Matrice în practică: costuri, transport, doze (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Farmacia unui spital primește în fiecare dimineață același teanc de hârtii: câte flacoane cere fiecare secție, din fiecare preparat, cât costă flaconul, câte cutii pleacă spre fiecare punct de lucru. Sunt numere puține și simple, dar așezate în tablouri — iar pe tablouri se poate calcula. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), matricea este exact unealta care transformă un tabel de gestiune într-un obiect matematic, iar calculul din spatele acestor modele — produsul a două matrice, aflarea unui element necunoscut — se cere la bacalaureatul M2, la Subiectul al II-lea.

Lecția de astăzi nu aduce nicio regulă de calcul nouă. Adunarea, înmulțirea cu un număr și înmulțirea a două matrice sunt deja învățate; aici înveți când se folosește fiecare și ce înseamnă numerele care ies. Este partea de programă pe care Anexa 28 o cere explicit, prin nota despre aplicațiile matricelor în contexte practice.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii matricea unei situații practice, precizând ce numără liniile, ce numără coloanele și în ce unitate de măsură sunt elementele.
Vei ști să alegi între adunare, înmulțire cu un număr și produs de matrice, după întrebarea pusă în enunț, nu după forma tablourilor.
Vei ști să obții totaluri pe linii și pe coloane înmulțind cu o coloană sau cu o linie de $1$ , și să folosești cele două sume ca probă.
Vei ști să citești o matrice de transport și să calculezi costul unei livrări atunci când produsul de matrice nu este operația potrivită.
Vei ști să construiești matricea dozelor dintr-o coloană de mase și o linie de doze pe kilogram și să pui unitatea de măsură la fiecare rezultat.
Vei ști să recunoști mărimile care nu se cumulează — concentrații, procente, temperaturi — și să nu le aduni niciodată căsuță cu căsuță.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să scrii o situație practică sub formă de matrice?

Spitalul are două secții, cardiologie și pediatrie, și trei preparate perfuzabile, pe care le vom numi $P_{1}$ , $P_{2}$ și $P_{3}$ . Luni, cardiologia a cerut $20$ de flacoane din primul preparat, $6$ din al doilea și $15$ din al treilea, iar pediatria $12$ , $10$ și, respectiv, $9$ . Tabloul acestor numere este o matrice cu două linii și trei coloane:

$D = (2012610159) \in M_{2, 3} (R) .$

Numerele singure nu spun nimic. Modelul matriceal al unei situații practice este o matrice însoțită de trei precizări obligatorii: ce mărime numără liniile, ce mărime numără coloanele și în ce unitate de măsură sunt exprimate elementele. Fără ele, $12$ poate însemna flacoane, lei sau minute. Aici liniile sunt secțiile (în ordinea cardiologie, pediatrie), coloanele sunt preparatele (în ordinea $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ ), iar elementele sunt flacoane. Cu precizările făcute, $d_{23} = 9$ se traduce imediat: „pediatria a cerut luni nouă flacoane din al treilea preparat".

Ordinea aleasă este o convenție, nu un adevăr. Dacă am fi pus preparatele pe linii și secțiile pe coloane, am fi obținut transpusa $^{t} D$ , la fel de corectă — cu condiția să păstrăm aceeași alegere până la capătul problemei. Greșelile de modelare nu vin aproape niciodată din calcul, ci din schimbarea convenției pe parcurs. Și o precizare de vocabular: la profilul științe ale naturii elementele sunt numere reale, deci lucrăm în $M_{m, n} (R)$ .

2. Cum se citește o matrice de costuri?

Prețul unui flacon este $8$ lei la primul preparat, $25$ de lei la al doilea și $4$ lei la al treilea. Îl scriem ca matrice coloană, pentru că are o singură coloană și tot atâtea linii câte preparate sunt:

$P = 8254 \in M_{3, 1} (R) .$

Întrebarea firească a farmacistului este cât costă comanda fiecărei secții. Răspunsul cere, pentru cardiologie, socoteala $20 \cdot 8 + 6 \cdot 25 + 15 \cdot 4$ — adică exact înmulțirea primei linii a lui $D$ cu coloana $P$ . Cum aceeași socoteală se repetă pentru a doua linie, întregul răspuns este un produs de matrice:

$D \cdot P = (2012610159) \cdot 8254 = (370382) .$

Cardiologia a consumat luni medicamente de $370$ de lei, pediatria de $382$ de lei. Verifică unitatea de măsură, pentru că ea arată dacă modelul e corect: la $D$ elementele sunt flacoane, la $P$ sunt lei pe flacon, iar în produs flacoanele se simplifică și rămân lei. Aceasta e regula generală și merită ținută minte ca atare: unitatea unui element al produsului este produsul unităților celor două matrice, iar mărimea comună dispare. Este exact mecanismul mediei ponderate din gimnaziu, pe care l-ai întâlnit la media aritmetică ponderată: fiecare cantitate își aduce propriul preț în sumă.

Mărimea comună este chiar cea care face produsul posibil: coloanele lui $D$ înseamnă preparate, liniile lui $P$ înseamnă tot preparate. Înainte de orice înmulțire, citește cu voce tare „coloanele primeia sunt … , liniile celei de-a doua sunt …"; dacă cele două propoziții nu se termină la fel, oprește-te, chiar dacă dimensiunile s-ar potrivi din întâmplare.

Totalurile se obțin tot cu o înmulțire, dar cu matrice de $1$ . Înmulțind la stânga cu linia $U = (11)$ aduni pe coloane, adică afli consumul total din fiecare preparat:

$U \cdot D = (11) \cdot (2012610159) = (321624) .$

Înmulțind la dreapta cu o coloană de $1$ aduni pe linii, adică afli câte flacoane a cerut fiecare secție, indiferent de preparat. Cele două drumuri duc la același total general, $72$ de flacoane, iar egalitatea lor este cea mai ieftină probă de copiere a datelor pe care o ai la îndemână.

3. Ce se adună și ce se înmulțește cu un număr?

Marți, comenzile au fost altele: $18$ , $9$ și $12$ flacoane la cardiologie, $15$ , $7$ și $11$ la pediatrie. Matricea zilei a doua este

$E = (1815971211),$

iar consumul pe cele două zile se obține adunând căsuță cu căsuță, pentru că fiecare căsuță din $D$ și cea corespunzătoare din $E$ numără același lucru:

$D + E = (382715172720) .$

Adunarea modelează, așadar, cumulul: aceleași secții, aceleași preparate, două perioade puse cap la cap. Scăderea răspunde la întrebarea „cu cât s-a schimbat consumul?", iar în $D - E$ un element negativ înseamnă că marți s-a consumat mai mult decât luni.

Înmulțirea cu un număr modelează altceva: o schimbare uniformă, care atinge la fel toate elementele. Dacă farmacia estimează consumul unei săptămâni de șapte zile la nivelul zilei de luni, ea calculează

$7 D = (14084427010563) .$

Cuvântul-cheie este „uniformă": o creștere care lovește doar pediatria nu se scrie cu un număr în fața matricei, ci cere o altă matrice, adunată la prima. Și se înmulțește o singură dată: costul săptămânii este $7 (D \cdot P)$ , nu $(7 D) \cdot (7 P)$ , care dă de $49$ de ori costul unei zile — greșeala din exemplul 5.

4. Ce este matricea de transport și cum se calculează costul unei livrări?

Două depozite alimentează trei farmacii de circuit închis. Numărul de cutii expediate se scrie tot ca matrice, cu depozitele pe linii și farmaciile pe coloane:

$T = (305045202540) .$

Aceasta este matricea de transport a rețelei: elementul $t_{ij}$ spune câte cutii pleacă din depozitul $i$ către farmacia $j$ . Sumele pe linii, $100$ și $110$ , arată cât iese din fiecare depozit; sumele pe coloane, $80$ , $65$ și $65$ , arată cât intră în fiecare farmacie. Ambele adunate dau $210$ , adică toate cutiile.

Acum vine întrebarea care desparte modelarea corectă de cea mecanică. Costul nu este același pe toate rutele: o cutie dusă din primul depozit costă $2$ , $5$ și, respectiv, $3$ lei, iar din al doilea depozit $4$ , $1$ și $6$ lei. Scriem și aceste date tot ca matrice, cu exact aceleași linii și coloane:

$K = (245136) .$

Costul total nu este $T \cdot K$ . Produsul acesta nici măcar nu există, pentru că ambele matrice au trei coloane și două linii. Aici cele două tablouri se suprapun perfect, căsuță pe căsuță: fiecare rută are un număr de cutii și un tarif propriu, iar costul total este suma celor șase produse:

$30 \cdot 2 + 45 \cdot 5 + 25 \cdot 3 + 50 \cdot 4 + 20 \cdot 1 + 40 \cdot 6 = 820.$

Transportul costă $820$ de lei. Reține deosebirea: produsul de matrice combină două tabele printr-o mărime comună care dispare; suprapunerea căsuță pe căsuță combină două tabele care descriu aceleași perechi, iar rezultatul ei este un singur număr.

5. Cum se construiește matricea dozelor?

Trei pacienți au masele $60$ kg, $80$ kg și $50$ kg, iar în schema de tratament intră două substanțe, prima administrată în doză de $0, 5$ mg pe kilogram, a doua în doză de $0, 2$ mg pe kilogram. Masele formează o coloană, dozele pe kilogram formează o linie:

$M = 608050, Q = (0, 5 0, 2) .$

Produsul lor există, pentru că prima are o coloană și a doua are o linie, iar rezultatul are trei linii și două coloane:

$M \cdot Q = 608050 \cdot (0, 5 0, 2) = 304025121610 .$

Este surprinzător la prima vedere: două matrice mici dau una mai mare decât fiecare dintre ele — tipul $3 \times 1$ înmulțit cu tipul $1 \times 2$ dă tipul $3 \times 2$ . Pe linia pacientului și pe coloana substanței citim doza lui, în miligrame: primul pacient primește $30$ mg din prima substanță și $12$ mg din a doua. Unitățile confirmă modelul, pentru că kilogramele înmulțite cu miligrame pe kilogram dau miligrame. Rotunjirea se face aici o singură dată, la final; rotunjirile intermediare se adună și pot conta la un medicament cu interval terapeutic îngust.

6. Ce mărimi nu se pot aduna într-o matrice?

Adunarea matricelor cere mai mult decât același tip: cere ca mărimea din căsuțe să fie cumulativă. Flacoanele sunt cumulative, lei sunt cumulativi, cutiile transportate sunt cumulative. Concentrațiile nu sunt.

Ia două soluții ale aceleiași substanțe, cu concentrațiile date masă/volum, adică în grame la $100$ mL: $200$ mL cu concentrația de $5%$ și $300$ mL cu concentrația de $10%$ . Amestecul nu are concentrația $15%$ . Se adună cantitățile de substanță: $200 \cdot 0, 05 = 10$ grame și $300 \cdot 0, 10 = 30$ de grame, în total $40$ de grame în $500$ mL, adică o concentrație de $8%$ . La fel se comportă procentele, temperaturile, densitățile și orice mărime obținută dintr-un raport.

Regula de modelare e deci simplă: dacă vrei să cumulezi, pune în matrice masa, volumul sau numărul de bucăți; concentrația, procentul și prețul unitar intră în calcul ca factori, nu ca termeni ai unei adunări. Și încă o piedică practică: o matrice este un dreptunghi complet, deci o căsuță fără conținut se scrie $0$ , nu se sare.

7. Ce se cere din tema aceasta la Bacalaureatul M2?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) începe capitolul chiar cu formularea „tabel de tip matriceal", apoi cere operațiile cu matrice și proprietățile lor. Modelarea economică sau medicală nu apare, așadar, ca cerință de sine stătătoare; ce apare este calculul din spatele ei, la Subiectul al II-lea, prima problemă: se dau două matrice, se cere un produs, se cere numărul real pentru care o egalitate de matrice este adevărată.

De aceea exemplele de mai jos merg pe două voci: unele puse în context, cum cere programa școlară nouă, altele în forma seacă a subiectului de examen. Mecanica produsului se recitește, la nevoie, în lecția despre înmulțirea matricelor și ordinea factorilor; aici ea se folosește, nu se mai explică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la foaia de gardă la matrice

Într-un laborator de analize se lucrează pe două schimburi și cu trei aparate. În schimbul de dimineață s-au făcut $14$ analize la primul aparat, $9$ la al doilea și $22$ la al treilea; în schimbul de după-amiază, $11$ , $13$ și $20$ . Scrieți matricea $V$ a situației, precizați tipul ei și spuneți ce reprezintă $v_{13}$ și $v_{22}$ .

Rezolvare. Alegem liniile pentru schimburi (întâi dimineața) și coloanele pentru aparate:

$V = (14119132220) \in M_{2, 3} (R) .$

Elementele sunt analize, adică bucăți. Atunci $v_{13} = 22$ înseamnă „dimineața, $22$ de analize la al treilea aparat", iar $v_{22} = 13$ înseamnă „după-amiaza, $13$ analize la al doilea aparat": indicii se citesc întâi linia, apoi coloana.

Exemplul 2 — Costul zilei și totalurile, cu două produse

Pentru matricea $V$ de mai sus, se știe că o analiză costă $30$ de lei la primul aparat, $45$ de lei la al doilea și $12$ lei la al treilea. Determinați costul fiecărui schimb, numărul de analize făcute la fiecare aparat și numărul total de analize, verificat pe două căi.

Rezolvare. Costurile formează o coloană, pentru că liniile ei sunt aparatele, adică exact ce înseamnă coloanele lui $V$ :

$V \cdot 304512 = (10891155) .$

Schimbul de dimineață a produs analize de $1089$ de lei, cel de după-amiază de $1155$ de lei. Pentru totalurile pe aparate înmulțim la stânga cu o linie de $1$ :

$(11) \cdot V = (252242) .$

Adunând aceste trei numere obținem $89$ de analize. Pe cealaltă cale, totalurile pe schimburi sunt $45$ și $44$ , cu aceeași sumă. Dacă cele două drumuri nu dau același număr, o cifră a fost copiată greșit.

Exemplul 3 — Matricea de transport și costul real al livrării

O a doua rețea, tot cu două depozite și trei farmacii, are matricea de transport $L$ , în cutii, și matricea tarifelor $J$ , în lei pe cutie:

$L = (241118403327), J = (623854) .$

a) Determinați cât pleacă din fiecare depozit și cât primește fiecare farmacie, cu totalul verificat pe două căi. b) Calculați costul total al transportului. c) Spuneți ce ar însemna suma tuturor elementelor lui $J$ .

Rezolvare. a) Sumele pe linii sunt $24 + 18 + 33 = 75$ și $11 + 40 + 27 = 78$ de cutii, deci al doilea depozit expediază mai mult. Sumele pe coloane sunt $35$ , $58$ și $60$ de cutii, iar proba se închide: $75 + 78 = 153$ și $35 + 58 + 60 = 153$ .

b) Fiecare rută se înmulțește cu tariful ei, iar produsele se adună:

$144 + 54 + 165 + 22 + 320 + 108 = 813.$

Transportul costă $813$ lei.

c) Nimic despre transportul acesta. Elementele lui $J$ sunt lei pe cutie, adică tarife; adunate, ele dau $28$ , care ar fi costul unei livrări de câte o cutie pe fiecare rută — un transport care nu a avut loc. Un tarif intră în calcul ca factor, nu ca termen al unei adunări, exact ca procentele și concentrațiile din secțiunea a șasea.

Exemplul 4 — Matricea dozelor, cu unitate de măsură

Doi pacienți au masele de $70$ kg și $45$ kg. Se administrează două substanțe, în doze de $0, 4$ mg și, respectiv, $0, 6$ mg pe kilogram de masă corporală. Scrieți matricea dozelor și precizați ce reprezintă fiecare element.

Rezolvare. Masele se scriu în coloană, dozele pe kilogram în linie:

$(7045) \cdot (0, 4 0, 6) = (28184227) .$

Matricea obținută are pe linii pacienții și pe coloane substanțele, iar elementele sunt miligrame: primul pacient primește $28$ mg din prima substanță și $42$ mg din a doua, al doilea $18$ mg și $27$ mg. Kilogramele s-au simplificat, exact cum se întâmpla la costuri cu flacoanele.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Farmacia vrea costul unei săptămâni de șapte zile, presupunând consumul zilnic egal cu cel de luni. Un elev scrie: „Înmulțesc totul cu $7$ , deci calculez $(7 D) \cdot (7 P)$ și obțin $(1813018718)$ ." Găsiți greșeala și dați răspunsul corect.

Rezolvare. Aritmetica elevului e corectă, modelul nu. Înmulțind ambele matrice cu $7$ , factorul intră de două ori în produs: $(7 D) \cdot (7 P) = 49 (D \cdot P)$ . Ce se schimbă de-a lungul săptămânii este însă numărul de zile, nu prețul flaconului, deci se înmulțește o singură matrice, cea a cantităților:

$7 (D \cdot P) = (25902674) .$

Costul săptămânii este de $2590$ de lei la cardiologie și de $2674$ de lei la pediatrie. Proba unităților ar fi prins greșeala din prima: în varianta elevului, coloana $P$ ar fi însemnat prețuri de șapte ori mai mari.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricele $A = (4563)$ și $B = (72)$ . a) Arătați că $A \cdot B = (4041)$ . b) Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot (x 2) = (2421)$ . c) Știind că liniile lui $A$ sunt două produse, iar coloana $B$ conține prețurile a două materiale, determinați numărul real $z$ pentru care $A \cdot (z z) = (3024)$ și spuneți ce înseamnă $z$ .

Rezolvare.

a) Înmulțim linie cu coloană: pe prima linie $4 \cdot 7 + 6 \cdot 2 = 40$ , pe a doua $5 \cdot 7 + 3 \cdot 2 = 41$ , deci

$A \cdot B = (4041) .$

b) Produsul dă coloana cu elementele $4 x + 12$ și $5 x + 6$ . Din prima egalitate, $4 x + 12 = 24$ , deci $x = 3$ . Verificăm și a doua linie, pentru că amândouă trebuie să fie adevărate: $5 \cdot 3 + 6 = 21$ . Prin urmare $x = 3$ .

c) Cele două elemente ale coloanei fiind egale, produsul are elementele $10 z$ și $8 z$ . Din $10 z = 30$ obținem $z = 3$ , iar a doua linie confirmă: $8 \cdot 3 = 24$ . În context, $z = 3$ înseamnă că ambele materiale ar costa $3$ lei pe unitate.

De la examen la lecție. Cerințele au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se verifică un rezultat dat, la b) se determină un număr real dintr-o egalitate de matrice, la c) se leagă calculul de context. Scrie produsul element cu element și verifică toate liniile egalității, nu doar pe cea din care ai aflat necunoscuta.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, scrie ce înseamnă liniile, ce înseamnă coloanele și în ce unitate sunt elementele.

1. O stupină vinde trei sortimente de miere în două puncte de desfacere. Primul punct a vândut $30$ , $18$ și $24$ de borcane, al doilea $22$ , $26$ și $15$ . Scrie matricea $Z$ , precizează tipul ei și spune ce reprezintă $z_{23}$ .

2. Pentru matricea $Z$ de la exercițiul 1, află câte borcane s-au vândut din fiecare sortiment, înmulțind la stânga cu $(11)$ .

3. Pentru aceeași matrice $Z$ , află câte borcane a vândut fiecare punct de desfacere și verifică faptul că totalul general iese același ca la exercițiul 2.

4. Un borcan costă $25$ de lei la primul sortiment, $30$ de lei la al doilea și $18$ lei la al treilea. Calculează încasarea fiecărui punct de desfacere.

5. În luna de vârf, vânzările stupinei sunt de patru ori mai mari la toate sortimentele și în ambele puncte. Scrie matricea corespunzătoare și spune de ce operația potrivită este înmulțirea cu un număr.

6. Două depozite trimit cutii către trei farmacii după matricea $S = (401525503520)$ . Determină cât pleacă din fiecare depozit, cât primește fiecare farmacie și verifică totalul pe două căi.

7. Tarifele pe rută, în lei pe cutie, sunt date de $W = (362154)$ . Calculează, pentru transportul din exercițiul 6, cât cheltuiește fiecare depozit în parte și care dintre cele șase rute este cea mai scumpă.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două matrice au același tip, atunci produsul lor există."

9. Un tabel are $3$ linii și $2$ coloane, iar altul $2$ linii și $5$ coloane. Ce tip are produsul lor, în această ordine? Produsul în ordinea inversă există?

10. (Problemă aplicată.) Trei pacienți au masele $70$ kg, $45$ kg și $90$ kg. O substanță se administrează în doză de $0, 3$ mg pe kilogram, iar alta în doză de $0, 1$ mg pe kilogram. Scrie matricea dozelor, în miligrame.

11. Se amestecă $150$ mL de soluție cu concentrația $4%$ și $250$ mL cu concentrația $12%$ . Calculează concentrația amestecului și explică de ce concentrațiile nu se adună.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricele $N = (2135)$ și $R = (41)$ . Calculează $N \cdot R$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru matricea $N$ de la exercițiul 12, determină numărul real $x$ pentru care $N \cdot (x 2) = (1213)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $F = (132104)$ și $G = 205132$ . Arată că $F \cdot G = (226714)$ .

15. Cu matricele $D$ și $E$ din lecție, calculează $D - E$ și explică ce înseamnă elementele negative.

16. Într-un tabel de consum, o secție nu folosește deloc al doilea preparat. Cum scrii acea căsuță și de ce nu poți pur și simplu să o sari?

17. Un elev spune că elementul de pe prima linie a matricei $D \cdot P$ se măsoară în flacoane. Ce unitate are de fapt și de ce?

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice matrice de transport, suma sumelor pe linii este egală cu suma sumelor pe coloane. Explică apoi de ce acest control prinde greșelile de copiere a datelor, dar nu le prinde pe toate.

Răspunsuri și explicații

1. $Z = (302218262415) \in M_{2, 3} (R)$ , cu liniile punctele de desfacere și coloanele sortimentele; $z_{23} = 15$ înseamnă „al doilea punct a vândut $15$ borcane din al treilea sortiment".

2. $(11) \cdot Z = (524439)$ , adică $52$ , $44$ și $39$ de borcane din cele trei sortimente.

3. Înmulțind la dreapta cu coloana de $1$ se obține $(7263)$ , adică $72$ de borcane la primul punct și $63$ la al doilea. Totalul este $135$ , la fel ca $52 + 44 + 39$ .

4. $Z \cdot 253018 = (17221600)$ , deci $1722$ de lei la primul punct și $1600$ de lei la al doilea.

5. $4 Z = (12088721049660)$ . Creșterea este uniformă — același factor la toate sortimentele și în ambele puncte —, iar acesta este exact înțelesul înmulțirii cu un număr.

6. Sumele pe linii sunt $100$ și $85$ de cutii, deci primul depozit expediază mai mult; sumele pe coloane sunt $55$ , $75$ și $55$ de cutii. Proba: $100 + 85 = 185$ și $55 + 75 + 55 = 185$ .

7. Primul depozit cheltuiește $40 \cdot 3 + 25 \cdot 2 + 35 \cdot 5 = 345$ de lei, al doilea $15 \cdot 6 + 50 \cdot 1 + 20 \cdot 4 = 220$ de lei. Cele șase rute costă $120$ , $50$ , $175$ , $90$ , $50$ și $80$ de lei, deci cea mai scumpă este ruta de la primul depozit către a treia farmacie. Nicăieri nu apare un produs de matrice: cele două tablouri se suprapun căsuță pe căsuță, iar înmulțirea se face pe poziții.

8. Fals. Produsul cere ca numărul de coloane al primei matrice să fie egal cu numărul de linii al celei de-a doua. Două matrice de tip $2 \times 3$ au același tip, dar produsul nu există, pentru că $3 \neq = 2$ .

9. Produsul în ordinea dată are tipul $3 \times 5$ , pentru că cele două numere din mijloc coincid. În ordinea inversă produsul nu există: $5 \neq = 3$ .

10. $704590 \cdot (0, 3 0, 1) = 21 13, 5 27 7 4, 5 9$ , în miligrame, cu pacienții pe linii și substanțele pe coloane.

11. Cantitățile de substanță sunt $150 \cdot 0, 04 = 6$ grame și $250 \cdot 0, 12 = 30$ de grame, în total $36$ de grame la $400$ mL, adică $9%$ . Concentrația este un raport, deci o mărime care nu se cumulează; se adună masele și volumele, apoi se reface raportul.

12. $N \cdot R = (119)$ , pentru că $2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 11$ și $1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = 9$ .

13. Produsul are elementele $2 x + 6$ și $x + 10$ . Din $2 x + 6 = 12$ rezultă $x = 3$ , iar a doua linie confirmă: $3 + 10 = 13$ . Deci $x = 3$ .

14. Pe prima linie: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2$ și $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 2 = 7$ . Pe a doua: $3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 26$ și $3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 14$ . Deci $F \cdot G = (226714)$ .

15. $D - E = (2 - 3 - 3 3 3 - 2)$ . Elementele negative arată preparatele la care marți s-a consumat mai mult decât luni; de pildă $- 3$ de pe prima linie înseamnă trei flacoane în plus la al doilea preparat.

16. Se scrie $0$ . Matricea trebuie să fie un dreptunghi complet: dacă sari căsuța, liniile ajung de lungimi diferite, iar tabloul nu mai este o matrice și nici nu se mai poate aduna sau înmulți.

17. Se măsoară în lei. Elementele lui $D$ sunt flacoane, cele ale lui $P$ sunt lei pe flacon, iar la înmulțire flacoanele se simplifică. Unitatea rezultatului este întotdeauna produsul unităților, cu mărimea comună dispărută.

18. Ambele sume sunt, de fapt, suma tuturor elementelor matricei, numărate o dată pe linii și o dată pe coloane; de aceea sunt egale. Controlul prinde orice cifră transcrisă greșit o singură dată, dar nu prinde două greșeli care se compensează și nici o valoare pusă în căsuța greșită pe aceeași linie.

De reținut

O matrice fără precizarea liniilor, a coloanelor și a unității de măsură este un tablou de cifre, nu un model: toate greșelile de modelare pornesc din schimbarea acestei convenții pe parcursul rezolvării.
Adunarea cumulează aceleași căsuțe și cere matrice de același tip; înmulțirea cu un număr modelează o schimbare uniformă; produsul de matrice combină două tabele printr-o mărime comună, care dispare din rezultat.
Unitatea de măsură a unui element al produsului este produsul unităților celor două matrice, iar verificarea ei prinde din prima modelele greșite.
Când două tablouri au același tip și aceleași etichete pe linii și pe coloane, mărimile lor se combină căsuță pe căsuță, prin sumă de produse — nu prin produs de matrice, care în acest caz de obicei nici nu există.
Se pun în matrice mărimile care se cumulează, adică masele, volumele și bucățile; concentrațiile, procentele și prețurile unitare intră în calcul ca factori, niciodată ca termeni ai unei adunări.

Greșeli frecvente

Costul unei livrări calculat ca produs de matrice. Când matricea cantităților și cea a tarifelor au aceleași linii și aceleași coloane, costul total este suma produselor pe poziții, iar produsul de matrice nici nu se poate face. Corectare: întreabă-te dacă cele două tablouri descriu aceleași perechi sau se leagă printr-o mărime comună.
Înmulțirea cu un număr aplicată de două ori. Pentru consumul a șapte zile se scrie $7 (D \cdot P)$ , nu $(7 D) \cdot (7 P)$ ; a doua formă înmulțește rezultatul cu $49$ . Corectare: identifică mărimea care chiar se schimbă — aici numărul de zile, nu prețul.
Confundarea sumelor pe linii cu sumele pe coloane. La o matrice de transport, sumele pe linii spun cât pleacă din fiecare depozit, iar cele pe coloane cât ajunge la fiecare farmacie. Corectare: citește eticheta liniei înainte de a raporta un total.
Rotunjirea făcută la fiecare pas. Într-un model cu doze pe kilogram sau cu concentrații, rotunjirile intermediare se adună și deplasează rezultatul final. Corectare: lucrează cu valorile exacte și rotunjește o singură dată, la răspuns.
Adunarea unor mărimi care nu se cumulează. Două concentrații, două procente sau două temperaturi medii nu se adună căsuță cu căsuță, oricât de bine s-ar potrivi tipurile matricelor. Corectare: adună mărimile extensive și reface raportul la final.

Aplică acasă

Orarul tău, ca matrice. Scrie un tablou cu liniile „luni–vineri" și coloanele „matematică, română, științe, altele", în care elementele sunt numărul de ore. Calculează totalurile pe linii (cu o coloană de $1$ ) și pe coloane (cu o linie de $1$ ) și verifică faptul că cele două sume finale coincid. Ai făcut, cu date reale, exact proba din exemplul 2.
Doza pe kilogram, calculată corect. Ia prospectul unui medicament pe care îl aveți deja în casă, citește doza recomandată pe kilogram și scrie o coloană cu masele a trei persoane din familie. Înmulțește coloana cu linia dozelor și compară rezultatul cu doza scrisă pe cutie. Este un exercițiu de aritmetică, nu o indicație de tratament: nu schimba nimic din ce iei.
Clasamentul, obținut cu un produs. Ia clasamentul unei competiții care îți place și scrie matricea „echipe × (victorii, egaluri, înfrângeri)". Înmulțește-o cu coloana punctelor acordate, $310$ , și compară rezultatul cu punctajele publicate. Dacă un rând nu iese, ai găsit fie o greșeală de copiere, fie un regulament cu alt punctaj.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", prin competența XI.CS.6.1, care cere modelarea unor situații practice cu ajutorul matricelor. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „tabel de tip matriceal" și operațiile cu matrice, la Subiectul al II-lea, dar nu cere modelarea unei situații practice ca cerință distinctă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția nu predă reguli de calcul: le folosește. Rolul ei este să lege tehnica de înțeles, pentru că la acest profil elevul va întâlni tablouri de date la chimie, la biologie și la fizică, iar deprinderea de a le citi corect contează mai mult decât viteza de înmulțire.

De verificat în caiet: (1) convenția de citire e scrisă înaintea matricei și e aceeași până la final; (2) tipurile sunt verificate înainte de primul număr; (3) fiecare rezultat are unitate de măsură; (4) totalurile pe linii și pe coloane sunt folosite ca probă. Întrebări de control, de pus oral: „Ce numără liniile tabloului tău și în ce unitate?"; „Ce se simplifică atunci când înmulțești cele două matrice?"; „De ce costul transportului nu e un produs de matrice?"; „Poți aduna două concentrații?". Semn că elevul a înțeles: spune în cuvinte ce va reprezenta rezultatul înainte de a-l calcula. Continuarea firească este lecția despre determinanți de ordinul 2 și 3, unde din aceleași tablouri pătratice se scoate un singur număr.

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la matricele din contexte practice între M1 și M2? Matematica este aceeași, publicul nu. La științe ale naturii programa cere explicit aplicații în contexte practice, cu accent pe interpretarea rezultatului, pe unități de măsură și pe modele din chimie și biologie. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: matricele în situații practice merge mai departe pe partea de calcul, inclusiv cu puteri de matrice, care nu intră în programa de M2.

La ce subiect apare tema aceasta la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, prima problemă, care este de matrice, determinanți sau sisteme. Enunțul nu vine îmbrăcat în context economic sau medical, dar cere exact calculele din lecție: un produs de matrice, o egalitate din care se află un număr real, justificarea unui rezultat dat. Fiecare subpunct valorează cinci puncte.

Ce este matricea de transport? Este tabloul în care elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ arată cantitatea expediată din punctul de plecare $i$ către punctul de sosire $j$ . Sumele pe linii spun cât pleacă din fiecare punct de plecare, iar sumele pe coloane cât ajunge în fiecare punct de sosire; cele două totaluri trebuie să coincidă.

Cum calculez costul total al unui transport? Înmulțind fiecare cantitate cu tariful rutei ei și adunând toate produsele. Dacă matricea cantităților și cea a tarifelor au aceleași linii și aceleași coloane, calculul nu este un produs de matrice, ci o sumă de produse pe poziții, iar rezultatul este un singur număr.

Ce unitate de măsură are un element al produsului a două matrice? Produsul unităților celor două matrice, din care mărimea comună s-a simplificat. Flacoane înmulțite cu lei pe flacon dau lei; kilograme înmulțite cu miligrame pe kilogram dau miligrame. Dacă unitatea obținută nu are sens în problemă, modelul e greșit, oricât de corectă ar fi aritmetica.

Se pot aduna două matrice de concentrații? Nu, deși tipurile se potrivesc. Concentrația este un raport, deci o mărime care nu se cumulează: la amestecarea a două soluții se adună cantitățile de substanță și volumele, iar concentrația finală se recalculează din ele. Aceeași regulă se aplică procentelor, densităților și temperaturilor.

Ce fac dacă în tabelul meu unele căsuțe sunt goale? Le completezi cu $0$ atunci când absența înseamnă „cantitate zero". O matrice este un dreptunghi complet, cu toate liniile de aceeași lungime; un tabel cu goluri nu poate fi adunat și nici înmulțit. Dacă golul înseamnă „date lipsă", nu „zero", atunci datele trebuie completate înainte de a construi modelul.