Determinantul de ordinul 4, pe o linie (M2, științe ale naturii)

O firmă mică de curierat ține costurile într-un tablou cu patru linii și patru coloane: pe linii depozitele, pe coloane orașele în care livrează, iar în căsuțe prețul unei curse, în zeci de lei. Acolo unde nu există rută directă, căsuța rămâne goală, adică zero. Tabloul acesta este o matrice pătratică de ordinul $4$, iar în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), programa cere să știi să-i calculezi determinantul: plafonul ei este exact ordinul $4$. Atenție însă la o deosebire care schimbă felul în care înveți lecția — la bacalaureatul M2 din 2027–2029 determinanții se cer doar până la ordinul $3$, iar ordinul $4$ intră în programa de examen abia din 2030, la proba MAT_P2, în domeniul Algebră.

Regula lui Sarrus, pe care ai învățat-o la determinanții de ordinul 2 și 3, a rămas în urmă: schema ei de diagonale produce exact șase produse, câte are un determinant de ordinul $3$, pe când unul de ordinul $4$ are douăzeci și patru. Lecția de astăzi îți dă unealta care înlocuiește orice rețetă de diagonale: o regulă care scade ordinul cu o unitate, schimbând un determinant de ordinul $4$ cu determinanți de ordinul $3$, pe care îi știi deja calcula.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii minorul unui element, adică determinantul care rămâne după ce ștergi o linie și o coloană.
• Vei ști să adaugi minorului semnul poziției și să obții complementul algebric.
• Vei ști să desfaci un determinant de ordinul 4 după o linie sau după o coloană, cu toți pașii scriși în ordine.
• Vei ști să alegi linia care te costă cel mai puțin și să spui, înainte de a calcula, câți determinanți de ordinul $3$ te așteaptă.
• Vei ști să lucrezi cu tablouri de ordinul $4$ care vin din practică — matricea costurilor, matricea de transport —, unde zerourile sunt chiar rutele care lipsesc.
• Vei ști până unde merge ordinul la profilul științe ale naturii și la ce probă se cere fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Cum cobori un determinant cu un ordin?

Ideea se vede cel mai bine cu degetul pe tablou: alegi un element, îi acoperi linia și coloana, iar din numerele rămase — un pătrat mai mic cu o unitate — calculezi un determinant.

Minorul ${\Delta }_{ij}$ este determinantul de ordin $n-1$ care rămâne dintr-o matrice pătratică de ordin $n\ge 2$ după ștergerea liniei $i$ și a coloanei $j$. Indicii lui sunt indicii elementului din care pornești, nu ai tabloului rămas: ${\Delta }_{34}$ este minorul elementului aflat pe linia a treia și coloana a patra.

Să lucrăm pe matricea

$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 0\\ 1& 4& -2& 5\\ 0& 2& 1& -1\\ 3& 1& 2& 1\end{array}\right).$$

Pentru elementul $a_{11}=2$ ștergem prima linie și prima coloană, iar din ce rămâne obținem un determinant de ordinul $3$, calculat cu regula lui Sarrus: ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{ccc}4& -2& 5\\ 2& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=33$. La fel, ștergând prima linie și coloana a doua obținem ${\Delta }_{12}=-6$, apoi ${\Delta }_{13}=-39$ și ${\Delta }_{14}=27$. Patru minori de ordinul $3$, adică patru socoteli pe care le stăpânești din lecția anterioară: aceasta este toată materia primă a metodei.

Un control care te scapă de jumătate dintre greșeli: minorul nu are voie să conțină niciun număr de pe linia și de pe coloana șterse. Dacă în ${\Delta }_{12}$ îți apare vreunul dintre numerele $2$, $-1$, $3$, $0$ de pe prima linie, ai tăiat greșit.

2. Semnul poziției: complementul algebric

Minorul singur nu ajunge, pentru că termenii unui determinant nu se adună toți cu plus. Poziția elementului decide semnul cu care intră minorul lui în socoteală.

Complementul algebric al elementului $a_{ij}$ este numărul ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$. Semnul nu trebuie ținut minte: îl citești dintr-un tablou care alternează ca o tablă de șah, pornind cu $+$ din colțul din stânga sus:

Regula scurtă: semnul este $+$ când suma $i+j$ este pară și $-$ când este impară. Pe matricea $A$ de mai sus, complemenții primei linii sunt, în ordine, ${\delta }_{11}=33$, ${\delta }_{12}=6$, ${\delta }_{13}=-39$ și ${\delta }_{14}=-27$: doi dintre ei și-au schimbat semnul față de minorii lor, exact cei aflați pe poziții cu $i+j$ impar.

Un sfat de scris pe foaie: notează semnul citit din tablou chiar în dreptul minorului, în momentul în care îl calculezi. Lăsat pentru final, semnul se uită, iar greșeala nu se vede în calcule, ci doar în rezultat.

3. Formula care rezolvă ordinul 4

Acum piesele se pot asambla. Teoremă (dezvoltarea după o linie). Fie $A$ o matrice pătratică de ordin $n\ge 2$ cu elemente numere reale și fie $i$ o linie fixată. Atunci determinantul lui $A$ este suma produselor dintre elementele liniei $i$ și complemenții lor algebrici:

$$\det A=a_{i1}{\delta }_{i1}+a_{i2}{\delta }_{i2}+\cdots +a_{in}{\delta }_{in}.$$

Aceeași formulă funcționează pe coloane: fixezi o coloană $j$ și aduni produsele $a_{1j}{\delta }_{1j}+\cdots +a_{nj}{\delta }_{nj}$. Toate cele opt desfaceri posibile ale unei matrice de ordinul $4$ dau același număr. Programa de științe ale naturii cere metode de calcul și proprietăți, nu demonstrația teoremei; noi o folosim ca pe o regulă verificată.

Pe matricea $A$ din primul paragraf, cu complemenții deja calculați:

$$\det A=2\cdot 33+(-1)\cdot 6+3\cdot (-39)+0\cdot (-27)=66-6-117=-57.$$

În linia de mai sus încape toată lecția: fiecare element al liniei alese își aduce cu el complementul, iar produsele se adună. Ultimul termen a dispărut fără nicio socoteală, fiindcă elementul din fața lui este zero.

4. De ce alegi linia cu cele mai multe zerouri?

Pentru că fiecare zero de pe linia aleasă șterge din calcul un determinant întreg de ordinul $3$: formula nu se schimbă, dar munca da. Privește tabloul

$$B=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& -2& 4\\ 2& 0& 5& 1\\ 0& 0& -3& 0\\ 1& 4& 2& -1\end{array}\right).$$

Desfăcut după prima linie, el cere patru minori, adică patru aplicări ale regulii lui Sarrus. Linia a treia are însă trei zerouri, așa că desfacerea după ea lasă un singur produs:

$$\det B=(-3)\cdot {\delta }_{33}=(-3)\cdot \left|\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 2& 0& 1\\ 1& 4& -1\end{array}\right|=(-3)\cdot 23=-69.$$

Semnul poziției $(3,3)$ este $+$, pentru că $3+3=6$ este par, deci complementul coincide cu minorul. Un tablou de ordinul $4$ rezolvat cu un singur determinant de ordinul $3$, nu cu patru: atât câștigi dintr-o privire aruncată înainte de a începe.

Obișnuiește-te cu un gest de zece secunde: numără zerourile de pe fiecare linie și de pe fiecare coloană și alege-o pe cea mai bogată. Costul se anunță ușor: câte elemente nenule are linia, atâția determinanți de ordinul $3$ ai de calculat.

5. Ce faci când nu există niciun zero?

Ți-l fabrici. Din lecția despre proprietățile determinanților știi că, dacă la o linie adaugi un multiplu al altei linii, valoarea nu se schimbă. O singură asemenea operație transformă un calcul cu patru minori într-unul cu trei. Gestul e cel din metoda reducerii la sisteme, din clasa a VII-a: acolo scădeai o ecuație din alta ca să dispară o necunoscută, aici scazi o linie din alta ca să apară un zero. Fie

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 5& 2\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 2& 1& 1\end{array}\right).$$

Nicio linie și nicio coloană nu are vreun zero, deci orice desfacere cere patru minori. Observăm însă că primele două linii încep amândouă cu $1$; scădem prima linie din a doua, adică aplicăm $L_2\leftarrow L_2-L_1$, iar linia a doua devine $(0,1,2,-2)$:

$$\det M=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& -2\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 2& 1& 1\end{array}\right|=1\cdot 25+0\cdot 11+2\cdot (-19)+3\cdot (-21)=25-38-63=-76,$$

unde am desfăcut după prima coloană, folosind complemenții ${\delta }_{11}=25$, ${\delta }_{21}=11$, ${\delta }_{31}=-19$ și ${\delta }_{41}=-21$. Trei minori în loc de patru, cu o singură operație care nu costă nimic.

Repetând operația și pe celelalte linii ai ajunge la o coloană cu un singur element nenul. Metoda sistematică ține însă de proprietățile determinanților, tema lecției precedente; aici alegi de la caz la caz câte zerouri merită fabricate.

6. Până unde merge ordinul la profilul științe ale naturii?

Până la $4$, și nu mai departe. Programa nouă cere „determinantul unei matrice pătratice de ordin $n\le 4$; metode de calcul și proprietăți fundamentale", iar dezvoltarea după o linie este metoda cu care atingi plafonul. La profilul mate-info (M1), în schimb, determinantul se definește pentru un ordin oarecare, pornind de la permutări — o noțiune care nu intră în programa de științe ale naturii — și abia apoi se coboară spre calcul. Drumul nostru este invers și mai scurt.

Aceeași programă adaugă o notă care se vede în toată lecția: „se vor aborda și aplicații ale matricelor în contexte practice (matricea de transport, matricea costurilor etc.)". Tabloul firmei de curierat din deschidere este exact o astfel de matrice, iar zerourile din el nu sunt o alegere didactică, ci rutele care lipsesc. Vom calcula determinantul unui asemenea tablou în Exemplul 2. Ce înseamnă numărul obținut aflăm în lecția următoare, despre matricele inversabile și criteriul determinantului: el decide dacă tabloul poate fi „citit înapoi", adică dacă din rezultate se pot reface datele de intrare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Linia cu două zerouri

Calculați determinantul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 3\\ 1& 4& 2& -1\\ 3& 1& 5& 2\\ 0& 2& 1& 4\end{array}\right)$.

Rezolvare. Prima linie are două zerouri, deci dezvoltarea după ea are numai doi termeni. Minorii de care avem nevoie:

$${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{ccc}4& 2& -1\\ 1& 5& 2\\ 2& 1& 4\end{array}\right|=81,{\Delta }_{14}=\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 3& 1& 5\\ 0& 2& 1\end{array}\right|=-9.$$

Semnele poziției: $(1,1)$ are $+$, iar $(1,4)$ are $-$, pentru că $1+4=5$ este impar. Deci ${\delta }_{11}=81$ și ${\delta }_{14}=9$, iar

$$\det A=2\cdot 81+0+0+3\cdot 9=162+27=189.$$

Am scris și cei doi termeni nuli: pe o lucrare, un termen lipsă și un termen nul arată la fel.

Exemplul 2 — Matricea de transport a firmei de curierat

Tabloul costurilor firmei din deschidere, în zeci de lei pe cursă, are pe linii cele patru depozite și pe coloane cele patru orașe, cu zero acolo unde nu există rută directă:

Calculați determinantul matricei costurilor.

Rezolvare. Prima linie are două zerouri, deci o alegem pe ea. Minorii rămași sunt

$${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{ccc}5& 3& 0\\ 2& 6& 1\\ 0& 1& 4\end{array}\right|=91,{\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 6& 1\\ 3& 1& 4\end{array}\right|=32,$$

iar semnele poziției dau ${\delta }_{11}=91$ și ${\delta }_{12}=-32$. Prin urmare

$$\det =4\cdot 91+2\cdot (-32)=364-64=300.$$

Un cuvânt despre unități, fiindcă aici se face o confuzie des întâlnită. Costurile sunt în zeci de lei, dar determinantul lor nu este un cost: el adună produse a câte patru numere, deci nu se măsoară în lei. Este un număr pur, iar tot ce contează la el se vede în lecția următoare: e zero sau nu e zero.

Exemplul 3 — Un zero fabricat cu o singură operație

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 1\\ 1& 4& 5& 2\\ 2& 1& 3& 4\\ 3& 2& 1& 1\end{array}\right|$, folosind o operație care nu schimbă valoarea determinantului.

Rezolvare. Nicio linie nu are zerouri, dar primele două încep cu același număr. Aplicăm $L_2\leftarrow L_2-L_1$, iar linia a doua devine $(0,1,3,1)$; valoarea determinantului rămâne neschimbată. Prima coloană are acum un zero, deci desfacerea după ea are trei termeni:

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 1\\ 0& 1& 3& 1\\ 2& 1& 3& 4\\ 3& 2& 1& 1\end{array}\right|=1\cdot 15+0\cdot (-6)+2\cdot 3+3\cdot (-21)=15+6-63=-42.$$

Complemenții folosiți sunt ${\delta }_{11}=15$, ${\delta }_{31}=3$ și ${\delta }_{41}=-21$, cu semnele citite, ca întotdeauna, din tabla de la §2.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 3& 1& 2& 0\\ 0& 1& 1& 2\\ 2& 0& 1& 1\end{array}\right|$ și scrie: „Minorii primei linii sunt $-3$, $5$, $7$ și $1$; îi adun și obțin $10$." Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Minorii sunt calculați corect, dar elevul a sărit peste jumătate din formulă. Dezvoltarea cere două lucruri de la fiecare termen: semnul poziției și elementul din fața minorului. Cu semnele citite din tabla de șah, complemenții primei linii devin ${\delta }_{11}=-3$, ${\delta }_{12}=-5$, ${\delta }_{13}=7$ și ${\delta }_{14}=-1$. Abia acum fiecare complement se înmulțește cu elementul lui:

$$\det =1\cdot (-3)+2\cdot (-5)+0\cdot 7+1\cdot (-1)=-3-10+0-1=-14.$$

Valoarea corectă este $-14$, nu $10$. Reține proba: fiecare termen al dezvoltării are trei factori scriși — semnul, elementul și minorul. Dacă pe foaie apar minori neînmulțiți cu nimic, calculul e greșit, oricât de corecți ar fi ei.

Exemplul 5 — Alegi linia, apoi cobori de două ori

Pentru $C=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 3& 2& 1& 4\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 3& 2& 5\end{array}\right)$, spuneți întâi după ce linie dezvoltați și de ce, apoi calculați $\det C$.

Rezolvare. Alegerea. Linia a treia are trei zerouri, deci dezvoltarea după ea are un singur termen. Orice altă alegere ar cere cel puțin doi minori.

Calculul. Singurul element nenul al liniei este $a_{32}=1$, iar poziția $(3,2)$ are semnul $-$, fiindcă $3+2=5$ este impar:

$$\det C=1\cdot {\delta }_{32}=-\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& 1& 4\\ 1& 2& 5\end{array}\right|.$$

Minorul rămas are el însuși două zerouri pe prima linie, deci nu-l calculăm cu regula lui Sarrus, ci coborâm încă un ordin: valoarea lui este $2\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\end{array}\right|=2\cdot (5-8)=-6$. Prin urmare $\det C=-(-6)=6$.

Lecția exemplului nu este numărul $6$, ci ordinea gesturilor: întâi te uiți, apoi calculezi. Aceeași formulă, aplicată de două ori, a coborât un determinant de ordinul $4$ la unul de ordinul $2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2 (MAT_P2 2030)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 3& 1& 0& 2\\ 0& 2& 1& 0\\ 1& 0& 0& 2\end{array}\right)$. a) Arătați că minorul ${\Delta }_{13}$ al elementului $a_{13}$ este egal cu $8$. b) Arătați că $\det A=18$. c) Arătați că determinantul matricei obținute din $A$ prin schimbarea între ele a liniilor $1$ și $3$ este egal cu $-18$.

Rezolvare.

a) Ștergem linia $1$ și coloana $3$ și calculăm cu regula lui Sarrus:

$${\Delta }_{13}=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=12+0+0-(4+0+0)=8.$$

b) Prima linie are două zerouri, deci dezvoltarea după ea are doi termeni. Mai avem nevoie de ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|=2$. Ambele poziții, $(1,1)$ și $(1,3)$, au semnul $+$, deci $\det A=1\cdot 2+2\cdot 8=18$.

c) Schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului — este una dintre proprietățile fundamentale din lecția precedentă —, deci noul determinant este $-18$. Cine vrea controlul pe calcul poate desface direct noul tablou după linia a treia, care este acum $(1,0,2,0)$, și obține aceleași două produse, cu semnele schimbate.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe sunt scrise în forma probei: „arătați că", cu o valoare dată, la fiecare subpunct. Pentru proba MAT_P2 nu există încă un model oficial publicat, așa că exemplul este construit în stilul probei, pornind de la structura modelului oficial al probei M_șt-nat.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, scrie un rând: după ce linie sau coloană dezvolți și câți determinanți de ordinul $3$ îți rămân.

1. Pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 2\\ 1& 4& 2& -1\\ 0& 2& 5& 3\\ 2& 0& 1& 4\end{array}\right)$, calculează minorul ${\Delta }_{23}$ și complementul algebric ${\delta }_{23}$.

2. Pentru aceeași matrice, scrie semnele celor patru poziții de pe linia a treia, apoi calculează ${\delta }_{31}$.

3. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 0\\ 0& 2& 1& 4\\ 1& 0& 2& 1\\ 3& 1& 0& 2\end{array}\right|$, dezvoltând după prima linie.

4. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& 0& 4& 0\\ 2& 1& 0& 3\\ 1& 3& 2& 2\end{array}\right|$, alegând linia cea mai convenabilă.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o linie a unei matrice de ordinul $4$ conține un zero, atunci determinantul matricei este zero."

6. Arată, folosind dezvoltarea, că $\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 2& 5& 3\\ 4& 1& 2& 0\end{array}\right|=0$, fără să calculezi niciun minor.

7. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}4& 0& 2& 1\\ 3& 0& 1& 5\\ 2& 7& 3& 0\\ 1& 0& 4& 2\end{array}\right|$, alegând coloana potrivită.

8. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 1& 3& 4& 2\\ 2& 0& 1& 1\\ 0& 1& 2& 4\end{array}\right|$, fabricând întâi un zero pe prima coloană.

9. Pentru $\left|\begin{array}{cccc}2& 0& 1& 3\\ 1& 1& 0& 2\\ 0& 4& 2& 0\\ 3& 0& 1& 1\end{array}\right|$, spune câți determinanți de ordinul $3$ cere dezvoltarea după prima linie și câți cere cea după linia a treia, apoi fă calculul pe drumul mai ieftin.

10. (Problemă aplicată.) Un laborator face patru analize, fiecare consumând din patru reactivi. Cantitățile, în mililitri pe analiză, sunt date de matricea $\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 2& 1\\ 0& 4& 1& 2\\ 2& 1& 0& 3\\ 1& 2& 3& 0\end{array}\right)$, cu zero acolo unde analiza nu folosește reactivul. Calculează determinantul matricei și explică de ce rezultatul nu se măsoară în mililitri.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 3& 2& 0\\ 0& 1& 4& 1\\ 3& 0& 2& 2\end{array}\right)$. a) Arătați că ${\Delta }_{11}=14$. b) Arătați că $\det A=16$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $B=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 2\\ 0& 2& 1& 0\\ 4& 0& 1& 3\\ 0& 1& 0& 2\end{array}\right)$. a) Calculați ${\delta }_{12}$. b) Arătați că $\det B=23$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $C=\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 1& 2\\ 1& 2& 0& 0\\ 0& 1& 3& 1\\ 2& 0& 0& 4\end{array}\right)$. a) Arătați că ${\Delta }_{11}=24$. b) Arătați că $\det C=56$.

14. Scrie dezvoltarea unui determinant de ordinul $4$ după coloana a treia, cu toți cei patru termeni, folosind notațiile $a_{i3}$ și ${\delta }_{i3}$. Nu calcula nimic.

15. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 3& 0& 0\\ 4& 5& 6& 0\\ 7& 8& 9& 2\end{array}\right|$, dezvoltând de fiecare dată după prima linie.

16. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}0& 0& 3& 0\\ 2& 1& 4& 5\\ 1& 3& 0& 2\\ 4& 2& 1& 1\end{array}\right|$.

17. Explică, în trei-patru fraze, de ce dezvoltarea după o linie coboară ordinul cu exact o unitate și de ce rezultatul nu depinde de linia aleasă.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice numere reale, $\left|\begin{array}{cccc}a& b& 0& 0\\ c& d& 0& 0\\ p& q& e& f\\ r& s& g& h\end{array}\right|=(ad-bc)(eh-fg)$, apoi verifică formula pe $a=2$, $b=3$, $c=1$, $d=4$, $e=3$, $f=2$, $g=1$, $h=4$, $p=5$, $q=1$, $r=0$, $s=2$.

Răspunsuri și explicații

1. Ștergem linia $2$ și coloana $3$; rămâne tabloul cu liniile $(3,1,2)$, $(0,2,3)$ și $(2,0,4)$, al cărui determinant este ${\Delta }_{23}=22$. Poziția $(2,3)$ are $2+3=5$ impar, deci ${\delta }_{23}=-22$.

2. Pe linia a treia semnele sunt, în ordine, $+$, $-$, $+$, $-$. Pentru ${\delta }_{31}$ ștergem linia $3$ și coloana $1$; rămân liniile $(1,0,2)$, $(4,2,-1)$ și $(0,1,4)$, cu ${\Delta }_{31}=17$. Semnul poziției $(3,1)$ este $+$, deci ${\delta }_{31}=17$.

3. Complemenții primei linii sunt ${\delta }_{11}=1$, ${\delta }_{12}=23$, ${\delta }_{13}=6$ și ${\delta }_{14}=-13$, deci determinantul este $2\cdot 1+1\cdot 23+3\cdot 6+0\cdot (-13)=2+23+18=43$.

4. Linia a doua are trei zerouri, deci singurul termen este $4\cdot {\delta }_{23}$. Minorul, format din liniile $(1,2,1)$, $(2,1,3)$ și $(1,3,2)$, este ${\Delta }_{23}=-4$; semnul poziției $(2,3)$ este $-$, deci ${\delta }_{23}=4$ și determinantul este $16$.

5. Fals. Un zero pe linie șterge un termen din dezvoltare, nu determinantul. Contraexemplu: matricea de la exercițiul $3$ are un zero pe prima linie și determinantul $43\ne 0$. Determinantul este nul când dispar toți termenii — de exemplu, când linia este în întregime formată din zerouri.

6. Dezvoltăm chiar după linia a doua: toți cei patru termeni au în față elementul $0$, deci suma este $0$. Argumentul nu cere niciun minor și funcționează la orice ordin.

7. Coloana a doua are trei zerouri, iar singurul element nenul este $a_{32}=7$. Minorul, cu liniile $(4,2,1)$, $(3,1,5)$ și $(1,4,2)$, este ${\Delta }_{32}=-63$; poziția $(3,2)$ are semnul $-$, deci ${\delta }_{32}=63$ și determinantul este $441$.

8. Cu $L_2\leftarrow L_2-L_1$ linia a doua devine $(0,1,3,-1)$, iar valoarea nu se schimbă. Dezvoltând după prima coloană, cu ${\delta }_{11}=6$, ${\delta }_{31}=20$ și ${\delta }_{41}=-10$, obținem $1\cdot 6+2\cdot 20+0\cdot (-10)=46$.

9. Prima linie are trei elemente nenule, deci cere trei minori; linia a treia are doar două, deci cere doi. Pe drumul ieftin, cu ${\delta }_{32}=-4$ și ${\delta }_{33}=-7$, determinantul este $4\cdot (-4)+2\cdot (-7)=-16-14=-30$. Un minor calculat în plus înseamnă, pe o lucrare, câteva minute pierdute și o șansă în plus de greșeală.

10. Prima linie are un zero, deci rămân trei minori; dezvoltând după ea se obține $-15$. Rezultatul nu se măsoară în mililitri pentru că fiecare termen al dezvoltării este un produs de patru cantități, deci unitatea lui ar fi „mililitri la puterea a patra" — ceva ce nu descrie nimic din laborator. Determinantul unui tablou de date nu este o mărime fizică.

11. a) Minorul are liniile $(3,2,0)$, $(1,4,1)$ și $(0,2,2)$, deci ${\Delta }_{11}=14$. b) Prima linie are două zerouri, iar ${\delta }_{11}=14$ și ${\delta }_{12}=-12$, deci $\det A=2\cdot 14+1\cdot (-12)=16$.

12. a) Minorul are liniile $(0,1,0)$, $(4,1,3)$ și $(0,0,2)$, deci ${\Delta }_{12}=-8$; poziția $(1,2)$ are semnul $-$, deci ${\delta }_{12}=8$. b) Cu ${\delta }_{11}=7$, ${\delta }_{13}=-16$ și ${\delta }_{14}=-4$, dezvoltarea după prima linie dă $1\cdot 7+3\cdot 8+0\cdot (-16)+2\cdot (-4)=23$.

13. a) Minorul are liniile $(2,0,0)$, $(1,3,1)$ și $(0,0,4)$, iar prima lui linie are două zerouri, deci ${\Delta }_{11}=2\cdot 12=24$. b) Complemenții primei linii sunt ${\delta }_{11}=24$, ${\delta }_{13}=8$ și ${\delta }_{14}=-12$, deci $\det C=3\cdot 24+1\cdot 8+2\cdot (-12)=56$.

14. $\det A=a_{13}{\delta }_{13}+a_{23}{\delta }_{23}+a_{33}{\delta }_{33}+a_{43}{\delta }_{43}$. Semnele ascunse în complemenți sunt, pe coloana a treia, $+$, $-$, $+$, $-$, de sus în jos.

15. Matricea este inferior triunghiulară. La fiecare pas prima linie are un singur element nenul, deci dezvoltarea are un termen: $1\cdot 3\cdot 6\cdot 2=36$. Concluzie de reținut: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală.

16. Prima linie are trei zerouri, deci $\det =3\cdot {\delta }_{13}$. Minorul, cu liniile $(2,1,5)$, $(1,3,2)$ și $(4,2,1)$, este ${\Delta }_{13}=-45$, iar poziția $(1,3)$ are semnul $+$, deci $\det =-135$.

17. Fiecare termen al dezvoltării are forma „element de pe linia aleasă, înmulțit cu determinantul tabloului rămas după ștergerea liniei și coloanei lui". Tabloul rămas are cu o linie și cu o coloană mai puțin, deci ordinul scade exact cu $1$. Rezultatul nu depinde de linia aleasă fiindcă toate cele opt desfaceri rearanjează aceleași produse de câte patru elemente, cu aceleași semne.

18. Dezvoltăm după prima coloană: termenii cu $p$ și cu $r$ au minori cu o coloană formată numai din zerouri, deci sunt nuli. Rămân termenii cu $a$ și cu $c$, iar în minorii lor se repetă același raționament pe coloana a doua; se ajunge la $(ad-bc)$ înmulțit cu $\left|\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right|$, adică la $(ad-bc)(eh-fg)$. Verificare: $(2\cdot 4-3\cdot 1)(3\cdot 4-2\cdot 1)=5\cdot 10=50$, exact cât dă și calculul direct.

De reținut

• Minorul ${\Delta }_{ij}$ este determinantul de ordin $n-1$ rămas după ștergerea liniei $i$ și a coloanei $j$; complementul algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, adică același număr, cu semnul poziției pus în față.
• Dezvoltarea după o linie înmulțește fiecare element al liniei cu complementul lui algebric și adună produsele; aceeași regulă merge pe coloane, iar toate desfacerile dau același număr.
• Un determinant de ordinul $4$ costă atâția determinanți de ordinul $3$ câte elemente nenule are linia aleasă, deci alegerea liniei se face înainte de calcul.
• Regula lui Sarrus rămâne la ordinul $3$: la ordinul $4$ se lucrează cu dezvoltarea, eventual după ce ai fabricat zerouri cu operațiile care nu schimbă valoarea determinantului.
• Plafonul programei de științe ale naturii este ordinul $4$; la bacalaureatul M2 din 2027–2029 se cer determinanți de ordin cel mult $3$, iar ordinul $4$ intră în programa probei MAT_P2 din 2030.

Greșeli frecvente

• Aduni minorii, în loc să-i înmulțești cu elementele liniei. Fiecare termen al dezvoltării are trei factori scriși: semnul poziției, elementul și minorul. Dacă pe foaie apare un minor singur, calculul e deja greșit, oricât de corect ar fi minorul.
• Dezvolți din obișnuință după prima linie. Când altă linie are trei zerouri, prima te costă patru determinanți de ordinul $3$ în loc de unul. Numără zerourile înainte de a scrie primul minor.
• Crezi că un zero pe linie face determinantul nul. Zeroul șterge un singur termen din sumă, nu rezultatul; determinantul iese nul doar dacă dispar toți termenii.
• Uiți că se înmulțesc două semne. Când elementul este negativ, iar poziția are semnul $-$, produsul iese pozitiv. Scrie paranteze: $(-1)\cdot (-6)$ se citește altfel decât $-1\cdot -6$.
• Scrii rezultatul ca tablou. Determinantul unei matrice de ordinul $4$ este un număr, nu o matrice: se scrie $\det A=-57$, între bare verticale când e desfășurat, niciodată între paranteze rotunde.

Aplică acasă

1. Exercițiul fabricat de tine. Scrie o matrice de ordinul $4$ cu zerouri sub diagonala principală și cu numerele $1$, $2$, $3$, $4$ pe diagonală; determinantul ei este $24$. Ascunde-i forma adunând de trei ori, la câte o linie, un multiplu întreg al altei linii, apoi dă tabloul obținut unui coleg. Oricât de complicat arată, determinantul lui trebuie să iasă tot $24$.

2. Planul de calcul, fără calcul. Ia din culegere cinci determinanți de ordinul $4$ și, fără să calculezi nimic, scrie pentru fiecare: linia după care ai dezvolta, câți determinanți de ordinul $3$ cere alegerea ta și, dacă merită, ce operație ai face întâi ca să fabrici un zero. Compară planurile cu ale unui coleg.

3. Matricea de transport a unei firme imaginate. Alege patru localități și patru mijloace de transport, apoi scrie tabloul $4\times 4$ al timpilor de călătorie, în minute, cu zero acolo unde legătura nu există. Calculează determinantul dezvoltând după linia cu cele mai multe zerouri și notează câți determinanți de ordinul $3$ ai economisit.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde conținutul este formulat „determinantul unei matrice pătratice de ordin $n\le 4$; metode de calcul și proprietăți fundamentale". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema nu apare: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult $3$". Ordinul $4$ rămâne deci, pentru generația de azi, materie de clasă și antrenament pentru inversa unei matrice, nu subiect de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția merită făcută și de un elev care dă examenul în 2027, din două motive. Complementul algebric învățat aici este piesa din care se construiește inversa unei matrice, iar inversa este în programa de examen, la ordinele $2$ și $3$; iar alegerea liniei cu cele mai multe zerouri scurtează și calculele de ordinul $3$.

Lecția verifică patru lucruri: (1) tăierea corectă a liniei și a coloanei, controlată prin proba „minorul nu conține niciun număr de pe ele"; (2) citirea semnului din poziție, scris în dreptul minorului; (3) prezența elementului în fiecare termen — greșeala cea mai frecventă este minorul lăsat singur; (4) justificarea scrisă a liniei alese. Întrebări de control: „Care este minorul lui $a_{32}$ și ce semn are poziția lui?"; „După ce linie dezvolți și câți determinanți de ordinul $3$ îți rămân?"; „De ce nu mai merge regula lui Sarrus?". Semn că elevul a înțeles: se uită pe tablou înainte de a scrie și își anunță singur costul calculului.

Întrebări frecvente

Până la ce ordin se cer determinanții la profilul științe ale naturii? Până la ordinul $4$. Programa nouă (anexa 28 la OMEC 6930/2025) formulează conținutul ca „determinantul unei matrice pătratice de ordin $n\le 4$", deci ordinul $4$ este plafonul la clasă, iar metoda cu care îl atingi este dezvoltarea după o linie sau o coloană: regula lui Sarrus funcționează numai la ordinul $3$.

Se dă determinantul de ordinul 4 la bacalaureatul M2? Nu în sesiunile 2027–2029: programa de examen pentru ele (OMEN 4430/2014) cere determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult $3$. Ordinul $4$ apare în programa probei MAT_P2, susținută prima dată în 2030, în domeniul Algebră. Până atunci, tema rămâne materie de clasă și pregătire pentru inversa unei matrice.

Cu ce diferă determinantul de ordinul 4 la M2 față de M1? La profilul mate-info (M1), determinantul se definește pentru un ordin oarecare, cu permutări, iar lecțiile merg spre determinanți cu parametru și tehnici sistematice de fabricare a zerourilor: versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții, cu transformări elementare, pornește de acolo. La M2 plafonul este ordinul $4$ și accentul cade pe alegerea liniei.

Ce înseamnă că determinantul unei matrice de ordinul 4 este zero? Înseamnă că tabloul nu poate fi „citit înapoi": din rezultatele obținute cu el nu se pot reface datele de intrare, adică matricea nu are inversă. Valoarea exactă a determinantului nu spune mai nimic în probleme practice; contează doar dacă este sau nu este zero, iar asta se studiază în lecția următoare.

Unde apar în practică matrice de ordinul 4? Peste tot unde patru mărimi se combină în patru feluri: matricea de transport a unei firme (depozite pe linii, destinații pe coloane), matricea costurilor unui atelier, tabloul consumurilor dintr-un laborator. Programa de științe ale naturii cere explicit asemenea contexte, iar zerourile din ele sunt legăturile care lipsesc.

Câți determinanți de ordinul 3 trebuie calculați la o dezvoltare? Exact atâția câte elemente nenule are linia sau coloana aleasă: de la patru, în cazul cel mai rău, până la unul singur, când linia are trei zerouri. De aceea costul calculului se poate anunța dinainte, iar alegerea liniei este prima decizie a rezolvării, nu un detaliu.

Ce legătură are ordinul 4 cu inversa unei matrice? Complemenții algebrici din lecția aceasta sunt exact numerele din care se construiește inversa unei matrice. La M2 inversa se calculează la ordinele $2$ și $3$, deci minorii care apar acolo sunt de ordinul $1$ și $2$, mult mai ușori. Cine stăpânește minorii la ordinul $4$ nu mai ezită la ordinul $3$.