Adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr (M2, științe ale naturii)

Un experiment serios nu se face o singură dată. În laboratorul de chimie, aceeași reacție se repetă în două serii, pentru ca rezultatul să nu depindă de o zi proastă a cântarului, iar la sfârșit apar două tabele cu exact aceleași capete de rând și de coloană. Întrebările care urmează sunt mereu aceleași: cât s-a obținut în total, cu cât a ieșit mai mult în a doua serie decât în prima și ce s-ar întâmpla dacă protocolul s-ar relua cu probe de trei ori mai mari. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), cele trei întrebări primesc, fiecare, câte o operație: adunarea matricelor, scăderea lor și înmulțirea unei matrice cu un număr real. Cu ele se deschide, la bacalaureatul M2, prima problemă a Subiectului al II-lea.

Toate cele trei operații au aceeași structură: se lucrează poziție cu poziție, iar rezultatul se așază în același tipar ca datele de la care ai plecat. De aceea sunt și primele operații cu matrice care se învață: nu cer nicio regulă nouă de calcul, ci doar disciplina de a nu pierde poziția. Proprietățile lor seamănă izbitor cu cele ale adunării numerelor, și tocmai de aceea merită citite cu atenție — două dintre ele nu seamănă deloc.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi suma și diferența a două tablouri cu același format și să spui, în cuvinte, ce înseamnă rezultatul într-o problemă de laborator.
• Vei ști să recunoști imediat când o sumă de matrice nu există și cum se scrie corect răspunsul în acel caz.
• Vei ști să scrii matricea opusă și să folosești matricea nulă ca element neutru.
• Vei ști să înmulțești o matrice cu un număr real, să scoți un factor comun din tot tabloul și să calculezi o combinație liniară de tipul $\alpha A+\beta B$.
• Vei ști să folosești cele opt proprietăți ale celor două operații fără să le demonstrezi, și să spui la fiecare care este condiția de existență.
• Vei ști să rezolvi cerința tip de examen: determinarea unui număr real dintr-o egalitate care conține o combinație liniară de matrice.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se întâmplă când aduni două tabele de măsurători?

În două serii de experimente s-a măsurat masa de precipitat, în miligrame, obținută din trei probe, cu doi reactivi diferiți. Pe linii stau cei doi reactivi, pe coloane cele trei probe:

$$S_1=\left(\begin{array}{ccc}12& 7& 15\\ 9& 14& 6\end{array}\right),S_2=\left(\begin{array}{ccc}10& 11& 8\\ 13& 5& 12\end{array}\right)$$

Cât s-a obținut în total, pe fiecare pereche reactiv–probă? Răspunsul se citește fără niciun efort: se adună numerele aflate pe aceeași poziție, pentru că ele descriu aceeași pereche. Din $12$ și $10$ iese $22$, din $7$ și $11$ iese $18$, și tot așa.

Suma a două matrice de același format este matricea, tot de acel format, în care elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ este suma elementelor aflate pe linia $i$ și coloana $j$ în cele două matrice; dacă formatele diferă, suma nu este definită.

$$S_1+S_2=\left(\begin{array}{ccc}22& 18& 23\\ 22& 19& 18\end{array}\right)$$

Condiția de format nu e un capriciu de notație, ci chiar conținutul modelului: două tablouri se pot aduna numai dacă descriu aceleași perechi de etichete. Un tabel cu doi reactivi și trei probe nu se poate aduna cu unul de trei reactivi și două probe, pentru că nu există nicio poziție care să însemne același lucru în amândouă. Când formatele diferă, răspunsul corect la „calculați $A+B$" nu este un tablou oarecare, ci propoziția „suma nu există".

2. La ce folosesc matricea opusă și scăderea?

Matricea opusă a lui $A$, notată $-A$, se obține schimbând semnul tuturor elementelor lui $A$. Ea joacă, față de adunare, exact rolul pe care îl joacă numărul $-5$ față de $5$: adunată cu $A$, dă matricea nulă de același format, $A+(-A)=O_{m,n}$.

Diferența a două matrice se definește imediat: $A-B=A+(-B)$, adică se scade poziție cu poziție. Pe datele noastre, ca să aflăm cu cât a ieșit mai mult în seria a doua, calculăm

$$S_2-S_1=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& -7\\ 4& -9& 6\end{array}\right)$$

Rezultatul se citește ca o creștere, în miligrame: perechea reactiv doi – probă doi a dat cu $9$ mg mai puțin în a doua serie, iar perechea reactiv doi – probă trei cu $6$ mg mai mult. Semnele nu sunt un accident de calcul, ci informația propriu-zisă, iar ordinea în care scazi decide ce înseamnă ele. „Cu cât a crescut" înseamnă întotdeauna seria nouă minus seria veche.

3. Ce înseamnă să înmulțești o matrice cu un număr?

Dacă protocolul se reia cu probe de trei ori mai mari, fiecare masă de precipitat se triplează — nu una, nu câteva, ci toate. Operația care face asta se numește înmulțirea unei matrice cu un număr real, sau cu un scalar, cuvântul folosit în programă pentru un număr privit alături de matrice. Se scrie $\alpha A$, fără punct, și înseamnă că fiecare element al lui $A$ se înmulțește cu $\alpha$.

$$3S_1=\left(\begin{array}{ccc}36& 21& 45\\ 27& 42& 18\end{array}\right)$$

La profilul științe ale naturii scalarul este un număr real; la matematică-informatică el poate fi și complex, cum se vede în versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții, cu scalari numere complexe. Regula de calcul este însă aceeași, iar înțelesul ei în probleme este mereu „o schimbare uniformă": un factor care atinge la fel toate căsuțele. Dacă schimbarea nu e uniformă — o creștere de $5\%$ la o probă și de $20\%$ la alta —, atunci nu se folosește un scalar, ci se scrie altă matrice.

Citită invers, operația se numește scoaterea factorului comun. Din $\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ 12& 3\end{array}\right)$ se poate scoate $3$, pentru că toate cele patru elemente se împart exact la $3$:

$$\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ 12& 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right)$$

Atenție: factorul se scoate din tot tabloul deodată, nu dintr-o linie. Un număr scos doar dintr-o parte a matricei schimbă rezultatul, spre deosebire de ce se întâmplă la determinanți, unde regulile sunt altele și se învață în lecțiile următoare.

4. Ce proprietăți au cele două operații?

Proprietățile se folosesc la examen, nu se demonstrează: programa profilului științe ale naturii cere cunoașterea și utilizarea lor. Toate cele de mai jos presupun că matricele au același format, iar scalarii sunt numere reale.

Merită observate două lucruri care nu se văd din tabel. Întâi, fiecare proprietate are o condiție de existență: „adunarea e comutativă" este adevărat doar când suma există, adică atunci când formatele coincid; la formate diferite nu există nici $A+B$, nici $B+A$, și nu are ce să fie comutativ. Al doilea: din ultimele patru rânduri se vede că un scalar nu se adună niciodată cu o matrice. Scrierea $A+2$ nu are sens, oricât de mică ar fi matricea; ce are sens este $2A$, sau $A+2I_2$ dacă $A$ este pătratică de ordinul $2$.

Din proprietăți rezultă și două reguli practice, folosite tot timpul: $0\cdot A=O_{m,n}$ pentru orice matrice, iar dacă $\alpha A=O_{m,n}$, atunci ori $\alpha =0$, ori $A$ este chiar matricea nulă — a doua posibilitate se uită des.

5. Cum se calculează o combinație liniară de matrice?

O expresie de forma $\alpha A+\beta B$, cu $\alpha$ și $\beta$ numere reale și $A$, $B$ de același format, se numește combinație liniară a matricelor $A$ și $B$. Ea nu aduce nimic nou: se calculează întâi cele două produse cu scalari, apoi se adună rezultatele.

Ordinea aceasta este și cea care ține semnele sub control. La o expresie de tipul $2A-3B$ se scrie mai întâi $2A$, apoi $3B$, și abia la urmă se face scăderea, poziție cu poziție. Cine „distribuie" direct $-3$ în paranteza lui $B$ pierde, de obicei, exact semnul elementelor negative ale lui $B$, care se dublează greșit.

Combinația liniară este și forma în care apare tema la examen. Enunțul dă două matrice concrete și o egalitate care conține un parametru, iar cerința este să-l determini. Metoda e cea din lecția precedentă, matrice: tabelul de date care se poate calcula: două matrice sunt egale când coincid pe toate pozițiile, deci compari căsuță cu căsuță, scrii ecuațiile de gradul I care ies și păstrezi valoarea care le verifică pe toate.

6. Ce se întâmplă cu transpusa la aceste operații?

Transpusa se comportă cuminte față de ambele operații: ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$ și ${}^t(\alpha A)=\alpha \cdot {}^{t}A$. Cu alte cuvinte, e totuna dacă aduni întâi și transpui după, sau transpui fiecare matrice și aduni la urmă.

Explicația e imediată dacă gândești pe poziții: în transpusa sumei, căsuța $(i,j)$ ia valoarea din căsuța $(j,i)$ a sumei, adică $a_{ji}+b_{ji}$ — exact ce dă și adunarea celor două transpuse. Reține totuși cuvântul „cuminte": la înmulțirea a două matrice, care vine în lecția următoare, transpusa se poartă cu totul altfel, iar surpriza de acolo este mai ușor de ținut minte dacă ai văzut întâi cazul simplu.

O consecință utilă: suma a două matrice simetrice de același ordin este tot simetrică, iar un multiplu scalar al unei matrice simetrice rămâne simetric. Sunt afirmații pe care le poți verifica singur pe un exemplu de ordinul $2$, în mai puțin de un minut.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Bilanțul a două serii de măsurători

Experimentul a fost reluat, cu același protocol, în alte două serii, care au dat masele de precipitat, în miligrame:

$$S_3=\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 11\\ 6& 19& 14\end{array}\right),S_4=\left(\begin{array}{ccc}9& 13& 16\\ 20& 6& 4\end{array}\right)$$

a) Calculați masa obținută în cele două serii la un loc, pe fiecare pereche reactiv–probă. b) Determinați cu cât a ieșit mai mult în seria a patra față de a treia. c) Spuneți care pereche a dat, în total, cantitatea cea mai mare.

Rezolvare. a) Matricele au același format, $2\times 3$, deci suma există și se calculează poziție cu poziție:

$$S_3+S_4=\left(\begin{array}{ccc}26& 21& 27\\ 26& 25& 18\end{array}\right)$$

Elementele se exprimă în miligrame, ca și datele de la care am plecat.

b) Creșterea înseamnă seria nouă minus seria veche, adică $S_4-S_3$:

$$S_4-S_3=\left(\begin{array}{ccc}-8& 5& 5\\ 14& -13& -10\end{array}\right)$$

Cele trei valori negative arată perechile la care seria a patra a dat mai puțin; cea mai mare scădere, de $13$ mg, apare la reactivul al doilea cu proba a doua, iar cea mai mare creștere, de $14$ mg, la același reactiv cu proba întâi.

c) Se caută cel mai mare element al matricei sumă: $27$ mg, pe linia $1$ și coloana $3$, adică reactivul întâi cu proba a treia. Răspunsul nu s-ar fi putut citi din niciuna dintre matricele de plecare separat: în seria a treia cea mai mare valoare era $19$, la reactivul al doilea cu proba a doua, iar în seria a patra $20$, la reactivul al doilea cu proba întâi. Tocmai asta face adunarea, sintetizează două seturi de date într-unul singur.

Exemplul 2 — Înmulțirea cu un număr și factorul comun

a) Calculați $-2C$ pentru $C=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ 5& 2& -4\end{array}\right)$. b) Scrieți matricea $\left(\begin{array}{cc}15& -25\\ 10& 40\end{array}\right)$ sub forma $\alpha D$, cu $\alpha$ număr natural cât mai mare.

Rezolvare. a) Scalarul intră în fiecare element, semnul inclus; zeroul rămâne zero, pentru că $-2\cdot 0=0$.

$$-2C=\left(\begin{array}{ccc}-6& 2& 0\\ -10& -4& 8\end{array}\right)$$

b) Cele patru elemente se împart exact la $5$, dar nu toate la $10$ sau la $15$, deci cel mai mare factor comun este $5$:

$$\left(\begin{array}{cc}15& -25\\ 10& 40\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 2& 8\end{array}\right)$$

Proba se face înmulțind înapoi: $5\cdot 3=15$, $5\cdot (-5)=-25$, $5\cdot 2=10$, $5\cdot 8=40$.

Exemplul 3 — O combinație liniară

Calculați $2P-3Q$, unde $P=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 5\end{array}\right)$.

Rezolvare. Calculăm separat cele două multipluri, ca să nu amestecăm semnele:

$$2P=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 0& 8\end{array}\right),3Q=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ -6& 15\end{array}\right)$$

Apoi scădem poziție cu poziție. Pe poziția $(2,1)$ avem $0-(-6)=6$, iar pe $(2,2)$ avem $8-15=-7$:

$$2P-3Q=\left(\begin{array}{cc}3& -8\\ 6& -7\end{array}\right)$$

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează $A-B$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 2& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ -2& 6\end{array}\right)$ și scrie pe poziția $(1,2)$ numărul $-7$, iar pe poziția $(2,1)$ numărul $0$. Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Amândouă valorile greșite vin din același reflex: elevul a adunat acolo unde trebuia să scadă un număr negativ. Pe poziția $(1,2)$ calculul corect este $-3-(-4)=-3+4=1$, nu $-3-4$. Pe poziția $(2,1)$ avem $2-(-2)=2+2=4$, nu $2-2$.

Cu semnele puse cum trebuie, rezultatul este

$$A-B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& -6\end{array}\right)$$

Reține proba, valabilă la orice scădere de matrice: adunând rezultatul cu $B$ trebuie să obții exact $A$. Într-adevăr, $4+1=5$, $1+(-4)=-3$, $4+(-2)=2$ și $-6+6=0$ — toate cele patru poziții se potrivesc.

Exemplul 5 — Transpusa unei sume, verificată pe numere

Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 3& 5& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 6& -2\\ 0& -3& 7\end{array}\right)$, verificați egalitatea ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$.

Rezolvare. Pe drumul întâi adunăm și transpunem la final:

$$A+B=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -2\\ 3& 2& 11\end{array}\right),{}^t(A+B)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 5& 2\\ -2& 11\end{array}\right)$$

Pe drumul al doilea transpunem întâi și adunăm la final:

$${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 5\\ 0& 4\end{array}\right),{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& -3\\ -2& 7\end{array}\right),{}^{t}A+{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 5& 2\\ -2& 11\end{array}\right)$$

Cele două tablouri coincid, ceea ce era de așteptat. Verificarea aceasta nu ține loc de demonstrație, dar e exact ce ți se cere la examen când enunțul spune „verificați" în loc de „demonstrați".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ -1& 2\end{array}\right)$. a) Calculați $A+B$. b) Arătați că $2A-B=\left(\begin{array}{cc}-2& -9\\ 7& -2\end{array}\right)$. c) Determinați numărul real $\alpha$ pentru care $A+\alpha B=\left(\begin{array}{cc}9& 8\\ 1& 4\end{array}\right)$.

Rezolvare.

a) Ambele matrice sunt pătratice de ordinul $2$, deci suma există:

$$A+B=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 2\end{array}\right)$$

b) Calculăm întâi $2A=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 6& 0\end{array}\right)$, apoi scădem $B$ poziție cu poziție: $2-4=-2$, $-4-5=-9$, $6-(-1)=7$ și $0-2=-2$. Rezultă

$$2A-B=\left(\begin{array}{cc}-2& -9\\ 7& -2\end{array}\right)$$

adică exact matricea din enunț.

c) Scriem matricea din stânga cu $\alpha$ în ea: elementele lui $\alpha B$ sunt $4\alpha$, $5\alpha$, $-\alpha$ și $2\alpha$, iar adunând $A$ obținem pozițiile $1+4\alpha$, $-2+5\alpha$, $3-\alpha$ și $2\alpha$. Egalitatea cu matricea dată înseamnă patru condiții deodată:

$1+4\alpha =9$, $-2+5\alpha =8$, $3-\alpha =1$ și $2\alpha =4$. Fiecare dă $\alpha =2$, deci valoarea căutată este $\alpha =2$. Proba se face înlocuind: $A+2B=\left(\begin{array}{cc}9& 8\\ 1& 4\end{array}\right)$, chiar matricea cerută.

De la examen la lecție. Structura e cea a Subiectului al II-lea din modelul oficial al probei M_șt-nat: o problemă cu trei subpuncte gradate, fiecare de câte cinci puncte. La punctul c) scrie toate cele patru condiții, chiar dacă prima îți dă deja răspunsul: rezolvarea completă e cea care le arată pe toate.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, compară formatele. Dacă nu coincid, răspunsul este „suma nu există", și el se scrie pe foaie.

1. Calculează $A+B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -6& 7\end{array}\right)$.

2. Pentru matricele de la exercițiul precedent, calculează $A-B$.

3. Calculează $3A$ pentru matricea $A$ de la exercițiul 1.

4. Scrie matricea opusă a matricei $C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 4& 0\\ 2& -3& 5\end{array}\right)$.

5. Calculează $\left(\begin{array}{ccc}7& -4& 2\\ -5& 0& 9\end{array}\right)+O_{2,3}$ și spune ce proprietate ai folosit.

6. Există suma $\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 8& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}6& -2& 7\end{array}\right)$? Justifică răspunsul.

7. Calculează $2P+3Q$ pentru $P=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 5\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -4& 2\end{array}\right)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate elementele matricei $A+B$ sunt pozitive, atunci toate elementele matricei $A$ sunt pozitive."

9. Scoate factorul comun din matricea $\left(\begin{array}{cc}8& -12\\ 20& 4\end{array}\right)$.

10. (Problemă aplicată.) Stația meteo a școlii a înregistrat cantitatea de precipitații, în milimetri, în trei puncte din curte, în două luni consecutive: prima lună $\left(\begin{array}{ccc}18& 22& 15\end{array}\right)$, a doua lună $\left(\begin{array}{ccc}31& 27& 34\end{array}\right)$. Calculează totalul pe cele două luni și creșterea de la prima la a doua, apoi spune în ce punct a plouat cel mai mult.

11. Determină matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A+X=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ -1& 0\end{array}\right)$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 3& 2\end{array}\right)$. Calculează $A+B$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru matricele de la exercițiul 12, arată că $2A-B=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -3& -8\end{array}\right)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $\alpha$ pentru care $\alpha \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 10& 6\end{array}\right)$.

15. Verifică pe matricele din exercițiul 12 egalitatea ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$.

16. Calculează $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 10& 8\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ -6& 12\end{array}\right)$.

17. Matricele $A$ și $B$, de ordinul $2$, verifică $A+B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& 2\end{array}\right)$. Determină cele două matrice.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice matrice pătratică $A$ de ordinul $2$, matricea $A+{}^{t}A$ este simetrică, apoi verifică afirmația pe $A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 2\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. Formatele coincid, deci suma există: $A+B=\left(\begin{array}{cc}6& -5\\ -5& 10\end{array}\right)$.

2. Se scade poziție cu poziție, cu atenție la semne: $2-4=-2$, $-5-0=-5$, $1-(-6)=7$ și $3-7=-4$, deci $A-B=\left(\begin{array}{cc}-2& -5\\ 7& -4\end{array}\right)$.

3. Scalarul intră în toate cele patru elemente: $3A=\left(\begin{array}{cc}6& -15\\ 3& 9\end{array}\right)$.

4. $-C=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& 0\\ -2& 3& -5\end{array}\right)$. Zeroul rămâne zero, pentru că opusul lui $0$ este tot $0$.

5. Matricea nulă nu schimbă nimic, deci $\left(\begin{array}{ccc}7& -4& 2\\ -5& 0& 9\end{array}\right)+O_{2,3}=\left(\begin{array}{ccc}7& -4& 2\\ -5& 0& 9\end{array}\right)$. S-a folosit faptul că matricea nulă este element neutru la adunare; ea trebuie luată de același format cu matricea dată, adică $2\times 3$, altfel suma nici nu ar exista.

6. Nu. Prima matrice are formatul $2\times 2$, a doua $1\times 3$; nu există nicio poziție comună, deci suma nu este definită. Răspunsul complet se scrie ca propoziție, nu se lasă locul gol.

7. $2P=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 0& 10\end{array}\right)$ și $3Q=\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ -12& 6\end{array}\right)$, deci $2P+3Q=\left(\begin{array}{cc}11& -1\\ -12& 16\end{array}\right)$.

8. Fals. Suma a două numere poate fi pozitivă chiar dacă unul dintre ele este negativ. Contraexemplu: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 9\end{array}\right)$ avem $A+B=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 5\end{array}\right)$, cu toate elementele pozitive, deși $A$ are două elemente negative.

9. Toate elementele se împart exact la $4$, iar $4$ este cel mai mare astfel de număr: $\left(\begin{array}{cc}8& -12\\ 20& 4\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& 1\end{array}\right)$.

10. Totalul este $\left(\begin{array}{ccc}18& 22& 15\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}31& 27& 34\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}49& 49& 49\end{array}\right)$, adică $49$ mm în fiecare dintre cele trei puncte. Creșterea este $\left(\begin{array}{ccc}31& 27& 34\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}18& 22& 15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}13& 5& 19\end{array}\right)$ mm. Pe total a plouat la fel în toate cele trei puncte, deși luna a doua le-a departajat — un rezultat care se vede numai după ce aduni.

11. Din definiția matricei opuse, adunând $-A$ la ambii membri, rezultă $X=B-A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ -3& -5\end{array}\right)$. Proba: $A+X$ dă înapoi matricea $B$.

12. $A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 3& -1\end{array}\right)$.

13. $2A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& -6\end{array}\right)$, iar scăzând $B$ poziție cu poziție se obține $4-(-1)=5$, $2-4=-2$, $0-3=-3$ și $-6-2=-8$, adică $2A-B=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -3& -8\end{array}\right)$.

14. Elementele din stânga sunt $2\alpha +1$, $-\alpha +3$, $4\alpha -2$ și $6$. Condițiile $2\alpha +1=7$, $-\alpha +3=0$ și $4\alpha -2=10$ dau toate $\alpha =3$, iar poziția $(2,2)$ este verificată de la sine. Deci $\alpha =3$.

15. Pe primul drum, suma de la exercițiul 12 se transpune: ${}^t(A+B)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& -1\end{array}\right)$. Pe al doilea drum, ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -3\end{array}\right)$ și ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& 2\end{array}\right)$, iar ${}^{t}A+{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& -1\end{array}\right)$ — aceeași matrice. Observă că niciunul dintre cele două drumuri nu se poate scurta: suma nu este simetrică, deci transpusa ei chiar trebuie calculată.

16. Primul termen este $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 10& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 4\end{array}\right)$, al doilea $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ -6& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -2& 4\end{array}\right)$, iar suma lor este $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -1\\ 3& 8\end{array}\right)$.

17. Adunând cele două egalități, poziție cu poziție, obținem $2A=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& 6\end{array}\right)$, deci $A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$. Atunci $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

18. Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al matricei $A+{}^{t}A$ este $a_{ij}+a_{ji}$, iar cel de pe linia $j$ și coloana $i$ este $a_{ji}+a_{ij}$ — același număr, pentru că adunarea numerelor reale este comutativă. Deci matricea coincide cu transpusa ei, adică este simetrică. Pe exemplul dat, ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 5& 2\end{array}\right)$ și $A+{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, care este într-adevăr simetrică.

De reținut

• Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr se fac poziție cu poziție, iar rezultatul are același format ca matricele de la care ai plecat.
• Suma și diferența există numai între matrice de același format; când formatele diferă, răspunsul corect este propoziția „operația nu este definită", scrisă pe foaie.
• Matricea opusă $-A$ schimbă semnul tuturor elementelor, iar $A+(-A)=O_{m,n}$; scăderea se definește prin $A-B=A+(-B)$, deci ordinea termenilor decide semnul rezultatului.
• Înmulțirea cu un scalar real modelează o schimbare uniformă a tuturor datelor; citită invers, ea înseamnă scoaterea unui factor comun din tot tabloul, nu dintr-o linie.
• Cele opt proprietăți ale operațiilor se folosesc, nu se demonstrează, dar fiecare are condiția ei de existență; în plus, un număr nu se adună niciodată cu o matrice, iar $\alpha A=O$ înseamnă $\alpha =0$ sau $A=O$.

Greșeli frecvente

• Aduni două tablouri care se potrivesc ca format, dar nu ca etichete. Două matrice $2\times 3$ se adună întotdeauna ca numere, însă suma înseamnă ceva doar dacă linia întâi și coloana întâi înseamnă același lucru în amândouă. Citește legendele înainte de cifre, altfel obții un tablou calculat corect și fără niciun înțeles.
• Scrii $A+2$ în loc de $2A$ sau de $A+2I_2$. Un scalar și o matrice nu sunt obiecte de același fel și nu se adună. Verifică la fiecare expresie dacă fiecare termen este matrice; dacă unul e număr, expresia e scrisă greșit.
• Aplici distributivitatea pe jumătate. Din $\alpha (A+B)$ se obține $\alpha A+\alpha B$, nu $\alpha A+B$: scalarul intră în amândouă matricele, la fel ca în paranteza cu numere.
• Faci proba refăcând exact același calcul. Repetând aceiași pași repeți și aceeași greșeală. Proba bună e pe altă cale: la o scădere, adună rezultatul cu scăzătorul și vezi dacă obții descăzutul.
• Reții proprietățile fără condiția de existență. „Adunarea matricelor e comutativă" este adevărat numai pentru matrice de același format; enunțată fără această condiție, propoziția pare să spună că orice două matrice se pot aduna.

Aplică acasă

1. Două tabele care nu se pot aduna. Caută în manualul de biologie și în cel de chimie două tabele de date numerice și scrie-le ca matrice, cu formatul notat alături. Dacă formatele diferă, scrie pe foaie, ca propoziție întreagă, de ce suma nu există: locul lăsat gol nu este un răspuns. Dacă din întâmplare se potrivesc, calculează suma și spune, cinstit, dacă numerele obținute înseamnă ceva.

2. Eticheta nutrițională, adusă la porția reală. Ia un produs din bucătărie și scrie într-o matrice linie valorile de pe etichetă pentru $100$ de grame: proteine, lipide, glucide. Cântărește apoi porția pe care o consumi de obicei și înmulțește linia cu numărul potrivit — de exemplu cu $0,35$ pentru $35$ de grame. Verifică dacă rezultatul are sens și scrie unitatea de măsură la fiecare număr.

3. Proba diferenței. Ia prognoza temperaturilor maxime pentru următoarele cinci zile din două aplicații de vreme diferite și scrie-le ca două matrice linie. Calculează diferența lor și spune în ce zi prognozele se despart cel mai mult. Explică apoi de ce diferența are sens, dar suma celor două linii nu ar însemna nimic.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți" — „operații cu matrice: adunarea, înmulțirea unei matrice cu un scalar; proprietăți ale operațiilor". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea, în prima problemă, capitolul „Elemente de calcul matriceal" al programei de examen (OMEN 4430/2014). Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Programa profilului cere cunoașterea proprietăților, nu demonstrarea lor, iar lecția respectă această alegere: proprietățile sunt strânse într-un tabel și folosite în calcule, fără verificări formale pe elemente generale. Timpul câștigat merge în două direcții care contează mai mult la acest profil: interpretarea rezultatului într-un context de laborator și disciplina semnelor la scădere, unde apar cele mai multe greșeli.

Trei lucruri verifică lecția: (1) compararea formatelor înaintea oricărui calcul; (2) calculul corect al unei combinații liniare, cu multipluri scrise separat; (3) determinarea unui parametru dintr-o egalitate de matrice. Patru întrebări de control, de pus oral: „Se poate aduna o matrice $2\times 3$ cu una $3\times 2$?"; „Ce înseamnă, la datele tale, un element negativ al diferenței?"; „Cum faci proba unei scăderi de matrice?"; „Ce obții dacă înmulțești o matrice cu zero?". O punte spre anii trecuți: înmulțirea cu un scalar este exact mecanismul de la procentele repetate, aplicat simultan tuturor căsuțelor. Continuarea firească este înmulțirea matricelor și ordinea factorilor, unde regula nu mai este „poziție cu poziție", iar modelarea propriu-zisă se face în matricele în contexte practice.

Întrebări frecvente

De ce nu se pot aduna două matrice de formate diferite? Pentru că adunarea are sens numai între poziții care înseamnă același lucru. Căsuța $(2,3)$ a sumei se calculează din numerele aflate în căsuța $(2,3)$ a fiecărei matrice; dacă una dintre ele nu are o asemenea poziție, calculul se oprește. La formate diferite, răspunsul corect este că operația nu este definită.

Ce înseamnă, într-o problemă de laborator, diferența a două matrice? Înseamnă variația mărimii măsurate, pe fiecare poziție în parte, în aceeași unitate ca datele. Ordinea contează: seria nouă minus seria veche dă creșterea, iar semnul spune sensul schimbării. Un element negativ arată o scădere, nu o greșeală de calcul, și adesea el este informația cea mai interesantă din tablou.

Cum verific rapid un calcul de adunare cu multe elemente? Adună elementele pe fiecare linie în cele două matrice de plecare și apoi în rezultat: suma liniei din rezultat trebuie să fie suma celor două sume de linie. Proba prinde imediat o poziție greșită și se face din cap, fără să reiei tot tabloul. La scădere, proba echivalentă este adunarea rezultatului cu scăzătorul.

Se schimbă ceva dacă înmulțesc o matrice cu un număr negativ? Regula rămâne aceeași, dar toate semnele se schimbă. Înmulțirea cu $-1$ dă chiar matricea opusă, iar înmulțirea cu un număr negativ oarecare schimbă și semnele, și mărimea elementelor. Într-o problemă aplicată, un scalar negativ înseamnă de obicei o inversare de sens: o cheltuială devine intrare, o scădere devine creștere.

Ce proprietăți trebuie știute pe de rost pentru examen? Comutativitatea și asociativitatea adunării, matricea nulă ca element neutru, matricea opusă, cele două distributivități ale înmulțirii cu un scalar și regula $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$. Nu se cer demonstrații, ci folosirea lor corectă. Merită reținut separat și cazul $\alpha A=O$, care are două explicații posibile, nu una.

Prin ce se deosebesc operațiile cu matrice la M2 față de M1? La științe ale naturii scalarul este număr real, iar adunarea și înmulțirea cu un număr se predau într-o singură lecție, cu accent pe proprietăți și pe interpretarea datelor. La matematică-informatică scalarul poate fi complex, iar materia este împărțită în două lecții, urmate de puterile unei matrice, care nu apar în programa profilului științe ale naturii.

La ce subiect apare adunarea matricelor la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, în prima dintre cele două probleme, care are trei subpuncte de câte cinci puncte. Cerințele pornesc de la matrice, determinanți sau sisteme, iar o sumă, o diferență sau o combinație liniară de tipul $2A-B$ se calculează direct, cu regulile din lecția aceasta. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei M_șt-nat, nu se presupune.