Determinanți de ordinul 2 și 3 (M2, științe ale naturii)

Până acum, dintr-un tablou de numere scoteai tot un tablou: o sumă, un produs, un multiplu. Determinantul face altceva — strânge întreaga matrice pătratică într-un singur număr, iar acel număr răspunde la întrebări pe care tabloul nu le răspundea. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), determinantul este noțiunea centrală a unității de algebră și cea care apare, la bacalaureatul M2, în prima problemă de la Subiectul al II-lea, aproape în fiecare variantă.

Lecția de astăzi acoperă tot ce trebuie ca să calculezi corect: definiția la ordinul al doilea, regula triunghiului și regula lui Sarrus la ordinul al treilea, cazul în care în matrice apare o literă. Determinantul de ordinul al patrulea cere altă metodă și are lecția lui; aici ne oprim la ordinul $3$, exact plafonul cerut de programa de examen pentru sesiunile 2027–2029.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui pe de rost ce este determinantul unei matrice pătratice și de ce numai matricele pătratice au determinant.
• Vei ști să calculezi un determinant de ordinul al doilea, cu grijă la semnul elementelor negative.
• Vei ști să calculezi un determinant de ordinul al treilea pe două căi — regula triunghiului și regula lui Sarrus — și să le folosești una ca probă pentru cealaltă.
• Vei ști de ce regula lui Sarrus nu se extinde la ordinul al patrulea și ce se întâmplă acolo.
• Vei ști să rezolvi cerința „determinați $m$ real pentru care $\det =0$", care duce la o ecuație de gradul al doilea.
• Vei ști să citești rezultatul într-un context de laborator și să redactezi calculul în forma cerută la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este determinantul unei matrice pătratice?

Pornim de la cel mai mic caz interesant. Determinantul unei matrice pătratice de ordinul al doilea $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$ este numărul $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Trei lucruri se citesc direct din această propoziție: determinantul se definește numai pentru matrice pătratice, rezultatul este un număr (nu o matrice), iar ordinea celor doi termeni contează, pentru că inversarea lor schimbă semnul.

Pe o matrice concretă,

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 2& 5\end{array}\right),\det A=3\cdot 5-7\cdot 2=1.$$

Notația e la fel de importantă ca socoteala. În text, în enunțuri și în lanțurile de calcul cu matrice botezate se scrie întotdeauna $\det A$. Tabloul dintre bare verticale se folosește numai când afișezi efectiv numerele, la momentul calculului. Bara simplă în jurul literei nu se scrie niciodată: ea se citește „modul", iar un determinant poate foarte bine să fie negativ.

Ce măsoară numărul acesta? Deocamdată reține un singur lucru, pe care îl vei folosi în lecțiile următoare: determinantul spune dacă liniile matricei aduc informație cu adevărat diferită sau nu. Când el este nul, tabloul „se prăbușește" — una dintre linii nu adaugă nimic nou. Legătura riguroasă cu inversabilitatea o face lecția despre matricea inversabilă și criteriul determinantului.

2. Cum eviți greșelile de semn la ordinul al doilea?

Aproape toate greșelile de la ordinul al doilea sunt greșeli de semn, nu de înmulțire. Ele apar când unul dintre cele patru elemente este negativ, pentru că atunci al doilea produs se scade cu tot cu semnul lui. Ia matricea

$$B=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -2& 7\end{array}\right).$$

Produsul de pe diagonala principală este $4\cdot 7=28$. Produsul de pe diagonala secundară este $(-5)\cdot (-2)=10$, iar el se scade: $\det B=28-10=18$. Elevul grăbit scrie $28+10$, pentru că vede două minusuri și le „înmulțește" înainte de a le pune la locul lor în formulă.

Rețeta care taie greșeala e mecanică și merită folosită până devine reflex: scrie mai întâi cele două produse, fiecare între paranteze, și abia apoi fă scăderea. Adică $\det B=(4\cdot 7)-((-5)\cdot (-2))$, nu direct rezultatul. Paranteza a doua ține semnul produsului separat de semnul scăderii, iar cele două nu se mai amestecă.

Aceeași grijă se cuvine fracțiilor și numerelor zecimale, care apar des în problemele de laborator. Determinantul nu cere aducerea la același numitor, pentru că se calculează doar două produse; ce cere este să nu rotunjești pe parcurs. La ordinul al doilea, o rotunjire făcută la unul dintre produse se propagă direct în rezultat, iar dacă răspunsul căutat este „determinantul se anulează", o valoare aproximativă nu poate hotărî niciodată dacă ai obținut exact zero sau doar ceva foarte apropiat de zero. Lucrează cu fracții ordinare până la capăt și rotunjește, dacă e nevoie, abia la răspunsul final.

3. Cum se calculează un determinant de ordinul al treilea?

La ordinul al treilea, determinantul nu mai are doi termeni, ci șase: trei cu plus și trei cu minus. Regula triunghiului le grupează vizual. Cu plus intră produsul de pe diagonala principală și produsele celor două triunghiuri care au câte o latură paralelă cu ea; cu minus, produsul de pe diagonala secundară și produsele celor două triunghiuri cu latura paralelă cu ea. Pe matricea

$$C=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 4& 5\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$$

cei trei termeni pozitivi sunt $3\cdot 4\cdot 2=24$, $1\cdot 5\cdot 1=5$ și $(-2)\cdot 0\cdot (-1)=0$, cu suma $29$; cei trei termeni negativi sunt $(-2)\cdot 4\cdot 1=-8$, $3\cdot 5\cdot (-1)=-15$ și $1\cdot 0\cdot 2=0$, cu suma $-23$. Determinantul este diferența dintre prima sumă și a doua:

$$\det C=29-(-23)=52.$$

Atenție la un amănunt care produce multe greșeli: cele trei produse „negative" se scad cu semnul lor propriu, deci scăderea unui produs negativ adaugă. Cel mai sigur e să calculezi separat suma celor trei termeni din primul grup, separat suma celor din al doilea, și abia la final să faci o singură scădere.

De ce sunt exact șase termeni, nici mai mulți, nici mai puțini? Pentru că fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și, în același timp, câte unul din fiecare coloană — altfel spus, alege pentru prima linie una dintre cele trei coloane, pentru a doua una dintre cele două rămase și pentru a treia pe ultima, ceea ce dă $3\cdot 2\cdot 1=6$ posibilități. Aceeași numărătoare explică și ordinul al doilea, unde ies $2\cdot 1=2$ produse, și te avertizează ce te așteaptă la ordinul al patrulea: $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ de termeni, adică un calcul pe care nicio regulă de tip Sarrus nu-l poate acoperi.

4. Ce este regula lui Sarrus și de ce nu merge la ordinul 4?

Regula lui Sarrus este același calcul, așezat altfel pe hârtie, ca să nu mai fie nevoie să-ți imaginezi triunghiurile. Copiezi primele două linii ale matricei sub tablou și obții o scriere cu cinci linii; înmulțești apoi pe cele trei diagonale care coboară spre dreapta și aduni, înmulțești pe cele trei diagonale care coboară spre stânga și scazi. Pe matricea $C$ obții exact aceiași șase termeni: $24+5+0$ pentru primul grup și $1\cdot 4\cdot (-2)$ împreună cu $(-1)\cdot 5\cdot 3$ și $2\cdot 0\cdot 1$ pentru al doilea, adică tot $52$. Unii preferă să copieze primele două coloane la dreapta tabloului; rezultatul e același, important este să folosești o singură variantă și să nu amesteci direcțiile.

Și acum avertismentul care merită repetat: regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul al treilea. La ordinul al patrulea ele dau un rezultat greșit, fără nicio excepție, pentru că acolo determinantul are $24$ de termeni, nu $8$; nu există „Sarrus pe patru linii". Metoda potrivită pentru ordinul al patrulea este dezvoltarea după o linie sau o coloană, iar ea face obiectul unei lecții separate. Ține minte doar interdicția — este una dintre cele mai scumpe greșeli din tot capitolul.

Cele două reguli de la ordinul al treilea sunt însă o pereche foarte utilă: fiind calcule diferite ca așezare, ele se controlează reciproc. Când ai timp la examen, refă determinantul pe cealaltă cale; dacă numerele coincid, rezultatul e aproape sigur bun.

5. Ce se întâmplă când în matrice apare un parametru?

Dacă unul dintre elemente este o literă, calculul nu se schimbă cu nimic: litera se tratează ca pe un număr oarecare, iar rezultatul nu mai este un număr, ci o expresie. Pentru

$$N(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 3\\ 2& m-1\end{array}\right)$$

avem $\det N(m)=m(m-1)-3\cdot 2=m^2-m-6$. Cerința „determinați numerele reale $m$ pentru care $\det N(m)=0$" se rezolvă atunci ca orice ecuație de gradul al doilea, cu formulele deduse în clasa a IX-a la ecuația de gradul al doilea. Aici discriminantul este $\Delta =1+24=25$, deci $m_1=3$ și $m_2=-2$.

Verificarea se face înlocuind, nu „din cap": pentru $m=3$ determinantul devine $3\cdot 2-6=0$, iar pentru $m=-2$ devine $(-2)\cdot (-3)-6=0$. Amândouă se confirmă.

O confuzie de evitat din prima zi: „$\det N(m)=0$" nu înseamnă că matricea este nulă. Matricea $\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& 2\end{array}\right)$ are determinantul zero, dar niciun element nu e zero. Determinantul nul este o proprietate a relației dintre linii, nu a fiecărui element în parte.

6. Ce ne spune determinantul despre două rețete de laborator?

Un laborator prepară două îngrășăminte lichide. Prima rețetă conține $4$ grame de azot și $6$ grame de fosfor la litru, a doua $10$ grame de azot și $15$ grame de fosfor la litru. Punem datele într-o matrice, cu rețetele pe linii și substanțele pe coloane:

$$R=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 15\end{array}\right),\det R=4\cdot 15-6\cdot 10=0.$$

Determinantul nul nu este o coincidență: a doua rețetă este prima înmulțită cu $2,5$, adică aceeași proporție azot–fosfor, doar mai concentrată. Oricât ai amesteca cele două soluții, raportul dintre azot și fosfor rămâne $2:3$; laboratorul nu poate obține din ele un îngrășământ cu alt raport.

La ordinul al doilea, regula funcționează în ambele sensuri: dacă niciuna dintre linii nu este formată numai din zerouri, $\det =0$ înseamnă exact că liniile sunt proporționale. Nu extinde însă concluzia la ordinul al treilea — acolo determinantul se poate anula și fără ca vreo pereche de linii să fie proporțională, iar situația se lămurește în lecția despre proprietățile determinanților.

7. Unde apare determinantul la Bacalaureatul M2 și mai departe?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere „determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult $3$" împreună cu proprietățile lui, iar în modelul oficial tema apare la Subiectul al II-lea, prima problemă, unde primul subpunct este un calcul de determinant pentru o valoare dată a parametrului. Fiecare subpunct valorează cinci puncte.

Mai departe, determinantul devine unealtă: el decide dacă o matrice are inversă, el dă condiția de coliniaritate a trei puncte și aria unui triunghi — teme care urmează imediat în această unitate. De aceea calculul de aici trebuie să ajungă automat: orice ezitare se plătește de trei-patru ori în restul capitolului.

Merită spus limpede și ce nu se cere la profilul științe ale naturii, ca să nu pierzi timp cu lucruri din altă programă. Definiția generală a determinantului de ordinul $n$, cea care se scrie ca sumă după toate permutările, nu intră aici: permutările nu există în programa de științe. Nu intră nici puterile unei matrice, nici ecuația lui Hamilton–Cayley. Ce rămâne este un capitol scurt și foarte concret — două formule de calcul, câteva proprietăți și trei aplicații —, iar avantajul lui la examen este că poate fi stăpânit complet, cu condiția ca aritmetica să fie curată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei determinanți de ordinul al doilea

Calculați determinanții matricelor $\left(\begin{array}{cc}8& -3\\ 5& 2\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ -4& 9\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}-2& -5\\ 3& -1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Aplicăm de fiecare dată aceeași formulă, scriind întâi cele două produse:

$$\left|\begin{array}{cc}8& -3\\ 5& 2\end{array}\right|=16+15=31,\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ -4& 9\end{array}\right|=0+24=24,\left|\begin{array}{cc}-2& -5\\ 3& -1\end{array}\right|=2+15=17.$$

În primul caz produsul secundar este $-15$, iar scăderea lui adaugă $15$. În al doilea, un element nul anulează un singur produs, nu determinantul întreg. În al treilea, ambele produse sunt calculate din numere negative, dar rezultatele lor sunt pozitive.

Exemplul 2 — Ordinul al treilea, cu regula triunghiului

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 1& 5& -1\\ 4& 2& 1\end{array}\right|$.

Rezolvare. Grupul cu plus: $2\cdot 5\cdot 1=10$, $0\cdot (-1)\cdot 4=0$ și $3\cdot 1\cdot 2=6$, cu suma $16$. Grupul cu minus: $3\cdot 5\cdot 4=60$, $2\cdot (-1)\cdot 2=-4$ și $0\cdot 1\cdot 1=0$, cu suma $56$. Determinantul este diferența:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 3\\ 1& 5& -1\\ 4& 2& 1\end{array}\right|=16-56=-40.$$

Observă că elementul nul din colț nu a scurtat decât două produse din șase; restul calculului a rămas întreg.

Exemplul 3 — Ordinul al treilea, cu regula lui Sarrus

Calculați, folosind regula lui Sarrus, $\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 3& 0& -1\\ 2& 5& 3\end{array}\right|$.

Rezolvare. Copiem primele două linii sub tablou și citim cele trei diagonale care coboară spre dreapta: $1\cdot 0\cdot 3=0$, $3\cdot 5\cdot 4=60$ și $2\cdot (-2)\cdot (-1)=4$, cu suma $64$. Diagonalele care coboară spre stânga dau $4\cdot 0\cdot 2=0$, $1\cdot (-1)\cdot 5=-5$ și $3\cdot 3\cdot (-2)=-18$, cu suma $-23$. Prin urmare

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 3& 0& -1\\ 2& 5& 3\end{array}\right|=64+23=87.$$

Scăderea sumei $-23$ a adăugat $23$ — locul cel mai alunecos la acest tip de calcul.

Exemplul 4 — Determinant cu parametru

Determinați numerele reale $m$ pentru care matricea $P(m)=\left(\begin{array}{cc}m+2& 4\\ 1& m-1\end{array}\right)$ are determinantul nul.

Rezolvare. Calculăm determinantul tratând litera ca pe un număr:

$$\det P(m)=(m+2)(m-1)-4\cdot 1=m^2+m-6.$$

Ecuația $m^2+m-6=0$ are discriminantul $\Delta =1+24=25$, deci $m_1=2$ și $m_2=-3$.

Verificare. Pentru $m=2$ matricea devine $\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 1& 1\end{array}\right)$, cu determinantul $4-4=0$; pentru $m=-3$ devine $\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& -4\end{array}\right)$, cu determinantul $4-4=0$. Ambele valori se confirmă, iar în amândouă cazurile liniile au ieșit proporționale — semnul vizibil al unui determinant nul de ordinul al doilea.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ 0& 3& -2\\ 5& 1& 1\end{array}\right|$ și scrie: „Înmulțesc diagonala principală, $4\cdot 3\cdot 1=12$, apoi diagonala secundară, $2\cdot 3\cdot 5=30$, și scad: $12-30=-18$." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Elevul a mutat la ordinul al treilea o regulă care există doar la ordinul al doilea. Acolo, într-adevăr, determinantul are exact doi termeni, câte unul pe fiecare diagonală. La ordinul al treilea termenii sunt șase: pe lângă cele două diagonale intră și cele patru produse de tip triunghi, pe care elevul le-a ignorat complet.

Cei patru termeni lipsă sunt $1\cdot (-2)\cdot 5=-10$ și $2\cdot 0\cdot 1=0$ în grupul cu plus, respectiv $4\cdot (-2)\cdot 1=-8$ și $1\cdot 0\cdot 1=0$ în grupul cu minus. Așadar grupul cu plus este $12+(-10)+0=2$, iar grupul cu minus $30+(-8)+0=22$, deci

$$\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ 0& 3& -2\\ 5& 1& 1\end{array}\right|=2-22=-20.$$

Cei patru termeni omiși mută rezultatul de la $-18$ la $-20$. Proba de bun-simț: dacă într-un determinant de ordinul al treilea ai scris mai puțin de șase produse, ai sărit ceva.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricea $S(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 4& x-3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real. a) Arătați că $\det S(5)=6$. b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det S(x)=0$. c) Arătați că $\det S(x)\ge -\frac{25}{4}$, pentru orice număr real $x$.

Rezolvare.

a) Înlocuim $x=5$ și obținem matricea $\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$, al cărei determinant este $5\cdot 2-1\cdot 4=6$.

b) În general, $\det S(x)=x(x-3)-1\cdot 4=x^2-3x-4$. Ecuația $x^2-3x-4=0$ are $\Delta =9+16=25$, deci $x_1=4$ și $x_2=-1$.

c) Funcția de gradul al doilea $x\mapsto x^2-3x-4$ are coeficientul dominant pozitiv, deci își atinge minimul în vârf, la $x=\frac{3}{2}$, unde valoarea este $\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-4=-\frac{25}{4}$. Prin urmare $\det S(x)\ge -\frac{25}{4}$ pentru orice $x$ real, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe reproduc structura primei probleme de la Subiectul al II-lea din modelul oficial al probei M_șt-nat: o valoare numerică, o ecuație, o inegalitate demonstrată. Litera parametrului nu are importanță — în subiecte apare când $x$, când $m$ —, dar redactarea are: scrie determinantul în formă generală înainte de a înlocui, ca punctul c) să se sprijine pe el.

Să exersăm

Ordinea de redactare: scrie produsele, apoi grupurile, apoi o singură scădere.

1. Calculează $\left|\begin{array}{cc}6& 2\\ 5& 3\end{array}\right|$.

2. Calculează $\left|\begin{array}{cc}-3& 4\\ 7& -2\end{array}\right|$.

3. Calculează $\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 6\\ \frac{1}{2}& 9\end{array}\right|$.

4. Calculează, cu regula triunghiului, $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 3& 4\\ 2& 1& 5\end{array}\right|$.

5. Calculează, cu regula lui Sarrus, $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 0& 1\\ -2& 5& 2\end{array}\right|$.

6. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 3& -2& 0\\ 1& 4& 6\end{array}\right|$ și spune câte dintre cele șase produse au ieșit nenule.

7. Determină numerele reale $m$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}m& 5\\ 2& m+3\end{array}\right|=0$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o matrice pătratică are un element egal cu zero, atunci determinantul ei este zero."

9. Determină numerele reale $m$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& m\end{array}\right|=10$.

10. (Problemă aplicată.) O rețetă de soluție nutritivă conține $3$ g de azot și $5$ g de potasiu la litru, iar a doua conține $8$ g de azot și $10$ g de potasiu la litru. Calculează determinantul matricei rețetelor și spune dacă cele două soluții au același raport azot–potasiu.

11. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 4& 9& 16\end{array}\right|$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $T=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 7& 4\end{array}\right)$. Calculează $\det T$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră matricea $W(x)=\left(\begin{array}{cc}x+5& 3\\ 2& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real. Arată că $\det W(1)=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru matricea $W$ de la exercițiul 13, determină toate numerele reale $x$ pentru care $\det W(x)=0$.

15. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -4& 5\\ 1& 0& -2\end{array}\right|$ pe ambele căi și compară rezultatele.

16. Un elev calculează $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 1& 4\\ 5& 2& 3\end{array}\right|$ și obține $2\cdot 1\cdot 3-1\cdot 1\cdot 5=1$. Găsește greșeala și dă rezultatul corect.

17. Determină numărul real $m$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& m\\ 3& 0& 1\\ 2& 1& 4\end{array}\right|=0$.

18. (Provocare.) Arată că $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right|=p^2+q^2$ pentru orice numere reale $p$ și $q$, apoi determină toate perechile pentru care acest determinant este nul.

Răspunsuri și explicații

1. $\left|\begin{array}{cc}6& 2\\ 5& 3\end{array}\right|=18-10=8$.

2. $\left|\begin{array}{cc}-3& 4\\ 7& -2\end{array}\right|=6-28=-22$. Produsul principal este $(-3)(-2)=6$, iar cel secundar $4\cdot 7=28$.

3. $\left|\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 6\\ \frac{1}{2}& 9\end{array}\right|=6-3=3$, pentru că $\frac{2}{3}\cdot 9=6$ și $6\cdot \frac{1}{2}=3$.

4. Grupul cu plus: $15+16+0=31$; grupul cu minus: $6+4+0=10$. Deci $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 3& 4\\ 2& 1& 5\end{array}\right|=31-10=21$.

5. Grupul cu plus: $0+2+60=62$; grupul cu minus: $0+10-8=2$. Deci $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 0& 1\\ -2& 5& 2\end{array}\right|=62-2=60$.

6. $\left|\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 3& -2& 0\\ 1& 4& 6\end{array}\right|=-60$. Un singur produs a ieșit nenul, cel al elementelor de pe diagonala principală, $5\cdot (-2)\cdot 6$; toate celelalte cinci conțin un zero de deasupra diagonalei.

7. $m(m+3)-10=0$, adică $m^2+3m-10=0$, cu $\Delta =49$; deci $m_1=2$ și $m_2=-5$. Verificare pentru $m=2$: $2\cdot 5-10=0$.

8. Fals. Un element nul anulează doar produsele în care intră, nu întregul determinant. Contraexemplu: $\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ -4& 9\end{array}\right|=24$, deși un element este zero.

9. $m^2-6=10$, deci $m^2=16$ și $m\in \{-4,4\}$. Cerința nu a fost „determinant nul", dar metoda e aceeași: se scrie determinantul, apoi se rezolvă ecuația obținută.

10. $\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 8& 10\end{array}\right|=30-40=-10$. Determinantul fiind nenul, liniile nu sunt proporționale: prima soluție are raportul azot–potasiu $3:5$, a doua $4:5$, deci cele două rețete sunt cu adevărat diferite.

11. Grupul cu plus: $48+16+18=82$; grupul cu minus: $12+36+32=80$. Deci $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 4& 9& 16\end{array}\right|=82-80=2$.

12. $\det T=3\cdot 4-(-2)\cdot 7=12+14=26$.

13. Pentru $x=1$ matricea devine $\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$, iar $\det W(1)=6\cdot 1-3\cdot 2=0$. Prima linie a ieșit de trei ori cât a doua, adică liniile sunt proporționale — semnul vizibil al unui determinant nul de ordinul al doilea.

14. $\det W(x)=(x+5)x-3\cdot 2=x^2+5x-6$, cu $\Delta =25+24=49$; deci $x_1=1$ și $x_2=-6$. Prima valoare confirmă exercițiul 13.

15. Grupul cu plus: $-8+10+0=2$; grupul cu minus: $0+0-12=-12$. Deci $\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& -4& 5\\ 1& 0& -2\end{array}\right|=2+12=14$, la fel pe ambele căi.

16. Elevul a folosit regula de la ordinul al doilea. Calculul corect are șase produse: grupul cu plus $6+60+0=66$, grupul cu minus $5+16+0=21$, deci $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 1& 4\\ 5& 2& 3\end{array}\right|=66-21=45$.

17. Grupul cu plus este $0+4+3m$, grupul cu minus este $0+1+24=25$, deci determinantul este $3m-21$. Din $3m-21=0$ obținem $m=7$.

18. $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right|=p\cdot p-q\cdot (-q)=p^2+q^2$. Fiind o sumă de două pătrate, determinantul este mereu mai mare sau egal cu zero și se anulează doar când ambele pătrate sunt nule, adică numai pentru perechea $p=0$ și $q=0$, când matricea este cea nulă.

De reținut

• Determinantul se definește numai pentru matrice pătratice, iar rezultatul este un număr real, care poate fi negativ; în text se scrie $\det A$, iar tabloul dintre bare verticale apare doar la momentul calculului efectiv.
• La ordinul al doilea, $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$: produsul diagonalei principale minus cel al diagonalei secundare, cu fiecare produs scris între paranteze înainte de scădere.
• La ordinul al treilea determinantul are șase produse, trei cu plus și trei cu minus; dacă ai scris mai puține, ai sărit un termen.
• Regula lui Sarrus și regula triunghiului dau același rezultat și se folosesc una ca probă pentru cealaltă, dar se aplică exclusiv la ordinul al treilea.
• Un parametru se tratează ca pe un număr, iar cerința „$\det =0$" devine o ecuație obișnuită, ale cărei soluții se verifică prin înlocuire în determinantul inițial.

Greșeli frecvente

• Regula de la ordinul 2 mutată la ordinul 3. Scrii doar produsul diagonalei principale minus cel al diagonalei secundare și pierzi patru din cei șase termeni. Corectare: numără produsele înainte de a aduna — la ordinul al treilea trebuie să fie șase.
• Regula lui Sarrus folosită la ordinul 4. Metoda nu se extinde: acolo determinantul are $24$ de termeni, iar orice „Sarrus pe patru linii" dă un rezultat fals. Corectare: la ordinul al patrulea se dezvoltă după o linie sau o coloană, cu metoda din lecția următoare a unității.
• Semnele celor două grupuri amestecate. Când cei trei termeni cu minus au ei înșiși valori negative, scăderea lor adaugă. Corectare: calculează separat suma fiecărui grup și fă o singură scădere la final, nu semn cu semn.
• Un zero din matrice confundat cu un determinant nul. Un element egal cu zero anulează doar produsele în care intră. Corectare: verifică pe un exemplu mic, de tipul $\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ -4& 9\end{array}\right|=24$.
• „determinant nul" citit ca „matrice nulă". Egalitatea $\det X=0$ spune că liniile sunt legate între ele, nu că $X=O_2$. Corectare: scrie explicit matricea obținută pentru valoarea găsită a parametrului și privește-i liniile.

Aplică acasă

1. Aceleași șase produse, două așezări. Scrie trei determinanți de ordinul al treilea cu numere între $-5$ și $5$ și calculează fiecare de două ori: o dată cu regula triunghiului, o dată cu regula lui Sarrus. Notează, pentru fiecare, care dintre cele două așezări ți s-a părut mai sigură și de ce; vei folosi la examen varianta care îți dă mai puține greșeli de semn.

2. Graficul determinantului. Ia matricea $\left(\begin{array}{cc}m& 5\\ 2& m+3\end{array}\right)$ de la exercițiul 7 și calculează-i determinantul pentru $m$ de la $-6$ la $3$, din unitate în unitate. Reprezintă valorile pe hârtie milimetrică: vei recunoaște parabola funcției de gradul al doilea, iar cele două rădăcini sunt exact valorile pentru care determinantul se anulează.

3. Rețetele din bucătărie. Alege două preparate pe care le faci acasă și care folosesc aceleași două ingrediente. Scrie matricea cantităților și calculează-i determinantul. Dacă iese zero, cele două rețete au aceeași proporție între ingrediente, iar una este doar o „versiune mărită" a celeilalte; dacă iese diferit de zero, preparatele sunt cu adevărat distincte.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, la clasa a XI-a din 2028–2029; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde programa cere determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult $4$. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere determinantul de ordin cel mult $3$, iar tema apare la Subiectul al II-lea, prima problemă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția vine imediat după matricele în contexte practice: din aceleași tablouri, de data aceasta pătratice, se scoate acum un singur număr. Teoria ocupă foarte puțin, iar exercițiul ocupă restul: cele două formule de calcul reapar în fiecare lecție a unității, așa că automatismul lor se plătește imediat. La acest profil determinantul nu primește definiția generală cu permutări, fiindcă programa nu conține noțiunea; ordinul al doilea se învață direct din formulă, iar ordinul al treilea prin cele două reguli practice.

Ce urmărim în caiet: produsele de la ordinul al doilea apar separat, între paranteze, înaintea scăderii; la ordinul al treilea se văd șase produse, strânse în două grupuri; valorile aflate pentru parametru sunt puse înapoi în determinant; litera matricei nu este niciodată încadrată de bare simple. Patru întrebări de pus oral: „Câte produse are un determinant de ordinul al treilea?"; „Ce fel de matrice au determinant?"; „Se poate folosi Sarrus la patru linii?"; „Un zero din tablou anulează determinantul?". Semn că elevul a înțeles: reface singur, fără să i se ceară, un determinant de ordinul al treilea pe cealaltă cale și obține același număr.

Întrebări frecvente

Cum se calculează un determinant de ordinul al treilea? Are șase produse: trei cu plus și trei cu minus. Le obții fie cu regula triunghiului, fie cu regula lui Sarrus, copiind primele două linii sub tablou. Aduni separat cele trei produse din grupul cu plus, aduni separat cele trei din grupul cu minus și faci o singură scădere la final.

Se poate folosi regula lui Sarrus la ordinul al patrulea? Nu, în niciun caz. Un determinant de ordinul al patrulea are $24$ de termeni, nu opt, iar orice variantă de „Sarrus pe patru linii" dă un rezultat fals. Acolo se dezvoltă după o linie sau o coloană, metodă care are lecția ei în această unitate.

Regula triunghiului și regula lui Sarrus dau același rezultat? Da, întotdeauna. Sunt același calcul, cu aceiași șase termeni, așezați diferit pe hârtie: una cere să-ți imaginezi triunghiurile, cealaltă cere să copiezi două linii în plus. Tocmai de aceea merită folosite una ca probă pentru cealaltă, când ai timp la examen.

Ce se întâmplă dacă un element al matricei este zero? Se anulează numai produsele în care intră acel element, nu determinantul. Un zero pe diagonala principală scurtează calculul, dar rezultatul poate fi orice număr. La ordinul al treilea, un zero bine plasat poate lăsa doar unul sau două produse nenule din cele șase, însă el scurtează socoteala, nu o hotărăște. Un determinant devine nul din cauza relației dintre linii, nu din cauza unui element izolat.

Ce se schimbă la determinanți între M1 și M2? Programa de științe ale naturii nu conține permutările, deci definiția generală a determinantului nu se dă, iar ordinul se oprește la $4$ în programa școlară și la $3$ la examenul din 2027–2029. Versiunea pentru mate-info (M1) a părții despre determinantul de ordinul 2: determinantul de ordin 2 este urmată acolo de lecții separate pentru ordinul $3$, pentru ordinul $n$ și pentru definiția cu permutări.

La ce subiect apare determinantul la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, în prima problemă, care este de matrice, determinanți sau sisteme. În modelul oficial, primul subpunct este un calcul de determinant pentru o valoare dată a parametrului, al doilea cere un număr real dintr-o egalitate de matrice, iar al treilea o demonstrație valabilă pentru orice valoare a parametrului. Fiecare subpunct valorează cinci puncte.

Determinantul de ordinul al patrulea se cere la bacalaureatul M2? Nu la sesiunile 2027–2029: programa de examen se oprește explicit la ordinul $3$. Programa școlară nouă merge însă până la ordinul $4$, iar la proba MAT_P2 din 2030 el poate apărea, în domeniul Algebră. Lecția despre determinantul de ordinul al patrulea din această unitate spune limpede pentru cine este.