Matrice: tabelul de date care se poate calcula (M2, științe ale naturii)

Orice oră de laborator se termină cu un tabel: trei loturi de semințe și patru zile de observație, patru elevi și trei cronometrări, cinci probe și doi reactivi. Tabelul strânge datele, dar nu face nimic cu ele — nu se poate aduna cu alt tabel, nu se poate înmulți, nu poate intra într-o formulă. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), matematica îi dă tabelului un statut nou: îl transformă într-un obiect cu care se calculează. Obiectul acesta se numește matrice și deschide prima unitate a anului, „Matrice și determinanți" — aceeași unitate din care se construiește, la bacalaureatul M2, prima problemă a Subiectului al II-lea.

Lecția de astăzi nu conține nicio operație: nu adunăm și nu înmulțim încă nimic. Ea fixează ce este o matrice, cum se numără liniile și coloanele, cum se citește un element după poziția lui și cum se cheamă tablourile cu formă specială, pe care le vei întâlni în fiecare problemă de examen. Fără vocabularul acesta, orice calcul de mai târziu se face „pe ghicite".

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce este o matrice peste mulțimea numerelor reale și să recunoști un tablou care nu este matrice.
• Vei ști să citești și să scrii formatul unei matrice, $m\times n$, și să numeri corect elementele ei.
• Vei ști să indici orice element după poziția lui, $a_{ij}$, și să spui, într-o problemă de laborator, ce mărime și ce unitate de măsură reprezintă acel număr.
• Vei ști să construiești o matrice pornind de la o formulă care leagă elementul de indicii lui.
• Vei ști să recunoști dintr-o privire matricele cu nume: pătratică, nulă, unitate, diagonală, triunghiulară, simetrică, și să scrii transpusa oricărei matrice.
• Vei ști să rezolvi cerința cea mai des întâlnită la începutul unei probleme de examen: determinarea unui parametru dintr-o egalitate de două matrice.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, o matrice?

La ora de biologie, trei loturi de câte douăzeci de semințe de fasole stau în condiții diferite: lotul $1$ la întuneric, lotul $2$ la lumină, lotul $3$ la lumină și cu îngrășământ. În fiecare dintre cele patru zile ale experimentului se numără semințele încolțite:

Dacă ștergem capetele de rând și de coloană și păstrăm doar numerele, așezate exact în aceeași ordine, obținem un tablou dreptunghiular de numere reale. Acesta este obiectul nostru.

$$G=\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 9& 14\\ 1& 6& 12& 17\\ 2& 8& 15& 19\end{array}\right)$$

O matrice cu $m$ linii și $n$ coloane este un tablou dreptunghiular de numere reale, așezate pe $m$ rânduri orizontale și $n$ rânduri verticale, în care fiecare număr are o poziție bine precizată, dată de linia și de coloana pe care se află; tabloul se scrie între paranteze rotunde, iar două tablouri sunt aceeași matrice numai dacă au același format și aceleași numere pe aceleași poziții. Numerele din tablou se numesc elementele matricei.

Două lucruri merită spuse din prima zi, pentru că ele despart matricea de tabelul din caietul de laborator. Întâi, ordinea contează: tabloul nu este o grămadă de numere, ci o așezare, iar poziția poartă tot atâta informație cât valoarea. Al doilea: matricea, singură, nu spune nimic despre semnificația numerelor. Tabloul $G$ arată la fel și dacă numerele sunt semințe încolțite, și dacă sunt grade Celsius. De aceea, într-o problemă aplicată, lângă matrice se scrie întotdeauna legenda — ce este pe linii, ce este pe coloane și în ce unitate de măsură sunt datele.

2. Cum se citește poziția unui element?

Fiecare element al unei matrice se notează cu litera mică a matricei, purtând doi indici: primul indice este linia, al doilea este coloana. Pentru tabloul de mai sus, $g_{23}=12$ înseamnă: lotul $2$, ziua a treia, douăsprezece semințe încolțite. Ordinea celor doi indici e aceeași în toate manualele și în toate subiectele de examen; fixeaz-o rostind poziția în ordinea în care se scrie — mai întâi rândul, pe urmă coloana.

Perechea $(m,n)$ se numește formatul sau tipul matricei și se scrie $m\times n$. Matricea $G$ are formatul $3\times 4$ și, prin urmare, $3\cdot 4=12$ elemente. Semnul $\times$ din format se citește „pe", nu „ori": „trei pe patru". Un element $g_{ij}$ există numai dacă indicii stau în limite, adică $1\le i\le 3$ și $1\le j\le 4$; a scrie $g_{52}$ pentru tabloul nostru nu este o greșeală de calcul, ci o cerință fără sens, la fel ca „a cincea zi" într-un experiment care a durat patru.

Când matricea nu se scrie element cu element, se folosește notația compactă $A=(a_{ij})$, însoțită de limitele indicilor.

3. Mulțimile de matrice și de ce lucrăm cu numere reale

Toate matricele cu $m$ linii, $n$ coloane și elemente numere reale formează o mulțime, notată ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$. Matricea de la laborator se scrie deci $G\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$. Când numărul de linii este egal cu numărul de coloane, notația se scurtează: mulțimea matricelor cu $n$ linii și $n$ coloane este ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Alegerea mulțimii $\mathbb{R}$ nu e o simplificare de moment, ci litera programei profilului tău. La matematică-informatică elementele sunt numere complexe; comparația completă se vede în versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții, cu elemente numere complexe. Diferența nu schimbă niciun algoritm din capitol, dar schimbă enunțurile: la M2 nu vei întâlni niciodată un element de forma $2+3i$.

4. Când sunt egale două matrice?

Răspunsul e mai strict decât pare. Două matrice sunt egale când au același format și când elementele de pe aceleași poziții sunt egale, toate deodată. Nu e de ajuns ca numerele să fie aceleași, și nu e de ajuns ca o singură poziție să se potrivească.

Egalitatea aceasta e motorul unei cerințe care apare în aproape orice problemă de matrice de la examen: se dau două tablouri, unul cu un parametru, și se cere valoarea pentru care coincid. Metoda e mecanică: compari poziție cu poziție, scrii ecuațiile care ies și păstrezi numai valorile care le verifică pe toate. Dacă din poziții diferite ies valori diferite, concluzia corectă nu e „am greșit undeva", ci „nu există niciun număr care să facă matricele egale".

Exemplu scurt: pentru ce număr real $t$ avem $\left(\begin{array}{cc}t+2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 5\end{array}\right)$? Prima poziție dă $t+2=7$, deci $t=5$; a doua poziție e deja verificată. Răspunsul este $t=5$. Dacă în dreapta ar fi scris $\left(\begin{array}{cc}7& 4\end{array}\right)$, egalitatea n-ar avea nicio soluție, oricât ai fi ales $t$.

5. Matricea pătratică și cele două diagonale

O matrice se numește pătratică atunci când are tot atâtea linii câte coloane; numărul comun se numește ordinul matricei. Atenție, ordinul numără liniile, nu elementele: o matrice de ordinul $3$ are trei linii, trei coloane și nouă elemente.

Numai la matricele pătratice are sens să vorbim despre diagonale. Diagonala principală este șirul elementelor cu cei doi indici egali, $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ — cele care merg din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos. Diagonala secundară merge invers, din colțul din dreapta sus spre cel din stânga jos, și adună elementele la care suma indicilor este $n+1$.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& 1\\ 0& 3& 8\\ 4& -6& 7\end{array}\right)$$

Pentru matricea $A$ de mai sus, diagonala principală e formată din $5$, $3$, $7$, iar cea secundară din $1$, $3$, $4$. Se vede și de ce diagonalele nu au sens la un tablou dreptunghiular: la o matrice $2\times 5$, mersul „în jos și la dreapta" iese din tablou după doi pași.

6. Tablourile cu nume: nulă, unitate, diagonală, triunghiulară

Câteva forme revin atât de des încât au primit nume proprii. Toate cele care urmează, în afară de prima, cer matrice pătratică.

Matricea nulă are toate elementele egale cu $0$ și se notează $O_{m,n}$, sau $O_n$ dacă e pătratică. Matricea unitate de ordinul $n$, notată $I_n$, are $1$ pe toată diagonala principală și $0$ în rest. O matrice este diagonală dacă toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule; dacă, în plus, cele de pe diagonală sunt egale între ele, matricea se numește scalară. Orice matrice scalară este diagonală, dar reciproca nu este adevărată.

$$O_{2,3}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right)$$

O matrice pătratică este triunghiulară superioară dacă are numai zerouri sub diagonala principală, adică $a_{ij}=0$ ori de câte ori $i>j$; este triunghiulară inferioară dacă are numai zerouri deasupra diagonalei. Numele vine de la locul unde stau numerele care pot fi diferite de zero, nu de la locul zerourilor — o confuzie care costă puncte la prima vedere și pe care o repari verificând mental un tablou de ordinul $2$.

7. Cum se calculează transpusa unei matrice?

Transpusa unei matrice $A$ este matricea obținută scriind liniile lui $A$ drept coloane, în aceeași ordine; se notează ${}^{t}A$, cu litera $t$ mică, în stânga sus. Regula pe elemente e simplă: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al transpusei este elementul de pe linia $j$ și coloana $i$ al matricei inițiale. Formatul se răstoarnă și el: dacă $A$ este $m\times n$, atunci ${}^{t}A$ este $n\times m$.

$$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& -5& 3\end{array}\right),{}^{t}E=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -5\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Transpunerea are o traducere directă în limbajul laboratorului: dacă în $G$ liniile erau loturile și coloanele zilele, în ${}^{t}G$ liniile devin zilele și coloanele loturile. Aceleași date, altă citire — utilă când vrei să compari loturile într-o anumită zi, nu evoluția unuia singur.

O matrice pătratică se numește simetrică dacă este egală cu transpusa ei, adică ${}^{t}A=A$. Pe tablou asta înseamnă că numerele așezate simetric față de diagonala principală sunt egale: $a_{ij}=a_{ji}$ pentru orice pereche de indici. Matricele simetrice apar de la sine ori de câte ori tabloul descrie o relație care nu are sens de mers: distanțe între localități, legături directe între stații, numărul de perechi formate între două grupe.

8. Cum se scrie o matrice dacă se dă doar formula elementului?

O matrice nu e neapărat desenată: poate fi dată prin regula după care se calculează fiecare element, împreună cu formatul. Atunci matricea se construiește linie cu linie, ținând primul indice fix și plimbându-l pe al doilea de la $1$ până la numărul de coloane. Dacă sari dintr-un colț în celălalt, rămân căsuțe necompletate și greșeala nu se vede până la final.

Pentru $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $a_{ij}=3i-2j$, prima linie se obține pentru $i=1$: $3-2=1$, apoi $3-4=-1$, apoi $3-6=-3$. La fel se calculează celelalte două linii și rezultă

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 4& 2& 0\\ 7& 5& 3\end{array}\right)$$

Regula poate fi citită și invers: dacă ți se dă tabloul și ți se cere formula, cauți o expresie în $i$ și $j$ care se potrivește în toate cele nouă poziții, nu doar în prima.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul de germinație, citit ca matrice

Matricea $G$ din prima secțiune are pe linii cele trei loturi de semințe, iar pe coloane cele patru zile de observație; elementele reprezintă numărul de semințe încolțite. a) Precizați formatul matricei și numărul ei de elemente. b) Ce înseamnă, în limbajul experimentului, elementul $g_{34}$? c) Care linie descrie lotul care a încolțit cel mai repede în primele două zile?

Rezolvare. a) Tabloul are trei linii și patru coloane, deci formatul este $3\times 4$, iar numărul de elemente este $3\cdot 4=12$.

b) Primul indice este linia, al doilea coloana: $g_{34}=19$ înseamnă că în lotul $3$, în ziua a patra, încolțiseră $19$ semințe din cele $20$.

c) Comparăm coloana a doua pe fiecare linie: lotul $1$ ajunge la $3$ semințe, lotul $2$ la $6$, lotul $3$ la $8$. Cel mai repede a încolțit lotul $3$, cel ținut la lumină și cu îngrășământ, așa că răspunsul la cerință este linia a treia. Observă că are și unitate — „semințe" —, iar fără ea numărul $8$ nu spune nimic.

Exemplul 2 — Format, elemente, apartenență

Se consideră $B=\left(\begin{array}{ccc}2& -5& 0\\ 1& 4& -3\end{array}\right)$. Precizați mulțimea căreia îi aparține $B$, scrieți $b_{13}$ și $b_{22}$, apoi formatul transpusei.

Rezolvare. Matricea are două linii și trei coloane, cu elemente numere reale, deci $B\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$.

Elementul $b_{13}$ se află pe linia $1$, coloana $3$, adică $b_{13}=0$; elementul $b_{22}$ este pe linia $2$, coloana $2$, deci $b_{22}=4$.

Transpusa răstoarnă formatul: ${}^{t}B$ este de tip $3\times 2$. Scrisă pe hârtie, ea arată astfel:

$${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -5& 4\\ 0& -3\end{array}\right)$$

Exemplul 3 — Matricea scrisă dintr-o formulă

Scrieți matricea $C=(c_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ cu $c_{ij}=i+2j$.

Rezolvare. Lucrăm linie cu linie. Pentru $i=1$: $c_{11}=1+2=3$, $c_{12}=1+4=5$, $c_{13}=1+6=7$. Pentru $i=2$: $c_{21}=2+2=4$, $c_{22}=2+4=6$, $c_{23}=2+6=8$.

$$C=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& 7\\ 4& 6& 8\end{array}\right)$$

Un control rapid: pe aceeași linie, valorile cresc din doi în doi, pentru că indicele $j$ apare înmulțit cu $2$; pe aceeași coloană, cresc din unu în unu. Dacă tabloul nu are aceste două ritmuri, ai greșit o poziție.

Exemplul 4 — Recunoașterea tipurilor și transpusa

Pentru fiecare dintre matricele următoare, precizați dacă este pătratică, ce tip special are și dacă este simetrică: $$P=\left(\begin{array}{ccc}6& -1& 2\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& -4\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 8\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 1\\ -2& 5& 3\end{array}\right)$$

Rezolvare. Matricea $P$ are trei linii și trei coloane, deci este pătratică, de ordinul $3$. Sub diagonala principală stau numai zerouri, așa că $P$ este triunghiulară superioară. Nu este simetrică: $p_{12}=-1$, în timp ce $p_{21}=0$.

Matricea $Q$ este pătratică de ordinul $2$ și este simetrică, pentru că elementele așezate simetric față de diagonală coincid: $q_{12}=q_{21}=-3$. Verificarea se scrie complet prin transpusă:

$${}^{t}Q=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 8\end{array}\right)$$

adică ${}^{t}Q=Q$, ceea ce este chiar definiția matricei simetrice.

Matricea $R$ are formatul $2\times 3$, deci nu este pătratică: nu are diagonală principală, nu poate fi triunghiulară și nici simetrică. Singurul lucru care se poate cere despre ea este transpusa, de format $3\times 2$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev primește matricea $M=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 5\\ 0& 2& -4\end{array}\right)$ și scrie: „$M$ este o matrice de tip $3\times 2$, are $6$ elemente, iar $m_{31}=5$." Găsiți greșelile și corectați-le.

Rezolvare. Prima afirmație e greșită, dar nu întâmplător: elevul a citit formatul pe dos. Formatul se scrie mereu linii pe coloane, iar tabloul are două linii și trei coloane, deci $M\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, adică e de tip $2\times 3$. A doua afirmație e singura corectă: numărul de elemente este $2\cdot 3=6$, iar el nu se schimbă dacă inversezi formatul — de aceea nu te ajută la verificare.

A treia e greșită de două ori. Întâi, $m_{31}$ nici nu există: matricea are doar două linii, iar un indice de linie trebuie să respecte $1\le i\le 2$. Apoi, numărul $5$ chiar se află în tablou, dar pe linia $1$ și coloana $3$, deci se notează $m_{13}$. Inversarea indicilor e greșeala cea mai frecventă din lecție.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& p\\ p+1& -3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 6& -3\end{array}\right)$, unde $p$ este un număr real. a) Arătați că $B$ este o matrice pătratică de ordinul $2$ și scrieți elementele de pe diagonala ei principală. b) Determinați numărul real $p$ pentru care $A=B$. c) Pentru $p=5$, arătați că matricea $A$ nu este simetrică.

Rezolvare.

a) Matricea $B$ are două linii și două coloane, deci este pătratică de ordinul $2$. Pe diagonala principală stau elementele cu indici egali, adică $b_{11}=2$ și $b_{22}=-3$.

b) Egalitatea a două matrice de același format înseamnă egalitatea tuturor elementelor de pe aceleași poziții. Pozițiile $(1,1)$ și $(2,2)$ sunt deja identice: $2=2$ și $-3=-3$. Rămân două condiții: din poziția $(1,2)$ obținem $p=5$, iar din poziția $(2,1)$ obținem $p+1=6$, adică tot $p=5$. Cele două condiții duc la aceeași valoare, deci $A=B$ pentru $p=5$.

c) Pentru $p=5$ matricea devine $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 6& -3\end{array}\right)$, iar transpusa ei este

$${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 5& -3\end{array}\right)$$

Cum $a_{12}=5$, iar $a_{21}=6$, cele două elemente așezate simetric față de diagonală nu sunt egale, deci ${}^{t}A\ne A$ și matricea nu este simetrică.

De la examen la lecție. Forma cerințelor e cea din modelul oficial al probei M_șt-nat: trei subpuncte de câte cinci puncte. La punctul b) scrie toate condițiile care ies din egalitate, chiar și pe cele care se verifică de la sine: rezolvarea completă e cea care le arată pe toate.

Să exersăm

Ordinea de lucru la orice cerință cu matrice: mai întâi formatul, apoi pozițiile, abia la urmă valorile.

1. Scrie formatul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 5\\ 3& 4& -1& 2\end{array}\right)$ și spune câte elemente are.

2. Pentru matricea de la exercițiul precedent, scrie $a_{13}$ și $a_{24}$ și explică de ce $a_{31}$ nu există.

3. Scrie matricea $B=(b_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ cu $b_{ij}=4i-j$.

4. Determină transpusa matricei $C=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\\ 7& 3\end{array}\right)$ și precizează formatul ei.

5. Scrie matricea unitate de ordinul $3$ și matricea nulă din ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$.

6. Scrie elementele de pe diagonala principală și pe cele de pe diagonala secundară ale matricei $N=\left(\begin{array}{ccc}2& 9& -4\\ 1& -5& 6\\ 7& 0& 3\end{array}\right)$.

7. Care dintre matricele $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ sunt pătratice? Pentru cele pătratice, precizează ordinul.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice matrice diagonală este matrice scalară."

9. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}x+1& 6\\ -2& 3y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& 9\end{array}\right)$.

10. (Problemă aplicată.) La ora de fizică, patru elevi măsoară fiecare de câte trei ori timpul de cădere al unei bile, în secunde, și obțin tabloul $T=\left(\begin{array}{ccc}0,62& 0,64& 0,61\\ 0,59& 0,63& 0,60\\ 0,65& 0,66& 0,64\\ 0,58& 0,61& 0,59\end{array}\right)$. Precizează formatul, spune ce reprezintă $t_{32}$ și ce devin liniile în ${}^{t}T$.

11. Scrie o matrice simetrică de ordinul $3$ care are pe diagonala principală numai zerouri și în rest numere întregi nenule.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x+1& 2\\ 0& x-3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real. Calculează $A(2)$ și scrie elementele de pe diagonala principală a matricei obținute.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $p$ pentru care matricea $A=\left(\begin{array}{cc}4& p+2\\ 1& -3\end{array}\right)$ este simetrică.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$. Arată că $A$ este simetrică și calculează suma elementelor de pe diagonala principală.

15. O matrice are exact $12$ elemente. Ce formate poate avea?

16. Matricea $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ are $a_{ij}=0$ pentru orice pereche de indici cu $i>j$. Ce tip de matrice este și câte elemente pot fi diferite de zero?

17. Scrie transpusa matricei $F=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\end{array}\right)$ și spune ce fel de matrice ai obținut.

18. (Provocare.) Câte matrice pătratice de ordinul $3$ cu toate elementele din mulțimea $\{0,1\}$ sunt simetrice?

Răspunsuri și explicații

1. Tabloul are două linii și patru coloane, deci formatul este $2\times 4$, iar numărul de elemente este $2\cdot 4=8$.

2. $a_{13}=0$ (linia $1$, coloana $3$) și $a_{24}=2$ (linia $2$, coloana $4$). Elementul $a_{31}$ nu există, pentru că primul indice ar trebui să respecte $1\le i\le 2$, iar matricea nu are o a treia linie.

3. Linie cu linie: $b_{11}=4-1=3$, $b_{12}=4-2=2$, $b_{13}=4-3=1$, apoi $b_{21}=8-1=7$, $b_{22}=8-2=6$, $b_{23}=8-3=5$. Deci $B=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 7& 6& 5\end{array}\right)$.

4. ${}^{t}C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 7\\ -1& 4& 3\end{array}\right)$, de format $2\times 3$ (matricea inițială era $3\times 2$).

5. $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $O_{2,3}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

6. Diagonala principală: $2$, $-5$, $3$ (elementele $n_{11}$, $n_{22}$, $n_{33}$). Diagonala secundară: $-4$, $-5$, $7$ (elementele $n_{13}$, $n_{22}$, $n_{31}$, adică cele cu suma indicilor egală cu $4$). Elementul din mijloc, $-5$, se află pe amândouă diagonalele.

7. Prima este pătratică, de ordinul $2$; a treia este tot pătratică, de ordinul $2$ (este matricea nulă $O_2$). A doua, de format $1\times 3$, este o matrice linie și nu este pătratică.

8. Fals. O matrice diagonală cere doar ca elementele din afara diagonalei principale să fie nule; una scalară cere, în plus, ca elementele de pe diagonală să fie egale între ele. Contraexemplu: matricea $D$ din secțiunea a șasea, cu $4$, $-2$ și $7$ pe diagonală, este diagonală, dar nu scalară.

9. Comparăm poziție cu poziție. Din $(1,1)$: $x+1=4$, deci $x=3$. Din $(2,2)$: $3y=9$, deci $y=3$. Pozițiile $(1,2)$ și $(2,1)$ sunt deja egale, deci nu aduc nicio condiție nouă. Răspuns: $x=3$ și $y=3$.

10. Formatul este $4\times 3$: patru elevi, câte trei măsurători. Elementul $t_{32}=0,66$ este a doua măsurătoare a elevului al treilea, exprimată în secunde. În transpusa ${}^{t}T$, de format $3\times 4$, liniile devin măsurătorile (prima, a doua, a treia), iar coloanele devin elevii — aceleași date, citite pe încercări în loc de pe persoane.

11. De exemplu $\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -5\\ 2& 0& 3\\ -5& 3& 0\end{array}\right)$: pe diagonală sunt zerouri, iar perechile simetrice coincid, deci matricea e egală cu transpusa ei.

12. Înlocuim $x$ cu $2$ în fiecare element: $A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$. Elementele de pe diagonala principală sunt $3$ și $-1$.

13. Matricea este simetrică dacă $a_{12}=a_{21}$, adică $p+2=1$, de unde $p=-1$. Pentru această valoare matricea devine $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& -3\end{array}\right)$, care într-adevăr coincide cu transpusa ei.

14. Verificăm perechile simetrice față de diagonală: $a_{12}=a_{21}=0$, $a_{13}=a_{31}=2$, $a_{23}=a_{32}=0$. Toate coincid, deci ${}^{t}A=A$ și matricea este simetrică. Suma elementelor de pe diagonala principală este $1+1+1=3$.

15. Formatul $m\times n$ trebuie să dea $m\cdot n=12$, cu $m$ și $n$ numere naturale nenule: $1\times 12$, $2\times 6$, $3\times 4$, $4\times 3$, $6\times 2$ și $12\times 1$ — șase formate, niciunul pătratic, pentru că $12$ nu e pătrat perfect.

16. Zerourile stau exact sub diagonala principală, deci matricea este triunghiulară superioară. Pot fi diferite de zero elementele cu $i\le j$: trei pe prima linie, două pe a doua, unul pe a treia, deci cel mult $6$ elemente.

17. ${}^{t}F=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -2\end{array}\right)$, o matrice coloană de format $3\times 1$. Transpusa unei matrice linie este întotdeauna o matrice coloană.

18. O matrice simetrică de ordinul $3$ este complet determinată de cele trei elemente de pe diagonala principală și de cele trei de deasupra ei, pentru că restul se copiază prin simetrie. Sunt deci $6$ poziții libere, fiecare cu două valori posibile, adică $2^6=64$ de matrice.

De reținut

• O matrice de format $m\times n$ peste $\mathbb{R}$ este un tablou dreptunghiular de numere reale cu $m$ linii și $n$ coloane, în care fiecare element are o poziție fixă; mulțimea tuturor acestor tablouri se notează ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$, iar la profilul științe ale naturii elementele sunt întotdeauna numere reale.
• În scrierea $a_{ij}$ primul indice este linia și al doilea este coloana; elementul există numai dacă indicii respectă $1\le i\le m$ și $1\le j\le n$, iar numărul total de elemente este $m\cdot n$.
• Două matrice sunt egale când au același format și coincid pe toate pozițiile deodată; de aici se determină parametrii, scriind toate condițiile, nu doar una.
• Numai o matrice pătratică are diagonală principală (indici egali) și diagonală secundară (suma indicilor egală cu $n+1$), deci numai la ea au sens numele de matrice unitate, diagonală, scalară, triunghiulară sau simetrică.
• Transpusa ${}^{t}A$ se obține scriind liniile drept coloane și răstoarnă formatul din $m\times n$ în $n\times m$; o matrice pătratică este simetrică exact atunci când ${}^{t}A=A$.

Greșeli frecvente

• Lași tabloul fără legendă. O matrice de date fără precizarea a ce stă pe linii și a ce stă pe coloane devine, după o pagină, un tablou de numere de nedescifrat. Scrie legenda alături, chiar și la ciornă: „linii = loturi, coloane = zile".
• Pierzi unitatea de măsură. Același tablou poate însemna grame sau miligrame, secunde sau minute. La o problemă aplicată, răspunsul „$0,66$" este incomplet; corect este „$0,66$ secunde".
• Confunzi matricea $1\times 1$ cu numărul dinăuntru. Tabloul $\left(\begin{array}{c}7\end{array}\right)$ este o matrice, iar $7$ este un număr; ele trăiesc în mulțimi diferite și nu se pot pune în același calcul. La fel, $O_2$ nu este numărul zero, iar $I_2$ nu este numărul unu.
• Verifici o singură poziție la o egalitate cu parametru. Din poziția $(1,2)$ poate ieși o valoare, iar din $(2,1)$ alta; abia potrivirea tuturor pozițiilor dă răspunsul, iar când valorile nu coincid concluzia corectă este „nu există nicio soluție".
• Confunzi „matrice diagonală" cu „diagonala matricei". Prima este un tip de tablou, a doua este un șir de poziții. Cerința „scrieți diagonala principală" așteaptă o listă de elemente, nu o matrice.

Aplică acasă

1. Etichetele lipsă. Alege din manualul de biologie sau de chimie un tabel cu cel puțin trei linii și trei coloane (compoziția unor alimente, solubilitatea unor săruri) și scrie-l ca matrice peste $\mathbb{R}$. Acoperă apoi tabelul și spune, privind doar matricea, ce înseamnă elementul din colțul din dreapta jos. Notează ce informație ți-a lipsit: aceea e legenda pe care orice matrice de date trebuie să o poarte cu ea.

2. Rigla care cade. Roagă trei colegi sau membri ai familiei să prindă între degete o riglă de $30$ de centimetri lăsată să cadă pe neașteptate, de câte patru ori fiecare, și notează de fiecare dată distanța parcursă de riglă până la prindere. Scrie datele ca matrice de format $3\times 4$, în centimetri, apoi scrie transpusa. Spune, pentru fiecare dintre cele două tablouri, ce înseamnă o linie și ce înseamnă o coloană.

3. Formula ascunsă. Scrie pe o foaie doar o regulă de tipul „elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ e $2i+3j$" și formatul $3\times 3$, apoi dă-i foaia unui coleg și cere-i matricea; între timp, construiește-o și tu. Comparați rezultatele și vedeți unde apar nepotrivirile — de obicei pe ultima linie, unde atenția scade.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți" — „Matrice; mulțimea matricelor cu elemente în $\mathbb{R}$". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea, în prima problemă, capitolul „Elemente de calcul matriceal" al programei de examen (OMEN 4430/2014). Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția nu conține nicio operație, și asta e intenționat: adunarea și înmulțirea cu un număr vin în lecția despre adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr, iar organizarea datelor în tablouri are lecția ei, matricele în contexte practice. Elevii care sar peste ora aceasta ajung să calculeze corect, dar să citească greșit enunțul, și se împotmolesc chiar la primul subpunct al problemei de examen.

Patru lucruri verifică lecția: (1) scrierea formatului în ordinea linii pe coloane; (2) citirea unui element după cei doi indici; (3) recunoașterea tipurilor de matrice, după verificarea prealabilă că tabloul e pătratic; (4) determinarea unui parametru dintr-o egalitate, cu toate condițiile scrise. Patru întrebări de control, de pus oral: „Câte elemente are o matrice de ordinul $4$?"; „Arată-mi pe tablou unde se află $a_{32}$"; „Ce se schimbă la format când transpui?"; „Dacă o poziție dă $p=2$ și alta $p=5$, care e răspunsul?". Semne că elevul a înțeles: scrie formatul înainte de orice altceva, rostește rândul înaintea coloanei când citește un indice și adaugă unitatea de măsură la rezultatele din problemele aplicate. O punte utilă spre anii trecuți: tabelele de date pe care le-a organizat la media aritmetică și ponderată a unui set de date sunt exact tablourile care devin acum matrice.

Întrebări frecvente

Cum transform un tabel de măsurători din laborator într-o matrice? Ștergi capetele de rând și de coloană, păstrezi numerele exact în ordinea în care stau și le scrii între paranteze rotunde. Formatul rezultă singur: numărul de linii pe numărul de coloane. Alături notezi legenda — ce reprezintă liniile, ce reprezintă coloanele și în ce unitate de măsură sunt datele —, pentru că matricea singură nu poartă nicio informație despre semnificația numerelor.

Ce înseamnă că o matrice este „de ordinul 3"? Înseamnă că este pătratică și are trei linii și trei coloane. Ordinul numără liniile, nu elementele: o matrice de ordinul $3$ are $3\cdot 3=9$ elemente. Cuvântul „ordin" se folosește numai la matricele pătratice; la cele dreptunghiulare se vorbește despre format sau tip, scris în forma $m\times n$.

Cum aflu parametrii dintr-o egalitate de două matrice? Verifici întâi că formatele coincid, apoi compari elementele poziție cu poziție și scrii toate ecuațiile care rezultă. Soluția este valoarea care le verifică pe toate deodată. Dacă din poziții diferite ies valori diferite, egalitatea nu are soluție, iar acesta este răspunsul corect, nu un semn că ai greșit calculul.

Care este diferența dintre o matrice diagonală și diagonala unei matrice? O matrice diagonală este un tip de tablou pătratic: are zerouri peste tot în afara diagonalei principale. Diagonala principală a unei matrice este doar șirul pozițiilor cu indici egali, $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$. Cerința „scrieți diagonala principală" așteaptă o listă de numere; cerința „arătați că matricea este diagonală" așteaptă verificarea zerourilor.

Se cer puterile unei matrice la profilul științe ale naturii? Nu ca temă de sine stătătoare: programa cere mulțimea matricelor cu elemente reale, adunarea, înmulțirea cu un scalar și înmulțirea a două matrice, iar ridicarea la putere apare numai la matematică-informatică. Modelul oficial cere însă produsul unei matrice cu ea însăși — „determinați numărul real $a$ pentru care $A(3)\cdot A(3)=a{I}_2$" —, care se calculează cu regula obișnuită din lecția despre înmulțirea matricelor.

Prin ce se deosebește lecția de matrice de la M2 față de cea de la M1? La științe ale naturii elementele sunt numere reale, iar noțiunea și tipurile de matrice se predau într-o singură oră. La matematică-informatică elementele sunt numere complexe, iar materia este împărțită în două lecții separate, una pentru noțiune și una pentru tipuri, urmate de puterile unei matrice, temă care la profilul științe ale naturii nu se studiază deloc.

La ce subiect apare matricea la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, în prima dintre cele două probleme, care are trei subpuncte de câte cinci puncte și pornește de la matrice, determinanți sau sisteme. În modelul oficial al probei M_șt-nat, primul subpunct este un calcul direct, făcut pe o valoare numerică a parametrului — exact tipul de cerință exersat aici. Forma cerințelor se citește în model, nu se presupune.