Se consideră $$A=\begin{pmatrix}9 & -3\\8 & 2\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}5 & -8\\7 & -3\end{pmatrix}$$. Calculează $$A+B$$.

$$\begin{pmatrix}14 & -11\\15 & -1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}14 & 11\\15 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-4 & -5\\-1 & -5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}45 & 24\\56 & -6\end{pmatrix}$$

Scrie matricea $$\begin{pmatrix}-21 & 35\\56 & -14\end{pmatrix}$$ sub forma $$\alpha D$$, cu $$\alpha$$ număr natural cât mai mare.

$$7\begin{pmatrix}-3 & 5\\8 & -2\end{pmatrix}$$

$$7\begin{pmatrix}-3 & 5\\7 & -2\end{pmatrix}$$

$$7\begin{pmatrix}-3 & 5\\56 & -14\end{pmatrix}$$

$$3\begin{pmatrix}-7 & 11\\18 & -4\end{pmatrix}$$

Se consideră $$A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 7\\3 & 1 & 4\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}3 & -6 & 6\\-1 & -3 & 6\end{pmatrix}$$. Calculează $$3A-2B$$.

$$\begin{pmatrix}6 & 12 & 9\\11 & 9 & 0\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}18 & -12 & 33\\7 & -3 & 24\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-1 & 18 & -4\\9 & 11 & -10\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}3 & 18 & 3\\12 & 12 & -6\end{pmatrix}$$

Cum se înmulțește o matrice cu un număr?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Adunare și scalar

Se înmulțește fiecare element al matricei cu acel număr real, iar formatul rămâne același. De exemplu, $0, 5 \cdot (8 - 4 610) = (4 - 2 35)$ . Într-un tabel de măsurători, operația descrie o schimbare care atinge la fel toate valorile, de pildă trecerea din grame în miligrame, înmulțind cu $1000$ . Numărul nu se aplică doar unei linii: dacă se modifică o singură linie, rezultatul nu mai este $α A$ .

Primele trei operații cu tablouri urmează aceeași disciplină: se lucrează căsuță cu căsuță, iar rezultatul păstrează forma datelor de plecare. Suma și diferența cer același format — nu dintr-o convenție, ci fiindcă altminteri nicio pereche de poziții nu ar descrie aceeași mărime. Dacă formatele diferă, pe foaie se scrie o propoziție, nu un tablou de zerouri.

Opusa $- A$ întoarce semnul fiecărui număr și dă, adunată la $A$ , tabloul nul; scăderea se definește prin ea, deci ordinea termenilor hotărăște semnele rezultatului. Un scalar real înmulțit cu tabloul descrie o modificare care atinge deopotrivă toate căsuțele; citită invers, operația scoate un factor comun din tot tabloul, niciodată dintr-un singur rând.

Cele opt proprietăți intră în calcule fără demonstrație, însă fiecare vine cu propria condiție de existență. Două urmări se uită ușor: un număr nu se adună cu un tablou, iar din $α A = O$ rezultă că $α$ este nul sau că $A$ este tabloul nul.

Capcana. La o expresie de tipul $2 A - 3 B$ se scriu întâi, separat, cele două multipluri, și abia pe urmă se face scăderea; cine împrăștie direct semnul minus pierde tocmai numerele negative ale celui de-al doilea tablou. Transpunerea, în schimb, nu rezervă nicio surpriză: $^{t} (A + B)$ se desface firesc, iar suma a două tablouri simetrice rămâne simetrică.

De reținut

$α A$ se obține înmulțind fiecare element al lui $A$ cu $α$
formatul lui $α A$ este același cu al lui $A$
$A - B = A + (- B)$ , iar $- A = (- 1) \cdot A$

Greșeala tipică

Se înmulțește cu numărul doar prima linie, ca la determinanți; la matrice, $α A$ înmulțește toate elementele, fără excepție.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (98 - 3 2)$ și $B = (57 - 8 - 3)$ . Calculează $A + B$ .
- a) $(1415115)$
- b) $(- 4 - 1 - 5 - 5)$
- c) $(1415 - 11 - 1)$
- d) $(4556 24 - 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(1415 - 11 - 1)$

Se adună numerele aflate pe aceeași poziție: $9 + 5 = 14$ , $- 3 + (- 8) = - 11$ , $8 + 7 = 15$ și $2 + (- 3) = - 1$ . Varianta a) pierde semnele negative: acolo unde trebuia adunat un număr negativ s-a adunat opusul lui; varianta b) este diferența $B - A$ , adică o scădere făcută în locul adunării, și încă în ordinea răsturnată; varianta d) înmulțește căsuțele, operație care la tablouri nu se definește astfel.
Scrie matricea $(- 21 56 35 - 14)$ sub forma $α D$ , cu $α$ număr natural cât mai mare.
- a) $7 (- 3 8 5 - 2)$
- b) $7 (- 3 7 5 - 2)$
- c) $7 (- 3 56 5 - 14)$
- d) $3 (- 7 18 11 - 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7 (- 3 8 5 - 2)$

Toate cele patru numere se împart exact la $7$ , iar niciun natural mai mare nu le împarte pe toate, fiindcă $21$ nu se împarte la $14$ . Împărțind fiecare căsuță la $7$ rămâne tabloul din varianta a), iar proba se face înmulțind înapoi. Varianta b) greșește un singur cât, $56 : 7$ , pe care îl dă ca $7$ ; varianta c) scoate factorul numai din primul rând, deși el trebuie scos din tot tabloul; varianta d) dă $(- 21 54 33 - 12)$ , care se depărtează de tabloul dat chiar de la a doua căsuță.
Se consideră $A = (430174)$ și $B = (3 - 1 - 6 - 3 66)$ . Calculează $3 A - 2 B$ .
- a) $(187 - 12 - 3 3324)$
- b) $(61112990)$
- c) $(- 1 9 1811 - 4 - 10)$
- d) $(3121812 3 - 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(61112990)$

Se scriu întâi cele două multipluri: $3 A = (129032112)$ și $2 B = (6 - 2 - 12 - 6 1212)$ , apoi se scade poziție cu poziție. Pe locul $(1, 2)$ iese $0 - (- 12) = 12$ , iar pe $(2, 3)$ iese $12 - 12 = 0$ . Varianta a) adună în loc să scadă, c) schimbă între ei coeficienții, iar d) înmulțește cu $3$ diferența $A - B$ , ceea ce ar cere același coeficient la ambele tablouri.

Întrebări conexe

Cum calculez $2 A - 3 B$ pentru două matrice de ordinul 2?

Calculezi separat cele două multipluri, apoi scazi element cu element, păstrând poziția fiecărui număr; rezultatul are același format. Pentru $A = (10 4 - 2)$ și $B = (3 - 1 12)$ : $2 A = (20 8 - 4)$ , $3 B = (9 - 3 36)$ , deci $2 A - 3 B = (- 7 3 5 - 10)$ . Semnul minus se aplică tuturor elementelor lui $3 B$ .

Cum scot un factor comun dintr-o matrice?

Cauți un număr care împarte toate elementele și îl scrii în fața matricei. De exemplu, $(126 - 18 24) = 6 (21 - 3 4)$ , fiindcă $6$ împarte toate cele patru numere. Proba se face înmulțind la loc fiecare element cu $6$ .

Ce este matricea opusă și la ce folosește?

Opusa $- A$ are fiecare element cu semnul schimbat, deci $A + (- A)$ este matricea nulă de același format. Scăderea se reduce la adunarea opusei: $A - B = A + (- B)$ . De aceea $A - B$ și $B - A$ sunt opuse una alteia, nu egale.

Cum rezolv ecuația matriceală $3 X + A = B$ ?

Tratezi ecuația ca pe una cu numere: $3 X = B - A$ , apoi înmulțești cu $\frac{1}{3}$ . Pentru $A = (2 - 4 15)$ și $B = (82 - 5 11)$ ies $B - A = (66 - 6 6)$ și $X = (22 - 2 2)$ . Proba: $3 X + A$ redă exact $B$ .

Pot aduna un număr la o matrice?

Nu: o sumă cere doi termeni de același format, iar un număr nu are linii și coloane. Scrierea $A + 5$ nu are sens. Dacă se cere $A + 5 I_{2}$ , atunci se adună $5$ doar pe diagonala principală, pentru că $5 I_{2} = (5005)$ .

Cum transform un tabel de grame în miligrame cu matrice?

Înmulțești toată matricea cu $1000$ , fiindcă fiecare valoare se convertește la fel. De exemplu, $1000 \cdot (0, 25 0, 04 1, 2 3) = (2504012003000)$ , în miligrame. Unitatea de măsură se schimbă la toate căsuțele deodată.

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea unei matrice cu un scalar · cum înmulțesc o matrice cu un număr real · număr ori matrice · produsul dintre un număr și o matrice