. Adunarea vectorilor o afli în lecția despre rezultanta forțelor.

Relația dintre doi vectori	Direcția	Sensul	Modulul
egali	aceeași	același	același
opuși	aceeași	contrar	același
coliniari	aceeași	oricare	oricare

Cum compari două mutări date prin lungime și unghi?

Cu lungime și unghi față de $O x$ , cele trei însușiri se citesc direct. Două mutări au același sens când au același unghi, aceeași direcție când unghiurile sunt egale sau diferă cu 180°, sensuri contrare când unghiurile diferă cu 180°. Unghiurile 0° și 180° dau amândouă direcția orizontală, deci L1 și L4 stau pe aceeași dreaptă a mesei, în sensuri opuse. Modulul se compară la urmă: 70 mm nu e 140 mm, deci L1 și L4 sunt doar coliniare.

O forță este tot un vector?

Da, din punctul de vedere al săgeții. O forță are valoarea ei în newtoni, dreapta pe care acționează și sensul, deci o desenezi la o scară, de pildă 1 cm pentru 350 N, și o compari cu alta ca pe o mutare. Vectorul nu spune însă în ce punct se aplică forța: două forțe egale ca vectori, aplicate în puncte diferite ale piesei, o pot răsuci diferit. Lecția compară săgețile, nu efectele.

Metoda pas cu pas

Scrie pentru fiecare vector modulul, cu unitatea lui, și unghiul față de $O x$ . La L3: 70 mm și 60°. La o forță desenată, scrie valoarea ei în newtoni și unghiul săgeții.
Compară unghiurile. Dacă sunt egale sau diferă cu 180°, vectorii sunt coliniari. Altfel nu pot fi nici egali, nici opuși: L1 (0°) și L3 (60°) sunt în acest caz.
La vectorii coliniari compară sensul: același unghi înseamnă același sens, unghiuri care diferă cu 180° înseamnă sens contrar, ca la L1 (0°) și L4 (180°).
Compară modulele, în aceeași unitate. Același sens și același modul dau vectori egali, ca L1 și L2; sens contrar și același modul dau vectori opuși, ca L1 și L5. Dacă modulele diferă, vectorii sunt doar coliniari.
Verifică pe desen: mută o săgeată paralel cu ea însăși, fără s-o rotești, până când originile coincid. Săgețile egale se suprapun, iar cele opuse stau pe aceeași dreaptă, cu vârfurile în părți diferite.

Fișa de buzunar

$A B = C D ⟺ aceea ș i direc ț ie, acela ș i sens, ∣ A B ∣ = ∣ C D ∣$

$B A = - A B, ∣ B A ∣ = ∣ A B ∣$

Egalitatea cere toate trei însușirile; același modul, singur, nu ajunge. Coliniari înseamnă unghiurile față de $O x$ egale sau diferite cu 180°. Regulile se aplică vectorilor nenuli; modulul se compară în aceeași unitate. Verificare rapidă: mută paralel o săgeată peste cealaltă; dacă se suprapun, sunt egale.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Liniile de program ale capului de găurit

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia cele șapte linii din tabelul de la început. a) Care sunt egale? b) Care sunt opuse? c) Care sunt coliniare cu L1? d) Ce lungime și ce unghi are mutarea care readuce capul din G4 în G2?

Rezolvare. a) L1 și L2 au 70 mm la 0°, deci sunt egale; L6 și L7 au 70 mm la 120°, deci sunt egale. L3 (60°) și L5 (180°) nu se repetă. b) L5 are 70 mm la 180°, iar L1 și L2 au 70 mm la 0°: unghiurile diferă cu 180° și lungimea e aceeași, deci L5 e opusa fiecăreia. L4 are sens contrar, dar 140 mm, deci nu e opusa lui L1. c) Coliniare cu L1 sunt cele cu unghiul 0° sau 180°: L2, L4 și L5. d) L7 duce capul din G2 în G4, la 70 mm și 120°. Întoarcerea are același modul și unghiul $12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$ : 70 mm la 300°.

Capcană. Cine compară doar lungimile socotește o singură mutare cele șase de 70 mm: L1, L2, L3, L5, L6 și L7. Ele sunt de fapt patru vectori diferiți, pe trei direcții, deci programul cere patru linii, nu una.

Verificare. Mutările egale sunt laturi opuse ale unui romb cu latura de 70 mm: G1 G2 G5 G4 pentru L1 și L2, G2 G3 G5 G4 pentru L7 și L6. Iar 300° e opusul lui 120°.

Exemplul 2 — Clești la lipirea unui blat

Domeniu: lemn.

Enunț. Un tâmplar lipește un blat din lamele de stejar și strânge pachetul cu șapte clești. Forțele lor și unghiurile față de $O x$ (orizontala planului vertical al blatului) sunt în tabel.

Cleștele	Forța (N)	Unghiul (°)
C1, de sus	720	270
C2, de sus	720	270
C3, C4, C5, de jos	480	90
C6, din stânga	360	0
C7, din dreapta	360	180

a) Care forțe sunt egale ca vectori? b) Care perechi sunt opuse?

Rezolvare. a) C1 și C2 au aceeași valoare și același unghi, deci sunt egale; la fel C3, C4 și C5. C6 și C7 au aceeași valoare, dar unghiuri diferite, deci nu sunt egale. b) C6 (360 N la 0°) și C7 (360 N la 180°) sunt opuse. C1 (720 N la 270°) și C3 (480 N la 90°) au sensuri contrare, dar valori diferite, deci nu sunt opuse.

Capcană. Cine crede că două forțe egale ca vectori au același efect uită că vectorul nu spune unde se aplică forța. C1 și C2 sunt egale, dar apasă în puncte diferite ale blatului.

Verificare. Pe desen, muți săgeata lui C7 paralel până în punctul lui C6: au aceeași lungime și vârfurile în părți opuse. Mutată peste C1, săgeata lui C3 e întoarsă și mai scurtă.

Exemplul 3 — Frânele unui autoturism, la scară

Domeniu: auto.

Enunț. Un service testează frânele unui autoturism care merge spre est (0°) cu 16 m/s. Forța de frânare a fiecărei roți e un vector orientat spre vest (180°): 2,9 kN la roțile din față și 1,3 kN la cele din spate. Pe desen, scara este 1 cm pentru 350 N. a) Scrie forțele în newtoni. b) Ce lungime, rotunjită la milimetru, are săgeata fiecărei forțe? c) Care forțe sunt egale și care sunt doar coliniare? d) Ce relație au forțele cu viteza?

Rezolvare. a) 2,9 kN = 2900 N și 1,3 kN = 1300 N. b) $2900 : 350 \approx 8, 29$ , deci 8,3 cm; $1300 : 350 \approx 3, 71$ , deci 3,7 cm. c) Cele două roți din față au 2900 N la 180°, deci forțele lor sunt egale; la fel cele din spate, cu 1300 N. O roată din față și una din spate au aceeași direcție și același sens, dar module diferite: sunt coliniare. d) Viteza are 0°, forțele 180°: sunt coliniare, cu sensuri contrare, cum e la o frânare.

Capcană. Cine uită conversia și împarte 2,9 la 350 obține o săgeată mai mică de o zecime de milimetru. Forța se aduce întâi în newtoni.

Verificare. Invers: 8,3 cm · 350 N/cm = 2905 N, adică 2,9 kN la precizia desenului; 3,7 cm · 350 N/cm = 1295 N, adică 1,3 kN.

Exemplul 4 — Problema inversă: cum s-a mișcat versantul

Domeniu: mediu.

Enunț. Un geolog urmărește o alunecare lentă pe un versant, cu patru repere fixate în sol. Tabelul dă deplasarea fiecărui reper într-o lună, ca modul și unghi față de $O x$ (est). Ipoteza este că blocul s-a mișcat la fel peste tot, deci toate reperele au același vector deplasare.

Reperul	Deplasarea (mm)	Unghiul (°)
R1	14	132
R2	14	132
R3	14	312
R4	29	132

Mergi invers: din citiri afli deplasarea comună a blocului și ce citiri contrazic ipoteza. a) Care repere sunt egale cu R1? b) Ce relație are R3 cu R1? c) Ce ar trebui să arate R4?

Rezolvare. a) Doar R2 are aceeași deplasare ca R1; vectorul cel mai des întâlnit, deci deplasarea comună a blocului, e 14 mm la 132°. b) R3 are tot 14 mm, dar la 312° = 132° + 180°: aceeași direcție și același modul, sens contrar. R3 e opusul lui R1, deci citirea lui trebuie refăcută. c) R4 are direcția și sensul bune, dar 29 mm în loc de 14 mm; ar trebui să arate 14 mm la 132°.

Capcană. Cine se uită numai la module vede 14, 14, 14 și 29 și îl respinge doar pe R4. R3 are modulul bun, dar sens opus, deci contrazice ipoteza la fel de tare.

Verificare. R3 diferă de R1 prin unghi, cu 312° − 132° = 180°, iar R4 diferă prin modul, cu 29 − 14 = 15 mm.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un cap de găurit merge din gaura $T$ în gaura $U$ , la 38 mm distanță. Spune ce modul are $U T$ și dacă $T U$ și $U T$ sunt egali sau opuși.

2. Vectorul $u$ are 24 mm la 37°. Scrie modulul și unghiul pentru: a) un vector egal cu $u$ ; b) opusul lui $u$ ; c) un vector coliniar cu el, de același sens, de 61 mm; d) unul coliniar, de sens contrar, de 9 mm.

3. Adevărat sau fals, cu motivare: a) doi vectori opuși sunt coliniari; b) doi vectori coliniari au același sens; c) doi vectori egali au același modul; d) doi vectori de același modul, la 30° și la 210°, sunt egali.

4. Cinci vectori: $a$ are 18 mm la 41°; $b$ , 18 mm la 221°; $c$ , 27 mm la 41°; $d$ , 18 mm la 131°; $e$ , 18 mm la 41°. Scrie perechile a) egale; b) opuse; c) coliniare, dar nici egale, nici opuse.

Nivelul 2 — situații

5. Pe un rând de viță, pasul dintre doi araci vecini trebuie să fie vectorul de 1,35 m la 22°. Măsurat: $A_{1} \to A_{2}$ , 1,35 m la 22°; $A_{2} \to A_{3}$ , 1,35 m la 22°; $A_{3} \to A_{4}$ , 1,35 m la 26°; $A_{4} \to A_{5}$ , 1,53 m la 22°; $A_{5} \to A_{6}$ , 1,35 m la 202°. a) Care mutări sunt egale cu pasul prevăzut? b) Ce greșește fiecare dintre celelalte: direcția, sensul sau modulul?

6. O telecabină urcă de la $J$ la $S$ , la 1460 m distanță, pe direcția de 19° față de $O x$ ; cabina care coboară merge de la $S$ la $J$ . Un teleschi urcă 540 m pe o linie paralelă, la 19°. a) Scrie modulul și unghiul lui $S J$ și spune cum e față de $J S$ . b) Cum e deplasarea de pe teleschi față de $J S$ ?

7. Pe schița unui nod de fermă metalică, patru dintre forțele din bare sunt desenate la scara 1 cm pentru 2 kN: $S_{1}$ , 4,8 cm la 90°; $S_{2}$ , 4,8 cm la 270°; $S_{3}$ , 2,6 cm la 0°; $S_{4}$ , 3,9 cm la 180°. a) Ce forță în kN reprezintă fiecare săgeată? b) Care forțe sunt opuse? c) Care sunt coliniare, dar nu opuse?

8. La un parc fotovoltaic, invertorul $I$ se leagă cu cabluri de patru tablouri: $I B_{1}$ , 23 m la 0°; $I B_{2}$ , 23 m la 180°; $I B_{3}$ , 41 m la 180°; $I B_{4}$ , 23 m la 90°. a) Care trasee cer aceeași lungime de cablu? b) Care perechi sunt vectori opuși? c) Care trasee sunt coliniare, dar cer lungimi diferite?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) La trasarea unui drum de exploatare, se înfig șapte jaloane $A_{1}, \dots, A_{7}$ pe un aliniament drept, în ordine, la câte 11,4 m. a) Arătați că $A_{1} A_{2} = A_{5} A_{6}$ . b) Modulele $∣ A_{1} A_{k} ∣$ , cu $k = 2, \dots, 7$ , formează o progresie aritmetică. Determinați rația și ultimul termen. c) Determinați cel mai mic $k$ pentru care $∣ A_{1} A_{k} ∣ > 50$ m.

10. (Sinteză.) În reperul $x O y$ al unui plan de hală, în metri, se dau $A (2; 3)$ , $B (9; 7)$ , $C (4; 8)$ și $D (11; 12)$ . a) Calculați $∣ A B ∣$ și $∣ C D ∣$ . b) Arătați că $A B$ și $C D$ au aceeași pantă. c) Arătați că $A B = C D$ , apoi controlați cu mijloacele lui $[A D]$ și $[B C]$ .

11. (Sinteză.) Pe cercul trigonometric, $P$ corespunde unghiului de 120° al lui L7, iar $Q$ unghiului de 300° al întoarcerii ei. a) Calculați $cos 30 0^{\circ}$ și $sin 30 0^{\circ}$ cu formulele de reducere, pornind de la $cos 12 0^{\circ}$ și $sin 12 0^{\circ}$ . b) Arătați că originea $O$ este mijlocul segmentului $[P Q]$ . c) Explicați de ce $O Q = - O P$ .

12. (Sinteză.) Mutarea $P$ are modulul $(2 x - 17)$ mm și unghiul 30°, iar mutarea $Q$ are 57 mm la 210°. a) Determinați $x$ pentru care $P$ și $Q$ sunt opuse. b) Determinați $x$ pentru care $P$ este coliniară cu $Q$ , mai scurtă decât $Q$ și cu modulul strict pozitiv.

Răspunsuri și verificări

1. $∣ U T ∣ = 38$ mm. Vectorii nu sunt egali, ci opuși: aceeași direcție, același modul, sens contrar. Verificare: literele inversate schimbă sensul, nu distanța.

2. a) 24 mm la 37°. b) 24 mm la 217°. c) 61 mm la 37°. d) 9 mm la 217°. Verificare: 217° − 37° = 180°.

3. a) Adevărat. b) Fals: pot fi de sensuri contrare. c) Adevărat. d) Fals: sunt opuși. Verificare: 30° și 210° respinge b) și d).

4. a) $(a; e)$ . b) $(a; b)$ și $(b; e)$ . c) $(a; c)$ , $(b; c)$ și $(c; e)$ . Verificare: $d$ (131°) diferă cu 90° de 41° și de 221°, deci nu e coliniar cu niciunul; 10 perechi, dintre care 4 conțin pe $d$ .

5. a) $A_{1} \to A_{2}$ și $A_{2} \to A_{3}$ . b) $A_{3} \to A_{4}$ greșește direcția (26°), $A_{4} \to A_{5}$ modulul (1,53 m), $A_{5} \to A_{6}$ sensul (202° = 22° + 180°). Verificare: trei greșeli, de trei feluri.

6. a) $S J$ are 1460 m la 199° și e opusul lui $J S$ . b) Schiorul are 540 m la 19°: aceeași direcție și același sens, dar alt modul, deci doar coliniară. Verificare: 199° − 19° = 180°.

7. a) $S_{1}$ și $S_{2}$ , 9,6 kN; $S_{3}$ , 5,2 kN; $S_{4}$ , 7,8 kN. b) $S_{1}$ și $S_{2}$ . c) $S_{3}$ și $S_{4}$ : 0° și 180°, dar valori diferite. Verificare: 90° și 270° diferă cu 180°.

8. a) $I B_{1}$ , $I B_{2}$ și $I B_{4}$ , câte 23 m. b) $I B_{1}$ și $I B_{2}$ . c) $I B_{3}$ cu $I B_{1}$ și cu $I B_{2}$ . Verificare: $I B_{4}$ , la 90°, nu e coliniar cu niciunul, deși cere tot 23 m.

9. a) Cei doi vectori stau pe aliniament, merg de la $A_{1}$ spre $A_{7}$ și au 11,4 m. b) Modulele sunt $11, 4; 22, 8; 34, 2; 45, 6; 57; 68, 4$ , deci rația e 11,4 m, iar ultimul termen e $6 \cdot 11, 4 = 68, 4$ m. c) Pentru $k = 5$ iese $4 \cdot 11, 4 = 45, 6$ m, sub 50, iar pentru $k = 6$ iese 57 m, peste 50. Deci $k = 6$ . Verificare: 45,6 < 50 < 57.

10. a) $∣ A B ∣ = 7^{2} + 4^{2} = 65$ și $∣ C D ∣ = 7^{2} + 4^{2} = 65$ , adică 8,06 m. b) Ambele pante sunt $\frac{4}{7}$ . c) Aceeași pantă înseamnă aceeași direcție, iar modulele coincid. De la $A$ la $B$ și de la $C$ la $D$ abscisa crește, deci sensul e același: $A B = C D$ . Verificare: mijlocul lui $[A D]$ este $(6, 5; 7, 5)$ , la fel ca al lui $[B C]$ .

11. a) $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ și $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ . Cum $30 0^{\circ} = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$ , $cos 30 0^{\circ} = - cos 12 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ și $sin 30 0^{\circ} = - sin 12 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ . b) $P (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ și $Q (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2})$ au mijlocul $(0; 0)$ , adică $O$ . c) $O P$ și $O Q$ stau pe aceeași dreaptă prin $O$ , au modulul 1 și sensuri contrare, deci sunt opuși. Verificare: $(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 1$ , deci $Q$ e pe cerc.

12. a) Unghiurile diferă cu 180°, deci vectorii sunt opuși când $2 x - 17 = 57$ , adică $x = 37$ . b) Sunt coliniari pentru orice $x$ . Din $0 < 2 x - 17 < 57$ rezultă $x \in (8, 5; 37)$ . Verificare: la $x = 37$ modulul e 57, nu mai scurt; la $x = 8, 5$ modulul e 0, nu strict pozitiv.

Așa vine la Bac M3

Tema vectorilor în plan nu a apărut în probele 2013–2026, deși este în programa de examen. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) așază vectorii în al șaptelea bloc al clasei a IX-a, după interpretarea geometrică a funcției de gradul al II-lea și înaintea trigonometriei, iar coordonatele lor apar abia în blocul de geometrie al clasei a X-a. Cele 83 de probe oficiale au fost trecute printr-un index al cerințelor: niciuna nu are drept subiect principal sau secundar un vector, iar cuvântul «vector» lipsește din toate cele 83 de subiecte. Prin urmare, aici nu ai o cerință oficială de citat și nici una inventată.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), leagă vectorii de progresia aritmetică, de reperul cartezian, de panta unei drepte și de formulele de reducere la primul cadran. Ele nu sunt copii după probe. Traseul complet al clasei îl ai în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Compari doar lungimile și declari egale L1, L3 și L6, toate de 70 mm → programezi aceeași linie pe trei direcții; cum o prinzi: compari și unghiurile, fiindcă egalitatea cere direcție, sens și modul.
Crezi că doi vectori coliniari au același sens, ca L1 (0°) și L4 (180°) → capul ar merge invers pe masă; cum o prinzi: unghiurile care diferă cu 180° dau sensuri contrare.
Citești $A B$ de la $B$ la $A$ → sensul se inversează; cum o prinzi: originea e prima literă, iar vârful săgeții stă în a doua.
Consideri diferiți doi vectori fiindcă sunt desenați în locuri diferite, ca L1 și L2 → scrii două linii în loc de una; cum o prinzi: muți o săgeată paralel peste cealaltă și vezi dacă se suprapun.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: noțiunea de vector în plan face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

L4 are 140 mm și L1 are 70 mm: pot fi coliniare? Da. L1 are 0° și L4 are 180°, iar unghiurile diferă cu 180°, deci mutările stau pe aceeași dreaptă a mesei, în sensuri contrare. Nu sunt opuse, fiindcă modulele diferă, 70 mm și 140 mm. Le numești coliniare, nu egale și nu opuse.

Pot scrie o singură linie de program pentru L1 și L2? Da. Amândouă au 70 mm la 0°, deci sunt vectori egali, chiar dacă pornesc din găuri diferite, G1 și G4. Programatorul scrie linia o dată și o repetă pe rândul de sus. Dacă ar diferi o singură valoare, mutările ar cere linii separate.

Cum scriu mutarea care readuce capul din G5 în G4? L2 duce capul din G4 în G5, la 70 mm și 0°. Întoarcerea are același modul și sens contrar, deci unghiul crește cu 180°: 70 mm la 180°. Chiar așa e scrisă L5 în tabel, de la G5 la G4. Mutarea opusă se deduce, nu se mai măsoară.

Cum desenezi L3 pe o foaie, la scara 1:5? Scara 1:5 împarte lungimea la 5, deci 70 mm devin 14 mm, adică 1,4 cm. Unghiul nu se schimbă, rămâne 60° față de orizontală. Desenul păstrează direcția și sensul, iar modulul scade în raportul scării.

Au fost vectori în probele de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Nu. În cele 83 de probe oficiale 2013–2026 niciun vector nu a ajuns într-o cerință, după indexul cerințelor. Programa de examen îi așază totuși în blocul al șaptelea al clasei a IX-a, deci pot fi ceruți; de aceea exercițiile 9–12 îi leagă de alte teme ale clasei.